精品解析：广东广州市第二中学教育集团2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

广州二中教育集团2025学年第二学期期中考试 高一数学 命题：曾小鸿 审校：刘飒、马媛 2026.05.06 本试卷共4页，19小题.满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“准考证号“处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡机应的位置上． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则 A. B. C. D. 4. 如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面结论，其中错误的是（ ） A. 水面所在四边形的面积不是定值 B. 没有水的部分始终呈棱柱形 C. 棱一定与平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，（定值） 5. ，是两个平面，m，n是两条直线，则（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，那么 D. 如果，n与相交，那么m，n是异面直线 6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A. B. 的共轭复数为 C. 若复数满足，则的最大值是 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 10. 在中，内角所对的边分别为，则（    ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 已知，，若，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 11. 已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（    ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的轨迹长度为 D. 当时，取最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________． 13. 已知三个顶点坐标分别为：，，，则的面积为__________． 14. 在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，则的取值范围是_________.. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点． （1）用表示； （2）求； （3）求． 16. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC. 17. 已知平面向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 18. 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州二中教育集团2025学年第二学期期中考试 高一数学 命题：曾小鸿 审校：刘飒、马媛 2026.05.06 本试卷共4页，19小题.满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“准考证号“处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡机应的位置上． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3. 已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式可求b,再根据余弦定理可求c. 【详解】因为,所以， 由 ，可得， 根据余弦定理， ， 所以 ，故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题. 4. 如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面结论，其中错误的是（ ） A. 水面所在四边形的面积不是定值 B. 没有水的部分始终呈棱柱形 C. 棱一定与平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，（定值） 【答案】D 【解析】 【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义判断A，B，C，再根据柱体的体积公式判断D. 【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形， 对于A：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中， 线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐增大，故A正确； 对于B：依题意，水面，而平面平面， 平面，则，同理，而，， 又平面，平面平面， 因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故B正确； 对于C：因为，平面，平面，因此平面， 即棱一定与平面平行，故C正确； 对于D：当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为， 又，，所以，故D错误． 故选：D 5. ，是两个平面，m，n是两条直线，则（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，那么 D. 如果，n与相交，那么m，n是异面直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系及线线位置关系判断各个选项. 【详解】如果，，那么或相交或异面，A选项错误； 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交或平行，B选项错误； 如果，，那么无交点，所以，C选项正确； 如果，n与相交，那么m，n是异面直线或相交直线，D选项错误； 故选：C. 6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 7. 已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据共线定理表示点的坐标，代入表达式根据二次函数求最值. 【详解】 已知正方形，以建立平面直角坐标系， ，，，， 设，点在线段上，， 则，， ， 时，的最大值为. 8. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正四棱台的体积公式求出该棱台的高，然后取正四棱台上、下底面中心分别为，根据勾股定理列出等式，确定其外接球 球心的位置，从而求得其半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为. 设正四棱台的高为，则根据正四棱台的体积公式得 ，解得. 设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上， 因为， 设外接球的半径为，设，则，因为， 所以，化简得， 即正四棱台的外接球球心位于处. 此时，所以该棱台的外接球体积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A. B. 的共轭复数为 C. 若复数满足，则的最大值是 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】，故A正确； ，其共轭复数为，故B正确； 设复数在复平面中的点为，则表示点到原点的距离小于等于， 表示点到点的距离， 则的最大值是，故C正确； 易得，是方程的两个根， 所以，得，故D错误. 10. 在中，内角所对的边分别为，则（    ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 已知，，若，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，以及正弦函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，由正弦定理得，所以，所以A正确； 对于B，若，可得， 由正弦定理得，即， 因为为三角形的内角，可得或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以B正确； 对于C，若，，由正弦定理，可得， 当时，此时有两解，可得有两解； 当时，此时只有一解，可得只有一解，所以C错误； 对于D，若为锐角三角形，可得，则， 因为，可得， 又因为在上为单调递增函数，所以，所以D错误. 11. 已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（    ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的轨迹长度为 D. 当时，取最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，得到点在线段上，证得平面平面，可判定A正确；由，结合锥体的体积公式，可判定B错误；由点的轨迹为线段，可判定C正确；当时，得到为线段的中点，求得，将等边和矩形展开在一个平面上，结合余弦定理，求得的最小值，可判定D错误. 【详解】由其中，且， 可得三点共线，即在线段上， 对于A，连接， 在正方体，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以A正确； 对于B，因为在线段上，且平面， 所以，所以B错误； 对于C，因为在线段上，即点的轨迹为线段， 在直角中，可得，所以C正确； 对于D，当时，可得为线段的中点， 此时，， 所以， 又因为在线段上，将等边和矩形展开在一个平面上， 如图所示，设点展开后为点，连接， 在中，可得， 由余弦定理得， 因为，可得，即取最小值为，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由棣莫弗公式结合实部的概念即可求解. 【详解】由题意， 故所求为. 故答案为：. 13. 已知三个顶点坐标分别为：，，，则的面积为__________． 【答案】21 【解析】 【详解】，则， 点到直线的距离为，则的面积为 14. 在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，则的取值范围是_________.. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据余弦定理与正弦定理化简可得，则，利用换元法结合函数的单调性即可求得范围. 【详解】因为，又由余弦定理得， 所以. 由正弦定理得， 又在中，， 所以， 所以或（舍去）， 所以. ，，， 则， 令， 设，易知其在区间上单调递增， 故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点． （1）用表示； （2）求； （3）求． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为点D为的中点，所以， 因为点E在BC上，且，所以； 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由已知，，又， 所以为等边三角形，所以， 又，则由余弦定理得， . 16. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC. 【答案】（1） 由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴， ∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； （2） 由(1)知，平面PBC，平面PBC， ∴MN∥平面PBC， ∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点， ∴在△PBD中，NQ∥PB， ∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC， ∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ， ∴平面平面PBC． 【解析】 【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可； (2)利用中位线证明NQ∥PB，结合(1)中结论即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知平面向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 【答案】（1），， （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质求解即得； （2）结合条件求出角，再由余弦定理即可求得. 【小问1详解】 由 ， 故该函数的最小正周期为， 对称轴方程满足，解得，． 故函数的最小正周期为；对称轴方程为，． 【小问2详解】 由得，即， ，则，故，解得， 由余弦定理得，代入得， 化简得，解得或，经检验均符合题意． 故或. 18. 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将已知条件进行边角转化，利用三角恒等变换求解即可； （2）结合余弦定理及基本不等式求解即可； （3）设，利用余弦定理及与互补，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②，求得，代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以． 整理得：， 即，， 而,故，又因为，所以； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理可得：， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； 【小问3详解】 如图所示： 设， 则， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为与互补， 所以， 所以①， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② 由①②可得：， 解得， 所以 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以 ， 即. （3） 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $