精品解析：吉林省长春市实验中学2025-2026学年下学期第一次周测高三数学试卷

长春市实验中学2025—2026学年下学期 第一次周测高三数学试卷 一、单选题 1 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知函数的部分图像如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 4. 据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶．若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“商”和“羽”之间恰有两个音阶，则可以排成不同音序的种数是（ ） A 12 B. 20 C. 24 D. 32 5. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. 记的对立事件为，则 D. 事件与事件相互独立 6. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. e D. 二、多选题 7. 设函数，则（ ） A. 是一条切线 B. C. 当时， D. 若在区间上有最小值，则实数的范围为 8. 已知封闭直三棱柱中，，，，为该三棱柱的外接球球心，则（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 球的体积为 C. 可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为 D. 点在四边形及其内部运动，且满足，则最小值 三、填空题 9. 已知抛物线焦点为F，点M在抛物线C上，且，点O为坐标原点，的面积为________． 10. 已知，，，则______． 四、解答题 11. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． （1）求的方程； （2）过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 12. 如图，在三棱柱中，平面平面，是边长为2的正三角形，是的中点，，直线与平面所成的角为. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学2025—2026学年下学期 第一次周测高三数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性解集合，解一元二次不等式得集合，最后根据集合的交集的概念可得. 【详解】可化为，解得，故， 又，故. 故选：D 2. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用等比中项的性质结合已知条件求出，再根据等比中项的性质求出． 【详解】是等比数列， ， ，，解得或（舍去）， ，， ，解得． 故选：A． 3. 已知函数的部分图像如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图像，求得，设，得到，根据题意，转化为和的图像有两个不同的交点，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得，且，所以， 则，所以， 又由，可得，即， 解得，解得， 因为，所以，所以， 又由，可得， 设，则，可得， 当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， 且，，且， 要使得方程在上有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根， 即函数和的图像在上有两个不同的交点， 如图所示，可得，即实数的取值为. 故选：A. 4. 据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶．若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“商”和“羽”之间恰有两个音阶，则可以排成不同音序的种数是（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】优先处理特殊元素“宫”，根据“宫”的位置分类讨论即可求解. 【详解】当“宫”在“商”和“羽”之间时，可以排成不同音序的种数为； 当“宫”不在“商”和“羽”之间时，可以排成不同音序的种数为， 所以一共可以排成不同音序的种数为． 故选：B． 5. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. 记的对立事件为，则 D 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法将三人抛掷硬币的结果一一列举，再结合古典概型、独立事件、互斥事件、对立事件及条件概率公式一一判定选项即可. 【详解】由题意可知三人抛掷硬币可能的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）. 则事件的可能结果有（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），共6种情况. 事件的可能结果有（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共4种情况. 事件的可能结果有（反，反，反），共1种情况. 对于A，事件与事件都有（反，反，反）这种情况，故事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，，，所以，故事件与事件相互独立，故D正确. 故选：D. 6. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据恒成立确定的关系式，从而将转化为只有的式子，再利用导数讨论单调性求最值即可. 【详解】因为，且函数和都是上的增函数，故若恒成立， 则函数和的零点相同， 所以，则， 设，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，所以最大值为， 故选：A. 二、多选题 7. 设函数，则（ ） A. 是的一条切线 B. C. 当时， D. 若在区间上有最小值，则实数的范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得A；求导后计算可得B；构造函数，利用导数研究函数单调性后可得C；结合函数单调性利用最小值性质可得D. 【详解】对A：， 令，则或， 又，则在处的切线为，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：令，， 则， 故在上单调递增，又， 故，即，故C错误； 对D：由，则当时，， 当时，， 故在上单调递减，在、上单调递增， 又，且， 若在区间上有最小值，则有， 解得，故D正确. 故选：ABD. 8. 已知封闭直三棱柱中，，，，为该三棱柱的外接球球心，则（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 球的体积为 C. 可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为 D. 点在四边形及其内部运动，且满足，则最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】A求证平面，再通过边长求出即可；B根据球的定义找出球心，计算半径，利用体积公式计算即可；C比较的内切圆半径和高的一半的大小；D取线段的中点，线段的中点，根据球的性质得出点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆上且在四边形及其内部的点，再将问题转化为圆外一点到圆上动点间距离的最值问题. 【详解】因为，所以， 因为为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为，，，所以，， 所以，故，故A正确； 因为的外接圆的圆心为线段的中点，且为直三棱柱， 所以易知线段中点为球心， 则球的半径为，故球的体积为，故B正确； 的内切圆半径为， 所以可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为，故C错误； 取线段的中点，线段的中点， 因为平面，所以到平面的距离为， 则以为球心，为半径的球被平面所截得的小圆半径为， 因为点在四边形及其内部运动，且满足， 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆上且在四边形及其内部的点， 连接，当三点共线时最小， 最小值为，故D错误. 故选：AB 三、填空题 9. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且，点O为坐标原点，的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则根据抛物线定义可得，进而可求出点的坐标，求的面积即可. 【详解】由抛物线方程可知：焦点，准线方程为：， 设，则，得， 又，可得， . 故答案为：. 10. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，联立得，进而得，计算得，结合角的范围即可求解. 【详解】由， 又，所以， 所以， 所以， 又，所以，所以. 故答案为： 四、解答题 11. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． （1）求的方程； （2）过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）由（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积求出函数关系，进而求出最大值. 小问1详解】 因为是E上一点，代入椭圆方程解得， 又，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零， 设直线的方程为，， 由消去，得，显然， 则，， 所以， 则的面积， 令，函数在上单调递增，当时，取得最小值4， 则当时，取得最小值4，， 所以的面积的最大值为. 12. 如图，在三棱柱中，平面平面，是边长为2的正三角形，是的中点，，直线与平面所成的角为. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接、，因为，所以， 因平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 因为是正三角形，是的中点，所以， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设， 则，，，，，， 所以，，， 又平面的一个法向量， 所以， 因为，解得， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 又平面的一个法向量，所以， 设二面角平面角为， ， 即二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $