第39期 用样本估计总体、统计案例-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第二册同步学案（人教A版）

16.(15分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进 18.(17分)为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开 19.(17分)鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而 行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组 展了队内对抗赛.在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环 且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少 小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶 数)如下： 来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客 液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算 甲476549107810 户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购. 出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方 乙7586797678 小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在[100,200)的客户 图（如图6）.已知乙离子残留在体内的百分比不低于5.5的频率的 (1)求甲运动员样本数据的85%分位数； 称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成下表： 估计值为0.70 (2)分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差： 采购数x[100,120)[120,140)[140,160)[160,180)[180,200) (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值： (3)射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动 客户数10105205 (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数 员参加运动会，请你帮助教练分析两个运动员的成绩，作出判断并 (1)根据表中的数据作出频率分布直方图，并估计采购数在 据用该组区间的中，点值为代表) 说明理由. 168箱以上（含168箱）的“熟客”人数； 频率 频率 注：一组数据x,3,…,xn的平均数为无，它的方差为2= A组距 组距 (2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总 高中 0.30 0.2 (,-列+(3-用++(-0 的销售量的？，估筑小张去年年底总的销售量（同一组中的数据用 毫 8o--☐ 0.05- 该组区间的中点值为代表)； 01.52.53.54.55.56.57.5百分比 02.53.54.55.56.57.58.5百分比 边 (3)由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定 甲离子残留百分比直方图 乙离子残留百分比直方图 修第一 图6 今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上出售鱼卷，则按去年的 修 价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售 第 册 鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元(2≤m≤5)销 册 人教 售量可增加1000m箱，求小张今年年底收入Y(单位：元)的最大值. 人教 A 17.(15分)某企业生产某批产品按产品质量（单位：g)从高到 A 版 低依比例划定A,B,C,D,E五个等级，A等级为最优.其中A等级产 版 同 品占该批产品的12%，B等级产品占该批产品的32%，C等级产品占 步 核 该批产品的37%，D等级产品占该批产品的15%，E等级产品占该批 产品的4%.现从该批产品中随机抽取100件产品对其质量进行分 素养 析，并绘制出如图7所示的频率分布直方图，其中5a=2b. 测评 (1)求图中a,b的值； )同步核心素养测评 (2)用样本估计总体的方法，估计该批产品中C等级及以上等 级的产品质量至少为多少克？ 频率 组距 0.030 0.02 0.005 0 405060708090100质量/g 图7 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 高中数学 0351-5271268 2026年3月27日·星期五 报纸发行质量反馈电话： 第 39期总第1183期 人教A 0351-5271248 数评橘 必修（第二册） 笔绘山河： 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-201 徐悲鸿的艺术救国志 数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60 不及格的若生人数为(0.010+0.015)×10 在近代中国内忧外 角解读. 其中身高在[140,150]内的学生人数为100××5000=1250，故(C)错误； 患的艰难时局下，徐悲 10×0.010=10. 考生成绩的平均分约为45×0.10+55× 鸿诞生于一个贫寒之 所以从身高在[140,1501内的学生中选取0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95 频率分布直方图 ×0.10=70.5,故(D)正确 家.自幼便对绘画展现 ©四川张海英 的人数应为×18=3 故选(A)(D) 出浓厚兴趣与天赋的 一、频率分布直方图的相关计算问题 二、频率分布直方图与数字特征的综合应用 例3如图3是某学校的教研处根据调查结 他，早年的求艺之路布 例1某小学随机抽取100名学生，将他们的 例2在某次高中学科竞赛中，统计5000名果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况 满荆棘，四处求学皆碰 身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图 考生的参赛成绩，并绘制成如图2所示的频率分 的频率分布直方图，根据频率分布直方图，该学 壁而归，生活困窘不堪 (如图1所示)，由图中数据可知a= 布直方图，60分以下视为不及格.若同一组中的校学生每天放学后的自学时间的中位数和众数 若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140， 数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法 但对绘画的热爱如同 的估计值（精确到0.01）分别是 150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法 中正确的是 组距 束光，照亮了他前行的 选取18人参加一项活动，则从身高在[140 0.51 方向，使他从未放弃心 0.030 150]内的学生中选取的人数应为 中的艺术理想， 0.020 00 为了追寻更高的艺 0.035 0.01 0511.522.533.54自学时间/小时 术境界，他毅然决然地 405060708090100成绩/分 图3 0.020 (A)2.20,2.25 (B)2.29,2.20 远渡重洋，奔赴法国深 图2 0.010 (A)考生成绩在[70,80)的人数最多 (C)2.29,2.25 (D)2.25,2.25 造.身处异国他乡，他遭 0.005 (B)考生成绩在[80,90)对应的频率为 解：由频率分布直方图得，自学时间在 受着诸多歧视与不公 0 100110120130140150身高/厘米 0.015 [0.5,2)的频率为(0.16+0.2+0.34)×0.5 图1 然而这些挫折并未成为 解：因为频率分布直方图中的各个小长方 (C)不及格的考生人数为1000 =0.35. 他前进的阻碍，反而促 形的面积之和为1，所以有 (D)考生成绩的平均分约为70.5 自学时间在[2,2.5)的频率为 使他更加刻苦钻研.他 10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)） 解：由频率分布直方图可知，考生成绩在 0.52×0.5=0.26 深入学习西方绘画的精 [70,80)内的小矩形最高，所以频率最大，对应 所以自学时间的中位数为 解得a=0.030. 人数最多，故(A)正确； 2+0.5-0.35≈2.29 髓，并巧妙地将其与中 0.52 由频率分布直方图可知，身高在[120 考生成绩在[80,90)对应的频率为0.015× 华民族精神相融合，逐 130),[130,140),[140,150]三组内的学生总 10=0.15,故(B)错误： 众数为2+25=2.25. 渐锤炼出独属于自己的 绘画风格 一、会“评价” 归国后，他致力于 在数据分析的基础上能够基于数字特征或 图形给出相应的统计意义上的评价结论， 利用统计量 美术教育，以笔为刃，将 满腔爱国情倾注于画 例1为了比较两种治疗失眠症的药（分 别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患 进行评价与录 作.其奔马图，气势磅 者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在 礴，象征中华民族春勇 服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠 山东 徐明宇 向前；人物画细腻传神， 高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的 时间（单位：h).试验的观测结果如下： Y 20×(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1 展现百姓疾苦与抗争 数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时 +1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9 人最多，我得了85分，在班里算是上游了.” 他开办画展，为抗战募 间： +2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6. 捐，用艺术唤起国人的 0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5 (2)请你根据表中的数据分析两班的测试 由以上计算结果可得x>y,因此可看出A 情况，并提出教学建议 觉醒与斗志，以丹青绘 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4 药的疗效更好 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时 解：(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分 就民族魂，在动荡岁月 (2)由于中位数与平均数都可以描述数据 可知，85分排在25名以后，从名次上讲并不能说 中，为中国美术事业开 的集中程度，因此除了平均数还可以用中位数 3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 评价疗效 85分在班里是上游，但也不能从这次测试的名 辟新径，让世界看到中 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5 二、会“决策 次上来判断学习的好坏小刚得了85分，说明他 国艺术之力量，激励着 (1)分别计算两组数据的平均数，从计算结 在基于数字特征给出有意义评价的基础 对这阶段的学习内容掌握得较好，从掌握的学 一代又一代中华儿女为 果看，哪种药的疗效更好？ 上，分析利弊、观察风险，进而作出切实可行的 习内容上讲算是上游 传承文化、振兴中华不 (2)根据两组数据，除了平均数还有哪个数 合理决策、方案或建议， (2)高一(1)班成绩的中位数是87分，说明 懈努力，在历史长河中 字特征能评价哪种药的疗效更好？ 例2某校高一(1)，(2)班各有49名学 高于87分的人数占一半左右，而平均分为79 留下熠熠生辉的艺术与 解：(1)设A药观测数据的平均数为x, 生，两班学生在一次数学测试（满分100分）中分，标准差又很大，说明低分者很多，两极分化 精神财富，成为中国近现 B药观测数据的平均数为少，由观测结果 的成绩（单位：分）统计如下表： 严重，建议对学习差的学生给予帮助， 可得 代艺术史上不朽的丰碑 班级平均分众数中位数标准差 高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79 元=20×(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8 高一(1)班7970 8719.8 分，标准差较小，说明学生成绩之间的差别也较 +2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7 高-(2)班797079 5.2 小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很 +2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 少，建议采取措施，提高优秀学生的人数， 2 素养专练 A 数理极 专项小练一、总体取值规律的估计总体百分位数的估计 专项小练二、总体集中趋势的估计总体离散程度的估计 1.对某班的第一学月数学成绩排名进行抽样调查得到样本数据：10， 1.从某中学抽取10名学生，得到他们的数学成绩（单位：分）如下：82， 21,23,24,27,37,41,47,52,57,此样本数据中的下四分位数为 ( 85,88,90,92,92,92,96,96,98,则这10名学生的数学成绩的众数、中位数分 (A)21 (B)23 (C)41 (D)47 别为 () 2.某校高一年级有800名学生选学物理，将 频率 组距 (A)92,92 (B)92,96 (C)96,92 (D)92,90 某次联考的物理成绩绘制成如图1所示的频率分 0.02 2.若一组数据a1,a2,a3的平均数为4，方差为3，那么数据a1+2,a2+2, 布直方图，则高一年级这次联考的物理成绩位于 0.0 a?+2的平均数和方差分别是 区间[60,80)的人数约为 ( ）0.005 (A)4,3 (B)6,3 (C)3,4 (D)6,5 (A)200 (B)220 020406080100成绩/分 3.（多选)有一组样本数据x1x2,…,x6,其中x是最小值，6是最大值， (C)240 (D)260 图1 则 3.(多选)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情 （A)x2,x3,x4,x的平均数等于x,x2,…,x6的平均数 况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷+一月 (B)x2,x3,x4,x的中位数不等于x,x,…,x6的中位数 达图（如图2）.图中A点表示十月的平均最高气温约为+月 (C)x2,x,x4,x的标准差不大于x1,x2,…,x6的标准差 15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述九月 (D)x2,x,x4,x的极差不大于x1,x2,…,x6的极差 八月六月 正确的是 平均最低气温 4.在一次数学测试中，8名同学的成绩如下：112,96,100,108,121,86， (A)各月的平均最低气温都在0℃以上 一平均最高气温 102,111.设这组数据的中位数为a,极差为b,则a-b= 图2 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 5.某班全体学生参加物理测试成绩的频率 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 分布直方图如图1所示，则估计该班物理测试 0.020 (D)平均最高气温高于20℃的月份有5个 的平均成绩是 0.015 4.某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得 0.010 6.某校从参加数学能力竞赛的同学中选取000 r= 分：13,10,12,17,9,12,8,9,11,14,15,12,10,12.这组数据的第80百分位数 60名同学，将其成绩（百分制，均为整数）分成 020406080100成绩/分 是 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80 图1 5.某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统 90),[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图2）.观察图形中的 计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图 信息，回答下列问题： 如图3所示.求： (1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图： (1)直方图中的a的值； (2)从频率分布直方图中估计本次考试成绩的中位数： (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数. 频牵 忄组距 频率 0.035 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0030.40.50.60.70.80.9金额/万元 0.005 图3 02 405060708090100成绩/份 图2 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 第38期2版参考答案 第二步：将30个号码分别写在30张外形完全一样的纸张上， 并揉成团，制成号签； 数的号，所以号(m+n)=72,解得m+n=108, 专项小练一 第三步：将30个号签放人一个不透明的盒子中，充分搅拌； 所以三所高校的教授的总人数为m+n+72=180. 1.B;2.B;3.AD;4.③；5.14. 第四步：从盒子中逐个抽取8个号签，并记录上面的编号，编号 18.解：(1)设登山组人数为x,游泳组中青年人、中年人、老年 6.解：总体中个体数较小，用抽签法. 对应的大学生就是选出的大学生志愿者成员. 人各占比例分别为a,b,c,则有 第一步，将30个篮球，编号为1,2，…，30： (2)随机数法 40%+3地=47.5%，10%+3c=10% 4x 4x 第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…，29,30： 解得b=50%,c=10%,则a=40% 条上，揉成小球状，制成号签； 第二步：在随机数表中任选一个数作为开始，按照任意方向读 即游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%， 第三步，把号签放人一个不透明的盒子中，充分搅拌； 数，比如从第8行第29列的数7开始，向右读； 50%,10% 第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上面的 第三步：每次取两位，凡是在01~30之外的数或者已读过的 号码： 数，都跳过去不做记录，依次可得到12,07,21,29,15,13,02,09； (2)游泳组中，抽取的青年人人数为20×子×40%=60： 第五步，找出和所得号码对应的篮球 第四步：找出以上号码对应的大学生，他们就是选出的大学生 专项小练二 志愿者成员。 拍取的中年人人数为200×子×50%=75： 1.D;2.C;3.ABD;4.15;5.70 16.解：可以采用分层随机抽样的方法 抽取的老年人人数为20×子×10%=15. 6解：①样本容量与总体中的个体数的比值为品=。： 按照该公司员工的收人水平分成三层：高收人者、中等收人 19.解：(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c, 者、低收人者， ②确定要抽取的各种百货商店的数目，大型商店为20×10 则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c), 高收人者为50名，占所有员工的比例为0=5%，为保证样 去B会场的学生总数为0.75(a+b+c）, 2(家)，中型商店为40× 则对应人数如下表所示： 0=4(家)，小型商店为150×0= 本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收人者所占的比例也应 为5%，即100×5%=5， 高一 高二 高三 15(家)； ③采用简单随机抽样的方法在各层中分别抽取大型商店2家，中 所以应抽取5名高收人者比较合理 A会场0.125(a+b+c)0.1(a+b+c)0.025(a+b+c) 型商店4家，小型商店15家，这样便得到了所要抽取的样本 同理，应抽取15名中等收人者，80名低收人者， B会场0.3(a+b+c）0.375(a+b+c)0.075(a+b+c) 再对他们的具体收入状况分别进行调查. 第38期3,4版参考答案 则x:y:z=0.425(a+b+c):0.475(a+ 17.解：(1)因为0<m≤72≤n,A,B两所高校中共抽取3名b+c):0.1(a+b+c）)=17:19:4 、单项选择题1~4CAAA5~8DCBC 教授，B,C两所高校中共抽取5名教授， (2)依题意，n×0.75×0.5=75 二、多项选择题9.AC;10.ACD;11.BC. 所以高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校C中 艇县n=200. 三、填空题 12.P1=P2=p3;13.6;14.5600. 抽取3名教授， 故抽到的A会场的学生总数为50人， 四、解答题 15.解：(1)抽签法. 所以女=号：子解特m=36a=1 则高一年级人数为50×50%=25（人） 高二年级人数为50×40%=20（人）， 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…，29,30； (2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总 高三年级人数为50×10%=5（人）. 7.采购经理指数(PMI),是通过对企业采购经理的月度调查结果[90,100]的分组作出频率分布直方图（如 用样本估计总体、统计案例 统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环图4所示).已知成绩落在[50,60)内的人0.040 节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势数为16，则下列结论正确的是 ( )0.030 同步核心素养测评 的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用.制造业PMI高于50% (A)n=1000 0.010 时，反映制造业较上月扩张；低于50%，则反映制造业较上月收缩.图 (B)估计全体学生该学科成绩的平均 0.004---- 05060708090100成绩（分》 ⊙数理报社试题研究中心 3为我国2023年1月~2024年6月制造业采购经理指数(PMI)统计图 分为70.6分 图4 55(%）2023年1月-2024年6月制造业指数（P (C)若成绩低于60分定为不及格，估计全体学生中不及格的人 第I卷选择题（共58分） 数约为300人 50 (D)若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 为A等，则成绩为79分的学生该学科成绩有可能是A等 1.一个样本容量为80的样本中，数据的最大值是140，最小值是 51,组距是10，则应将样本数据分为 2023年S 2024年 (A)10组 (B)9组 (C)8组 (D)7组 图3 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 2.“幸福感指数”是某人对自已目前生活状态满意程度的自我评 根据统计图分析，下列结论正确的一项为 价指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意 (A)2023年第一、二季度的各月制造业在逐月扩张 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 高 程度越高.现随机抽取8位市民，他们的幸福感指数分别为5,6,7,8， (B)2023年第四季度各月制造业在逐月扩张 12.光明中学举办以“学习二十大、争做新青年、永远跟党走、奋 中 数 7,9,4,5,则该组数据的25%分位数为 (C)2024年1月至4月制造业逐月收缩 进新征程”为主题的演讲比赛.其中8人比赛的成绩为：92,89,88,86， 学 (A)5 (B)6.5 (C)7 (D)7.5 (D)2024年4月开始制造业景气水平呈恢复性扩张 90,85,94,98(单位：分)，则这8人成绩的50%分位数和80%分位数 必修第一 必 3.样本量为100的频率分布直方图如图1 修 组距 8.慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还的和为 所示根据样本的频率分布直方图估计样本数0.09 可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小温从小到大记录了近6 13.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间（单位： 第一 册 0.08 据落在[6,10)内的频数为a,样本数据落在 周的周慢走里程（单位：公里）：11,12，m,n,20,27,其中这6周的周慢 min)记录如下表： 册 教 [2,10)内的频率为b,则a,b分别是( ) 走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则 等待时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,251 (A)32,0.4 (B)8,0.188 教 m 频数 4 8 2 1 A A 版 (C)32,0.1 (D)8,0.4 2610141822样衣数据 (A)14 (B)15 (C)16 (D)17 则估计该医院急救中心病人的平均等待时间为 ,病人等 版 同 4.已知由小到大排列的4个数据1,3,4,0 图1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 待时间的方差为 同 的极差是它们中位数的2倍，则a= 9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知运动员甲特训的成 14.五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五 核 心 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 绩分别为：9,12,8,16,16,18,20,16,12,13，则这组数据的 ( 个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次 素养测评 5.某校高一组建了演讲、舞蹈、合唱、绘画、英语协会五个社团，高 (A)平均数为14 (B)方差为13.4 数的总和最大是， 一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名 素养测 (C)85%分位数为18 (D)众数为12 四、解答题：本题共5小题，共77分 学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图2所示 评 的不完整的两个统计图： 10.在“世界杯”足球赛亚洲区第二阶段比赛结束后，某中学学生 15.(13分)已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中， 个人数 会对本校高一年级1000名学生收看中国队比赛的情况用随机抽样方该年级所有学生的数学成绩全部在[45,95]内.现从该校初二年级的学生 80 合唱 式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 中随机抽取100名学生的数学成绩，按[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75， 60 0 ----------- 观看场数 0123456 85),[85,95]分成5组，得到如图5所示的频率分布直方图， 语协会 0 20% 观看人数占调查人数的百分比8%10%20%28%m%12%6% (1)求a的值； 0 演讲舞蹈合唱绘画英语协会在团 从表中可以得出正确的结论为 (2)记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二 图2 则选取的学生中，参加绘画社团的学生人数为 (A)m=16 年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数 (A)20 (B)30 (C)40 (D)45 (B)估计观看比赛不低于4场的学生约为340人 (C)样本中，观看2场的学生为200人 0.035 6.随着2025年第九届亚冬会的举行，某班组织全班学生开展有 0.025 关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层 (D)估计观看比赛场数的众数为3 0.010 随机抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如 11.在某区高三年级第一学期初举行的一次质量检测中，某学科 下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为 共有2000人参加考试为了解本次考试学生的该学科成绩情况，从中 0455565758595数学成绩/份 图5 15,方差为0.5，则这10人答对题目的方差为 抽取了n名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）进行统计， (A)6.8 (B)6.9 (C)7 (D)7.2 成绩均在[50,100]内，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 数理括 答案详解 2025~2026学年 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期(2026年3月) 对于(D),因为I∥AC,又ACC平面ACD1,I4平面ACD1, 第36期3,4版 所以l∥平面ACD,即(D)正确 立体几何初步核心素养综合测评 7.如图4，在平面ABBA中过点P 一、单项选择题 作PP⊥AB交AB于点P1,连接PO, p B 1-4 CCBC 5~8 CDAA 由正方体的性质可知PP⊥平面 提示： ABCD,则∠POP,即为直线OP与平面 D 1.由题意可知，若三点分布在平面B的同侧，此时平面x ABC所成角， ∥平面B;若三点分布在平面B的两侧，此时平面α与平面B相 PP PB 交.综上，平面α与平面B平行或相交 则tan∠POP,=tan0= OP' 图4 2.结合题意由“m⊥a”能推出“m⊥n”, 设正方体ABCD-AB,C1D1的棱长为2，则1≤OP1≤2， 由“m⊥n”不能推出“m⊥a”,也可能m∥ax或相交， 所以当OP,=1时，tan0取得最大值， 所以“m⊥a”是“m⊥n”的充分不必要条件 此时日取最大值，P,为AB的中点， 3.由题设，上底面积为S,=225cm㎡2， 下底面积为S2=144cm2, 又A,P=AMB,所以当A=子时0取最大值 所以1平升为写×10×(25+V25x14+14)= 8.如图5，设BD,C'D的中点分别 为01,02，则0102∥C'B, 0 1830cm3,约为1.8L. 因为平面C'BD⊥平面ABD,C'B 4.如图1，取B,C1的中点E,连接BE,DE,则AC1∥DE,则 ⊥BD,平面C'BD∩平面ABD=BD, AC∥DE,则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的 C'BC平面C'BD, 角.由条件可知BD=DE=EB=√2，所以∠BDE=60. 所以C'B⊥平面ABD 图5 C 故OO2⊥平面ABD, D 故02C'=02B=02D, 因为ADC平面ABD,所以CB⊥AD, P 又AD⊥AB,AB∩CB=B,AB,CBC平面ABC', 所以AD⊥平面ABC, B B 又AC'C平面ABC',所以AC'⊥AD, 图1 图2 故02A=02C'=02D, 5.如图2，延长C,M交CD的延长线于点P,延长C,N交CB 所以02C'=02A=02B=02D, 的延长线于点Q,连接PQ,交AD于点E,交AB于点F,连接NF, 故O2为三棱锥C'-ABD的外接球球心， ME,则正方体过点M,N,C,的截面图形是五边形 6.如图3，因为点B∈平面A,BC 又0,0，=2cB=2cB=1, ∩平面ABCD,所以B∈L 又因为直线A,C,∥平面ABCD, O.B-BD-AR AD=3 2 2 AC1C平面A1BC1,故A1C1∥L, 所以I是过点B且平行于AC,的 所以外接球半径R=0,B=√0,0+0，F= 2 直线， 故外接球的表面积为4πR2=17π. 对于(A),因为AC,∥1，A,C,∥ 图3 二、多项选择题 AC,所以1∥AC,故I∥CD不成立，即(A)错误； 9.ABC;10.AB;11.AC. 对于(B),因为1∥AC,而AC∩A,C=C,故I∥A,C不成 提示： 立，即(B)错误； 9.(A)不正确，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交 对于(C),因为1∥AC,而AC∩平面A,B,CD=C,故1∥ 或异面；(B)不正确，平面内的两条相交直线与另一个平面内 平面A,B,CD不成立，即(C)错误； 的两条相交直线平行，两平面平行；(C)不正确，α与y可能平 高一数学人教A(必修第二册)第36一39期 行或相交；(D)正确，n与B可能n∥B或nCB. 39 故选(A)(B)(C). 所以6h=子5x多=5， 10.因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD 设题图4-①中水面高度为h, 又SD⊥平面ABCD,所以SD⊥AC,又BD∩SD=D, 则Sh=骨5，解得A=号 所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥SB,(A)正确； 14,如图8，过点K作MK⊥AF于点M,连接DM, 因为ABCD为正方形，所以AB∥CD, 因为平面ABD⊥平面ABCF,平面ABD∩平面ABCF= 又AB丈平面SCD,且CDC平面SCD, 所以AB∥平面SCD,(B)正确； AB,DK⊥AB,DKC平面ABD,所以DK⊥平面ABCF 因为AFC平面ABCF,所以DK⊥AF 因为SD⊥底面ABCD, 所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD,(C)错误； 因为MK⊥AF,DK n MK=K,所以AF⊥平面DMK 因为ABCD为正方形，则AB与BC所成的角是90°， 因为DMC平面DMK,所以AF⊥DM. 与折前的图形对比，可知折前的图形中，D,M,K三点共 又SD⊥底面ABCD,则∠SDC=90°， 线，且DK⊥AF, 所以DC与SC所成的角∠SCD<90°，(D)错误. 所以在折前的图形中△DAK∽△FDA, 故选(A)(B) 11.对于(A),依题意，圆锥母线长1=PA=PB=2,P0= 所-即片=所以1= PA·cos60°=1，A0=B0=PA·sin60°=√3，所以底面圆的 半径r=5,圆锥的体积为写=×(5)×1=m,故(A)正确： 因为DFe(1,2),所以te(2,1)月 D 对于(B),该圆锥的侧面积为πl=π×√5×2=23π，故 (B)错误； 对于(C),如图6，取AC的 D 中点M,连接PM,OM,则OM1 图8 AC,又因为PA=PC,所以PM⊥ 四、解答题 AC,故∠PM0为二面角P-AC 15.解：如图9，取AC的中点G,连 -0的平面角，即∠PM0=45°， 0 接EC,FG,则BG∥AB,且BG=2AB, 所以am5°=0=1，即01= 图6 FG∥cD,且FG=3cD 1,所以AC=2√A02-0M=2×√3-1=22，故(C) 由AB=CD知EG=FG, 正确； 所以∠GEF(或它的补角)为EF 对于(D),由选项(C)可知，AC=2V2,PM⊥AC,PM= 与AB所成的角，∠EGF(或它的补角) 图9 为AB与CD所成的角 √PN-（(分AC)=4-2=2,所以△PAC的面积为 因为AB与CD所成的角为30° 2PW·AC=7×万×25=2，故(D)错误 所以∠EGF=30°或∠EGF=150° 由EG=FG知△EFG为等腰三角形， 故选(A)(C) 当∠EGF=30°时，∠GEF=75°； 三、填空题 当∠EGF=150°时，∠GEF=15° 12.平行相交或异面；13.；14（分1） 故EF与AB所成的角为15°或75° 16.证明：(1)如图10， D 提示： 取BD的中点O,连接 B 701 12.如图7所示，∠BAC=∠B,A,C1,AB∥A1B1,则AC与 C01,A101 E D A,C1的位置关系是平行、相交或异面 因为ABCD-A,B,C,D 是四棱柱，四边形ABCD是 图10 正方形， 所以A01∥0C,A01=0C, 图7 因此四边形A,OCO,为平行四边形， 13.设△ABC的面积为S, 所以A0∥0C. 因为E,F,E,F,分别为所在棱的中点， 又O1CC平面B1CD1,A10￠平面B,CD1, 所以AO∥平面B,CD1: (2)因为AC1BD,E,M分别为AD和OD的中点， 所以sE=子s 所以EM⊥BD. 又A,E⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 所以AE⊥BD, 过B,作B,E⊥OD,因为BO⊥AC,D0⊥AC, 因为BD1∥BD,所以EM⊥BD1,A1E⊥B,D 且B10∩D0=0,B10,D0C平面B,OD, 又A,E,EMC平面A,EM,A1E∩EM=E, 所以AC⊥平面B,OD,因为ACC平面ACD, 所以B,D1⊥平面A,EM.又B,D1C平面B,CD1, 所以平面B,OD⊥平面ACD, 所以平面A,EM⊥平面B,CD 又因为平面B,OD∩平面ACD=OD, 17.解：设圆台形容器的上、下底面半径分别为r,R. 且B,E⊥OD,B,EC平面B,OD, (1)设AD=xcm,则OD=(72-x)cm,由题意得 所以B,E⊥平面ACD,即B,E为三棱锥B,-ACD的高， 2mR-60%2×72所以R:2 180 在△8，OE中，可得月E=B0n号=反×厚-。 72-x=3R, 1x=36, 所以三棱柱A一ACD的体积为V=分a·BE=专 1 即AD应取36cm (2)因为2mr=号·0D=号×36，所以r=6cm, ×2×2×2×6=6 1 2 圆台形容器的高h=√2-(R-) B /362-(12-6)2=6√35(cm). 所以V=}a(R++)=}mx6V35×(12+12 1 ×6+62)=50435π(cm3). 图12 图13 18.(1)证明：如图11，取BC 的中点H,连接HD,交CE于点P, (2)因为三棱锥B,-ACD的底面△ACD的面积为定值， 连接AH,AP 在△ACB,的翻折过程中，要使得三棱锥B,-ACD的体积最大， 因为AB=AC, 则点B,到底面ACD的距离最远， 所以AH⊥BC 此时平面ACB,⊥平面ACD,如图13所示， 因为B0⊥AC, 又平面ABC⊥平面BCDE, 图11 所以AH⊥平面BCDE. 且B,OC平面ACB,平面ACB,∩平面ACD=AC, 又CEC平面BCDE,所以AH⊥CE, 所以B,O⊥平面ACD, 光-品方80：48： 因为ODC平面ACD,可得B,O⊥OD, 在Rt△B,0D中，BD=B10+OD=2, 所以Rt△HCD∽Rt△CDE,所以∠CDH=∠DEC, 又因为B,C=CD=B,A=AD=2, 所以HD⊥CE, 所以△B,CD和△B,AD都是边长为2的等边三角形， 又AH∩HD=H,所以CE⊥平面AHD,所以AD⊥CE (2)解：由(1)知CE⊥平面AHD,得AP⊥CE. 可得5aa=5w=至x2-5, 又HD⊥CE, 1 所以∠APH就是二面角A-CE-B的平面角. 又S4c=S64m=2×2X2=2, 过点C作CG上AB,垂足为G,连接EG,如图11所示. 所以三棱锥B,-ACD的表面积为S=S△B1cm+S△s1A+ 因为BE⊥BC,且BE⊥AH,AH∩BC=H, S△BAc+S△Acn=4+23 所以BE⊥平面ABC,所以BE⊥CG 第37期3,4版 又BE∩AB=B,所以CG⊥平面ABE: 所以∠CEG就是CE与平面ABE所成的角，则∠CEG=45 核心素养阶段测评（三）》 又CE=√/22+(2)2=√6，所以CG=EG=5. 一、单项选择题 又BC=2,所以∠ABC=60°， 1 ~4 BBAD 5~8 CABC 所以AB=BC=AC=2,所以AH=√3. 提示： 1.由题意知，z=-1+i-3+i=-4+2i, 又由△HCP∽△DBP得HP= 3 所以|z|=√(-4)2+22=25. 所以an∠APH==3 2.由题得cd=c-D=c-}-C-}(C- 19.解：(1)如图12，取AC的中点0，分别连接B,0,D0, 因为B,A=B1C且DA=DC,所以B,O⊥AC,D0⊥AC, =子+写成：号m+3n 所以∠BOD为二面角B,-AC-D的平面角， 3.由题意，正四棱锥P-EFGH的斜高为√3+1=2，该组 又因为折起的三角形所在的平面ACB,与底面ACD所成角 合体的表面积为2×2+4×2×1+4×号×2×2=20， 为行则∠B,0D=号 4.如图1，由题意得A=60°，B=75°，AB=10, 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 则C=45°， B 因为EO⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO⊥BC, 所以AB、BC 又EG⊥BC,且E0,EGC平面EOG,E0∩EG=E, sin C=sin A' 75° 10 所以BC⊥平面EOG, 10×号 60° 因为OGC平面EOG,所以BC⊥OG,同理OM⊥BM, 所以BC= =56, 所以等腰梯形所在的平面，等腰三角形所在的平面与平面 图1 2 ABCD所成的角分别为∠EMO和∠EGO, 即B,C间的距离为5V6 n mile.. 所以tan∠EM0=tan∠EG0=14 5.连接A1C1,B,D1,它们交于点0，正方形中A1C1上B,D1, 又AA1⊥平面ABC1D1,BD,C平面A,B,C,D1, 又BC⊥OG,所以四边形OMBG是矩形， 所以AA1⊥B1D1, 又BC=10,则0M=5,所以E0=14,所以0G=5, 又AA,∩AC1=A,AA1,A1C1C平面AA1C,C, 所以在Rt△EOG中， 所以BD,⊥平面AAC1C, EG=√E0+0G=V√（√14）2+52=√39， 所以B,O的长即为棱BB,到面A41C,C的距离，而B,O= 2, 在Rt△EBG中，BG-OM=5, EB=√EG+BG=√(39)2+52=8， 所以所求距离为。 又因为EF=AB-5-5=26-5-5=16, 6.由0+0B+Cd=0,得0=0元-0B 故该五面体的所有棱长之和为 2×26+2×10+16+4×8=120m 两边平方得0产=0+0-20C.0B 二、多项选择题 因为10A1=10B1=10C1, 9.CD;10.ABC;11.ABD. 所以10B12=210C110B1cos∠B0C, 提示： 所以cs2B0C=分 9.因为sin2B=sin Asin C, 由正弦定理得b2=ac, 因为0°<∠B0C≤180°，所以∠B0C=60°， -。+c2-ac≥2a-ac= 所以A=宁∠B0C=30 所以cosB=Q+c2-6 2ac 2ac 2ac 2 当且仅当a=c时取等号， 7.根据题意，以C为坐标原 点，BC所在的直线为x轴，过点C 又0<B<m,故B∈(0，号] 且垂直于BC的直线为y轴，建立 故选(C)(D). 平面直角坐标系，如图2所示，因 10.因为b⊥(a-b),所以b·(a-b)=b·a-b2=0, 为正△ABC的边长为1，且点P为 所以a·b=b2=1b12,所以(A)正确； AB的中点，所以∠PCB=30°，点 因为a·b=1b12,所以a2=a2-4a·b+4b2, 图2 P在以C为圆心，BC为半径的圆 所以|a1=|a-2b1,所以(B)正确； 上则c0.0),8(-1,0)4(-2）P(-2） 在b上的投影向量为6b=b,所以(C)正确 所心=（停）成-（停9），m 由向量数量积的定义可知a·b=1a1川b1cos0=1b12, 所以c=所以(D)维误 (-1,-2） 故选(A)(B)(C) 11.设点P到平面ABC的距离为h, 期m,成=(（5-- 三校第的体积V=号×子×2x2×号xA=2, 3 所以PC.(+P=?x(5-多)）-x( 解得h=2, 因为PA=2,所以PA⊥平面ABC,又BCC平面ABC, 1=2-3. 所以PA⊥BC,故(A)正确； 8.如图3，过E作E01平面 因为PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC, ABCD,垂足为O, 且平面PAB∩平面ABC=AB, 过E分别作EG⊥BC,EM⊥ 取AB的中点D,连接PD,CD(如图4)， AB,垂足分别为G,M, 图3 因为△ABC是等边三角形， 连接0G,0M, 所以CD⊥AB,所以CD⊥平面PAB, 高一数学人教A(必修第二册)第36一39期 所以∠CPD为直线PC与平面PAB所成的角， 中心，取AB的中点为M,连接PM,QM, 又CD=√3，PC=PA+AC=22, EM,则EM⊥AB,PM⊥AB,QM⊥AB,如图 所以m∠CPD-咒-治放（围）正确： 7所示 设二面角P-AB-C的大小为a,二面 △PBC中，PB=PC=22,BC=2, 角Q-AB-C的大小为B, 则∠PME=a,∠QME-B,设球心O 所以BC边上的高为√(22)2-1=√7， 图7 到平面ABCD的距离为d,球的半径为1， 1 所以Saac=2X2×万=7， 则BM=号B=竖个-，PE=1-d,0E=1+d 2 设点A到平面PBC的距离为么，则写×万×=2,5 3 即an&=b1-,anB=21+少，d∈[0，I), 解得=2y②I,故(C)错误： √1-d √1-d 7 2(1-d)+2(1+d) 所以ian0=an(a+g)=个-f 1-d 1-2(1-d.21+d) √1-d √1-dP 22 e(-∞，-22]. √1-d正 图4 图5 四、解答题 如图5，过△ABC的中心H作平面ABC的垂线，过线段PA 15.解：(1)设b=(x,y), 的中点M作PA的垂线，两条垂线交于点O, 因为a∥b,所以y=2x. ① 则点O到四点P,A,B,C的距离相等， 又1b1=25,所以x2+y2=20. ② 即点O是三棱锥外接球的球心， 由①②联立解得b=(2,4)或b=(-2,-4). (2)由(2a+c)1(4a-3c)得(2a+c)·(4a-3c)=8a2 又△ABC外接圆的半径r=HA=2×号×三=2,0H 2 3 -3c2-2a·c=0, =P4=1, 由|al=5,1c1=10, 2 解得a·c=5, 所以三锥外接球的半径R=√F+() 所以o0=。=竖0e【0,l, a·c 3 所以外接球的表面积S=4:-2咨，放〔D)正确 所以u与c的夹角0=平 故选(A)(B)(D) 16.(1)解：因为CD∥平面PBO,CDC平面ABCD, 三、填空题 且平面ABCD∩平面PBO=BO,所以B0∥CD. 12.15mm;13.;4.(-0,-221. 又BC∥AD,所以四边形BCDO为平行四边形， 则BC=D0,而AD=3BC, 提示： 所以AD=3DO, 12.如图6，由题知圆锥底面圆半 即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点. 径r=0A=3m,高h=0B=4m, (2)证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面 则母线l=AB=5m,因此圆锥的侧 ABCD=AD,ABC底面ABCD,且AB⊥AD, 面积为S=πrl=π×3×5= 0 所以AB⊥平面PAD.又PDC平面PAD,所以AB⊥PD 15π(m2), 图6 又PA⊥PD,且ABO PA=A,所以PD⊥平面PAB. 即屋顶的面积约为15πm2. 又PDC平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD. 13.由(1+i)z=-1+2i,得z= -1+2i 1+i 17.(1)证明2ams号+2as2号=a1+mC)+e1+ 1+20-.1+i2i-2=片+3.所以 (1+i)(1-i) 2 CosA)a+c+acos C ccos A =b }-多所以=（分+3）（片别）=(3） 由正弦定理及sin(A+C)=sinB可得acos C+ccosA=b, ()- 所以a+c=,即2(a+e)=36 14.设PQ与平面ABCD的交点为E,且E为正方形ABCD的 (2)解：因为eosB=子，所以mB=年 4 5 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 因为S=snB:5c=5,所以c=8 所以BM⊥平面ACC, 又AC1C平面ACC,所以BM⊥AC 又因为b2=ad2+c2-2 accos B=(a+c)2-2ac(1+cosB), 同理可证D,M⊥AC, 2(a+c)=3b, 又D,M∩BM=M,D1M,BMC平面BMD1, 所以62= (学)-2×8×(1+）所以6=4 所以直线AC⊥平面BMD (3)设AC1与平面B,CD,的斜足为O, 18.(1)证明：如图8，取AB的中点 因为%%=的=号·}1a1=君 1 M及CD的中点N,连接PM,PN,MN. 6= 3 由△PAB是正三角形，四边形ABCD VA-BCD =VARCD-ABCI-VB-ABG-VB-CDIG-VA-AB- 是正方形，得AB⊥PM,AB⊥MN 又PM,MNC平面PMN,PM∩ 图8 a-4a=Vhoa-6o,-4g-0m9=g=子， 33 MWN=M,所以AB⊥平面PMN 所以V-m1=2VG-cm,则A0=2C,0 因为AB∥CD,所以CD⊥平面PMN, 若Vs-m6=V1-P,则Vg-em,=Vp-m,故C0=P0. 又PNC平面PMN,所以CD⊥PN, 所以在线段AC1上取一点P,要使三棱锥B,-CD,C,与三 因为N是CD的中点，所以PC=PD (2)解：过B作BH⊥平面PCD,垂足为H,连接PH,∠BPH 被维品-CDP的体积相等，则P为40的中点，即光=分 为直线PB与平面PCD所成的角，则sn∠BPH-阳 第38期2版 过M作MF⊥PN于F, 专项小练一 由CD⊥平面PMN及MFC平面PMN得CD⊥MF. 1.B;2.B;3.AD;4.③；5.14. 又MF⊥PN,PN,CDC平面PCD,PN∩CD=N, 6.解：总体中个体数较小，用抽签法 则MF⊥平面PCD. 第一步，将30个篮球，编号为1,2，…，30： 由AB∥CD,AB平面PCD,CDC平面PCD, 第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的 得AB∥平面PCD. 小纸条上，揉成小球状，制成号签； 于是点B到平面PCD的距离BH等于点M到平面PCD的 第三步，把号签放入一个不透明的盒子中，充分搅拌： 距离MF 第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上 设CD=2,则PD=√5，PA=PB=AB=AD=BC=MN 面的号码； =2,计算得PM=3,PN=2, 第五步，找出和所得号码对应的篮球 在等腰三角形PMN中可算得MF:39 专项小练二 4, 1.D;2.C;3.ABD;4.15;5.70 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 6解：①样本容量与总体中的个体数的比值为，引= 39 9210=10 PB2=9 MF 4 ②确定要抽取的各种百货商店的数目，大型商店为20× 8 1 19.(1)解：由四边形BCC,B1为正方形，可得B,C⊥BC1, 0=2(家)，中型商店为40×10=4（家），小型商店为150× 在长方体ABCD-AB,C,D1中，AB⊥平面BCC,B, 0=15(家)： 又B,CC平面BCC,B1,所以B,C⊥AB. 因为AB∩BC1=B,AB,BC1C平面ABC1, ③采用简单随机抽样的方法在各层中分别抽取大型商店2 所以B,C⊥平面ABC, 家，中型商店4家，小型商店15家，这样便得到了所要抽取的样本 又ACC平面ABC,所以B,C⊥AC1, 第38期3,4版 即异面直线B,C与AC,所成的角的大小为90° 随机抽样同步核心素养测评 (2)证明：当m=2时，C1=受， 一、单项选择题 因为BC=1,所以瓷=8%=2， 1~4 CAAA 5~8 DCBC 提示： 所以Rt△ABC∽Rt△BCM,则∠CAB=∠MBC, 1.“中国天眼”主要是通过观察获取数据。 所以∠MBC+∠ACB=∠CAB+∠ACB=90°，即AC⊥BM, 2.①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差 在长方体ABCD-AB,C,D1中，CC1⊥平面ABCD, 异，用分层随机抽样比较恰当； 又BMC平面ABCD,所以CC,⊥BM. ②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当 因为AC∩CC1=C,AC,CC1C平面ACC, 3.高二年级应抽取的学生人数为 6 高一数学人教A(必修第二册) 第36~39期 720 900×1200+900+1500=180 则甲应付9 ×560=51钱，故(A)正确： 109 4.根据简单随机抽样及分层随机抽样的定义可得， 乙应付10 109 ×350=32钱，枚(B)不正确： 每个个体被抽到的概率都相等， 109 所以每个个体被抽到的概率都等于， 两位付 ×180=166钱，故(C)正确； 109 5.从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两 显然51德>2品>16孤故(D)正确 109 个数字，选出的编号依次为：12,13,40,33,20,38,26,13,89， 故选(A)(C)(D) 51,03,…, 11.随机抽取的500名学生中，回答第一个问题的概率为 剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号， 则选出来的个体的编号依次为：12,13,20,26,03，…， 2,生日月份为奇数的概率也是2， 所以选出来的第5个个体的编号为03. 所以回答第一个问题且回答是的人数为 6.设A种型号的产品有2x件， 因为A,B,C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5， 50×7x号=125人 所以B种型号的产品有3x件，C种型号的产品有5x件， 所以回答第二个问题且回答是的人数为 已知可得 =2x+3x+5 n 175-125=50(人)， 所以随机抽取的500名学生中，带手机的学生人数的比例 所以n=80. 为0 7.这3000个数据的平均数为 50=20%, 78.1×800+85×1300+91.9×900=85.23. 故该学校3000名学生中，带手机的学生人数为 3000 3000×20%=600(人). 用样本平均数估计总体平均数， 故选(B)(C) 可知这4万个数据的平均数约为85.23 三填空题 8.对于①，采用分层随机抽样的方式进行抽样，甲乙两人 12.p1=P2=P3;13.6;14.5600. 可能同时被抽取，故①正确； 提示： 对于②，高一共有20×50=1000（人）， 12.在抽签法、随机数法和分层随机抽样中，每个个体被抽 高二共有24×45=1080（人）， 从这两个年级2080人中共抽取208人进行视力调查， 中的概率均为尺，所以m=P,=P: 高-应抽取00×208=10（人），高三应抽取}8侧 2 2080× 1B由题意可得2+品+4=格解得m=3, 208=108(人)，故②正确： 3 则B地被抽取的数量是18×2+3+4=6 对于③，甲被抽到的可能性为，100=0，乙被抽到的可 1 14.设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲，T乙，T两件产品， 能性为，8。=0甲和乙被抽到的可能性相等放③错误 则ac=2号分=后 所以正确的说法是①② 二、多项选择题 因为26=a+c,所以7m+7网=272， 【T甲+T2+T丙=16800， 9.AC:10.ACD:11.BC. 所以T2=1680=5600. 提示： 3 9.对于(A),根据抽样调查和普查的概念可知，调查一的 四、解答题 调查方式是普查，调查二的调查方式是抽样调查，故(A)正确； 15.解：(1)抽签法 对于(B),根据总体和样本的概念可知，总体是指该社区 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…， 所有60周岁以上老年人的体重，样本是指抽取的该社区500名 29,30: 60周岁以上老年人的体重，故(B)错误； 第二步：将30个号码分别写在30张外形完全一样的纸张 对于(C),结合已知条件和样本量的概念可知，样本量是 上，并揉成团，制成号签； 500,故(C)正确： 第三步：将30个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅拌； 对于(D),由于检测一批灯泡的寿命，具有损毁性，故只能 第四步：从盒子中逐个抽取8个号签，并记录上面的编号， 用抽样调查，故(D)错误。 编号对应的大学生就是选出的大学生志愿者成员 故选(A)(C) (2)随机数法， 100 10 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…， 10.依题意，抽样比为560+350+180=109 29,30: > 高一数学人教A(必修第二册)第36一39期 第二步：在随机数表中任选一个数作为开始，按照任意方 则x:y:z=0.425(a+b+c):0.475(a+b+c):0.1(a 向读数，比如从第8行第29列的数7开始，向右读； +b+c)=17:19:4. 第三步：每次取两位，凡是在01~30之外的数或者已读过 (2)依题意，n×0.75×0.5=75,解得n=200, 的数，都跳过去不做记录，依次可得到12,07,21,29,15,13,02， 故抽到的A会场的学生总数为50人， 09: 则高一年级人数为50×50%=25（人）， 第四步：找出以上号码对应的大学生，他们就是选出的大 高二年级人数为50×40%=20（人）， 学生志愿者成员， 高三年级人数为50×10%=5（人. 16.解：可以采用分层随机抽样的方法。 第39期2版 按照该公司员工的收入水平分成三层：高收人者、中等收 入者、低收人者， 专项小练一 高收人者为0名，占所有员工的比例为，0)=5%，为保 1.B;2.C;3.ABC;4.14. 5.解：(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得， 证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收入者所占的 0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1 比例也应为5%，即100×5%=5， +a×0.1=1,解得a=3. 所以应抽取5名高收入者比较合理。 (2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为 同理，应抽取15名中等收入者，80名低收入者， 0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6, 再对他们的具体收入状况分别进行调查 所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 17.解：(1)因为0<m≤72≤n,A,B两所高校中共抽取 0.6×10000=6000. 3名教授，B,C两所高校中共抽取5名教授， 专项小练二 所以高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校 1.A:2.B:3.CD:4.70:5.68. C中抽取3名教授， 6.解：(1)分数在[70,80)内的频率为1-(0.010+0.015 所以==解得m=610 +0.015+0.025+0.005)×10=0.3,所以第四组小矩形的高 为0.030，补全频率分布直方图如下图所示. (2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教 频率 授总数的了， 2 A组距 0.035--- 0.030---- 所以子(m+m）=72,解得m+n=108, 0.025 0.020 所以三所高校的教授的总人数为m+n+72=180. 0.015 0.010 18.解：(1)设登山组人数为x,游泳组中青年人、中年人、 0.005 老年人各占比例分别为a,b,c,则有 01 405060708090100成绩/分 x·40%+3xb=47.5%, (2)由频率分布直方图知， 4x 前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4， x·10%+3xc=109%, 4x 所以中位数在第四组。 解得b=50%,c=10%,则a=40%, 设中位数为70+x, 即游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为 则04+0030×=05解得=9。 40%,50%,10% (2)游泳组中，抽取的青年人人数为20×}×40%=60， 所以本次考试成绩的中位数为0+9.9 3 轴取的中年人人数为20×子×50%=75： 第39期3,4版 用样本估计总体、统计案例同步核心素养测评 抽取的老年人人数为20×子×10%=15 一、单项选择题 19.解：(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c, 1~4 BAAD 5~8 AAAC 则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c), 提示： 去B会场的学生总数为0.75(a+b+c), 1.由题意知(140-51)÷10=8.9， 则对应人数如下表所示： 所以分为9组比较合适. 高 高二 2.该组数据从小到大的排序是：4,5,5,6,7,7,8,9， 高三 A会场0.125(a+b+c) 且8×0.25=2， 0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c) B会场0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c)0.075(a+b+c) 则该组数据的25%分位数为3+5=5 2 高一数学人教A(必修第二册)第36一39期 3.因为落在[6,10)内的频率为0.08×4=0.32， 所以a=100×0.32=32. 对F()=08+9+12+2+13+16+16+16+18 因为落在[2,10)内的频率为(0.02+0.08)×4=0.4， +20)=14,(A)正确； 所以b=0.4 对于()=6+5+2x2+P+3×2+4+6) 4.由小到大排列的4个数据1,3,4，a,则a≥4， =13.4,(B)正确； 这4个数据的极差为a-1,中位数为；兰=子 对于(C),因为10×85%=8.5， 因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍， 所以85%分位数为第9个数据，即18，(C)正确； 所以a-1=2×子解得a=8 对于(D),16出现了3次，12只出现2次， 所以众数为16，(D)错误 5.由条形图得演讲人数为30， 故选(A)(B)(C). 由饼状图得演讲人数占比15%， 10.由频率分布表的性质得m=100-8-10-20-28- 因此法取的总人数为1裂-20。 12-6=16,(A)正确； 因为样本中观看比赛不低于4场的学生的频率为： 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为1-20%-20%- 16%+12%+6%=34%, 15%=45%,人数和为200×45%=90， 所以估计高一年级观看比赛不低于4场的学生约为： 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20. 1000×34%=340人，(B)正确； 6.因为男生30人，女生20人， 样本中，观看2场的人数为50×20%=10人，(C)错误； 则抽取的时候分层比为3：2， 样本中出现频率最高的为3， 即10个人中男生、女生分别抽取了6人和4人 故估计高一年级观看比赛场数的众数为3，(D)正确， 这10人答对题日的平均数为0×(6x10+4×15)=12, 故选(A)(B)(D) 11.由频率分布直方图可得：[50,60)，[60,70)，[70,80)， 所以这10人答对题目的方差为0×[1+(10-12)]+ [80,90),[90,100]的频率依次为10m,0.3,0.4,0.1,0.04. 0×[0.5+(15-12)2]=6.8 对于(A):因为10m+0.3+0.4+0.1+0.04=1, 所以m=0.016, 7.对于(A):由统计图可以得到，2023年第一，二季度的制 因为成绩落在[50,60)内的人数为16， 造业指数均高于50%，所以2023年第一，二季度的各月制造业 16 所以n=0.016x10=100,故(A)错误： 在逐月扩张，故(A)正确： 对于(B):由统计图可以得到，2023年10月份的制造业指 对于(B):估计全体学生该学科成绩的平均分为 数低于50%，故(B)错误； 0.16×55+0.3×65+0.4×75+0.1×85+0.04×95= 对于(C):由统计图可以得到，2024年1,2月份的制造业 70.6(分)，故(B)正确； 指数高于50%，故(C)错误； 对于(C):由选项(A)可得：成绩落在[50,60)的频率为0.16， 对于(D):由统计图可以得到，2024年4~6月份制造业指 所以估计全体学生中不及格的人数约为2000×0.16= 数呈现上升趋势，但是2024年4,5月份制造业指数均低于 320(人)，故(C)错误； 50%,即制造业景气水平较上月收缩，故(D)错误 对于(D):设该学科成绩为A等的最低分数为m, 因为[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率依次为0.4,0.1,0.04， 8.由这6周的周慢走里程的中位数为16， 则0.1+0.04=0.14<0.15<0.54=0.4+0.1+0.04， 可得””=16，所以m+n=32, 可知me[70,80),则(80-m)×0.04+0.1+0.04=0.15, 所以这6周的周慢走里程的平均数为 解得m=79.75, 11+12+m+n+20+27=17. 虽然79.75>79 6 但79.75是估计值，同时学生成绩均为正整数， 要使这6周的周慢走里程的标准差最小，需要(m-17)2+ 所以成绩为79分的学生该学科成绩有可能是A等，(D) (n-17)2最小， 正确， 又(m-17)2+(n-17)2=(m-17)2+(32-m-17)2 故选(B)(D) =2m2-64m+172+152, 三、填空题 故当标准差最小时，m=一2×2 -64 =16 12.183.5；13.9.5,28.5；14.29. 提示： 二、多项选择题 12.数据从小到大排列为：85,86,88,89,90,92,94,98， 9.ABC;10.ABD;11.BD. 提示： 8×50%=4,50%分位数为990=895， 9.将数据由小到大排列：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20. 8×80%=6.4,80%分位数为94， 高一数学人教A(必修第二册)第36一39期 则这8人成绩的50%分位数和80%分位数的和为183.5. 13.记20位病人的平均等待时间为x,等待时间的方差为，2， (2)=04+4+5+6+7+7+8+9+10+10)=7, 则=02.5×4+7.5×8+125x5+17.5×2+2.5 2=05+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7, ×1)=9.5, 4=0[4-7)2x2+(5-7)+(6-7)2+(7-7)2 2=20[25-95)2x4+(7.5-952×8+125- ×2+(8-7)2+(9-7)2+(10-7)2×2]=4.6, 9.5)2×5+(17.5-9.5)2×2+(22.5-9.5)2×1]=28.5, 克=6(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8- 所以估计该医院急救中心病人的平均等待时间为9.5，病 7)2×2+(9-7)2]=1.2. 人等待时间的方差为28.5. (3)由(2)知，>2，x甲=元2 14.假设五个数据按照由小到大排列为a,b,c,d,e, 因为这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7， 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数 所以c=6,d=e=7, > 4.6 3 所以最大的三个数的和为6+7+7=20， 1.2 因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等， (1)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且> 最大为4和5，所以这五个数的和一定大于20且小于等于29， 、 2,则乙的成绩比甲稳定； 则他们投中次数的总和最大是29. (ⅱ)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及 四、解答题 9环以上的次数甲比乙多，所以甲爆发力更强； 15.解：(1)由频率分布直方图可得(0.010+2a+0.025+ (ⅲ)乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第 0.035)×10=1,解得a=0.015. 六次以后就没有比乙少的情况发生， (2)由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀” 故确定人选时，甲更有潜力。 的频率为0.015×10=0.15 19.解：(1)作出频率分布直方图，如下图： 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 频率 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生 组距 人数为1200×0.15=180. 0.020 16.解：(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15, 0.010 故a=0.35,b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. 0.005 (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3 0 100120140160180200采购量（箱） ×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 根据上图，可知采购量在168箱以上（含168箱）的“熟 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4× 0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6. 客”人数为50×20×(0.005+0.020×180168）=17. 20 17.解：(1)由题意得 (2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为110×10+ r10(2a+0.020+0.030+b+0.005)=1, 130×10+150×5+170×20+190×5=7500(箱)， 5a 2b, 所以小张去年年底总的销售量为 解得a=0.010,b=0.025 (2)等级达到C及以上的占比为 7500÷号=1200（箱）. 12%+329%+37%=819%. (3)若不在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收入为 设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为xg, Y=12000×20=240000(元)； 易得50<x<60, 若在网上出售鱼卷，则今年年底的销售量为(12000+ 则(0.005+0.025+0.030+0.020)×10+(60-x)× 1000m)箱，每箱的利润为(20-m)元， 0.010=0.81,解得x=59, 则今年年底小张的收入为Y=(20-m)·(12000+ 所以该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为9g 1000m)=1000(-m2+8m+240)=1000[-(m-4)2+ 18.解：(1)将甲运动员的数据按从小到大排列如下： 256],当m=4时，Y取得最大值256000. 445677891010 因为256000>240000， 因为85%×10=8.5. 所以小张今年年底收入Y的最大值为256000元. 所以第9个数据是85%分位数， 所以甲运动员样本数据的85%分位数为10. 10