精品解析：辽宁大连市第八中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与角的终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，则与角的终边相同的最小正角是. 2. 在中，若，则角等于（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 15° 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理可得，即，解得， 所以或，又因，则不符合题意，故. 3. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，向量在上的投影向量为. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 所以. 5. 在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式，和展开过程中的长度关系即可. 【详解】展开过程中： , , 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和余弦公式结合同角三角函数关系计算，最后应用两角差余弦公式求解. 【详解】因为，所以， 又因为，则，即得， 所以，且， 则. 7. 已知函数则“的最小正周期大于4”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】，所以， 令， 解得， 当时，单调递增区间为， 若在上单调递增，则，即， 所以， 因为真包含于， 所以“的最小正周期大于4”能推出“在上单调递增”， “在上单调递增”推不出“的最小正周期大于4”， 所以“的最小正周期大于4”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 8. 在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出是直角三角形，利用基本不等式求得周长的最小值. 【详解】由，得，即. 而， 所以，即. 由于为锐角，所以，， 所以与异号或， 若，即， 又，，则，， 所以，即，此不等式组无解，所以不成立. 同理可得不成立. 所以， 即，所以，，即为直角三角形. 由题意知，，即，所以. 所以的周长， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 二､多选题（本题共9小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断A；根据余弦型函数的性质判断BCD. 【详解】对于A：，显然，所以不是偶函数，A错误. 对于B：的最小正周期为，B正确. 对于C：当时， ， 余弦函数在对称轴处取最值，所以是的对称轴，C正确. 对于D：当时，，则， 所以在上的值域为，D错误. 10. 已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（ ）. A. B. C. 与的夹角为 D. 存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数量积，模长，求两向量的夹角公式计算即可. 【详解】对于，，故正确； 对于，，，所以，故正确； 对于，设与的夹角为，，则，所以，故错误； 对于，假设存在，使得，则，因为是单位向量，所以，所以假设成立，故正确. 故选：. 11. 已知函数有两个零点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】以方程的两个零点、为核心，先利用单位圆推导出和的周期性，结合函数图象判断、，再将、代入表达式，结合三角函数在对应区间的符号、单调性，通过变形化简与符号分析，完成对和的正负判断，从而验证各选项正误. 【详解】设，作单位圆，与轴交于，则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接. 由三角函数的定义可知，，设扇形的面积为. 则，即，故，当时，有不等式； 已知函数，，令得. 由与图象与性质得零点：，. 满足，，且；. 对于选项A，画出与的函数图象， 如图： 可以看出，故，故A正确； 对于选项B，的最小正周期为，由图象可知，所以，故B错误； 选项C：因为. 所以 因为，所以 而，但，且在为增函数. 故，故，故C正确. 选项D：因为，， 所以. 因为，， 所以，，，，则. 由的零点性质，且， 又在上单调递减， 故，即，得. 因此，即，D正确 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，满足，，，则=______ 【答案】12 【解析】 【详解】因为，，， 所以. 13. 在中，，，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式求出 ,再由正弦定理算出sin并结合边角大小确定,接着用三角形内角和求出,最后代入两边及夹角正弦的面积公式化简,求得三角形面积. 【详解】由正弦定理：，代入得. 而. 故. 因为，故为锐角，. . 面积 14. 已知函数（）的图象关于直线对称，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由辅助角公式可得，由函数图象关于对称推出，求出，再由二倍角的正切公式计算即得. 【详解】，其中满足， 因为该函数图象关于对称，所以，即， 则， 故. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且， （1）求的值； （2）求的值； （3）求角的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正切和角公式求解即可； （2）利用二倍角公式正余弦化简即可求解； （3）根据角的范围及正切和角公式求解即可． 【小问1详解】 由，， 所以． 【小问2详解】 由，所以． 【小问3详解】 由，，则， 又，则， 又，则， 又，，则， 所以． 16. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象.若图象关于点对称，求函数的解析式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后根据周期公式即可求解； （2）根据正弦函数的单调增区间即可求解； （3）首先根据图像平移得出，然后根据正弦函数的对称性求出. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由，可得， 所以函数的单调增区间为. 【小问3详解】 将函数的图象上的所有点沿向量平移， 得到的图象，所以， 由的图象关于点对称，可得 ， 所以，解得， 又，当时，，故. 17. 已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. （3）若点是边上一点，且，，求的面积. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）计算向量数量积，利用三角函数和角公式及三角形内角和性质，化简得出，进而求角； （2）由面积公式求出，再通过余弦定理及完全平方公式求出，最后计算周长； （3）利用中点向量表示，平方后结合余弦定理得到的方程联立求解，再根据面积公式求面积. 【小问1详解】 由已知向量，， 得， 因为，所以，即， 又，所以， 又，则，所以，所以； 【小问2详解】 由已知，，且，得， 由余弦定理，又，得， 所以或（舍）， 故的周长为； 【小问3详解】 因为点是边上一点，且，所以是的中点， 所以，两边平方得， 又，，所以，即①， 又，，由余弦定理，得②， ①②联立得， 故的面积. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）当座舱距离地面的高度超过92.5m时，人的心跳速度就会加快，因此这段时间被称为“心跳加速时刻”，求游客甲在开始转动一周的过程中，处于“心跳加速时刻”的时间段； （3）①请利用所学知识证明； ②若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（，精确到）. 【答案】（1）， （2）第到 （3）①证明见解析；②， 【解析】 【分析】（1）以轴心为原点建立平面直角坐标系，结合初始位置、角速度等条件，用正弦型函数刻画座舱高度随时间的变化，即可将圆周运动转化为三角函数模型； （2）通过高度建立不等式，结合正弦函数的单调区间，求解对应的时间范围即可； （3）①利用两角和与差的正弦公式展开并合并同类项，即可进行推导； ②先根据相邻座舱的圆心角确定乙的高度函数，再做差得到高度差表达式，然后结合和差化积公式化简并求解最大值. 【小问1详解】 如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系. 当时，，此时游客甲位于点， 取以为终边的角为，根据摩天轮转一周大约需要， 可知座舱转动的角速度约为， 所以，. 【小问2详解】 由得：， 即，解得：， 故第到为“心跳加速时刻”. 【小问3详解】 ①因为， 所以 . ②如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，则， 经过后甲距离地面的高度为， 点相对于点始终落后， 此时乙距离地面的高度为， 则甲、乙距离地面的高度差： 利用， 可得，. 当（或），即（或）时，的最大值为， 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求角A的大小； （2）当时， （ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值； （ⅱ）求值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理对进行转化，得出，再由角的范围得出角即可； （2）（ⅰ）运用余弦定理得出，再应用向量基本定理结合为重心得出，最后应用数量积公式及运算律结合基本不等式计算求解；（ⅱ）应用数量积公式计算结合正弦定理化简，再应用三角恒等变换化简求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，， 即， 整理得. 因为，所以， 所以，即，化简. 又因为，所以，即得. 【小问2详解】 由余弦定理得，且，即得，即， 在中，，所以， ， 所以 ， 因为，所以，解得，当且仅当时取等号. 所以，所以当且仅当时取最大值.        （ⅱ）由正弦定理，得， 又因为，所以， 所以 ， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与角的终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，则角等于（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 15° 3. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数则“的最小正周期大于4”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共9小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 10. 已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（ ）. A. B. C. 与的夹角为 D. 存在，使得 11. 已知函数有两个零点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，满足，，，则=______ 13. 在中，，，，则的面积为______. 14. 已知函数（）的图象关于直线对称，则______. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且， （1）求的值； （2）求的值； （3）求角的大小． 16. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调增区间； （3）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象.若图象关于点对称，求函数的解析式. 17. 已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. （3）若点是边上一点，且，，求的面积. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）当座舱距离地面的高度超过92.5m时，人的心跳速度就会加快，因此这段时间被称为“心跳加速时刻”，求游客甲在开始转动一周的过程中，处于“心跳加速时刻”的时间段； （3）①请利用所学知识证明； ②若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（，精确到）. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求角A的大小； （2）当时， （ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值； （ⅱ）求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $