第38期 随机抽样-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第二册同步学案（人教A版）

16.(15分)某公司有1000名员工，其中50名属于高收入者， 18.(17分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组 19.（17分)某校高中年级举办科技节活动，开设A,B两个会场， 150名属于中等收人者，800名属于低收入者.要对该公司员工的具 和游泳组，且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中，青 其中每个同学只能去一个会场，且将25%的同学去A会场，剩下的 体收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样抽样比较合理？ 年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参 同学去B会场.已知A,B会场学生年级及比例情况如下表所示： 加活动总人数的4，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人 高一 高二 高三 A会场50% 40% 10% 占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程 B会场40%50%10% 度，现用分层随机抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x,y,, 为200的样本.试回答下列问题： 利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为 (1)游泳组中青年人、中年人、老年人分别所占的比例； 的样本 (2)游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数 (1)求x:y:z的值 (2)若抽到的B会场的高二学生有75人，求n的值以及抽到的 高中数学 A会场高一、高二、高三年级的学生人数 必修第二册 17.(15分)为了对某课题进行研究，分别从A,B,C三所高校中 用分层随机抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m (人教 名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授（其中0<m≤72≤n). (1)若A,B两所高校中共抽取3名教授，B,C两所高校中共抽 A 版 取5名教授，求m,n: 同步 (2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数 核 的，求三所高校的教授的总人数 高中数学·必修第二册（人教A版）同步棱心素养测评 心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 羞评橘 2026年3月20日·星期五 高中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 38期总第1182期 人教A 0351-5271248 必修（第二册）】 高德荣： 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-201 情系独龙，初心如磐 解：第二次抽取时，余下的每个个体被抽取抽取20份进行调查分析，以便促进教学，请你帮 高德荣，一心为民 简单随机抽样 到的概率为，则4-}，即m-1=65,则忙设计一个合适的抽样方案，并写出具体的操 的“老县长”，将自己的 n-1 作步骤 =66 -生都奉献给了独龙族 题型辰播 解：总体容量不大，样本容量小，可用抽签法 所以在整个抽样过程中，每个个体被抽取 步骤如下： 的发展.他信念坚定，把 ©江西孙耀明 到的可能性为4 ①编号：先将500份试卷编号为1,2,3,4， 带领独龙族群众摆脱贫 一、简单随机抽样的判断与应用 …,500: 困、过上好日子作为奋 例1 下列抽取样本的方式是简单随机抽 二、抽签法的应用 ②制签：做好形状，大小相同的号签，分别 斗目标和人生梦想，39 样的有 例3下列抽样试验中，适合用抽签法的是标上这500个数； 年如一日坚守在每年大 ①从无限多个个体中抽取50个个体作为 ③搅匀：将这些签放在一个盒子里，进行均 雪封山长达半年、条件 样本； (A)从某厂生产的3000件产品中抽取600匀搅拌； 极其艰苦的独龙江乡 ②箱子里有100支铅笔，从中选取10支进行 件进行质量检验 ④抽签：从装有号签的盒子里连续抽取20 检验，在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再 (B)从某厂生产的两箱（每箱15件）产品个签，然后对这20个签所构成的样本进行分析， 他事业心强，全身 放回箱子里： 中抽取6件进行质量检验 进而决策， 心投入整乡推进、整族 ③从50个个体中一次性抽取5个个体作为 (C)从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件） 三、随机数法的应用 帮扶的攻坚行动中，为 样本 产品中抽取6件进行质量检验 例5总体由编号为01,02，…，19,20的20 了改善独龙江乡的基础 (A)0个 (B)1个(C)2个(D)3个 (D)从某厂生产的3000件产品中抽取10个个体组成利用下面的随机数表选取5个个 设施，他积极争取项目 解：①不满足样本的总体数有限的特点； 件进行质量检验 体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第 资金，扩建卫生院、学 ②不满足不放回抽取的特点； 解：(A)中总体容量较大，样本量也较大， 6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选 校，新建电站和吊桥在 ③不满足逐个抽取的特点 不适宜用抽签法： 出来的第5个个体的编号为 他的努力下，独龙江乡 所以①②③都不是简单随机抽样， (B)中总体容量较小，样本量也较小，可用 78166572080263140702436997280198 的交通、教育、医疗等方 故选(A) 抽签法； 32049234493582003623486969387481 面都有了显著的改善 例2利用简单随机抽样的方法，从n个个 (C)中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显 (A)08(B)07(C)02 (D)01 高德荣责任心重 体(n>14)中抽取14个个体，若第二次抽取时， 区别，不能用抽签法； 解：从随机数表第1行的第5列和第6列数 余下的每个个体被抽取到的概率为了，则在整 (D)中虽然样本量较小，但总体容量较大， 字开始由左到右依次选取两个数字， 常说“戴着落后的帽子 不适宜用抽签法 则选出的数字为08,02,14,07,01 一点也不光彩”，他敢做 个抽样过程中，每个个体被抽取到的可能性为 故选(B) 故选出的第5个个体的编号为01 脊梁，勇于担当，积极带 例4期中考试后，某校欲从500份试卷中 故选(D) 领群众发展产业，如套 (4)从容器中每次抽取一个号签，连续抽取 (3)在各层分别用抽签法或随机数法抽取 种草果、花椒、重楼等 还推动了旅游产业发 正确选择 3次，并记录上面的编号 样本 (5)所得号码对应的3辆汽车就是要抽取 (4)综合每层抽样，组成样本 展，为独龙族的长远发 抽样方 的对象 评注：当总体由差异明显的几部分组成时 展奠定了基础 评注：当总体中的个体数较少时，选择使用选择分层随机抽样 他作风朴实，四处 ○陕西冯丽云 简单随机抽样，常用的简单随机抽样有抽签法 例3某社区有700户家庭.其中高收入家庭 奔忙却从不为自己伸手 、两种抽样方法的联系与区别 和随机数法.简单随机抽样中每个个体被抽取225户，中等收入家庭400户，低收人家庭75户 张口，严于律己，严格管 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 的可能性都相等，均为尺 为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取 总体中的 好家人，始终保持着共 -个样本量为100的样本，记作①；某中学高 简单随 抽样过 从总体中逐个 个体数较 例2一个单位有职工500人，其中不到35 产党员的康洁奉公的优 机抽样 不放回地抽取 年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调杳 程中每 各层抽样时少 岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及 个个体 投篮命中率情况，记作②.为完成上述两项抽 良作风，以实际行动赢 将总体分成几 采用简单随总体由差 分层 被抽取 以上的有95人，为了了解与身体状况有关的某 样，则应采取的抽样方法是 得了独龙族群众的衷心 层（各层互不 机抽样 异明显的 随机 的机会 项指标，要从所有职工中抽取100名职工作为样 分析：①中总体是由差异明显的几个部分 交又)，分层进 几部分组 爱戴和拥护 抽样 均相等 本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 行抽取 组成，应采用分层随机抽样；②中总体容量和样 高德荣用自己的行 分析：由于职工年龄与该项指标有关，而年 本量都很小，应采用简单随机抽样 二、典型例题 龄由差异明显的几部分组成，所以采用分层随 动诠释了共产党员的初 (A)①简单随机抽样，②分层随机抽样 例1要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机 机抽样 心和使命，彰显了一心 (B)①分层随机抽样，②简单随机抽样 抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并 解：用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下： (C)①简单随机抽样，②简单随机抽样 为民的高尚情怀，是我 写出抽样过程 (1)分层.按年龄将500名职工分成三层： (D)①分层随机抽样，②分层随机抽样 们在新时代实现中华民 分析：由于总体中的个体数为30，故使用抽不到35岁的职工，35岁至49岁的职工，50岁及 解：对于①，总体由高收人家庭、中等收入 族伟大复兴征程中的学 签法，抽样时将30辆汽车编号为1,2，…，30，抽以上的职工 家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，且 习榜样，激励着我们为 取3个编号，对应的汽车组成样本 (2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为所调查的指标与收人情况密切相关，所以应采 祖国的繁荣富强贡献自 解：应使用抽签法，步骤如下： 8-5则在不到35岁的眼工中抽取125×兮 用分层随机抽样： 已的力量. (1)将30辆汽车编号，号码是1,2,3，…，30 对于②，总体中的个体数较少，且所调查内 (2)将1~30这30个编号写到大小、形状 =25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280× 容对12名被调查人员是没有明显差异的，应采 1 都相同的号签上. =56(人)；在50岁及以上的职工中抽取95× 用简单随机抽样。 (3)将写好的号签放人一个不透明的容器 评注：弄清两种抽样方法的使用范围和实 中，并搅拌均匀 =19(人) 际情况是灵活选用抽样方法的前提 素养专练 数理极 专项小练一、简单随机抽样 专项小练二、分层随机抽样 1.为了解某校高中3000名学生的身高情况，从中抽取了100名学生进 1.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康 行调查，则这100名学生的身高是 ( 情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样 (A)总体(B)样本 (C)样本量 (D)个体 方法是 () 2.从总体中个体数为N的一批零件中，采用简单随机抽样的方法抽取 (A)普查 (B)抽签法 一个样本量为20的样本，若每个零件被抽到的可能性都为0.4，则N的值为 (C)随机数法 (D)分层随机抽样法 2.树人中学田径队有男运动员30人，女运动员20人，按性别进行分层， (A)100 (B)50 (C)40 (D)30 用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为10的样本，则应抽 3.（多选)下列是从总体中抽得的样本，简单随机样本为( 取男运动员的人数为 (A)总体编号为1~75，任意选出编号范围内的10个数字作为抽中的 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 编号 3.（多选)珠江源位于云南东部曲靖市以北47公里处，景区森林茂密， (B)总体编号为1~75，在0~99中产生随机整数r,若r=0或r>75 溪流淙淙，有“一水滴三江，一脉隔双盘”的奇异景观其美景吸引着大批的 则舍弃，重新抽取 游客前往参观，某旅行社分年龄段统计了前往珠江源的老、中、青旅客的人 (C)总体编号为1~75，在0~99中产生随机整数r,r除以75的余数作 数比为5：2：3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若 为抽中的编号.若余数为0，则抽中75 青年旅客抽到90人，则下列说法正确的是 () (D)总体编号为6001~6876，在1~876范围内产生一个随机整数r, (A)被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200 把r+6000作为抽中的编号 (B)n=300 4.有如下抽取样本的方式： (C)中年旅客抽到40人 ①从无限多个个体中抽取100个个体： (D)老年旅客抽到150人 ②某班45名同学，指定个子最高的5人参加某活动； 4.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职 ③从50名大学生中，随机抽取5人调查其晚间休息质量 工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用按比例分层随机抽样的方法 其中属于简单随机抽样的是■ （填序号) 从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 5.现利用随机数表法从编号为00,01,02，…，18,19的20支水笔中随机 5.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分 选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依 南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为200，则北 次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 卷录取人数为 95226000498401286617516839682927 6.某城市有210家百货商店，其中大型商店20家、中型商店40家、小型 43772366270966239258095643890890 商店150家，为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本， 06482834597414582977814964608925 按比例分配分层随机抽样的方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？ 6.现有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个人 写出抽样过程 样.选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程. 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 第37期3,4版参考答案 (2)解：因为c=所以mB=压 19.(1)解：由四边形BCC1B1为正方形，可得B1C1BC1, 在长方体ABCD-A1B1C,D1中，AB⊥平面BCC1B1 一、单项选择题1~4BBAD5~8CABC 因为S=inB=e:5,所以ac:8 又B1CC平面BCC1B1,所以B1C⊥AB. 二、多项选择题9.CD:10.ABC;1L.ABD. 因为AB O BC1=B,AB,BC1C平面ABC1 三填空题215mm,13之；4(-云，-22 又因为2=a2+2-2 accos B=(a+c)2-2ac(1+c0sB) 所以B,C⊥平面ABC1, 2(a+c)=3b, 又AC1C平面ABC1,所以B,C⊥AC1, 四、解答题 所以=（学）-2x8×+）所服6=4 即异面直线B,C与AC,所成的角的大小为90 15.解：(1)设b=(x,y), 因为a∥b,所以y=2x 18.(1)证明：如右图，取AB的中点 (②)证明：当m=万时，-号 又1b1=25,所以x2+y2=20. ②M及CD的中点N,连接PM,PN,MN 因为BC-1,所以能-S-2, 由①②联立解得b=(2,4)或b=(-2,-4). 由△PAB是正三角形，四边形ABCD是 (2)由(2a+c)⊥(4a-3c)得(2a+c)·(4a-3c)=8a2- 正方形，得AB⊥PM,AB⊥MN 所以Rt△ABC∽Rt△BCM,则∠CAB=∠MBC, 又PM,MWC平面PMWN,PM∩MN 所以∠MBC+∠ACB=∠CAB+∠ACB=90°，即AC⊥BM 3c2-2a·c=0,由1a1=5,1cl=√10，解得a·c=5, =M,所以AB⊥平面PMN. 在长方体ABCD-A1B,CD1中，CC1⊥平面ABCD, 所以o0==受.0e[0,, ac 因为AB∥CD,所以CD⊥平面PMN 又BMC平面ABCD,所以CC1⊥BM. 又PNC平面PMN,所以CD⊥PN, 因为AC∩CC1=C,AC,CC,C平面ACC, 所以a与c的夹角0=年 因为N是CD的中点，所以PC=PD. 所以BM⊥平面ACC1, (2)解：过B作BH⊥平面PCD,垂足为H,连接PH,∠BPH为 又AC,C平面ACC1,所以BM⊥AC: 16.(1)解：因为CD∥平面PB0,CDC平面ABCD 同理可证D1M⊥AC1, 且平面ABCD∩平面PBO=BO,所以BO∥CD, 直线PB与平面PCD所成的角，则sin∠BPH=B PB 又D1MnBM=M,D1M,BMC平面BMD1, 又BC∥AD,所以四边形BCDO为平行四边形 过M作MF⊥PN于F, 所以直线AC1⊥平面BMD1· 则BC=D0,而AD=3BC,所以AD=3D0, 由CD⊥平面PMN及MFC平面PMN得CD⊥MF (3)设AC1与平面B1CD,的斜足为0， 即点0是靠近点D的线段AD的一个三等分点 又MF⊥PN,PN,CDC平面PCD,PN O CD=N, (2)证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面 则MF⊥平面PCD 因为m==号·1m1== ABCD=AD,ABC底面ABCD,且AB⊥AD, 由AB∥CD,ABt平面PCD,CDC平面PCD VA-BICD=VAnCD-AIBICID-VB-ABG-Ve-CDICI-V-AD 所以AB⊥平面PAD.又PDC平面PAD,所以AB⊥PD 得AB∥平面PCD. 又PA⊥PD,且AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB. 于是点B到平面PCD的距离BH等于点M到平面PCD的距离MF 又PDC平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD. 设CD=2,则PD=5,PA=PB=AB=AD=BC=MN= 所以VA-1c,=2VG1-B1cm, 17.()证明：2acos2号+2co2=a(1+cosC)+c(1+ 2,计算得PM=√3，P=2, 则A0=2C0. 若Va-1G=Va1-P cosA)=a+e+acos C+ccosA=36 在等腰三角形PMN中可算得Mr: 则G-Bcm1=p-m,故C0=P0, 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 所以在线段AC:上取一点P,要使三棱 由正弦定理及sin(A+C)=sinB可得aeos C+ccosA=b, 39 锥B,-CD1C1与三棱锥B,-CDP的体积相 所以a+c=26,即2(a+0)=36 8 车，期P为0的中点脚光号 6.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5. 现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中A种型 (C)丙应付16说钱 随机抽样同步核心素养测评 号的产品有16件，则样本容量n= (D)三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 ( (A)40 (B)60 (C)80 (D)100 11.某学校共3000名学生，为了调查本学校学生携带手机进校园 ©数理报社试题研究中心 7.有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统 情况，对随机抽出的500名学生进行调查，调查中使用了2个问题，问 计如下： 题1：你生日的月份是否为奇数？问题2：你是否携带手机？调查人员给 第I卷选择题（共58分） 被调查者准备了一枚质地均匀的硬币，被调查者背对着调查人员掷 数据x 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 个数 800 1300 次硬币，如果正面朝上，则回答问题1；如果反面朝上，则回答问题2. 900 1.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是具有我国独立自 平均数 78.1 85 91.9 共有175人回答“是”，则下列说法正确的有 (A)估计被调查者中约有175人携带手机 主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，则“中国天眼' 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为 (B)估计本校学生约有600人携带手机 获取数据的方式是 (A)92.16 (B)85.23 (C)估计该学校约有20%的学生携带手机 (A)调查 (B)试验 (C)84.73 (D)77.97 (D)估计该学校约有10%的学生携带手机 (C)观察 (D)查询 8.某中学高一年级有20个班，每班50人：高二年级有24个班，每 高 中 班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共 数学 2.①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 抽取208人进行视力调查，若采用分层随机抽样的方式进行抽样，则 高中数学 成绩在90~100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关 下列说法：①甲乙两人可能同时被抽取；②高一、高二年级分别抽取 必修第一 考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100m接力赛 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 100人和108人；③乙被抽到的可能性比甲的大.其中正确的有 的6支队伍安排跑道.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为( 12.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，用抽签法、随机 必修 第 (A)分层随机抽样，简单随机抽样 数法和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽 册 (A)① (B)①③ (C)①② (D)①②③ 册 (B)简单随机抽样，简单随机抽样 中的概率分别为p1P2P,则p1P2P3的大小关系为 教 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 13.某连锁超市在A,B,C三地的数量之比为2：m:4,现采用分层随 教 A (C)简单随机抽样，分层随机抽样 9.为了了解某社区60周岁以上老年人的体重，进行如下调查： 机抽样的方法抽取18家该连锁超市进行调研，已知A地被抽取了4 A 版 (D)分层随机抽样，分层随机抽样 调查一：对该社区所有60周岁以上老年人的体重进行调查； 家，则B地被抽取的数量是 版 同 3.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三 调查二：对该社区部分60周岁以上老年人(500名)的体重进行 步 14.一工厂生产了16800件某种产品，它们分别来自甲、乙、丙3 同 步 核 年级有学生1500人，现用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为调查 条生产线为检查这批产品的质量，决定采用分层随机抽样的方法进 核 素 720的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生人数为 ( 关于上述调查，下列说法正确的是 ）行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a,b,c,且 养 (A)180 (B)240 (C)480 (D)720 (A)调查一是普查，调查二是抽样调查 素养 2b=a+c,则乙生产线生产了 件产品 评 4.某校要从高一、高二、高三共219名学生中选取5名组成志愿 (B)调查二中的总体是指该社区抽取的500名60周岁以上老年 四、解答题：本题共5小题，共77分. 团，若先用简单随机抽样的方法从219名学生中剔除19名，再从剩下 人的体重 15.（13分)某高校运动会期间，从医学院报名的30名大学生中 的200名学生中按分层随机抽样的方法抽取5名，则每名学生入选的 (C)调查二中的样本量是500 选8人担任志愿者，请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案 可能性 (D)检测一批灯泡的寿命宜采用调查一的调查方式，以使收集的 数据更精确 (A)都相等且为219 5 (B)都相等且为40 ,1 10.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五 (C)不完全相等 (D)均不相等 百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱 5.总体由编号为01,02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机 欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350 数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由 钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持 左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( 钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是 随机数表中第1行至第2行的各数如下： 17121340332038261389510374177637 (a)甲应付5引锡钱 1304077421193056 6218373596835087 (A)20 (B)26 (C)17 (D)03 (®)Z乙应付32得钱高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 数理极 答案详解 2025~2026学年 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期(2026年3月) 第36期3,4版 对于(D),因为I∥AC,又ACC平面ACD,I￠平面ACD, 所以l∥平面ACD,即(D)正确. 立体几何初步核心素养综合测评 7.如图4，在平面ABB1A中过点P D 一、单项选择题 作PP1⊥AB交AB于点P,连接PO, B A1 1~4 CCBC 5~8 CDAA 由正方体的性质可知PP,上平面 提示： ABCD,则∠POP即为直线OP与平面 D 1.由题意可知，若三点分布在平面B的同侧，此时平面~ ABC所成角， ∥平面B;若三点分布在平面B的两侧，此时平面α与平面B相 PP P B 交.综上，平面a与平面B平行或相交 则tan∠POP,=tan0= OP 图4 2.结合题意由“m上a”能推出“m上n”, 设正方体ABCD-AB,C1D1的棱长为2，则1≤OP,≤√2， 由“m⊥n”不能推出“m⊥a”,也可能m∥a或相交， 所以当OP=1时，tan0取得最大值， 所以“m上a”是“m上n”的充分不必要条件 此时0取最大值，P,为AB的中点， 3.由题设，上底面积为S,=225cm2, 下底面积为S2=144cm2, 又AP=AMB,所以当A=分时0取最大值 所以1平升为号×10×(25+×1西+14)= 8.如图5，设BD,C'D的中点分别 为01,02，则0102∥CB, 02 1830cm3,约为1.8L 因为平面C'BD⊥平面ABD,C'B 4.如图1，取B,C的中点E,连接BE,DE,则AC1∥DE,则 ⊥BD,平面CBD∩平面ABD=BD, D AC∥DE,则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的 C'BC平面C'BD, 角.由条件可知BD=DE=EB=√2，所以∠BDE=60°. 所以C'BL平面ABD, 图5 故O1O2⊥平面ABD, 故02C'=02B=02D, 因为ADC平面ABD,所以C'B⊥AD, 又AD⊥AB,AB∩C'B=B,AB,C'BC平面ABC, 所以AD⊥平面ABC', B 又ACC平面ABC',所以AC'⊥AD, 图1 图2 故02A=02C'=02D, 5.如图2，延长C,M交CD的延长线于点P,延长CN交CB 所以02C'=02A=02B=02D, 的延长线于点Q,连接PQ,交AD于点E,交AB于点F,连接NF, 故O2为三棱锥C-ABD的外接球球心， ME,则正方体过点M,N,C的截面图形是五边形 6.如图3，因为点B∈平面ABC 又0，a=CB=CB=1, ∩平面ABCD,所以B∈I. 又因为直线AC:∥平面ABCD, 0,B=D=B,+亚.E 2 AC1C平面ABC1,故AC1∥L, 所以1是过点B且平行于AC的 所以外接球半径R=0,B=√00+0，B=页 2 直线. 故外接球的表面积为4πR=17π. 对于(A),因为A1C1∥1，AC1∥ 图3 二、多项选择题 AC,所以I∥AC,故l∥CD不成立，即(A)错误； 9.ABC:10.AB:11.AC. 对于(B),因为I∥AC,而ACA,C=C,故l∥AC不成 提示： 立，即(B)错误； 9.(A)不正确，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交 对于(C),因为l∥AC,而AC∩平面A1BCD=C,故L∥ 或异面；(B)不正确，平面内的两条相交直线与另一个平面内 平面A1B,CD不成立，即(C)错误； 的两条相交直线平行，两平面平行；(C)不正确，α与y可能平 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 行或相交；(D)正确，n与B可能n∥B或nCB. 所以6H=子5×子=名， 39 故选(A)(B)(C). 1O.因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD, 设题图4-①中水面高度为h, 又SD⊥平面ABCD,所以SD⊥AC,又BD∩SD=D, 则业=号5解得么=号 所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥SB,（A)正确； 因为ABCD为正方形，所以AB∥CD, 14.如图8，过点K作MK⊥AF于点M,连接DM, 因为平面ABD⊥平面ABCF,平面ABD∩平面ABCF= 又AB丈平面SCD,且CDC平面SCD, AB,DK⊥AB,DKC平面ABD,所以DK⊥平面ABCF 所以AB∥平面SCD,(B)正确： 因为AFC平面ABCF,所以DK⊥AF 因为SD⊥底面ABCD, 因为MK⊥AF,DK∩MK=K,所以AF⊥平面DMK. 所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD,(C)错误； 因为ABCD为正方形，则AB与BC所成的角是90°， 因为DMC平面DMK,所以AF⊥DM. 又D⊥底面ABCD,则∠SDC=90°， 与折前的图形对比，可知折前的图形中，D,M,K三点共 线，且DK⊥AF, 所以DC与SC所成的角∠SCD<90°，(D)错误. 故选(A)(B). 所以在折前的图形中△DAK∽△FDA, 11.对于(A),依题意，圆锥母线长l=PA=PB=2,P0= 所以-即片=亦所以1= PA·cos60°=1，A0=B0=PA·sim60°=5，所以底面圆的 半径r=5,圆锥的体积为分π×()×1=，故()正确： 因为DFe(1,2),所以te(3,1）月 对于(B),该圆锥的侧面积为π=π×√5×2=25π，故 (B)错误； 对于(C),如图6，取AC的 中点M,连接PM,OM,则OM⊥ 图8 AC,又因为PA=PC,所以PM⊥ 四、解答题 AC,故∠PMO为二面角P-AC --1---- 15.解：如图9，取AC的中点G,连 -0的平面角，即∠PM0=45°， 0 接EG,c,则Ec∥A8,且EG=24B, 所以m45-品=1，即01- 图6 FG∥cD,且FG=cD 1,所以AC=2√A02-0M2=2×√3-1=22，故(C) 由AB=CD知EG=FG, 正确； 所以∠GEF(或它的补角)为EF 对于(D),由选项(C)可知，AC=22,PM⊥AC,PM= 与AB所成的角，∠EGF(或它的补角) 9 为AB与CD所成的角. √P-(2A4C）=4-2=E,所以△PAC的面积为 因为AB与CD所成的角为30°， PW:AC=子×万×2万=2，故(D)错误 所以∠EGF=30°或∠EGF=150°. 由EG=FG知△EFG为等腰三角形， 故选(A)(C) 当∠EGF=30°时，∠GEF=75°； 三、填空题 当∠EGF=150°时，∠GEF=15 12.平行、相交或异面；1 故EF与AB所成的角为15°或75°. 16.证明：(1)如图10， A 提示： 取BD1的中点O1,连接 B /0 12.如图7所示，∠BAC=∠BA1C1,AB∥AB,则AC与 C01,A10 AC,的位置关系是平行、相交或异面. 因为ABCD-A1BC,D 是四棱柱，四边形ABCD是 图10 正方形， 所以A01∥0C,A01=0C, 图7 因此四边形AOCO,为平行四边形， 13.设△ABC的面积为S, 所以A10∥0C. 因为E,F,E,F,分别为所在棱的中点， 又O1CC平面B,CD1,AO4平面BCD1, 所以A1O∥平面B,CD (2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点， 所以Sm=子5， 所以EM⊥BD. 又A1E⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 所以AE⊥BD. 过B,作BE⊥OD,因为BO⊥AC,D0⊥AC, 因为BD∥BD,所以EM⊥BD1,AE⊥BD1 且B1O∩D0=O,B,0,D0C平面B,OD, 又AE,EMC平面AEM,AEEM=E, 所以AC⊥平面B,OD,因为ACC平面ACD, 所以BD,⊥平面AEM.又BD1C平面B,CD1, 所以平面B,OD⊥平面ACD, 所以平面A,EM⊥平面B,CD· 又因为平面B,OD∩平面ACD=OD, 17.解：设圆台形容器的上、下底面半径分别为r,R. 且BE⊥OD,B,EC平面B,OD, (1)设AD=xcm,则OD=(72-x)cm,由题意得 所以B,E⊥平面ACD,即B,E为三棱锥B,-ACD的高， 2R-0×2所以R: 180 在△B0E中，可得及E=R0~血号=万×复-受 2 72-x=3R, 1x=36, 即AD应取36cm. 所以三棱柱B一ACD的体积为V=号a·B,E=号 (2)因为2r=号·0D=号×36，所以r=6cm, ××2×2×6-6 2 圆台形容器的高h=√2-(R-) √362-(12-6)=6√35(cm). 所以V=号h(R+R+)=号mx6V35×(12+2 ×6+62)=504√35π(cm3). 18.(1)证明：如图11，取BC 图12 图13 的中点H,连接HD,交CE于点P, (2)因为三棱锥B,-ACD的底面△ACD的面积为定值， 连接AH,AP. 在△ACB,的翻折过程中，要使得三棱锥B,-ACD的体积最大， 则点B,到底面ACD的距离最远， 因为AB=AC, 所以AH⊥BC 此时平面ACB,上平面ACD,如图13所示， 因为B0⊥AC, 又平面ABC⊥平面BCDE, 图11 所以AH⊥平面BCDE. 且B,OC平面ACB,平面ACB,∩平面ACD=AC, 又CEC平面BCDE,所以AH⊥CE, 所以B,O1平面ACD, %-保方∠01E:咖 因为ODC平面ACD,可得B,O⊥OD, 在Rt△BOD中，B1D=B10+OD2=2, 所以Rt△HCD Rt△CDE,所以∠CDH=∠DEC, 又因为B,C=CD=BA=AD=2, 所以HD⊥CE. 所以△B,CD和△B,AD都是边长为2的等边三角形， 又AH∩HD=H,所以CE⊥平面AHD,所以AD⊥CE. (2)解：由(1)知CE⊥平面AHD,得AP⊥CE 可得So=5aw-至×2=5 又HD⊥CE, 所以∠APH就是二面角A-CE-B的平面角。 又5a=Sw=7x2x2=2, 过点C作CG上AB,垂足为G,连接EG,如图11所示. 所以三棱锥B-ACD的表面积为S=S△B1cD+S△AD+ 因为BE⊥BC,且BE⊥AH,AH∩BC=H, S△Ac+S6ACD=4+2V3. 所以BE⊥平面ABC,所以BE⊥CG. 第37期3,4版 又BE∩AB=B,所以CG⊥平面ABE, 所以∠CEG就是CE与平面ABE所成的角，则∠CEG=45°， 核心素养阶段测评（三） 又CE=√22+(2)2=6，所以CG=EG=5. 一、单项选择题 又BC=2,所以∠ABC=60°， 1~4 BBAD 5 ~8 CABC 所以AB=BC=AC=2,所以AH=5. 提示： 1.由题意知，z=-1+i-3+i=-4+2i, 又由△HCP∽△DEP得HP= 3 所以1z1=/(-4)2+22=25. 所以m∠APH=品=3 2.由题得可：耐-：d-号耐：-号(d 19.解：(1)如图12，取AC的中点0，分别连接B0,D0, 因为B,A=BC且DA=DC,所以BO⊥AC,D0⊥AC, -子成+号成-子m+3 所以∠B,OD为二面角B1-AC-D的平面角， 3.由题意，正四棱锥P-EFGH的斜高为√3+1=2，该组 又因为折起的三角形所在的平面ACB,与底面ACD所成角 为号则∠B0D=号 合体的表面积为2×2+4×2×1+4×号×2×2=20 4.如图1，由题意得A=60°，B=75°，AB=10, 3 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 则C=45°， 因为EO⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO⊥BC, 所以4B BC 75 又EG⊥BC,且EO,EGC平面EOG,E0∩EG=E, sin C=sin A' 10 所以BC⊥平面EOG, 所以BC= 10× 60° 因为OGC平面EOG,所以BC⊥OG,同理OM⊥BM =56, 所以等腰梯形所在的平面，等腰三角形所在的平面与平面 图1 2 ABCD所成的角分别为∠EMO和∠EGO, 即B,C间的距离为56 n mile.. 所以tan∠EM0=tan∠EGo=/ 5.连接A1C1,BD1,它们交于点0，正方形中AC1⊥BD, 5, 又AA⊥平面ABC,D1,BD1C平面ABC,D, 又BC⊥OG,所以四边形OMBG是矩形， 所以AA1⊥BD, 又BC=10,则0M=5,所以E0=14,所以0G=5, 又AA∩AC1=A1,AA1,A1C1C平面AAC1C, 所以在Rt△EOG中， 所以B,D,⊥平面AAC,C, EG=√E0+0G=√(14)2+52=√39， 所以B,O的长即为棱BB,到面AA1CC的距离，而B,O= 2, 在Rt△EBG中，BG=OM=5, EB=√EGC+BC=√(39)2+52=8， 所以所求距离为号。 又因为EF=AB-5-5=26-5-5=16, 6.由0+0B+Cd=0,得0A=0元-02 故该五面体的所有棱长之和为 2×26+2×10+16+4×8=120m. 两边平方得0=0心+0应-20d.0成 二、多项选择题 因为10A1=101=10C, 9.CD;10.ABC;11.ABD. 所以10B12=210元110B1cos∠B0C, 提示： 所以s∠B0C=分 9.因为sin2B=sin Asin C, 由正弦定理得b2=ac, 因为0°<∠B0C≤180°，所以∠B0C=60°， 所以sB=心+-8.+-匹≥2aeg 所以4=2B0C=30 2ac 2ac 2ac 2 当且仅当a=c时取等号， 7.根据题意，以C为坐标原 点，BC所在的直线为x轴，过点C 又0<B<,放Be(0,号] 且垂直于BC的直线为y轴，建立 故选(C)(D). 平面直角坐标系，如图2所示，因 10.因为b1(a-b),所以b·(a-b)=b·a-b2=0, 为正△ABC的边长为1，且点P为 所以a·b=b2=1b12,所以(A)正确： B AB的中点，所以∠PCB=30°，点 因为a·b=1b「2，所以a2=a2-4a·b+4b2, 图2 P在以C为圆心，BC为半径的圆 所以1a1=|a-2b1,所以(B)正确； 上，则c0.0),8(-1,0)4(-9)P(-2） a在上的设影狗量为合·b=6,所以（©正确： 由向量数量积的定义可知a·b=1a11b1cos0=1b12, 所以元=（停）瓜=(3号-）， 所以c0=所以(D)结灵 (9-1,-) 故选(A)(B)(C) 11.设点P到平面ABC的距离为h, 期网+店=(6-多号-1 三校维的体积V=号×分×2×2×号×A=25, 3 所以P元(P+成)=5x(5-子)-×( 解得h=2, 因为PA=2,所以PA⊥平面ABC,又BCC平面ABC, 1=2-5 所以PA⊥BC,故(A)正确； 8.如图3，过E作E01平面 因为PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC, ABCD,垂足为O, 且平面PAB∩平面ABC=AB, 过E分别作EG⊥BC,EM⊥ 取AB的中点D,连接PD,CD(如图4)， AB,垂足分别为G,M, 图3 因为△ABC是等边三角形， 连接0G,0M, 所以CD⊥AB,所以CD⊥平面PAB, 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 所以∠CPD为直线PC与平面PAB所成的角， 中心，取AB的中点为M,连接PM,QM, 又CD=3,PC=PA+AC=22, EM,则EM⊥AB,PM⊥AB,QM⊥AB,如图 所以n∠CPm-咒-点放()正确： 7所示. 设二面角P-AB-C的大小为a,二面 △PBC中，PB=PC=22,BC=2, 角Q-AB-C的大小为B, 则∠PME=a,∠QME=B,设球心O 所以BC边上的高为√(22)2-1=7， 图7 到平面ABCD的距离为d,球的半径为1， 1 所以Sam=方×2×万=7， 则En=号EB=号-t,PE=1-d,0E=1+d, 设点A到平面PBC的距离为，则写×方×北=25 3 即an&=E1-少，amB=E1+,d∈[0,1). 解得=22工，故()错误： √个- 个- 7 2(1-d+2(1+d四 所以tan0=an(a+B)=-d 1- 1-2(1-.21+d0 1-正 √1- 22 √-d e(-∞，-22]. 图4 图5 四、解答题 如图5，过△ABC的中心H作平面ABC的垂线，过线段PA 15.解：(1)设b=(x,y), 的中点M作PA的垂线，两条垂线交于点O, 因为a∥b,所以y=2x. ① 则点O到四点P,A,B,C的距离相等， 又|b1=25,所以x2+y2=20. ② 即点O是三棱锥外接球的球心， 由①②联立解得b=(2,4)或b=（-2,-4). 又△ABC外接圆的半径r=HA=2×5×2-25,0H (2)由(2a+c)1(4a-3c)得(2a+c)·(4a-3c)=8a2 2 3 3 -3c2-2a·c=0, =P4=1, 由lal=5,1cl=/10, 2 解得a·c=5, 所以三棱锥外接球的半径R= 所以m0-=空0e[0,l, a·c 所以外接球的表面积S=4πR2= 空，故(D)正确 所以a与c的夹角0：平 故选(A)(B)(D) 16.(1)解：因为CD∥平面PB0,CDC平面ABCD, 三、填空题 且平面ABCD∩平面PBO=BO,所以BO∥CD. 1215mm;1B.号；14.(-0，-2万] 又BC∥AD,所以四边形BCDO为平行四边形， 则BC=D0,而AD=3BC, 提示： 所以AD=3DO, 12.如图6，由题知圆锥底面圆半 即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点. 径r=OA=3m,高h=0B=4m, (2)证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面 则母线1=AB=5m,因此圆锥的侧 ABCD=AD,ABC底面ABCD,且AB⊥AD, 面积为S=l=π×3×5= 0 所以AB⊥平面PAD.又PDC平面PAD,所以AB L PD. 15π(m2), 图6 又PA⊥PD,且AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB. 即屋顶的面积约为15πm2. 又PDC平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD. 13.由(1+i)z=-1+2i,得z= -1+2i 1+i 17.(山证明：2acor号+2os号=a1+6asC)+c(1+ -1+21-014i片2i-2足=方+，所以 (1+i)(1-i) 2 cos A)=a+c+acosC+ccosA =5 26, 子多所以（分+别）（分）=（分广 由正弦定理及sin(A+C)=sinB可得acos C+ccosA=b, (3)=3 所以a+e=多，即2(a+c)=36 14.设PQ与平面ABCD的交点为E,且E为正方形ABCD的 (2)解：因为msB=分，所以血B= 4 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 因为S=an8==5,所以心=8 1 所以BM⊥平面ACC1, 又ACC平面ACC1,所以BM⊥AC1 又因为b=a2+c2-2 aceos B=(a+c)2-2ac(1+cosB), 同理可证D,M上AC, 2(a+c)=3b, 又D1M∩BM=M,DM,BMC平面BMD1, 所以8= (2)-2x8×1+）所以6=4 所以直线AC1⊥平面BMD (3)设AC,与平面B,CD1的斜足为O, 18.(1)证明：如图8，取AB的中点 因为%m=⅓6=了·分1m1=君 1 M及CD的中点N,连接PM,PN,MW 6= 3 由△PAB是正三角形，四边形ABCD VA-BCD VANcD-ACIDI -VB-ANC -VB-CD1C -V 是正方形，得AB⊥PM,AB⊥MN 又PM,MWC平面PMW,PMn 38 Vn=V-46A-4a-amG=g-子 3=3 MWN=M,所以AB⊥平面PMW 所以V-m1=2V4-Bcm,则A0=2C,0. 因为AB∥CD,所以CD⊥平面PMW, 若VA-mG=Va-mP,则VG-8cm1=Vn-Bm,故C0=P0 又PNC平面PMN,所以CD⊥PN, 所以在线段AC,上取一点P,要使三棱锥B,-CDC,与三 因为N是CD的中点，所以PC=PD (2)解：过B作BH⊥平面PCD,垂足为H,连接PH,∠BPH 棱锥B-CD,P的体积相等，则P为A0的中点，即A迟=L AC=3 为直线PB与平面PCD所成的角，则m∠BPI=路、 第38期2版 过M作MF⊥PN于F, 专项小练一 由CD⊥平面PMW及MFC平面PMW得CD⊥MF 1.B;2.B:3.AD:4.③；5.14. 又MF⊥PN,PN,CDC平面PCD,PN∩CD=N, 6.解：总体中个体数较小，用抽签法 则MF⊥平面PCD. 第一步，将30个篮球，编号为1,2，…，30； 由AB∥CD,AB￠平面PCD,CDC平面PCD, 第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的 得AB∥平面PCD. 小纸条上，揉成小球状，制成号签； 于是点B到平面PCD的距离BH等于点M到平面PCD的 第三步，把号签放人一个不透明的盒子中，充分搅拌； 距离MF. 第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上 设CD=2,则PD=5,PA=PB=AB=AD=BC=MN 面的号码； =2,计算得PM=√5，PW=2, 第五步，找出和所得号码对应的篮球 在等腰三角形PMN中可算得MF= 专项小练二 4 1.D:2.C;3.ABD;4.15;5.70 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 6解：①样本容量与总体中的个体数的比值为品=0： 39 M 4 39 ②确定要抽取的各种百货商店的数目，大型商店为20× B=2 8 19.(1)解：由四边形BCCB,为正方形，可得BC⊥BC, =2(家)，中型商店为40×0=4（家），小型商店为150× 10 在长方体ABCD-AB,C,D,中，AB⊥平面BCC,B1, 0=15(家)： 又B,CC平面BCC,B1,所以B,C⊥AB. 因为AB∩BC1=B,AB,BC1C平面ABC1, ③采用简单随机抽样的方法在各层中分别抽取大型商店2 所以BC⊥平面ABC, 家，中型商店4家，小型商店15家，这样便得到了所要抽取的样本. 又ACC平面ABC,所以BC⊥AC1, 第38期3,4版 即异面直线B,C与AC,所成的角的大小为90° 随机抽样同步核心素养测评 (2)证明：当m=万时.CW=号。 一、单项选择题 因为8C=1,所以瓷-断=万， 1~4 CAAA 5~8 DCBC 提示： 所以Rt△ABC∽Rt△BCM,则∠CAB=∠MBC, 1.“中国天眼”主要是通过观察获取数据。 所以∠MBC+∠ACB=∠CAB+∠ACB=90°，即AC⊥BM, 2.①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差 在长方体ABCD-AB,C,D,中，CC,⊥平面ABCD, 异，用分层随机抽样比较恰当； 又BMC平面ABCD,所以CC1⊥BM, ②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当. 因为AC∩CC,=C,AC,CC,C平面ACC, 3.高二年级应抽取的学生人数为 6 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 720 900×1200+900+1500 =180. 则甲应村 ×560=51钱，故(A)正确： 109 4.根据简单随机抽样及分层随机抽样的定义可得， 乙应付0 09 ×350=32品钱，故(B)不正确： 每个个体被抽到的概率都相等， 109 所以每个个体被抽到的概率都等于29 5 丙应付10 109 ×180=16点钱，放(C)正确： 109 5.从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两 显然51制>32品>16识故(D)正疏 109 个数字，选出的编号依次为：12,13,40,33,20,38,26,13,89， 故选(A)(C)(D). 51,03,…, 11.随机抽取的500名学生中，回答第一个问题的概率为 剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号， ，生日月份为奇数的概率也是7， 1 则选出来的个体的编号依次为：12,13,20,26,03，…， 所以选出来的第5个个体的编号为03. 所以回答第一个问题且回答是的人数为 6.设A种型号的产品有2x件， 因为A,B,C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5， 500x分×号=125（人. 所以B种型号的产品有3x件，C种型号的产品有5x件， 所以回答第二个问题且回答是的人数为 由已知可得9=2x++5 n 175-125=50(人)， 所以随机抽取的500名学生中，带手机的学生人数的比例 所以n=80. 为 7.这3000个数据的平均数为 250=20%, 78.1×800+85×1300+91.9×900=85.23. 故该学校3000名学生中，带手机的学生人数为 3000 3000×20%=600(人). 用样本平均数估计总体平均数， 故选(B)(C). 可知这4万个数据的平均数约为85.23. 三、填空题 8.对于①，采用分层随机抽样的方式进行抽样，甲乙两人 12.p1=p2=P3; 13.6:14.5600. 可能同时被抽取，故①正确； 提示： 对于②，高一共有20×50=1000（人）， 12.在抽签法、随机数法和分层随机抽样中，每个个体被抽 高二共有24×45=1080（人）， 从这两个年级2080人中共抽取208人进行视力调查， 中的概常均为只，所以P,=:=一 商-应输取×28=10（人），商二应轴}00 2080× 1且由题意可得2，品4活解得m=3, 2 208=108(人)，故②正确： 3 对于③，甲被抽到的可能性为0=乙被抽到的可 则B地被抽取的数量是18×2+3+4=6， 1 14.设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲，T乙，T内件产品， 能性为Q8=0,甲和乙被抽到的可能性相等，故③错误 则a:6:e=1:12:1即号=元=会 所以正确的说法是①② 二、多项选择题 因为2b=a+c,所以m+7=22, lTp+Tz+T内=16800， 9.AC:10.ACD:11.BC. 所以72=16800=560. 提示： 3 9.对于(A),根据抽样调查和普查的概念可知，调查一的 四、解答题 调查方式是普查，调查二的调查方式是抽样调查，故(A)正确： 15.解：(1)抽签法。 对于(B),根据总体和样本的概念可知，总体是指该社区 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…， 所有60周岁以上老年人的体重，样本是指抽取的该社区500名 29,30; 60周岁以上老年人的体重，故(B)错误： 第二步：将30个号码分别写在30张外形完全一样的纸张 对于(C),结合已知条件和样本量的概念可知，样本量是 上，并揉成团，制成号签； 500,故(C)正确； 第三步：将30个号签放人一个不透明的盒子中，充分搅拌； 对于(D),由于检测一批灯泡的寿命，具有损毁性，故只能 第四步：从盒子中逐个抽取8个号签，并记录上面的编号， 用抽样调查，故(D)错误。 编号对应的大学生就是选出的大学生志愿者成员 故选(A)(C) (2)随机数法。 100 10 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…， 10.依题意，抽样比为560+350+180=109 29,30: 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 第二步：在随机数表中任选一个数作为开始，按照任意方 则x:y:z=0.425(a+b+c):0.475(a+b+c):0.1(a 向读数，比如从第8行第29列的数7开始，向右读； +b+c)=17:19:4. 第三步：每次取两位，凡是在01~30之外的数或者已读过 (2)依题意，n×0.75×0.5=75,解得n=200, 的数，都跳过去不做记录，依次可得到12,07,21,29,15,13,02， 故抽到的A会场的学生总数为50人， 09: 则高一年级人数为50×50%=25（人）， 第四步：找出以上号码对应的大学生，他们就是选出的大 高二年级人数为50×40%=20（人）， 学生志愿者成员。 高三年级人数为50×10%=5（人）. 16.解：可以采用分层随机抽样的方法. 第39期2版 按照该公司员工的收入水平分成三层：高收人者、中等收 入者、低收人者， 专项小练一 高收人者为50名，占所有员工的比例为忍0=5%，为保 1.B;2.C;3.ABC;4.14. 5.解：(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得， 证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收入者所占的 0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1 比例也应为5%，即100×5%=5， +a×0.1=1,解得a=3. 所以应抽取5名高收入者比较合理 (2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为 同理，应抽取15名中等收入者、80名低收人者， 0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6, 再对他们的具体收入状况分别进行调查. 所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 17.解：(1)因为0<m≤72≤n,A,B两所高校中共抽取 0.6×10000=6000. 3名教授，B,C两所高校中共抽取5名教授， 专项小练二 所以高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校 1.A;2.B:3.CD:4.70:5.68. C中抽取3名教授， 6.解：(1)分数在[70,80)内的频率为1-(0.010+0.015 所以只=壳=名，解得网=36，a=18 +0.015+0.025+0.005)×10=0.3,所以第四组小矩形的高 m 为0.030，补全频率分布直方图如下图所示. (2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教 频率 授总数的号 个组距 0.035--------------- 0.030 所以子(m+m）=72,解得m+n=108。 0.025 0.020 所以三所高校的教授的总人数为m+n+72=180. 0.015 0.010 18.解：(1)设登山组人数为x,游泳组中青年人、中年人、 0.005 老年人各占比例分别为a,b,c,则有 0 405060708090100成绩/分 x·40%+3x地=47.5%， (2)由频率分布直方图知， 4x 前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4， x·10%+3xc=10%, 4x 所以中位数在第四组。 解得b=50%,c=10%,则a=40%, 设中位数为70+x, 即游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为 则0.4+0.030×x=0.5,解得x=0 3 40%,50%,10% (2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×子×40%=60： 所以本次考试成绩的中位数为0+号-罗 3 轴取的中年人人数为20×子×50%=75： 第39期3,4版 用样本估计总体、统计案例同步核心素养测评 轴取的老年人人数为20×子×10%=15， 一、单项选择题 19.解：(1)设该校高一、高二高三年级的人数分别为a,b,c, 1 ~4 BAAD 5-8 AAAC 则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c), 提示： 去B会场的学生总数为0.75(a+b+c), 1.由题意知(140-51)÷10=8.9， 则对应人数如下表所示： 所以分为9组比较合适， 高一 高二 高三 2.该组数据从小到大的排序是：4,5,5,6,7,7,8,9， 且8×0.25=2， A会场0.125(a+b+c) 0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c) B会场0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c)0.075(a+b+c) 则该组数据的25%分位数为3士=5， 8 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 3.因为落在[6,10)内的频率为0.08×4=0.32， 所以a=100×0.32=32. 对于().=8+9+12+2+1B+16+16+16+18 因为落在[2,10)内的频率为(0.02+0.08)×4=0.4， +20)=14,(A)正确； 所以b=0.4. 对于()=0（6+5+2×2+1P+3×2+4+6 4.由小到大排列的4个数据1,3,4，a,则a≥4， =13.4,(B)正确； 这4个数据的极老为4-1，中位数为对片兰=子 对于(C),因为10×85%=8.5， 因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍， 所以85%分位数为第9个数据，即18，(C)正确； 所以a-1=2×子解得a=8 对于(D),16出现了3次，12只出现2次， 所以众数为16，(D)错误. 5.由条形图得演讲人数为30， 故选(A)(B)(C) 由饼状图得演讲人数占比15%， 10.由频率分布表的性质得m=100-8-10-20-28- 因此述取的总人数为》-20， 12-6=16,(A)正确； 因为样本中观看比赛不低于4场的学生的频率为： 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为1-20%-20%- 16%+12%+6%=34%, 15%=45%,人数和为200×45%=90， 所以估计高一年级观看比赛不低于4场的学生约为： 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20. 1000×34%=340人，(B)正确； 6.因为男生30人，女生20人， 样本中，观看2场的人数为50×20%=10人，(C)错误； 则抽取的时候分层比为3：2， 样本中出现频率最高的为3， 即10个人中男生、女生分别抽取了6人和4人. 故估计高一年级观看比赛场数的众数为3，(D)正确。 这10人答对题日的平均数为 ×(6×10+4×15)=12, 故选(A)(B)(D). 11.由频率分布直方图可得：[50,60)，[60,70)，[70,80)， 所以这10人答对题目的方差为品×[1+(0-12)]+ [80,90),[90,100]的频率依次为10m,0.3,0.4,0.1,0.04. 对于(A):因为10m+0.3+0.4+0.1+0.04=1, 0×[0.5+(15-12)2]=6.8 所以m=0.016, 7.对于(A):由统计图可以得到，2023年第一，二季度的制 因为成绩落在[50,60)内的人数为16， 造业指数均高于50%，所以2023年第一，二季度的各月制造业 16 在逐月扩张，故(A)正确； 所以n=0.016×10=100,故(A)错误： 对于(B):由统计图可以得到，2023年10月份的制造业指 对于(B):估计全体学生该学科成绩的平均分为 数低于50%，故(B)错误； 0.16×55+0.3×65+0.4×75+0.1×85+0.04×95= 对于(C):由统计图可以得到，2024年1,2月份的制造业 70.6(分)，故(B)正确； 指数高于50%，故(C)错误； 对于(C):由选项(A)可得：成绩落在[50,60)的频率为0.16， 对于(D):由统计图可以得到，2024年4~6月份制造业指 所以估计全体学生中不及格的人数约为2000×0.16= 数呈现上升趋势，但是2024年4,5月份制造业指数均低于 320(人)，故(C)错误； 50%,即制造业景气水平较上月收缩，故(D)错误。 对于(D):设该学科成绩为A等的最低分数为m, 8.由这6周的周慢走里程的中位数为16， 因为[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率依次为0.4,0.1,0.04， 则0.1+0.04=0.14<0.15<0.54=0.4+0.1+0.04， 可得m+卫=16，所以m+n=32, 2 可知m∈[70,80)，则(80-m)×0.04+0.1+0.04=0.15, 所以这6周的周慢走里程的平均数为 解得m=79.75, 11+12+m+n+20+27=17. 虽然79.75>79 但79.5是估计值，同时学生成绩均为正整数， 要使这6周的周慢走里程的标准差最小，需要(m-17)2+ 所以成绩为79分的学生该学科成绩有可能是A等，(D) (n-17)2最小， 正确。 又(m-17)2+(n-17)2=(m-17)2+(32-m-17)2 故选(B)(D). =2m2-64m+172+152, 三、填空题 故当标准差最小时，m=一2X) =16. 12.183.5;13.9.5,28.5;14.29. 提示： 二、多项选择题 12.数据从小到大排列为：85,86,88,89,90,92,94,98， 9.ABC;10.ABD;11.BD. 提示： 8×50%=4,50%分位数为89+90=89.5， 2 9.将数据由小到大排列：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20. 8×80%=6.4,80%分位数为94， 高一数学人教A(必修第二册)第36~39期 则这8人成绩的50%分位数和80%分位数的和为183.5. 13.记20位病人的平均等待时间为x,等待时间的方差为2， （2=04+4+5+6+7+7+8+9+0+10)=7. 则x=025x4+7.5×8+12.5×5+7.5×2+2.5 元=105+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7， 1 ×1)=9.5, =0[4-7)x2+(5-7)+(6-7)2+(7-7)2 2=0[(2.5-95)x4+(7.5-95)产×8+(12.5- ×2+(8-7)2+(9-7)2+(10-7)2×2]=4.6, 9.5)2×5+(17.5-9.5)2×2+(22.5-9.5)2×1]=28.5, 2=0[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8 所以估计该医院急救中心病人的平均等待时间为9.5，病 7)2×2+(9-7)2]=1.2. 人等待时间的方差为28.5. (3)由(2)知，sn>s2,xm=元2 14.假设五个数据按照由小到大排列为a,b,c,d,e, 因为这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7， 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数 所以c=6,d=e=7, 甲 个 4.6 3 所以最大的三个数的和为6+7+7=20， 7 1.2 1 因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等， (1)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且s品> 最大为4和5，所以这五个数的和一定大于20且小于等于29， 2,则乙的成绩比甲稳定； 则他们投中次数的总和最大是29， (ⅱ)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及 四、解答题 9环以上的次数甲比乙多，所以甲爆发力更强； 15.解：(1)由频率分布直方图可得(0.010+2a+0.025+ (ⅲ)乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第 0.035)×10=1,解得a=0.015. 六次以后就没有比乙少的情况发生。 (2)由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀” 故确定人选时，甲更有潜力. 的频率为0.015×10=0.15， 19.解：(1)作出频率分布直方图，如下图： 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 频率 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生 组距 人数为1200×0.15=180. 0.020 16.解：(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15, 0.010 故a=0.35,b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. 0.005 (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3 0 100120140160180200采购量（箱） ×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 根据上图，可知采购量在168箱以上（含168箱）的“熟 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4× 0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6. 客”人数为50×20× (0.005+0.020×180168）=17. 20 17.解：(1)由题意得 (2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为110×10+ 10(2a+0.020+0.030+b+0.005)=1, 130×10+150×5+170×20+190×5=7500(箱)， (5a 2b, 所以小张去年年底总的销售量为 解得a=0.010,b=0.025 (2)等级达到C及以上的占比为 7500÷各=-1200（箱）. 12%+32%+37%=81%. (3)若不在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收人为 设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为xg, Y=12000×20=240000(元)； 易得50<x<60, 若在网上出售鱼卷，则今年年底的销售量为(12000+ 则(0.005+0.025+0.030+0.020)×10+(60-x)× 1000m)箱，每箱的利润为(20-m)元， 0.010=0.81,解得x=59, 则今年年底小张的收人为Y=(20-m)·(12000+ 所以该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为9g 1000m)=1000(-m2+8m+240)=1000[-(m-4)2+ 18.解：(1)将甲运动员的数据按从小到大排列如下： 256],当m=4时，Y取得最大值256000. 445677891010 因为256000>240000， 因为85%×10=8.5， 所以小张今年年底收人Y的最大值为256000元. 所以第9个数据是85%分位数， 所以甲运动员样本数据的85%分位数为10.， -10