2026年中考数学总复习专题突破训练：二次函数与最值问题

2026年中考数学总复习专题突破训练：

二次函数与最值问题

 

1．阅读下面的材料：

我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下：，由，得；

代数式的最小值是4．

(1)仿照上述方法求代数式的最小值．

(2)代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值．

(3)延伸与应用：如图所示，小红父亲想用长栅栏，再借助房屋外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的面积为S平方米．当，分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？

2．已知二次函数的图像经过点，，．

(1)求的值；

(2)已知二次函数的最小值为，求该函数的表达式；

(3)若，当时，y的最小值是，

①当时，求y的最大值，并写出取得最大值时点的坐标；

②在①中y取最大值时的点为C，设过点A，C的直线为，垂直于x轴的直线分别交直线和抛物线于点M，N，求线段MN的最大值．

3．已知抛物线与轴交于、两点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)①当时，求函数最大值与最小值的差；

②当时，函数最大值与最小值的差为2，直接写出的值；

(3)点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的横坐标及的最大值．

4．如果二次函数的图象过点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)它有最大值还是最小值？求出当x取多少时，最大值或最小值是多少？

5．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，．

(1)求b，c的值；

(2)当时，求的最大值与最小值之差；

(3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的值．

6．二次函数的图象如图．

  

(1)若，则随的增大而________；当________时，有最小值为________；当________时，有最大值为________．

(2)若，则随的增大而________；当________时，有最小值为________；当________时，有最大值为________．

(3)若，则当________时，有最小值为________；当________时，有最大值为________．

7．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值；

(3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值；

(4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标．

8．已知抛物线为常数）经过点．

(1)求a的值．

(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t的值．

(3)设，抛物线的一段最大值与最小值的差为，求的最大值与最小值．

9．如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由；

(3)已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由．

10．若对于关于的函数在范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为．

(1)若，求的值；

(2)若，

①若点，均在函数的图象上，当的值最大时，求的值；

②当时，求的值．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点