函数极值点偏移问题 教学设计-2026届高三数学二轮复习
“函数极值点偏移问题”是高三数学复习中的难点与高频考点，它综合了函数零点、极值、单调性、不等式证明等多个核心知识点。本节内容是在学生已经掌握导数工具及函数基本性质的基础上，对函数本质特征的一次深度探究。通过对一道联赛预赛题的“一题多解”与“变式拓展”，将看似孤立的技巧（如反证法、构造法、放缩法）串联起来，引导学生从“方法”层面上升到“思想”层面（如“变量归一” “函数性质化归”），构建解决此类问题的结构化知识体系，体现了从“知识本位”向“素养本位”的转型。
授课对象为高三学生，他们已经具备扎实的导数运算和函数性质分析能力，对极值、零点等概念有较清晰的认识。但面对“极值点偏移”这类综合性问题时，学生常常感到思路混乱，缺乏系统性的解题策略。主要困难在于：难以从多变量问题中抽象出核心函数，对各种构造技巧感到无所适从，不善于在不同解法之间建立联系。因此，本节课的重点是通过递进式的问题链，引导学生在主动探究中完成从“技巧掌握”到“策略建构”的认知跃迁。
本节贯彻以“问题”为引擎的探究式教学原则，以深度学习理论为指导，教师引导，学生学习为主体的教学思想。
- 转化与化归思想：通过整体换元、比值代换等方式，将双变量问题转化为单变量函数问题；将复杂的不等式证明转化为函数单调性、极值的探究。
- 数形结合思想：借助函数图像理解极值点偏移的几何意义，辅助分析偏移方向。
- 分类与整合思想：在不同证法（反证法、构造法、放缩法等）的比较中，整合出普适性的解题范式。
- 函数与方程思想：将零点问题转化为方程根的问题，再构造函数进行研究。
- 教学方法：采用问题链驱动、小组合作探究、师生共评总结的方式。
数学抽象：能从具体题目中抽象出“极值点偏移”问题的本质特征，理解不同证法背后的统一数学思想。
逻辑推理：熟练掌握反证法的论证逻辑，能严谨地构造辅助函数并利用其单调性进行推理证明。
数学建模：能将原问题转化为单变量不等式模型、函数单调性模型，并能运用对数均值不等式、指数均值不等式等数学模型解决问题。
直观想象：通过泰勒展开的二次函数拟合，从“形”的角度理解极值点邻域内函数的局部特征。
数学运算：能准确进行指数、对数式的恒等变形，熟练求导并分析导函数符号。
学科网（北京）股份有限公司
教学重点：
- 解决极值点偏移问题的多元路径探究：反证法、整体换元法、构造法、放缩法、泰勒展开法。
- 从具体解法中凝练两大核心策略：“变量归一”思想与“函数性质化归”原则。
教学难点：
- 灵活选择并构造恰当的辅助函数（和式、积式）解决问题。
- 理解泰勒展开法作为通法的思想本质。
- 自主探究：学生课前预习题目，独立思考第（Ⅰ）问，初步尝试第（Ⅱ）问。
- 合作探究：以小组为单位，分别沿不同路径展开探究，通过讨论、汇报、互评，经历思维过程。
- 模型建构与展示：学生通过板演、讲解本组解法，对比不同方法的优劣。
- 复习巩固：请回顾我们学过的内容，什么是函数的极值点？如何判断一个函数是否有极值点？
- 引出主题：什么是极值点偏移问题？它通常有哪些处理策略？
设计意图：激活学生已有认知结构，引出本课探究主题。
例题呈现：
例1（2021年全国高中数学联赛福建预赛第14题）已知 
。
（Ⅰ）若 
恒成立，求 
的最大值；
（Ⅱ）若 
是 
的两个零点，且 
，求证： 
。
问题1：同学们，我们知道极值点偏移问题是指连续可导函数 
在其定义域内存在唯一极值点 
，且 
的两个相异实根 的中点满足 
。请你们简要分析例1是否为极值点偏移问题？
（引导学生通过转化函数形式 
求得极值点 
，并初步判断偏移方向）
问题2：该问题第（Ⅱ）问的参考答案给出了两种证明方法：一是将函数的幂指数形式转化为对数形式，进而把问题简化为单变量不等式问题；二是通过构造辅助函数（和式构造法）实现问题的转化。除此之外，你认为还可以从哪些思路入手研究此类问题？
学科网（北京）股份有限公司
（师生共同梳理出反证法、整体换元法、函数构造法、放缩法和泰勒展开法等）
设计意图：通过开放性、导向性问题，激活学生认知储备，明确探究主题。
学生以小组为单位，分别对第（Ⅱ）问从不同路径开展探究。
路径1：反证法
小组1尝试反设 
，通过函数单调性与极值分析，推导出矛盾。
证法1：
假设 ，令 ，可得 
在区间 
内为增函数，且 
，
。
又因为
所以 
。
取 
，记 
，且由 
，有 
。
又由 
，可知 
。有
令 
，可得 
，则 
在区间 
为减函数，即 
，这与 矛盾，从而原命题成立。
路径2：整体换元法
小组2指出在保持幂指数形式不变的前提下，能够运用比值代换法证明该问题。
证法2：
由已知 ，记 
，则 
，且 
，
。于是有
此时，命题结论 等价于
学科网（北京）股份有限公司