精品解析：贵州毕节市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年毕节一中高一数学下学期期中考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. 和 D. 4. 如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题的四个选项中，部分选对得部分分，有选错得0分）. 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 对应的点在第四象限 B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为 10. 是的外心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 的内切圆半径为 B. 在方向上的投影向量等于 C. D. 的最小值为 11. 已知函数为常数，且，若函数的最大值等于，则下列选项正确的是（ ） A. 若是函数的两个相邻零点，则 B. C. 将函数的图象向右平移个单位长度后，图象关于原点对称 D. 若函数在区间上恰有3个零点，则 三､填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知，若，则______. 13. 已知，且，则______. 14. 已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，的最大整数值为，则函数且的图象恒过定点_____. 四､解答题（本小题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. （1）已知，为第三象限角，求的值； （2）计算： . 16. 如图，在中，点是的中点，点､分别在边､上，，.设，. （1）用､表示； （2）若，，，求与夹角的余弦值. 17. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2 经长期观察，的曲线可近似的满足函数. （1）根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式； （2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？ 18. 某研究机构对高中生每周玩手机时长（单位：小时，）与数学成绩（单位：分，满分分）的关系进行调查.通过实验采集到以下信息：已知成绩与时长近似满足函数关系，其中为常数；每周玩手机4小时，成绩为70分；每周玩手机5小时，成绩为60分. （1）若张三同学希望数学成绩不低于90分，求他每周玩手机时长的最大值（精确到0.1小时；参考数据）； （2）若，求的值. 19. 如图所示，已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若内部一点P满足，则称点P为的布洛卡点，称为的布洛卡角. （1）当是边长为4的正三角形时，其布洛卡点恰为的内心，求此时的外接圆半径； （2）证明：； （3）已知，，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年毕节一中高一数学下学期期中考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助并集与补集定义即可得. 【详解】由，则， 由，故. 2. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为复数是纯虚数， 则，解得. 3. 已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求出的值，由图象可得函数在内单调递增，根据奇函数的对称性，求出函数在内单调递增，即可得解. 【详解】因为函数是定义在区间内的奇函数， 所以，解得， 所以函数是定义在区间内的奇函数， 由图可知，函数在内单调递增，由奇函数的性质可知函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故选：C 4. 如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量共线定理，由，得出，且，，再利用基本不等式求出的最小值. 【详解】解：由点是线段上的动点（端点除外），且， 所以，且，， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立，此时取最小值为. 5. 已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据向量数量积的运算，根据模求，再代入向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即，所以， 则，且，所以， 所以向量的夹角为. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在上单调递减，首先保证各段都单调递减，其次在分段地方，左边在断点处的函数值要不小于右边在断点处的函数值． 【详解】因为函数在上单调递减， 则在上单调递减，故，解得； 在上单调递减，则在上单调递增，故； ，解得：恒成立， 综上，的取值范围为． 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由及正弦定理得， 即有，而，于是或，即或， 命题“若，则为等腰三角形”是假命题； 当为等腰三角形时，不一定是，命题“若为等腰三角形，则”是假命题， 所以“”是“为等腰三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数是减函数，所以，即； 因为函数是减函数，所以，即； ， ，所以. 函数是减函数，所以，即. 所以. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题的四个选项中，部分选对得部分分，有选错得0分）. 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 对应的点在第四象限 B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为 【答案】AB 【解析】 【详解】因为复数， 所以复数对应的点为，在第四象限，故A正确； ，故B正确； 的共轭复数为，故C错误； 的虚部为，故D错误. 10. 是的外心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 的内切圆半径为 B. 在方向上的投影向量等于 C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据余弦定理求解三角形，再根据面积公式求内切圆的半径，判断A，根据投影向量公式判断B，根据向量转化求数量积，判断C，根据几何图形，转化向量，并求数量积，根据数量积的定义，转化为二次函数求最值. 【详解】A.根据余弦定理，，即， 即，得，， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，故A正确； B. 在方向上的投影向量等于，故B正确； C.因为，所以，且，所以， 所以点是斜边的中点， ，故C错误； D. ， 的最小值为，所以 因为，设， 所以， 当时，上式取得最小值， 所以最小值为，当点为中点时，取得最小值，故D正确. 11. 已知函数为常数，且，若函数的最大值等于，则下列选项正确的是（ ） A. 若是函数的两个相邻零点，则 B. C. 将函数的图象向右平移个单位长度后，图象关于原点对称 D. 若函数在区间上恰有3个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用辅助角公式求出函数的解析式. A.先求出相邻两个零点，再计算的值作判断； B. 求出与 ，从而得到它们相等；C.求出图像平移后对应的函数解析式，通过奇偶性作出判断； D. 利用零点个数，得到限制条件，从而解出的取值范围. 【详解】设，其中，， 因为函数的最大值等于，所以 ，即 ， 所以，即， 取，由得，则. 对于A，由 ，得 ， 所以，所以， 因为是函数的两个相邻零点，故设 ，， 则， 所以 ， 所以它不恒等于，故A错； 对于B， ， ， 所以，故B对； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度后， 得函数为 ， 它是奇函数，所以它的图象关于原点对称，故C对； 对于D，函数，因为， 所以， 因为函数在区间上恰有3个零点，则， 所以，即，故D对. 三､填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由，且，得，解得； 则，又，得，解得. 所以. 13. 已知，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由，，可得， 则，， 则. 14. 已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，的最大整数值为，则函数且的图象恒过定点_____. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，且是偶函数 所以对任意，方程有2个不同的实根， 则原方程转化为 ， 原方程有4个不同实根，等价于上述关于的方程有两个不同的正实根， 所以，可得， 因此的最大整数值， 已知， 令指数，得，此时 因此的图象恒过定点 四､解答题（本小题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. （1）已知，为第三象限角，求的值； （2）计算： . 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式对原式进行化简，将其转化为关于的表达式，代入求值即可； （2）利用指数幂运算性质、对数运算法则及换底公式，对原式逐项化简后再合并求值即可. 【详解】（1）解：原式， 由，代入上式; （2）解：原式， ， . 16. 如图，在中，点是的中点，点､分别在边､上，，.设，. （1）用､表示； （2）若，，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量线性运算法则计算即可得； （2）借助模长与数量积关系及夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 由，，则，， 故； 【小问2详解】 由点是的中点，则， 则 . 17. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2 经长期观察，的曲线可近似的满足函数. （1）根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式； （2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据可得最值，进而可求解周期以及，根据最值点即可求解， （2）利用余弦函数的性质，解不等式即可求解. 【小问1详解】 函数简图如下： ， 过点， 则， 的一个解析式可以为 【小问2详解】 由题意得：即， 或 解得或 又，解得 又 故开放时间共. 18. 某研究机构对高中生每周玩手机时长（单位：小时，）与数学成绩（单位：分，满分分）的关系进行调查.通过实验采集到以下信息：已知成绩与时长近似满足函数关系，其中为常数；每周玩手机4小时，成绩为70分；每周玩手机5小时，成绩为60分. （1）若张三同学希望数学成绩不低于90分，求他每周玩手机时长的最大值（精确到0.1小时；参考数据）； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用待定系数可得到函数关系，即可估计每周玩手机时长； (2)利用函数的中心对称性，先证明恒等式成立，即可利用倒序相加法求和. 【小问1详解】 已知 ​，代入和得： ， 消可得：， 所以解得，再代入， 即， 由张三同学希望数学成绩不低于90分，则， 所以有， 两边取常用对数得： 由于，则每周玩手机时长最大值为小时； 【小问2详解】 由题意可知：， 则先计算 设， 则， 所以，故. 19. 如图所示，已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若内部一点P满足，则称点P为的布洛卡点，称为的布洛卡角. （1）当是边长为4的正三角形时，其布洛卡点恰为的内心，求此时的外接圆半径； （2）证明：； （3）已知，，，求. 【答案】（1） （2） 由题可知：， 其中，，， 故， 由余弦定理可得： ， ， ， 三式相加，化简可得：， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求外接圆半径； （2）利用余弦定理和三角形面积公式来分别表示和，再进行证明； （3）利用第二问证明的结论，结合余弦定理和三角形面积公式来计算相应的边和角的值，然后再进行三角形面积比值的求解. 【小问1详解】 由题可得，此时的布洛卡角，故， 由正弦定理可得：外接圆直径，即半径. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可知：，故有， 由余弦定理可得：，故， 由（2）可知，， 由余弦定理可得，所以， 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $