11.3 一元一次不等式组 新课预习讲义（知识点梳理+常考题型+巩固测试）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

11.3 一元一次不等式组 新课预习讲义（人教版） ✏ 题型归纳. 题型1 求不等式组的解集. 题型2 求一元一次不等式组的整数解. 题型3 由一元一次不等式组的解集求参数. 题型4 由不等式组解集的情况求参数. 题型5 不等式组和方程组结合的问题. 题型6 列一元一次不等式组. 题型7 不等式组的行程问题. 题型8 不等式组的经济问题. 题型9 不等式组分配问题. 题型10不等式组的方案选择问题. 题型11不等式组的阶梯收费问题. 题型12一元一次不等式组的其他应用. 题型13巩固测试题. ☘重点知识●梳理. ◉【知识点一、基本概念】 1.一元一次不等式组 ◆定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 2.不等式组的解集： 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。 没有公共部分→不等式组无解。 3.关于4种解集规律（a<b） ◉【知识点二、一元一次不等式组的解法步骤】（关键：找“不等关系”） 1.解：分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集； 2.画：在同一数轴上表示出各个不等式的解集; 3.找：找出数轴上各个解集的公共部分; 4.答：写出不等式组的解集 ★关键点：解单个一元一次不等式时，遵循不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。 ◉【知识点三、一元一次不等式组的实际应用】 1. 解题步骤： （1）审：审清题意，找出题干中的已知量、未知量，确定不等关系； （2）设：设出合适的未知数（一般设所求量）； （3）列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； （4）解：解不等式组，求出解集； （5）验：检验解集是否符合实际意义（如人数、数量为正整数，路程、体积为非负数等）； （6）答：写出符合题意的答案（若为方案题，需列出所有可行方案）。 2. 常见实际场景： （1）分配问题：如物品分配时 “有余”“不足”“不空也不满”； （2）计费问题：如出租车收费、购物满减、阶梯收费； （3）采购问题：如资金有限、数量要求，求最优采购方案 / 可行采购方案； （4）行程问题：如速度限制、时间要求，求速度 / 时间的取值范围； （5）生产问题：如原材料限制、产量要求，求生产数量的范围。 ◉【知识点四、常考题型 + 详细公式】 题型 1：分配问题（不空也不满） 关键词：分物品，有剩余，又不够再分一份； 例：每人分 a 个，剩若干；每人分 a 个，则不足、不够再分一份。 则可以设：有 x 人，物品总数为定值. 核心公式：1≤总数-每人分的×人数<每人分的数量. 列不等式： 题型 2：方案问题（采购、生产、租车） 设：甲 x 件，乙 (总数量―x)件 公式 整数解的个数 = 方案数 题型 3：竞赛、积分问题 关键词：对一题得a分，错一题扣b分，总分不低于M分. 设：对 x 题，错( 总题数－x )题 公式：对题得分－错题扣分≥目标分数 列式：ax-b(总题数－x)≥M 题型 4：上下限范围问题 （速度、时间、面积） 关键词：至少、至多、不低于、不超过、在…之间 公式： 例如：速度v在60～100之间 题型 5：分段计费与选择划算方案 关键语句：两种收费方式，什么时候A比B 划算。 解题思路： A 费用 ＜ B 费用 → A 划算 A 费用 ＞ B 费用 → B 划算 A 费用 ＝ B 费用 → 一样 列式：设用量为x 题型6利润问题（进货、销售） 关键词：不亏本、利润不低于…、成本不超过… 核心公式：利润=售价-进价 💦 常考题型●精讲精练 题型1求不等式组的解集 例1．一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．不等式组的解集是______． 变式2．琪琪在解不等式组时，发现其中一个的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如下所示． 解：……第一步 ……第二步……第三步 由得……第四步 ……第五步 ……第六步 (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为_____（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为_____． 题型2求一元一次不等式组的整数解 例2．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 变式1．不等式组的最小整数解是___________． ． 变式2．解一元一次不等式组，并写出满足该不等式组的x的整数值． 题型3由一元一次不等式组的解集求参数 例3．关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是______． 变式2．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当x为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则，如，，，， 试解决下列问题 (1)填空：①___________， ②如果，则实数x的取值范围为___________； (2)求满足的所有非负实数x的值； (3)若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围． 题型4由不等式组解集的情况求参数 例4．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 变式2．对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 题型5不等式组和方程组结合的问题 例5．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 变式1．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 变式2．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 题型6列一元一次不等式组 例6．2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 变式2．如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将的水装进一个容量为的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积所在的范围是多少，并写出求解过程． 题型7不等式组的行程问题 例7．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 变式1．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 变式2．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 题型8不等式组的经济问题 例8．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 变式1．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 变式2．王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 题型9不等式组的分配问题 例9．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人． 变式2．（1）解方程：； （2）把一些书分给同学，若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本．则共有多少名同学？ 题型10不等式组的方案选择问题 例10．随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 题型11不等式组的阶梯收费问题. 例11．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 题型12一元一次不等式组的其他应用 例12．把若干个苹果分给几名小朋友，如果每人分3个则余下8个；如果每人分5个，则最后一人分得的苹果不足5个问有多少名小朋友？多少个苹果？下列答案正确的是（   ） A．5名小朋友，23个苹果． B．6个小朋友，23个苹果． C．个小朋友，26个苹果． D．5名小朋友，23个苹果或6个小朋友，26个苹果． 变式1．百题速答赛共100道题，答对一题得5分，答错一题扣1分，不答得0分．希希得了400分，他最多答对________道题． 变式2．某公司计划购进一批智能机器人．据了解，2台甲型号、3台乙型号的智能机器人进价共计90万元；4台甲型号、1台乙型号的智能机器人进价共计130万元． (1)求甲、乙两种型号智能机器人每台进价分别为多少万元； (2)该公司计划用完160万元购进以上两种型号的智能机器人（两种型号均要购买），帮该公司求解所有的购进方案． 💧💧巩固提升●测试题 一、单选题 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．某日天津市的最高气温是，最低气温是，能正确表达这一天气温的变化范围的是（   ） A． B． C． D． 4．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 二、填空题 5．已知关于x的不等式组下列四个结论：①若它的解集是， 则； ②当，不等式组有解； ③若不等式组有解， 则；④若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；其中正确的结论是____________（填写序号即可） 6．不等式组的整数解是________． 7．若方程组的解满足，则的取值范围为___________． 8．某兴趣小组去过五台山、普陀山、峨眉山、九华山这四大名山的人数同时满足以下三个条件： （1）去过五台山的人数多于去过峨眉山的人数； （2）去过峨眉山的人数多于去过普陀山的人数； （3）去过普陀山的人数的2倍多于去过五台山的人数． 若去过普陀山的人数为4，则去过峨眉山的人数的最大值为______． 三、解答题 9．解不等式组： 10．某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 11．校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 12．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金980元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1380元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校最多能够提供资金4060元，请问有几种购买方案供这个学校选择． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3 一元一次不等式组 新课预习讲义（人教版） ✏ 题型归纳. 题型1 求不等式组的解集. 题型2 求一元一次不等式组的整数解. 题型3 由一元一次不等式组的解集求参数. 题型4 由不等式组解集的情况求参数. 题型5 不等式组和方程组结合的问题. 题型6 列一元一次不等式组. 题型7 不等式组的行程问题. 题型8 不等式组的经济问题. 题型9 不等式组分配问题. 题型10不等式组的方案选择问题. 题型11不等式组的阶梯收费问题. 题型12一元一次不等式组的其他应用. 题型13巩固测试题. ☘ 重点知识●梳理. ◉【知识点一、基本概念】 1.一元一次不等式组 ◆定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 2.不等式组的解集： 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。 没有公共部分→不等式组无解。 3.关于4种解集规律（a<b） ◉【知识点二、一元一次不等式组的解法步骤】（关键：找“不等关系”） 1.解：分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集； 2.画：在同一数轴上表示出各个不等式的解集; 3.找：找出数轴上各个解集的公共部分; 4.答：写出不等式组的解集 ★关键点：解单个一元一次不等式时，遵循不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。 ◉【知识点三、一元一次不等式组的实际应用】 1. 解题步骤： （1）审：审清题意，找出题干中的已知量、未知量，确定不等关系； （2）设：设出合适的未知数（一般设所求量）； （3）列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； （4）解：解不等式组，求出解集； （5）验：检验解集是否符合实际意义（如人数、数量为正整数，路程、体积为非负数等）； （6）答：写出符合题意的答案（若为方案题，需列出所有可行方案）。 2. 常见实际场景： （1）分配问题：如物品分配时 “有余”“不足”“不空也不满”； （2）计费问题：如出租车收费、购物满减、阶梯收费； （3）采购问题：如资金有限、数量要求，求最优采购方案 / 可行采购方案； （4）行程问题：如速度限制、时间要求，求速度 / 时间的取值范围； （5）生产问题：如原材料限制、产量要求，求生产数量的范围。 ◉【知识点四、常考题型 + 详细公式】 题型 1：分配问题（不空也不满） 关键词：分物品，有剩余，又不够再分一份； 例：每人分 a 个，剩若干；每人分 a 个，则不足、不够再分一份。 则可以设：有 x 人，物品总数为定值. 核心公式：1≤总数-每人分的×人数<每人分的数量. 列不等式： 题型 2：方案问题（采购、生产、租车） 设：甲 x 件，乙 (总数量―x)件 公式 整数解的个数 = 方案数 题型 3：竞赛、积分问题 关键词：对一题得a分，错一题扣b分，总分不低于M分. 设：对 x 题，错( 总题数－x )题 公式：对题得分－错题扣分≥目标分数 列式：ax-b(总题数－x)≥M 题型 4：上下限范围问题 （速度、时间、面积） 关键词：至少、至多、不低于、不超过、在…之间 公式： 例如：速度v在60～100之间 题型 5：分段计费与选择划算方案 关键语句：两种收费方式，什么时候A比B 划算。 解题思路： A 费用 ＜ B 费用 → A 划算 A 费用 ＞ B 费用 → B 划算 A 费用 ＝ B 费用 → 一样 列式： 设用量为x 题型6利润问题（进货、销售） 关键词：不亏本、利润不低于…、成本不超过… 核心公式：利润=售价-进价 💦 常考题型●精讲精练 题型1求不等式组的解集 例1．一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示以上不等式解集为： ． 变式1．不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别求出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定原则找出公共部分即可求解． 【详解】解： 解不等式①，移项得，合并同类项得，根据不等式的性质2，两边同时除以2，得． 解不等式②，移项得，合并同类项得，根据不等式的性质2，两边同时除以3，得． ∴该不等式组的解集为． 变式2．琪琪在解不等式组时，发现其中一个的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如下所示． 解：……第一步 ……第二步……第三步 由得……第四步 ……第五步 ……第六步 (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为_____（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为_____． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）由一元一次不等式解集求解步骤计算即可； （2）由不等式解法步骤-去分母，得到利用了不等式性质； （3）分别解不等式组中的①②，再由同小取小即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， 即， ， ， 解得， 故被墨迹覆盖的系数是； （2）解：由去分母过程可知，选C； （3）解：解①得； 解②得； 该不等式组的解集为． 题型2求一元一次不等式组的整数解 例2．不等式组的负整数解是（　　） A．，0， B． C．， D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数． 【详解】解：不等式组的解集为：， ∴该不等式组的负整数解是，． 变式1．不等式组的最小整数解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求解两个不等式，找出解集的公共部分，然后确定最小整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为， 故答案为：． 变式2．解一元一次不等式组，并写出满足该不等式组的x的整数值． 【答案】不等式组的解集为，满足该不等式组的x的整数值为，0 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并据此得出满足该不等式组的x的整数值即可． 【详解】解： 由①得． 由②得． ． ∴不等式组的解集为 ∴满足该不等式组的x的整数值为，0 题型3由一元一次不等式组的解集求参数 例3．关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 变式1．已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解题的关键． 先求出不等式组的解集为，再根据不等式组有且仅有一个整数解，从而确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下： ∵不等式组有且仅有一个整数根， ∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解， ∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1）， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 变式2．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当x为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则，如，，，， 试解决下列问题 (1)填空：①___________， ②如果，则实数x的取值范围为___________； (2)求满足的所有非负实数x的值； (3)若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围． 【答案】(1)①，② (2)， (3) 【分析】此题考查的是新定义类问题和解不等式组，理解新定义和掌握不等式组的解法是解决此题的关键． （1）①根据新定义，即可求出；②根据新定义，即可求出实数的取值范围． （2）根据新定义，设，k为整数，则，求出k的取值范围，即可求出k的整数值，从而求出x的值． （3）解不等式组得，根据不等式的整数解即可求出的值，从而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意可得． 故答案为：3． ②， ， ． 故答案为：． （2）解：，且为整数， ∴设，k为整数，则， ∴， ，， ， ，1， ，． （3）解：， 解不等式组得， 由不等式组的整数解恰有3个，得， ∵为非负整数， ∴， ∴． 题型4由不等式组解集的情况求参数 例4．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据恰有3个整数解确定具体整数解，最后结合解集边界确定的取值范围，需注意边界值的取舍． 【详解】解：∵不等式组， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴这3个整数解为1、0、， ∴． 故选B． 变式1．关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式2．对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 题型5不等式组和方程组结合的问题 例5．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 变式1．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 变式2．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键． （1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到的表达式，无需单独解出，再根据建立关于的不等式求解范围； （2）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得， 解得． ， ， ，． （2）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，． 题型6列一元一次不等式组 例6．2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式组，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义． 万源市的最高气温为，最低气温为，即气温大于或等于，小于或等于，据此写出答案即可． 【详解】解：万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是：． 故选：D． 变式1．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 变式2．如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将的水装进一个容量为的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积所在的范围是多少，并写出求解过程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，结合“放入三个玻璃球未满，放入四个玻璃球水溢出”列不等式是解决本题的关键． 先利用放过三个玻璃球未满，即水的容量加三个玻璃球的体积小于杯子的容量列第一个不等式，再由放入四个玻璃球水溢出列第二个不等式，由一元一次不等式组的求法求解即可． 【详解】解：设一颗玻璃球的体积， 将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， 所以， 将四个相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出， 所以， 即，解得， 所以， 即一颗玻璃球的体积在和之间 ． 题型7不等式组的行程问题 例7．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 变式1．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 变式2．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 题型8不等式组的经济问题 例8．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 【详解】解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 变式1．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【答案】她还能买7支中性笔 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，掌握根据实际问题列出不等式组并取正整数解是解题的关键． 设能买支中性笔，根据总花费不超过元且剩余钱数少于元，列出不等式组，求解后取正整数解． 【详解】解：设她能买支中性笔． 由题意，得 解得． 为正整数， ． 故她还能买支中性笔． 题型9不等式组的分配问题 例9．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 变式1．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 变式2．（1）解方程：； （2）把一些书分给同学，若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本．则共有多少名同学？ 【答案】（1）；（2）6名 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式组的应用，熟练掌握方程的解法和不等式组的应用是解题关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）设共有名同学，根据若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本建立不等式组，解不等式组，结合为正整数求解即可得． 【详解】解：（1）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）设共有名同学， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， 答：共有6名同学． 题型10不等式组的方案选择问题 例10．随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． (1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ (2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【答案】(1)甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号机器人单价为10万元 (2)购买甲种型号机器人5套、乙种型号机器人5套时所花资金最少，最少资金是115万元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用与一元一次不等式的最值问题，解题关键是根据题意建立方程或不等式模型，结合一次函数单调性求解最优方案． （1）设乙种型号机器人单价为未知数，根据“甲单价比乙多 3 万元”和“100 套甲与 130 套乙费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解得到甲、乙单价． （2）设购买甲种机器人数量为未知数，用总套数表示乙种数量，建立总资金的一次函数；根据“资金不低于 114 万元”列不等式求出甲种数量的取值范围，再结合一次函数单调性，找到使总资金最少的购买套数及最少资金． 【详解】（1）解：设乙种型号机器人的单价为万元，则甲种型号机器人的单价为万元． 根据“购买 100 套甲和 130 套乙费用相同”列方程： 展开得 解得 则甲种型号单价为：（万元）． 答：甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号为10万元． （2）设购买甲种机器人套，则购买乙种机器人套（，且为整数）． 总资金． 根据资金不低于 114 万元， 列不等式： 解得： 由于为整数， 故． 因为中，随增大而增大， 所以当时，最小． 此时乙种机器人：（套）， 最少资金：（万元）． 答：购买甲、乙各 5 套时资金最少，最少资金为 115 万元． 题型11不等式组的阶梯收费问题. 例11．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 题型12一元一次不等式组的其他应用 例12．把若干个苹果分给几名小朋友，如果每人分3个则余下8个；如果每人分5个，则最后一人分得的苹果不足5个问有多少名小朋友？多少个苹果？下列答案正确的是（   ） A．5名小朋友，23个苹果． B．6个小朋友，23个苹果． C．个小朋友，26个苹果． D．5名小朋友，23个苹果或6个小朋友，26个苹果． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，其中根据题意表示出最后一名小朋友分到的苹果数是解本题的关键． 设小朋友为x人，根据每位小朋友分3个苹果，则还剩8个苹果，表示出苹果的个数，再由每位小朋友分5个苹果，根据人数为x人，表示出需要苹果的个数，减去苹果的总数，即为最后一名小朋友分到的苹果数，再利用“最后一位小朋友分到了苹果，但不足5个，至少有1个”列出关于x的不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解得到x的值，即为小朋友的人数，即可得到苹果的个数． 【详解】解：设有x名小朋友，则有个苹果 根据题意，得， 解得：． ∵x为整数， ∴或． 当时，； 当时，． 故选：D． 变式1．百题速答赛共100道题，答对一题得5分，答错一题扣1分，不答得0分．希希得了400分，他最多答对________道题． 【答案】83 【分析】总共有100道题，设答对x题，答错题，根据得分规则，列出不等式组求解即可． 【详解】解：设希希答对道题，答错道题， 由题意得，，均为非负整数，且满足， 由得， 因为，所以，得， 将代入不等式得：， 移项合并同类项得， 系数化为得， 因为为整数，所以的最大值为，此时，，符合题意． 变式2．某公司计划购进一批智能机器人．据了解，2台甲型号、3台乙型号的智能机器人进价共计90万元；4台甲型号、1台乙型号的智能机器人进价共计130万元． (1)求甲、乙两种型号智能机器人每台进价分别为多少万元； (2)该公司计划用完160万元购进以上两种型号的智能机器人（两种型号均要购买），帮该公司求解所有的购进方案． 【答案】(1)甲型号每台进价30万元，乙型号每台进价10万元 (2)共有5种购进方案：①购买甲1台、乙13台；②购买甲2台、乙10台；③购买甲3台、乙7台；④购买甲4台、乙4台；⑤购买甲5台、乙1台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）设甲型号智能机器人每台进价为x万元，乙型号为y万元，根据题意可列，进行求解即可； （2）设购进甲型号a台，乙型号b台，根据题意得，将b表示出来，进而可得，最后根据题意进行讨论即可． 【详解】（1）解：设甲型号智能机器人每台进价为x万元，乙型号为y万元． 根据题意得， 解得， ∴甲型号每台进价30万元，乙型号每台进价10万元； （2）解：设购进甲型号a台，乙型号b台， 根据题意得， ∵为正整数， ∴， 解得， ∴当时，；当时，；当时，；当时，；当时，， ∴共有5种购进方案：①购买甲1台、乙13台；②购买甲2台、乙10台；③购买甲3台、乙7台；④购买甲4台、乙4台；⑤购买甲5台、乙1台． 💧💧巩固提升●测试题 一、单选题 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为 2．已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解不等式组，得到解集为，由于有且只有两个整数解，可知整数解为和，因此需满足，从而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为； ∵有且只有两个整数解， ∴整数解为和； ∴； ∴； 故选：B． 3．某日天津市的最高气温是，最低气温是，能正确表达这一天气温的变化范围的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据当天的最高气温为，最低气温为，从而可求出气温的范围，解题的关键是抓住关键词语，最高和最低，从而可列出不等式组． 【详解】解：∵某日天津市的最高气温是，最低气温是， ∴这一天气温的变化范围的是， 故选：． 4．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 二、填空题 5．已知关于x的不等式组下列四个结论：①若它的解集是， 则； ②当，不等式组有解； ③若不等式组有解， 则；④若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；其中正确的结论是____________（填写序号即可） 【答案】①③ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组． 根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵若它的解集是，即，解得：， ∴①正确， ∵当时，，即不等式组无解， ∴②错误， ∵若不等式组有解，即，则， ∴③正确， ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是， ∴④错误， 故答案为：①③． 6．不等式组的整数解是________． 【答案】 2 【分析】先单独求解每个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后，取它们的公共部分作为不等式组的解集，再在这个解集中筛选出所有整数即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 所以不等式组的解集为， 在这个范围内的整数只有2， 所以该不等式组的整数解是． 7．若方程组的解满足，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．某兴趣小组去过五台山、普陀山、峨眉山、九华山这四大名山的人数同时满足以下三个条件： （1）去过五台山的人数多于去过峨眉山的人数； （2）去过峨眉山的人数多于去过普陀山的人数； （3）去过普陀山的人数的2倍多于去过五台山的人数． 若去过普陀山的人数为4，则去过峨眉山的人数的最大值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．设去过峨眉山的人数为x，根据给定的三个条件，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：设去过峨眉山的人数为x人，去过五台山的人数为y人， 由题意得：， ∵x，y为整数， 由可得， 结合，可得， 即， 又∵， ∴， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为6， ∴去过峨眉山的人数的最大值为6． 故答案为：6． 三、解答题 9．解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 10．某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【答案】 【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可． 【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：， 解得： ， 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键． 11．校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)他们选择活动2更合算，理由见解析 (3)共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【分析】此题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）分别按照活动1和活动2的方式计算，然后比较求解即可； （3）设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元， 根据题意得， 解得； （2）解：活动1：（元）， 活动2：（元）， ∵， ∴他们选择活动2更合算； （3）解：设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯， 根据题意得， 解得 ∵a是正整数 ∴或29或30 ∴或21或20 ∴共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 12．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金980元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1380元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校最多能够提供资金4060元，请问有几种购买方案供这个学校选择． 【答案】(1)甲：180元，乙：220元 (2)有两种：①甲种书柜9个，乙种书柜11个；②甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲种书柜购买m个，乙种书柜购买（）个，根据题意列出一元一次不等式组求出m的范围，根据m为整数即可得到m的值，从而得到答案． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元， 由题意得，解得， 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为220元． （2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（）个； 由题意得：，解得：， ∵m取整数， ∴m可以取的值为9，10， ∴学校的购买方案有以下两种： 方案一：甲种书柜9个，乙种书柜11个， 方案二：甲种书柜10个，乙种书柜10个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $