专题10.2 平行线的判定（高效培优讲义，4知识&6题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题10.2 平行线的判定 教学目标 1.理解平行线的定义，掌握平行公理及其推论。 2.识别 “三线八角” 中的同位角、内错角、同旁内角。 3.掌握平行线的三种判定方法：同位角相等，两直线平行； · 内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 4.能运用判定方法进行简单推理，并规范书写推理过程。 教学重难点 教学重点 1. 1.平行线的三个判定方法（同位角、内错角、同旁内角）的理解与掌握。 2. 2.简单几何推理的书写规范（已知、求证、理由标注）。 3. 3.在图形中准确识别三线八角并应用判定定理。 教学难点 1. 1.从直观操作到逻辑推理的过渡，理解判定定理的推导逻辑。 2. 2.复杂图形中剥离基本 “三线八角” 模型，准确选择判定方法。 3. 3.区分平行线的判定与性质（避免 “判定” 与 “性质” 混淆）。 4. 4.几何语言的规范表达，尤其是推理过程的严谨书写。 知识点01 平行线的定义及画法 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 . 平行线定义的三要素：(1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 . 2. 表示方法：用“∥”表示平行，如图 10.2-1，直线 AB 与 CD是平行线，记作“AB ∥ CD”或“CD ∥ AB”，读作“AB平行于 CD”或“CD 平行于 AB” . 3. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落： 把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠： 紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移： 把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画： 沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线 . 示图(如图 10.2-2)： 【即学即练】（25-26七年级下·安徽宿州·月考）如图，已知直线和点，根据下列要求画一画． (1)过点画，垂足为； (2)过点画的平行线，记为． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 知识点02 平行线的基本事实及其推论 1. 基本事实：经过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线 . 特别提醒： 基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线 . 特别解读 “有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性 . 2. 推论：平行线的传递性：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 . 表达方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b. 【即学即练】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 知识点03 同位角、内错角、同旁内角 1. “三线八角”：两条直线被第三条直线所截形成八个角， 习惯上称为“ 三线八角”， 它们构成了同位角、内错角、同旁内角 . 如图 所示，两条直线 a 和 b 被第三条直线 l所截 . 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 (1)同位角：∠ 1 与∠ 5 分别在直线 a 和b 相同的一侧，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同位角 . 再如∠ 2 与∠ 6，∠ 3 与∠ 7，∠ 4 与∠ 8. (2)内错角：∠ 5 与∠ 3 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的两旁，具有这样位置关系的一对角叫作内错角 . 再如∠ 4 与∠ 6. (3)同旁内角：∠ 5 与∠ 4 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同旁内角 . 再如∠ 3与∠ 6. 【即学即练】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图所示，直线，被直线所截： ①和是同位角； ②和是对顶角； ③与是内错角； ④和是同旁内角．则结论正确的是_______（填序号）． 【答案】①②④ 【详解】解：和是同位角，故①正确， 和是对顶角，故②正确， 与不都在两直线之间，不是内错角，故③错误， 和是同旁内角，故④正确， ∴结论正确的是①②④． 知识点04 平行线的判定 1.平行线的判定的基本事实(判定方法 1） 基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同位角相等，两直线平行 . 表达方式：如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)， 所以 a ∥ b(同位角相等，两直线平行) . 2.过直线外一点作已知直线的平行线 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的平行线的作法如下： 作法  示图 1.在直线 AB 上任取一点 O，过点 O， P 作直线 CD 2.以点 P 为顶点，以 PD 为一边，在直线CD 的右侧作∠ DPN=∠ DOB.PN 边所在的直线 MN 就是要作的直线 3.平行线的判定方法 2 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说，内错角相等，两直线平行 . 特别解读： (1)“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的 . (2)利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角，再说明这两条直线平行 . 表达方式：如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)，所以 a ∥ b(内错角相等，两直线平行) . 4.平行线的判定方法 3 判定方法3 ：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同旁内角互补，两直线平行 . 特别提醒： 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等 . 表达方式：如图 ，因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)，所以 a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) . 5.平行线判定方法的推论 判定方法推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 . 简称： 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 表达方式： 如图 ，直线 a， b， c 在同一平面内 . 因为 a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c. 拓展：a，b，c 为同一平面内的三条不重合直线，在下列结论中：① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c，已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立，即如果 a ⊥ b， a ⊥ c，那么 b ∥ c；如果 a ⊥ b， b ∥ c，那么 a ⊥ c；如果 a ⊥ c， b ∥ c，那么 a ⊥ b 【即学即练】（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵， ∴，无法证明，符合题意； B、∵，， ∴，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴，不符合题意． 题型01 三线八角的综合判断 【例1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】① 和 是由水平直线截两条斜线所得，均在截线上方且在被截直线右侧（或同侧），符合同位角定义，故①正确； ② 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得， 在截线右侧、被截线之间， 在截线左侧，不在被截线之间，不符合内错角定义，故②错误； ③ 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截线之间，符合同旁内角定义，故③正确； ④ 和 是由左上至右下的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截直线上方，符合同位角定义，故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．与是同位角，不符合题意； B．与是内错角，符合题意； C．与是对顶角，不符合题意； D．与是同旁内角，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，是直线上一点，，是直线上方的两点，连接，，．图中与构成同旁内角的角共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：图中与构成同旁内角的角为，，，共个． 【变式1-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）风筝是中国古代劳动人民于春秋时期发明的器物，其材质在不断优化之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”（如图1）．清朝诗人高鼎有诗云“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图2，这是某风筝纸的骨架示意图，在，，，中，与构成同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图可知，和是同位角． 【变式1-4】（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，指出下列各对角是什么位置关系的角，它们各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ (1)与； (2)与； (3)与． 【详解】（1）与是内错角，它们是直线，被直线所截形成的． （2）与是同旁内角，它们是直线，被直线所截形成的． （3）与是同位角，它们是直线，被直线所截形成的． 题型02 平行线的基本事实及其传递性应用 【例2-1】（23-24七年级下·安徽淮南·期中）过直线外一点画与已知直线平行的直线（    ） A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．无数条 【答案】A 【详解】解：过直线外一点画与已知直线平行的直线有且只有一条， 故选A. 【例2-2】三条直线，若，则与的位置关系是______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 【变式2-1】在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵， ∴     又∵ ∴ 【变式2-2】下列说法中，正确的有（   ） ①若与相交，与相交，则与相交； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①若与相交，与相交，则与可能相交，也可能平行，也可能异面，故①错误； ②根据平行公理的推论，若，，则，故②正确； ③过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，故③错误； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行、相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，故④错误； 综上，正确的说法只有个． 【变式2-3】已知直线，则三点______同一条直线上．（填“一定在”“不一定在”或“一定不在”） 【答案】一定在 【详解】解：已知，，且与都经过点， 由平行公理可得与为同一条直线， 即三点一定在同一条直线上． 题型03 选择判定平行线的条件 【例3】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【详解】解：， ； ， ； ， ； ， ； 综上所述，能判定的有②③， 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，直线、都与直线相交，给出下列条件：；；；．其中能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：与是直线、被直线所截形成的同位角， ， 根据同位角相等，两直线平行， 可得：， 故符合题意； 与是直线、被直线所截形成的内错角， ， 根据内错角相等，两直线平行， 可得：， 故符合题意； 根据对顶角相等， 可得：， ， ， 和是直线、被直线所截形成的同旁内角， 根据同旁内角互补，两直线平行， 可得：， ，可证， 故符合题意； 根据对顶角相等， 可得：， 和是直线、被直线所截形成的同位角， 当时， 根据同位角相等，两直线平行， 可得：， 即时，， 故不符合题意； 综上所述，其中能判断的条件是． 故选：D． 【变式3-2】（22-23七年级下·安徽亳州·期末）给出下面的推理，其中正确的是（　　） ①∵，∴ ②∵，∴ ③∵，∴ ④∵，，∴ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：①∵，∴．正确．（内错角相等，两直线平行）； ②∵，∴．正确．（同位角相等，两直线平行）； ③与不是同旁内角，是内错角，内错角互补不一定能判定两直线平行，即与不一定平行．故原说法错误； ④∵，，∴．正确．（如果两条平行线中的一条与第三条直线平行那么另一条也与第三条平行）． ∴正确的是①②④． 故选：B 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线与直线，分别交于点A，，是直线上位于点右侧的一点，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．，是直线与直线被直线所截形成的内错角，根据内错角相等，可判定，故本选项不符合题意；   B．，直线与直线被直线所截形成的内错角，根据内错角相等，可判定，故本选项不符合题意；   C．，无法直接对应平行线判定的角关系，不能判定，故本选项符合题意；   D．，直线与直线被直线所截形成的同旁内角，根据同旁内角互补，可判定，故本选项不符合题意．   故选：C． 题型04 平行线判定方法的综合应用 【例4】（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，，，，，将下列推理过程补充完整： (1)（已知） （ ） (2)（已知） （内错角相等，两直线平行） (3)（已知） ，（ ） 【详解】（1）解：（已知） ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （3）（已知） ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． 【变式4-1】完成下面的解题过程，在括号内填依据． 如图，直线，，被直线所截，已知，，，试说明：． 解：因为，， 所以 （等式的性质）， 所以 （ ）． 又因为， 所以 ， 所以 （ ）， （ ）． 【详解】解：因为，， 所以（等式的性质）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 又因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， （平行于同一条直线的两条直线平行）． 【变式4-2】如图，根据图形填空． (1)若，则__________________，依据是__________________； (2)若_________，则，依据是__________________； (3)若，则__________________，依据是__________________； (4)若_________，则，依据是__________________． 【详解】（1）解：若，则 ，依据是同位角相等，两直线平行； （2）解：，则，依据是内错角相等，两直线平行； （3）解：，则，依据是同旁内角互补，两直线平行； （4）解：，则，依据是同旁内角互补，两直线平行． 【变式4-3】如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【详解】证明：（已知）． （等式性质1）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【变式4-4】几何填空题： 完成下列说理过程：如图已知直线被直线所截，，，，试说明． 证明：，（已知） （              ） （      ）（      ）（                              ） 又，（已知） （      ）（      ）（             ） （      ）（      ）（                               ） （                          ） 【详解】证明：，（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 又，（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （平行线的传递性） 题型05 平行线的判定在实际生活中的应用 【例5】随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①；②；③．垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据_________可判断模型位置能够达标（填序号）． 【答案】①③ 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选择数据①③可判断模型位置能够达标． 【变式5-1】在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【详解】解：①通过度量的度数，若满足， 根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论； ②通过度量的度数，若满足， 根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论； ③通过度量的度数，若满足， 根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论． 【变式5-2】如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东的方向继续铺设段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设段，当为多少度时，可使所铺管道？试说明理由．． 【详解】解：当时，可使所铺管道．理由如下： 根据题意，得， ∴ 当时，则， ∴． ∴当时，可使所铺管道． 【变式5-3】你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，，．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 【详解】解：，， ， ， ， 故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的． 题型07 折叠问题 【例6】如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与纸张边缘交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使点的对应点落在上，打开纸张铺平（如图4），得到折痕； 小明说：“”．你认为小明的作法合理吗？请说明理由． (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角板沿直尺的边沿向上推至点； 第三步：如图7，过点画直线． 小婷说：“就是过点平行于的直线”．小婷这样做的依据是______． (3)小颖的作法：用一个三角板． 小颖说：“我只用一个三角板就能作出过点平行于的直线”． 请你利用图8提供的三角板，画出小颖作法的过程示意图．（如需分步画，就画几个图） 【详解】（1）解：小明的作法合理，理由如下： ∵， ， ∵， ， ， ； （2）解：由题意和作图可知：小婷这样做的理由是同位角相等，两直线平行． （3）解：第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线； 第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线； 则就是经过点P且平行于的一条直线． 【变式6-1】如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 小明说． 请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据． 证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（ ） ， ，理由是：（ ） (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P； 第三步：如图7，过点P画直线， 小婷说，就是过点P平行于的一条直线，小婷这样做的理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行                B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行                D．两直线平行，同位角相等 (3)小颖的作法：用一个三角板 小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB且过点P的直线”． 请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图． 【详解】（1）证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（垂直的定义） ， ，理由是：（内错角相等，两直线平行）； （2）由题意和作图可知：小婷这样做的理由是同位角相等，两直线平行； 故选A． （3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线； 第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线； 则就是经过点P且平行于的一条直线． 【变式6-2】（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）． ①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线． （2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）． 【详解】（1）解：①如图2所示： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线． 故答案为垂； （2）证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式性质）， （内错角相等，两直线平行）． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列各图中的与，是同位角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键． 【详解】解：A、与是内错角，故该选项不符合题意； B、与是同旁内角，故该选项不符合题意； C、与是同位角，故该选项符合题意； D、与不是同位角，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可． 【详解】解：如图所示，与两个角都在两条被截直线之间，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故与是直线a，b被c所截而成的同旁内角． 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）下列选项中，由，能得到的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解决本题的关键． 根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．当，不能证明，故不符合题意； B．当，可证明，不能证明，故不符合题意； C．当，不能证明，故不符合题意； D．当，能证明，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列图形中，已知，可以得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，由此即可判断． 【详解】解：A．四边形中，，不能得出，不合题意； B．和是内错角，能得出，不能得出，不合题意； C．和是同旁内角，，不能得出，不合题意； D．的对顶角和的对顶角是内错角，，能得出，符合题意； 故选D． 5．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的余角相等，对顶角相等，根据平行线的判定方法逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，不能判定，原选项符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 二、填空题 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 【答案】内错角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角和同旁内角的特征，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与的位置关系是内错角； 故答案为：内错角． 8．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，写出一个使的条件：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法通常有三种：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．选定一个判定方法，根据这个判定方法的条件补充角之间的关系即可． 【详解】解：， (同位角相等，两直线平行)． 故答案为： （答案不唯一）． 三、解答题 9．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，要想判断是否平行于，我们可以去测量哪些角？请写出三种方案，每种方案测量两个角，不需要说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时两直线平行这些判定方法是解题的关键． 要判断与是否平行，依据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行 ），找出能作为同位角、内错角、同旁内角的角对，从而确定测量方案． 【详解】解：方案一：测量和 若，根据“同位角相等，两直线平行”，可得 ． 方案二：测量和 若，根据“内错角相等，两直线平行”，可得 ． 方案三：测量和 若，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 ． 10．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．    【答案】证明见解析． 【分析】根据余角定义得到，由角平分线定义求出，由此推出． 【详解】解：与互余， 平分平分， ． ． ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 11．（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）如图，点在射线上，点在射线上，，．求证：．（要求每步写出推理依据） 【答案】见解析 【分析】此题考查的是平行线的判定方法，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据同角的补角相等，以及等量关系，结合同位角相等，两直线平行即可求解． 【详解】证明：（已知）， （平角定义）， （同角的补角相等）， （已知）， （等量代换）． （同位角相等，两条直线平行）． 12．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知在中，点P在边BC上．    (1)试用直尺和圆规在上找一点D，使（不写作法，但需保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作即可； （2）根据“内错角相等，两直线平行”即可求证． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求作：    （2）解：由（1）得：， ∵ ∴ 【点睛】本题考查尺规作图：作与已知角相等的角、平行线的判定等．掌握相关作图方法和定理内容是解题关键． 13．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）请完成下面的推理过程，并在括号里填写推理依据： 如图，，，，与平行吗？为什么？ 解：． 理由：（已知）， __________（____________________）， 即__________（____________________） 又，，（已知）， __________=__________（____________________） （____________________） 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂直的定义，等角的余角相等，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据垂直的定义得，结合题意得，利用平行线的判定求解即可． 【详解】解：． 理由：（已知）， （垂直的定义）， 即（等量代换）． 又，，（已知）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 14．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：因为， 所以①________， 即②________． 又因为，且， 所以________（④________）． 所以（⑤________）． 【答案】①，②；③，④等角的余角相等；⑤同位角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定，等量代换思想解答即可． 【详解】证明：因为， 所以， 即． 又因为，且， 所以（等角的余角相等）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，． (1)求的度数； (2)直线和平行吗？为什么？ 【答案】(1) (2)．见解析 【分析】本题考查平行线的判断与性质，邻补角的定义，掌握平行线的判断与性质是解题关键． （1）由邻补角的定义即可求出； （2）由（1）知，再根据，利用内错角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】（1）解：∵与互为邻补角，， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知， 又∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期末） 如图， 直线交于点G， 分别平分 和 已知 (1)请说明： ； (2)若，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握角平分线有关的角的计算，平行线的判定定理是解题的关键． （1）利用角平分线与邻补角定义求得，再根据余角的性质即可得出，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）设，则，，再根据角平分线定义与邻补角列方程，求解，进而可求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵，分别平分和 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 17．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B，格点P为上一点． (1)不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的垂线，交于点C，过点P画的平行线； (2)若，请直接写出线段，，的大小关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—基本作图，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线和平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂线段最短即可得解答案． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求； （2）解：由垂线段最短得，． 18．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，分别平分与，且．求证：．（请根据条件进行推理，完成证明，并在括号内填上依据） 证明：分别平分与（已知）， ①__________，②__________（③_______________） （已知）， ④__________（等量代换）． （已知）， ⑤__________⑥__________（⑦____________________）， （⑧______________________________）． 【答案】①；②；③角平分线的定义；④；⑤；⑥；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行． 【分析】根据题中思路解答即可． 【详解】证明：分别平分与（已知）， ，（角平分线的定义） （已知）， （等量代换）． （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 平行线的判定 教学目标 1.理解平行线的定义，掌握平行公理及其推论。 2.识别 “三线八角” 中的同位角、内错角、同旁内角。 3.掌握平行线的三种判定方法：同位角相等，两直线平行； · 内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 4.能运用判定方法进行简单推理，并规范书写推理过程。 教学重难点 教学重点 1. 1.平行线的三个判定方法（同位角、内错角、同旁内角）的理解与掌握。 2. 2.简单几何推理的书写规范（已知、求证、理由标注）。 3. 3.在图形中准确识别三线八角并应用判定定理。 教学难点 1. 1.从直观操作到逻辑推理的过渡，理解判定定理的推导逻辑。 2. 2.复杂图形中剥离基本 “三线八角” 模型，准确选择判定方法。 3. 3.区分平行线的判定与性质（避免 “判定” 与 “性质” 混淆）。 4. 4.几何语言的规范表达，尤其是推理过程的严谨书写。 知识点01 平行线的定义及画法 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 . 平行线定义的三要素：(1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 . 2. 表示方法：用“∥”表示平行，如图 10.2-1，直线 AB 与 CD是平行线，记作“AB ∥ CD”或“CD ∥ AB”，读作“AB平行于 CD”或“CD 平行于 AB” . 3. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落： 把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠： 紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移： 把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画： 沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线 . 示图(如图 10.2-2)： 【即学即练】（25-26七年级下·安徽宿州·月考）如图，已知直线和点，根据下列要求画一画． (1)过点画，垂足为； (2)过点画的平行线，记为． 知识点02 平行线的基本事实及其推论 1. 基本事实：经过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线 . 特别提醒： 基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线 . 特别解读 “有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性 . 2. 推论：平行线的传递性：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 . 表达方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b. 【即学即练】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 知识点03 同位角、内错角、同旁内角 1. “三线八角”：两条直线被第三条直线所截形成八个角， 习惯上称为“ 三线八角”， 它们构成了同位角、内错角、同旁内角 . 如图 所示，两条直线 a 和 b 被第三条直线 l所截 . 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 (1)同位角：∠ 1 与∠ 5 分别在直线 a 和b 相同的一侧，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同位角 . 再如∠ 2 与∠ 6，∠ 3 与∠ 7，∠ 4 与∠ 8. (2)内错角：∠ 5 与∠ 3 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的两旁，具有这样位置关系的一对角叫作内错角 . 再如∠ 4 与∠ 6. (3)同旁内角：∠ 5 与∠ 4 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同旁内角 . 再如∠ 3与∠ 6. 【即学即练】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图所示，直线，被直线所截： ①和是同位角； ②和是对顶角； ③与是内错角； ④和是同旁内角．则结论正确的是_______（填序号）． 知识点04 平行线的判定 1.平行线的判定的基本事实(判定方法 1） 基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同位角相等，两直线平行 . 表达方式：如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)， 所以 a ∥ b(同位角相等，两直线平行) . 2.过直线外一点作已知直线的平行线 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的平行线的作法如下： 作法  示图 1.在直线 AB 上任取一点 O，过点 O， P 作直线 CD 2.以点 P 为顶点，以 PD 为一边，在直线CD 的右侧作∠ DPN=∠ DOB.PN 边所在的直线 MN 就是要作的直线 3.平行线的判定方法 2 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说，内错角相等，两直线平行 . 特别解读： (1)“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的 . (2)利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角，再说明这两条直线平行 . 表达方式：如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)，所以 a ∥ b(内错角相等，两直线平行) . 4.平行线的判定方法 3 判定方法3 ：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同旁内角互补，两直线平行 . 特别提醒： 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等 . 表达方式：如图 ，因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)，所以 a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) . 5.平行线判定方法的推论 判定方法推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 . 简称： 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 表达方式： 如图 ，直线 a， b， c 在同一平面内 . 因为 a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c. 拓展：a，b，c 为同一平面内的三条不重合直线，在下列结论中：① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c，已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立，即如果 a ⊥ b， a ⊥ c，那么 b ∥ c；如果 a ⊥ b， b ∥ c，那么 a ⊥ c；如果 a ⊥ c， b ∥ c，那么 a ⊥ b 【即学即练】（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 题型01 三线八角的综合判断 【例1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，是直线上一点，，是直线上方的两点，连接，，．图中与构成同旁内角的角共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）风筝是中国古代劳动人民于春秋时期发明的器物，其材质在不断优化之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”（如图1）．清朝诗人高鼎有诗云“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图2，这是某风筝纸的骨架示意图，在，，，中，与构成同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，指出下列各对角是什么位置关系的角，它们各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ (1)与； (2)与； (3)与． 题型02 平行线的基本事实及其传递性应用 【例2-1】（23-24七年级下·安徽淮南·期中）过直线外一点画与已知直线平行的直线（    ） A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．无数条 【例2-2】三条直线，若，则与的位置关系是______． 【变式2-1】在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【变式2-2】下列说法中，正确的有（   ） ①若与相交，与相交，则与相交； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】已知直线，则三点______同一条直线上．（填“一定在”“不一定在”或“一定不在”） 题型03 选择判定平行线的条件 【例3】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，直线、都与直线相交，给出下列条件：；；；．其中能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23七年级下·安徽亳州·期末）给出下面的推理，其中正确的是（　　） ①∵，∴ ②∵，∴ ③∵，∴ ④∵，，∴ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线与直线，分别交于点A，，是直线上位于点右侧的一点，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 题型04 平行线判定方法的综合应用 【例4】（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，，，，，将下列推理过程补充完整： (1)（已知）（ ） (2)（已知） （内错角相等，两直线平行） (3)（已知） ，（ ） 【变式4-1】完成下面的解题过程，在括号内填依据． 如图，直线，，被直线所截，已知，，，试说明：． 解：因为，， 所以 （等式的性质）， 所以 （ ）． 又因为， 所以 ， 所以 （ ）， （ ）． 【变式4-2】如图，根据图形填空． (1)若，则__________________，依据是__________________； (2)若_________，则，依据是__________________； (3)若，则__________________，依据是__________________； (4)若_________，则，依据是__________________． 【变式4-3】如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【变式4-4】几何填空题： 完成下列说理过程：如图已知直线被直线所截，，，，试说明． 证明：，（已知） （              ） （      ）（      ）（                              ） 又，（已知） （      ）（      ）（             ） （      ）（      ）（                               ） （                          ） 题型05 平行线的判定在实际生活中的应用 【例5】随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①；②；③．垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据_________可判断模型位置能够达标（填序号）． 【变式5-1】在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【变式5-2】如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东的方向继续铺设段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设段，当为多少度时，可使所铺管道？试说明理由．． 【变式5-3】你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，，．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 题型07 折叠问题 【例6】如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与纸张边缘交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使点的对应点落在上，打开纸张铺平（如图4），得到折痕； 小明说：“”．你认为小明的作法合理吗？请说明理由． (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角板沿直尺的边沿向上推至点； 第三步：如图7，过点画直线． 小婷说：“就是过点平行于的直线”．小婷这样做的依据是______． (3)小颖的作法：用一个三角板． 小颖说：“我只用一个三角板就能作出过点平行于的直线”． 请你利用图8提供的三角板，画出小颖作法的过程示意图．（如需分步画，就画几个图） 【变式6-1】如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 小明说． 请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据． 证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（ ） ， ，理由是：（ ） (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P； 第三步：如图7，过点P画直线， 小婷说，就是过点P平行于的一条直线，小婷这样做的理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行                B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行                D．两直线平行，同位角相等 (3)小颖的作法：用一个三角板 小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB且过点P的直线”． 请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图． 【变式6-2】（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）． ①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线． （2） 已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列各图中的与，是同位角的是（   ） A．B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）下列选项中，由，能得到的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列图形中，已知，可以得到的是（    ） A．B．C． D． 5．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 8．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，写出一个使的条件：__________． 三、解答题 9．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，要想判断是否平行于，我们可以去测量哪些角？请写出三种方案，每种方案测量两个角，不需要说明理由． 10．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．    11．（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）如图，点在射线上，点在射线上，，．求证：．（要求每步写出推理依据） 12．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知在中，点P在边BC上．    (1)试用直尺和圆规在上找一点D，使（不写作法，但需保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，试说明：． 13．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）请完成下面的推理过程，并在括号里填写推理依据： 如图，，，，与平行吗？为什么？ 解：． 理由：（已知）， __________（____________________）， 即__________（____________________） 又，，（已知）， __________=__________（____________________） （____________________） 14．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：因为， 所以①________， 即②________． 又因为，且， 所以________（④________）． 所以（⑤________）． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，． (1)求的度数； (2)直线和平行吗？为什么？ 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期末） 如图， 直线交于点G， 分别平分 和 已知 (1)请说明： ； (2)若，求 的度数． 17．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B，格点P为上一点． (1)不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的垂线，交于点C，过点P画的平行线； (2)若，请直接写出线段，，的大小关系． 18．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，分别平分与，且．求证：．（请根据条件进行推理，完成证明，并在括号内填上依据） 证明：分别平分与（已知）， ①__________，②__________（③_______________） （已知）， ④__________（等量代换）． （已知）， ⑤__________⑥__________（⑦____________________）， （⑧______________________________）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $