第1章 微专题3 角平分线中常用的四种作辅助线的方法-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

4.解：(1)中线CD如答图1所示. HA 答图1 答图2 (2)AB边上的高CH如答图2所示. 5.解：∠BAC=110°，.∠B+∠C=180°-110°=70°， .MP,NQ分别垂直平分AB和AC, ..BP=AP,CQ=AQ, .∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C ∴.∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=110°-70°=40°. 6.B 第12课时角平分线(1) 核心讲练 例1B变1C 例2解：.DE⊥AB,DF⊥AC,.∠DEB=∠DFC=90°， ∠DEB=∠DFC, 在△BDE和△CDF中，BE=CF, ∠B=∠C, ∴.△BDE≌△CDF(ASA),∴.DE=DF, 而DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.点D在∠BAC的平分线上. 课堂过关 1.C2.C3.10 4.(1)2cm 证明：(2)如答图1，过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥ BA的延长线于点F,则∠DEC=∠DFA=90°， ,BD平分∠ABC,∴.DE=DF. ∠BAD+∠DAF=180°，.∠DAF=180°-a, ∠BCD=180°-a,∠DAF=∠DCE, ∴.△DAF≌△DCE(AAS), .'.AD=CD. (3)如答图2，在BC上取BH=BD, :△ABC是等腰三角形，∠A=100°， ÷∠ABC=∠C=180°，100=40， 2 答图1 .BD平分∠ABC, ∴∠DBH=号∠ABc-=号×40=20， BH-BD, ∴∠BHD=∠BDH=180°，20°=80， 答图2 2 .∠A+∠BHD=100°+80°=180°， 由(2)可得，AD=DH, :∠C+∠CDH=∠BHD, .∠CDH=∠BHD-∠C=80°-40°=40°， .∠CDH=∠C,.DH=CH, ..AD=CH,.'BC=BH+CH=BD+AD, 即BD十AD=BC. 第13课时角平分线(2)》 核心讲练 例1OP=OM=ON变1125例2C 变2(1)证明：AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD 'EG∥AD,∴∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG, ∴.∠G=∠AFG,.AG=AF, 参考苔案 ∴.△AFG是等腰三角形， (2)解：：CE=EF,∠CFE=∠C '∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD,∴.∠C=∠CAD. ∠BAC=80°，AD平分∠BAC,.∠C=∠CAD=40°， ∠B=180°-∠BAC-∠C=60°. 例3B 例4解：(1)如答图1，点E为所作 (2)如答图2，点D为所作， B R 答图1 答图2 课堂过关 1.C2.15 3.解：(1)，OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,∴.PE=PF (2)PE=PF,理由如下：当PE⊥OA时， .∠AOB=90°，OC平分∠AOB， .∠POE=∠POF=45°， .∠PEO=∠EPF=∠EOF=90°， 且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO=360°， ∴.∠PFO=90°，.∠PEO=∠PFO, ,OP=OP,'.△PEO≌△PFO(AAS),.PE=PF; 当PE与OA不垂直时，如答图，作PM⊥OA于点M,PN⊥OB 于点N, '∠OMP=∠ONP=90°，∠POM=∠PON =45°，OP=OP, 0 ∴.△POM≌△PON(AAS), ..PM=PN, :∠OMP=∠ONP=-∠MON=90°，且∠OMP 0 NFB +∠ONP+∠MON+∠MPN=360°， 答图 .∠MPN=90°， ∠EPF=90°，∴.∠MPE=∠NPF=90°-∠EPN, :∠PME=∠PNF=90°， .△PME≌△PNF(ASA),∴.PE=PF, 综上所述，PE=PF (3)PE-PF. 微专题3角平分线中常用的四种作辅助线的方法 1.证明：如答图，在AB边上截取AE,使AE=AC,连接DE ,'AD平分∠BAC .∠EAD=∠CAD. 在△ADE和△ADC中， E (AE-AC, ∠EAD=∠CAD, 答图 LAD-AD '.△ADE≌△ADC(SAS), ∴.ED=CD,∠AED=∠C ∠AED=∠B+∠EDB,∠C=∠B+∠EDB. 又'∠C=2∠B,∴∠B=∠EDB, ∴.BE=DE,.BE=CD, ∴，AB=AE+BE=AC+CD,即AC+CD=AB. 2.解：点P在∠AOB的平分线上」 理由：如答图，过点P作PD⊥OA于 G 点D,PE⊥OB于点E. S=zFG.PD,Sm=合N. PE,SAPRG =SARMIN 0 5 答图 数学八年级下册（北师大版） ∴FG PD=-MN·PE 又.FG=MN,PD=PE, ∴.点P在∠AOB的平分线上. 3.证明：如答图，过点P作PE⊥OA于点 E,PF⊥OB于点F,∴∠PEC=∠PFD M =90°. OM是∠AOB的平分线，.PE=PF E- :∠AOB=90°，∠CPD=90°， ∴.∠PCE+∠PD0=360°-90°-90°02 DF R =180°. 答图 .∠PDO+∠PDF=180°，.∠PCE=∠PDF. ∠PCE=∠PDF, 在△PCE和△PDF中，〈∠PEC=∠PFD, PE=PF. ∴.△PCE≌△PDF(AAS),∴.PC=PD 4.解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延 长线于点F, .AD平分∠BAC,DE=DF. CE. “Sam=合AB,DE=号X4DE =2DE, Sm=2AC.DF=合X3DF= 答图 SAASAN-2DE:DF-43. 即△ABD与△ACD的面积之比为4：3. 5.解：如答图，延长AE,CB交于点F,过点D作DM⊥AC于点 M. :∠ABC=90,AE⊥CD, ∴.∠FAB+∠F=90°，∠FCE+ ∠F=90°. .∠FAB=∠FCE. D 在△ABF 和 △CBD 「∠FAB=∠DCB, F--- B 中，AB=CB, 答图 (∠ABF=∠CBD=90°， .△ABF≌△CBD(ASA),∴.AF=CD. :AE=合CD,∴AE=AF=EE (AE-FE, 在△ACE和△FCE中，∠AEC=∠FEC=90°， CE=CE, .△ACE≌△FCE(SAS), .∠ACE=∠FCE,即CD平分∠ACB. 又DM⊥AC,∠ABC=90°，BD=8cm, .DM=DB=8cm,即点D到AC的距离为8cm. 6.证明：如答图，在AD上截取DH,使DH=BD,连接 EH,FH D 答图 ,AD是BC边上的中线， .BD=CD,即BD=CD=DH.DE平分∠ADB, ·∠BDE=∠HDE. 又DE=DE,∴.△BDE≌△HDE(SAS), .BE=HE.同理可得△CDF≌△HDF(SAS), ∴.CF=HF. 在△HEF中， .HE+HF>EF,.'.BE+CE>EF 问题解决：策略反思 1.解：【证明命题】证明：如答图1，连接AD, :AB=AC,点D是BC的中点，∴AD平分∠BAC, ,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF 【条件探究】证明：如答图2，连接AD,交BC于点M, :AB=AC,BD=CD,点A,D在线段BC的垂直平分线上， .AD垂直平分BC, AB=AC,AD⊥BC,∴.AD平 分∠BAC, .DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF 【条件、结论互换】猜想不一定成立.如答 图3，当点D在BC的垂直平分线上，且 在△ABC的外角平分线上时，满足条 件，但△ABC不一定是等腰三角形， B 答图3 2.解：(1)如果一个三角形一边上的中线也是这条边上的高，那 么这个三角形是等腰三角形， (2)a.已知：如题图，在△ABC中，AD是中线，AD⊥BC.求 证：△ABC是等腰三角形. b.命题I,Ⅱ都是真命题，证明过程如下： 命题I:,AD平分∠BAC,·∠BAD=∠CAD, 在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB =∠ADC=90°，.△ABD≌△ACD(ASA), ∴.AB=AC,△ABC是等腰三角形 命题I:AD是中线，∴.BD=DC,在△ABD和△ACD中， AD=AD,∠ADB=∠ADC=90°，DB=DC,.△ABD≌ △ACD(SAS), ∴.AB=AC,△ABC是等腰三角形， 第14课时章末复习 高频考点精练·体验中考 1.(1)B(2)B2.C3.C4.D 5.每一个内角都大于60° 6.直角三角形两锐角互余 7.12 8.解：(1)如答图，点D即为所求 D 答图 (2)6/2 9.(1)证明：由作图知：BD=CD 在△ABD和△ACD中， (AB=AC, .BD=CD, LAD-AD ∴.△ABD≌△ACD. (2)23 易错二次闯关 1.C2.D3.6cm或7cm 4.75°或120°或15°数学·八年级下册（北师大版） 微专题3角平分线中常用的四种作辅助线的方法 方法1截长法作对称图形 方法2作角两边的垂线段 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C= 2.如图，点F,G是OA上的两点，点M,N是OB 2∠B.求证：AC+CD=AB. 上的两点，且FG=MN,△PFG和△PMN的 面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分 线上，并说明理由。 3.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，4.如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,AD是 将三角尺的直角顶点P沿射线OM滑动，两直角 △ABC的角平分线，求△ABD与△ACD的 边分别与OA,OB交于点C,D.求证：PC=PD. 面积之比， M ●>32。 第一章三角形的证明及其应用 方法3补图法构造图形 方法4翻折法构造图形 5.如图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，D6如图，AD为△ABC的中线，DE,DF分别是△ADB 是AB上一点，连接CD,作AE⊥CD交CD的 和△ADC的角平分线.求证：BE+CF>EF. 延长线于点E,且AE-号CD,BD=8cm求 点D到AC的距离. D ●>33●