第9章 专题集训突破练-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

12.解：(1)众数大致的值就是样本数据的 核心素养培优·拓展提升 频率分布直方图中最高小长方形的中1.A2.1n43.229.5 点的横坐标.由直方图可估计出学生身 4.解：(1)由10(a+0.02+0.03+0.04+ 高众数应为174.5cm. a)=1,可得a=0.005, (2)在样本中，有50%的个体小于或等 故此次化学考试成绩的平均值为55× 于中位数，也有50%的个体大于或等 0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+ 于中位数，因此，在频率分布直方图中， 95×0.05=73分 中位数使得在它左边和右边的直方图的 (2)由频率分布直方图知，原始分成绩位 面积相等，由此可以估计中位数的值，如 于区间[90,100]的占比为5%，位于区 图，学生身高中位数约为171.55cm. 间[80,90)的占比为20%， 频率/组距 因为成绩A等级占比为15%，所以等级 0.08 0.07 0.06 A的原始分区间的最低分位于区间[80， 0.05 0.04 36 0.03 90), 0.02 0.220.22 0.01h 0.08 0.12 57162167172177182身高/cm 估计等级A的原始分区间的最低分为 (3)平均数是频率分布直方图的“重 90-15%5%×10=85, 20% 心”，是频率分布直方图的平衡点，因 已知最高分为98，所以估计此次考试化学 此，每个小长方形的面积与小长方形底 成绩A等级的原始分区间为[85,98]！ 边中，点的横坐标的乘积之和为平均数 (3)由98-88=100-T 的估计值.由直方图可估计学生身高的 88-85=-86,解得T=1160≈ 13 平均数为170.6cm. 89,该学生的等级分为89分 (4)因为样本数据的频率分布直方图只 9.2.4总体离散程度的估计 是直观地表明分布的形状，从直方图本 身得不出原始的数据内容，也就是说频 核心素养达标·夯实基础 率分布直方图损失了一些样本数据，得 1.C2.C3.C4.A5.B6.ACD 到的是一个估计值，且所得估计值与数 7.3.28.29.9.71.5110.乙、丁、戊 据分组有关，所以估计的值有一定的 11.解：(1)根据茎叶图，分数在[50,60)之 偏差. 间的女生人数为2，根据频率分布直方 图可得它所占的比率为0.008×10= 1.众数的估计值是频率分布直方图中最 0.08,故高三(1)班全体女生的人数为 高小长方形的中点的横坐标； 2 2.中位数左、右两侧直方图的面积相等； 0.08≈25. 规 3.平均数的估计值等于频率分布直方图 (2)茎叶图中可见部分共有21人，所以 律 中每个小长方形的面积乘小长方形底边 总 分数在[80,90)之间的女生人数为25 中点的横坐标之和， 结 利用频率分布直方图求得的众数、中位 21=4,所以数在[80,90)之间的频率为 数、平均数均为估计值，往往与实际数据 25 =0.16,故频率分布直方图中[80， 得出的不一致，但它们能粗略估计其众 数、中位数和平均数 90之间的矩形的高为006-0.016， 187 (3)由(2)及茎叶图知，众数所在区间为 核心素养培优·拓展提升 [70,80),所以估计该班的测试成绩的1.A2.C3.B4.AC5.ABC 众数为75.把这25个数从小到大排列，6.解：(1)频率分布直方图如图所示： 中位数为第13个数，结合茎叶图可得 频率组距 中位数是73.估计高三(1)班全体女生 的一次数学测试成绩的平均数为55× 元+65×3+75×9+85×号+95× 号=8.8 0002 12.解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均数： 01 758595105115125质量指标值 元，=0×(195+194+196+193+ (2)质量指标值的样本平均数为 x=80×0.06+90×0.26+100×0.38十 194+197+196+195+193+197)= 110×0.22+120×0.08=100. 195,乙厂10个轮胎宽度的平均数： 质量指标值的样本方差为 z。=0×(195+196+193+192+195+ s2=(80-100)2×0.06+(90-100)2× 194+195+192+195+193)=194. 0.26+(100-100)2×0.38+(110 (2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196] 100)2×0.22+(120-100)2×0.08=104. 内的数据为195,194,196,194,196,195， 所以这种产品质量指标值的平均数的估 平均数：五=日×(195十194+196十 计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比 194+196+195)=195, 例的估计值为0.38+0.22+0.08= 方差：号=日×[(195-195)2+(194- 0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认 195)2+(196-195)2+(194-195)2+ 为该企业生产的这种产品符合“质量指 标值不低于95的产品至少要占全部产 (196-195)+(195-195)2门=号， 品的80%”的规定。 乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内 专题集训突破练 的数据为195,196,195,194,195,195， 平均数：=合×(195+196十195十 专题1抽样方法 例1③ 194+195+195)=195, 抽样调查是获取数据的重要途径，而样本 方差：号=日×[(195-1952+（196 名师点晴 具有随机性，其好坏直接影响统计分析结 论的可靠性，所以要根据实际情况合理选 195)2+(195-195)2+(194-195)2+ 择抽样方法. (195-195)2+(195-195)]=3, 跟踪训练1C解析：因为小学、初中、 ,两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但 高中三个学段学生的肺活量有较大差 乙厂的方差更小，.乙厂的轮胎相对 异，所以学段对统计结果影响较大.因 更好. 为同一学段男、女生肺活量差异不大， 188 所以性别对统计结果无明显影响，所 以最合理的抽样方法是按学段分层随 机抽样」 例2B解析：根据随机数表的读数规则， 依次从随机数表中读出的有效编号为 32,12,31,02,01,04,15,20,得到选出来 的第8个个体的编号为20.故选B. 跟踪训练2AC解析：A选项，男生抽取 600 100×600+400=60,女生抽取100- 60=40人，A选项正确.C选项，样本平 均复为0×170+0×160=16，可以 用样本平均数估计总体的平均数，C选 项正确：B选项，样本方差为0[15十 a70-16)]+0[30+160-16)]- 93+132=45,所以B选项错误. 55 D选项，男生甲被抽到的概率为品 立D递项错误，故选AC 专题2用样本估计总体 例3(1)0 1 2 (2)甲 名 平均数、众数、中位数都是反映数据的集中 趋势，极差、方差（或标准差）反映的是数据 的离散程度，各有特点和侧重. 跟踪训练3A解析：对于A,去掉最高 分、最低分后，中位数仍旧是处于中间位 置（从小到大排列）的那个数，不发生改 变；对于B,去掉最高分、最低分后，平均 数是否发生改变与去掉的分数有关，不 能确定是否变化；对于C,去掉最高分、 最低分后，方差的确定和平均数、数据个 数有关，因此方差也不确定；对于D,去 掉最高分、最低分后，极差可能发生改 变，也可能不改变 例4解：(1)分组的组数为7，组距为4，频 (2)频率分布直方图如图： 率分布表如下： 个频率组距 分组 频数 频率 0.50 0.40 0.30 [8,12) 0.025 0.20 0.10 [12,16) 9 0.225 0.511.522.533.544.5人月用水量 [16,20) 13 0.325 众数为2+2.5=2.25， 2 [20,24) 4 0.100 月用水量在[0,2)的频率为0.04十 [24,28) 6 0.150 0.08+0.15+0.22=0.49, [28,32) 6 0.150 所x0.5-0.49=0.02, 0.5 [32,36] 1 0.025 所以中位数为2十0.02=2.02. 合计 40 平均数为0.04×0.25+0.08×0.75+ 0.15×1.25+0.22×1.75+0.25× (2)略 2.25+0.14×2.75+0.06×3.25+ (3)根据频率分布直方图的各组中值估 0.04×3.75+0.02×4.25=2.02. 计总体的平均数为20.7，方差为37.11； (3)人均月用水量在3t以上的居民所占 根据实际结果算得的平均数为20.375， 的比例为6%十4%+2%=12%， 方差为41.38，比较略. 即大约有12%的居民月用水量在3t以 名师 上，则88%的居民月用水量在3t以下， 按照所学的统计知识解决实际问题。 因此政府的解释是正确的. 例5解：(1)30×25%=7.5，取第8项数 跟踪训练4 解：(1)频率分布表如下： 据，所以第一、四分位数为65；30×50% =15,取第15,16项数据的平均数，所以 分组 频数 频率 第二、四分位数为7576=75.5130× 「0,0.5) 4 0.04 2 [0.5,1.0) 8 75%=22.5,取第23项数据，所以第三、 0.08 四分位数为85. [1.0,1.5) 15 0.15 (2)30×10%=3,取第3,4项数据的平 [1.5,2.0) 22 0.22 均数，所以第10百分位数为55十58 2 [2.0,2.5) 25 0.25 56.5. [2.5,3.0) 14 0.14 (3)30×95%=28.5,取第29项数据，所 [3.0,3.5) 6 0.06 以第95百分位数为99！ [3.5,4.0) 4 0.04 求总体百分位数的估计，首先要从小到大 [4.0,4.5] 排列数据，然后计算出i=n×p%,当i不 2 0.02 名师 睛 是整数要取整，颜率分布直方图要计算出 合计 100 1 比例值 189 跟踪训练5解：因为当p%=25%时，i= np%=12×0.25=3,所以25%分位数 易 本题的第二个空易错认为是0，有两种想 法：一是简单随机抽样的“等可能性”；二是 为51↓53=52(mm. 2 分 认为某一特定小球前两次未被抽到，则第 三次被抽到的可能性是10X9×8一10 9X8 1 因为当p%=50%时，i=np%=12× 0.5=6, 3.解：都不是简单随机抽样. 所以50%分位数为5656=56(mm). 2 (1)中，指定2名成绩优异的学生，不满 当p%=75%时，i=np%=12×0.75=9, 足等可能抽样的条件. 所以75%分位数为5864=61(mm). (2)中，一次性拿出3个，不满足逐个抽 2 取的条件 易错排查矫正练 (3)中，不满足不放回的条件。 误警 简单随机抽样的四个特点必须都满 易错点1对随机抽样理解不透彻致误 区示 足才是简单随机抽样，缺一不可. 1.C解析：对于简单随机抽样，在抽样过 易错点2随机数表应用错误 程中每一个个体被抽到的机会都相等（随 4.01解析：由题意，得选取方法是从随机 机抽样的等可能性).若样本容量为n,总 数表第1行的第5列和第6列数字开始 体的个数为N,则用简单随机抽样时，每 由左到右依次选取两个数字，则选出的 一个个体被抽到的可能性都是积，体现了 数字分别为08,02,14,07,01,04所以选 这种抽样方法的客观性和公平性，因此每 出来的第5个个体的编号为01. 5.38解析：题中所给的表为随机数表的 人入选的可能性都相等，且为2 .5 最后5行，所以随机数表的倒数第5行 本题易出现不理解筒单随机抽样，而 为第①行，第11列为第11个数字，即95 易 分 弄错每人入选的可能性，认为不相等 33952200后的1， 而致误， 因为编号为两位数，所以一次读两个 3 数字， 2.10 解析：因为简单随机抽样过程 所以抽取的号码依次为187472001838，·， 中每个个体被抽到的可能性均为行，所 所以抽取的样本依次为18,00,38，…， 所以抽取的第三个样本号码是38. 以第一个空填品因本题中的抽样是不 易分 容易忽略重复出现的数字不能再取 放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球 错析而致误。 易错点3对分层抽样不清楚比例分配致误 被抽到的可能性为0，第二次抽取时，剩 6.C解析：直接采用分层随机抽样，老年 余9个小球，每个小球被抽到的可能性 人、中年人和青年人中应抽取的人数分 为日，第三次抽取时，剩余8个小球，每 36 36 别为28+54+87×2≈6,28+54+8× 个小球被抽到的可能性为日 36 54≈12,28+54+87X81≈18，故选C. 190 分层随机抽样的一个很重要的特点是每个 个体被抽到的概率是一样的.当按照比例 计算出的值不是整数时，一般采用四舍五 入的方法取值，若四合五入后抽到的样本 警 》 量与要求的不相同，则可根据问题的实际 意义适当处理，使之相同，这只是细节性问 题，但未改变分层随机抽样的本质. 7.560解析：设该校高二年级的女生人数 为x,则男生人数为1200一x, 150 1 比例为1200=8， 女生比男生少抽了10人， ÷写=日120-)-10，解得x=560 易 一定要牢记分层随机抽样就是按比例抽 警 样，因此列出比例式即可.易错点是所列比 示 例式中“=”两边标准不同. 易错点4对频率分布直方图理解不清致误 8.A解析：由频率分布直方图，得体重在 62~74kg的男生人数的频率为(0.09+ 0.04十0.02)×4=0.6，所以估计该校高 三男生体重在62~74kg的人数为 0.6×600=360,故选A. 易 注意颜率分布直方图中的纵轴表示的是 错 分 组距，不是频率，频率是指小长方形的面 频率 析 积，往往因混淆而出错. 9.(1)0.0044(2)70 解析：(1)由频率 分布直方图总面积为1，得(0.0012十 0.0024×2+0.0036+x+0.0060)× 50=1,解得x=0.0044. (2)用电量在[100,250)内的频率为 (0.0036+0.0044+0.0060)×50= 0.7,故所求户数为100×0.7=70 易 分 在颜率分布直方图中，将纵轴当作频 错 新 率而出错专题集训 专题①抽样方法 例1简单随机抽样，分层随机抽样之间 的共同点是 .(填序号) ①都是从整体中逐个抽取； ②将总体分成几层，然后按各层个数之比 抽取； ③抽样过程中，每个个体被抽到的可能性 相同. 跟踪训练1从某地区中小学生中抽取部 分学生，进行肺活量调查.经了解，该地区小学、初 中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而 同一学段男、女生的肺活量差异不大.在下面的 抽样方法中，最合理的抽样方法是() A.抽签法 B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 D.随机数法 例2某市举行以“学习党的二十大精神， 培根铸魂育新人”为主题的中小学教师演讲比 赛.若将报名的50位教师编号为00,01，…， 49,利用下面的随机数表来决定他们的出场顺 序，选取方法是从下面随机数表第1行第5列 开始横向依次选取两个数字，重复的剔除，则 选出来的第8个个体的编号为() 456732121231020104 52152001125129 320492344935820036 23486969387481 A.12B.20C.29 D.23 跟踪训练2（多选)某校高二年级有男生 600人，女生400人，张华按男生、女生进行分 专题集训突破练了 突破练 层，通过分层随机抽样的方法，得到一个总样 本量为100的样本，计算得到男生、女生的平 均身高分别为170cm和160cm,方差分别为 15和30，则下列说法正确的有() A.若张华采用样本量比例分配的方式进 行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和 40人 B.若张华采用样本量比例分配的方式进 行抽样，则样本的方差为37.8 C.若张华采用样本量比例分配的方式进 行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本 平均数估计总体的平均数 D.若张华采用等额抽取，即男生、女生分 别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为 专题2用样本估计总体 例3(1)如果一组样本数据a1,a2,…,a7 的平均数是6，方差是2，那么24-3,0-3， 1 1 …,2@,一3的平均数与方差分别是一， (2)对甲、乙两所学校某年的高考数学成 绩进行统计分析，得到样本平均分为x甲=85， xz=85,样本方差分别为s屏=20.9，s2= 34.5,由此估计两校考生中成绩较为均衡的是 校 跟踪训练32020年2月8日，在韩国首 尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑 比赛中，中国组合隋文静、韩聪以总分217.51 分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得 四大洲冠军.中国另一对组合彭程、金杨以 ·数学· 99 、第九章统计 213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！ 五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样 滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位 评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的 成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个 最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个 原始评分相比，不变的数字特征是() A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 例4下面是某校40个学生在课外读物 上的支出（单位：元）：23,31,29,24,27,18,21， 14,34,27,22,25,26,17,27,18,18,29,21,18, 12,19,31,14,28,19,13,12,13,18,19,13,12, 16,12,31,10,17,18,19.要求将数据分成 7组. (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图和频率折线图； (3)根据直方图的各组中值估计总体平均 数及方差并与实际结果进行比较. 跟踪训练4某地区100位居民的人均月 用水量（单位：t)的分组及各组的频数如下： [0,0.5),4;[0.5,1.0),8;[1.0,1.5),15; [1.5,2.0),22;[2.0,2.5),25;[2.5,3.0),14 [3.0,3.5),6;[3.5,4.0),4;[4.0,4.5],2. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图，并根据频率分 布直方图估计这组数据的平均数、中位数、 众数； (3)当地政府制定了人均月用水量为3t 的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说， 100·数学· 85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对 吗？为什么？ 例5下表为30位学生参加语文竞赛的 成绩，并由小到大排列.求： 4249555860 6263 6566 68 70 7072 74 75 7676 77 79 80 81 82 85 91 96 979798 99100 (1)第一、二、三四分位数； (2)第10百分位数； (3)第95百分位数. 跟踪训练5下表记录了某地区一年之内 的月降水量. 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 月降水 58 48 53 45 56 56 量/mm 月份 7月8月 9月 10月 11月12月 月降水 51 71 56 53 64 66 量/mm 把这组数据由小到大排序，得45,48,51,53， 53,56,56,56,58,64,66,71,求该地区的月降 水量的25%，50%，75%三个分位数.