精品解析：吉林长春市实验中学2025-2026学年高三下学期数学仿真训练（二）

长春市实验中学 2025-2026学年下学期仿真训练（二） 高三数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，， . 2. 已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布结合二项分布的定义以及期望和方差公式即可求解. 【详解】由题可得，，，， 所以. 故选：D. 3. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ， ， 故“”是“”的必要条件， 当，假设时，， 此时，则， 故“”是“”的不充分条件， 综上： “”是“”的必要不充分条件． 4. 函数的部分图象如图所示，则（    ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正切函数图像上零点与相邻渐近线的水平距离，利用公式求出，再结合图像过点与零点，利用正切函数零点满足，结合确定值，最后将和函数值 及代入解析式，求得 即可. 【详解】由图知，得到， 又由图知， 由，得到， 又，所以即， 由，得，所以. 5. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【分析】先确定回答“是”的150人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为 ， 回答A问题“是”的学生人数为人， 所以回答B问题“是”的学生人数为人， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，化简、运算，即可求解. 【详解】由 . 故选：A． 7. 已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得圆心到直线，的距离，由可求解. 【详解】设动圆的圆心坐标为， 圆心到直线：的距离为， 圆心到直线：的距离为， 又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，， 所以，即， 化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线， 故选： 8. 已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据距离新定义，将问题化为求上的点到曲线上点的距离最小时对应参数值，即可得. 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于 对称， 当与 垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到 的距离都为1. 过点作切线平行于直线 ，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到 的距离，解得. 当时，与 相交，不合题意； 当时，与 不相交，符合题意. 综上，. 二、多选题 9. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A. 函数在处的切线方程为 B. 的极小值点为 C. 当时，方程有三个实根 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导，根据导数的几何意义求切线方程；对于B：利用导数判断函数的单调性和极值点；对于C：作出函数的图象，结合图象分析判断；对于D：根据对称中心的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 可得，即切点坐标为，切线斜率为0， 所以函数在处的切线方程为 ，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故B错误； 对于选项C：因为，，结合选项B可得函数的图象： 由图可知：当时，与有三个交点， 即方程有三个实根，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 10. 任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 若或，则 C. D. 当，且 为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据棣莫弗定理，结合三角函数知识，及共轭复数，纯虚数的概念逐项验证可得答案. 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得，，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当 为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线 有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点 在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，联立，可得，再代入，得，由判别式及韦达定理，可得此方程有4个不同的根，即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，当点或，满足题意，即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即， 解得或， 所以或或， 所以曲线与直线 有3个公共点，故正确； 对于B，由，可得， 则有，平方得， 代入，得， 即， 因为，， 所以关于的方程有两个不同的正根， 从而得 有四个不同的解， 所以曲线与圆有4个公共点，故正确； 对于C，， 如图所示： 曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 因为所在圆的圆心为，半径为2，, 在中，，， 所以， 所以扇形的面积, ， 所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故错误； 对于D，当 与或重合时， 则，故正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 三、填空题 12. 已知是双曲线：的一个焦点，则的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本道题结合焦点坐标,计算出m，即可． 【详解】,解得 ,所以双曲线方程为 ,所以渐近线方程为 【点睛】本道题考查了双曲线的基本性质，难度较小． 13. 的展开式中的系数等于___________． 【答案】45 【解析】 【分析】利用二项式定理确定展开式的通项，从而可得展开式中的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的系数为． 故答案为：． 14. 在中，内角所对的边分别为，若，则 （1）___________； （2）若，在所在平面内取一点 （ 与 在 两侧），使得线段，，则面积的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由两角和差的余弦公式及正弦定理化简即可； （2）令，利用正弦定理与余弦定理可得，，再根据三角形面积公式得到，由正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由得 即， . 又，所以， 由正弦定理得. 又，所以. 因为，所以. （2）令， 则由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得， ， 线段，不可能为钝角， 所以， 所以 （时取等号）， 所以面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，确定为等差数列，即可求解； （2）由裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 在数列中，， 可得，即数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形，其中． （1）证明：平面平面 ． （2）若点 ， ，， 在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求直线 与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可得，又 ，从而得平面 ，结合面面垂直判定定理即可得结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，设球心的坐标为，从而可得球心坐标，从而得球的半径，即可得球的表面积；（ii）利用空间向量的坐标运算求解平面的一个法向量，结合线面夹角公式即可得直线 与平面所成角的大小． 【小问1详解】 因为 平面平面 ， 所以， 又因为， 所以 ， 又平面 ， 所以平面 ， 又因为平面 ， 所以平面平面 . 【小问2详解】 由（1）可得两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示． 则． 若在同一个球面上，则，设球心的坐标为， 有， 解得， 所以半径， 即球的表面积. （ii）由， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，所以， 设直线 与平面所成角为 ， 则， 所以直线 与平面所成角的大小为. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，是上的动点，且不在 轴上．当轴时，． （1）求的方程； （2）点分别在直线与上，且．证明：三点共线． 【答案】（1） （2）证明：解法一：设，，，则，即． 又， 所以，，，． 因为，，所以，， 两式相加、减，得，， 又因为，， ， 所以，故三点共线． 解法二：设，则，即． (i)当直线，斜率均存在时，，， 所以直线，， 由得，由得， 所以，， 因为， 所以，故三点共线． (ii)当直线或斜率不存在时，根据对称性，不妨设斜率不存在，且， 此时点，，，故直线，从而， 则，， 所以三点共线． 综上，三点共线． 【解析】 【分析】（1）解法一：椭圆定义法（几何法）：先利用椭圆第一定义（椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 ），再结合直角三角形勾股定理求出a，最后由 求 ，即可得出方程； 解法二：待定系数法（代数法）：先利用点在椭圆上则坐标满足方程，再结合 的关系列出方程组，联立求解 ，最后即可得出方程. （2）解法一：先设点并利用椭圆方程得到消元条件，再由垂直关系转化为向量数量积为 0，通过两式加减得到 纵坐标的和差关系，最后用向量共线的交叉相乘判定式，结合椭圆方程化简得 0，证明与​共线，从而证得 三点共线； 解法二：先由垂直关系求出直线​的方程，联立 得到坐标，再通过向量共线的交叉相乘判定式，结合椭圆方程化简得 0，证明与​共线；对斜率不存在的特殊情况直接验证斜率相等，最终证得三点共线. 【小问1详解】 解法一：（1）当轴时，， 所以，所以， 从而，，故的方程为． 解法二：（1）当轴时，，所以或，所以①， 又②，由①②，解得，， 故的方程为． 【小问2详解】 略 18. 甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为，设每次射击甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，若射击2次甲胜出的概率为，各次射击结果独立. （1）求p； （2）求射击2次甲得分X的分布列及均值； （3）若甲胜出的概率为，证明：. 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 （3） 由题意，射击的总次数为时甲胜出， 设此时甲总得分为，乙总得分为， 则，，所以甲胜出时 必为偶数，令， 则 ， 由于，则 时，， 且， 即. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意，X的取值为 ，进而求出对应的概率，再计算均值； （3）由题意，射击的总次数为时甲胜出，分析可得 必为偶数，令，进而结合题意及等比数列的求和公式求证即可. 【小问1详解】 设射击2次甲胜出为事件 ， 则，解得. 【小问2详解】 由题意，X的取值为 ， 由题意， 而， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 则. 【小问3详解】 略 19. 已知函数 （1）当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）当在有解，求实数k的取值范围. （3）当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得在上的最小值，进而利用恒成立可得，可求实数a的取值范围. （2）分离变量得，构造函数，求导可求得的值域，可得实数k的取值范围. （3）利用函数有两个极值点，可得，不等式等价于，令，求导，分类讨论可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 当时，，令，解得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上的最小值为. 又，所以由对任意不等式恒成立， 即. 所以的取值范围为. 【小问2详解】 令，因为，则，故， 令，则， 故当单调递减；当单调递增， 又，且， 故的值域为，则要满足题意，只需. 即 的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 因为有两个极值点，故可得， 所以，且. 因为，故， 则，即， 因为，故上式等价于，即， 又当时，，当时，， 令，则， 当时， ，故在单调递增，又， 故当时，，当时，，故不满足题意； 当时，令， 若方程对应时，即时，单调递减， 又，故当时，，当时，，满足题意； 若，即时，又的对称轴，且开口向下， 又，不妨取， 故当单调递增，又， 故此时，不满足题意，舍去， 综上所述， 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 2025-2026学年下学期仿真训练（二） 高三数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的部分图象如图所示，则（    ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.3 6. （ ） A. B. C. D. 7. 已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 8. 已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A. 函数在 处的切线方程为 B. 的极小值点为 C. 当时，方程有三个实根 D. 的图象关于点对称 10. 任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 若或，则 C. D. 当，且 为偶数时，复数为纯虚数 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线 有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点 在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 三、填空题 12. 已知是双曲线：的一个焦点，则的渐近线方程为__________． 13. 的展开式中的系数等于___________． 14. 在 中，内角所对的边分别为，若，则 （1）___________； （2）若，在 所在平面内取一点 （ 与 在 两侧），使得线段，，则面积的最大值为___________． 四、解答题 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前 项和． 16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形，其中． （1）证明：平面平面 ． （2）若点 ， ，， 在同一球面上，设该球面的球心为 ． （i）求球 的表面积； （ii）求直线 与平面所成角的大小． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为， 是上的动点，且 不在 轴上．当轴时，． （1）求的方程； （2）点分别在直线与上，且．证明：三点共线． 18. 甲、乙参加射击选拔赛，规则如下：抽签决定首次射击方，两人轮流射击，射中目标者得1分，对方得0分，射不中目标者得0分，对方得1分，得分领先2分者胜出，选拔赛结束.射击的总次数为，设每次射击甲射中目标的概率为，乙射中目标的概率为，若射击2次甲胜出的概率为，各次射击结果独立. （1）求p； （2）求射击2次甲得分X的分布列及均值； （3）若甲胜出的概率为，证明：. 19. 已知函数 （1）当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）当在有解，求实数k的取值范围. （3）当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $