精品解析：2026年陕西省铜川市二模数学试题

铜川市2026年初中学业水平模拟考试（二） 数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的角平分线，点O在上，且于点E，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则过原点和点的直线所对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在菱形中，E为边中点，连接，交于点P，过点P作，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（ ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值6 D. 最小值6 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，数轴上点，对应的数分别是0，2，若点在线段上运动，则点对应的无理数可以是_____．（写出一个符合题意的数即可） 10. 如图，将绕点旋转至的位置，点在边上．若，则的度数为_____． 11. 互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，已知某件商品的进价是元，若按该商品的标价打八折销售，仍可获利元，则这件商品的标价是_____元． 12. 如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 13. 已知反比例函数（为常数）的图象过点．若点，是这个反比例函数图象上的两点，且，则，的大小关系是_____．（填“”，“”或“”） 14. 如图，已知正方形的边长为，是边上一动点，连接，以为直角顶点作等腰，连接．当取得最小值时，的周长为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 17. 已知，且，求代数式的值． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，求作一点，使得点到边，的距离相等，且的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在四边形中，点在对角线上，，，．求证：． 20. 为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： （2）当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 21. 为测量一座桥的拱顶距离水面的竖直高度，学习小组设计了一个方案：如图，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内，．测角仪，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为．已知水平地面离水面的高度为，且，，，，求拱顶距离水面的竖直高度．（参考数据：，，） 22. 随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026－2028年）》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳共根，已知A型跳绳的单价为元，B型跳绳的单价为元．若该场馆计划采购根A型跳绳，采购费用为元． （1）求与之间的函数表达式； （2）若A型跳绳的采购数量不多于根，求采购费用最少是多少元． 23. 4月22日是世界地球日，2026年的主题是“我们的力量，我们的星球”，该主题呼吁全球民众以集体行动推动环保与气候保护，某校组织八、九年级学生参加了世界地球日知识竞赛，现从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，单位：分，满分为100分，均为整数）进行整理、分析． 八年级学生的成绩：56，70，72，75，75，76，77，78，81，82，84，88，88，88，89，91，95，95，100，100． 九年级学生的成绩：54，68，71，73，75，76，76，78，80，86，86，86，87，90，90，92，95，98，99，100． 八、九年级20名学生的竞赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的_____，_____； （2）你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由；（写出一个理由即可） （3）该校八年级有名学生，九年级有名学生，若将竞赛成绩不低于分认定为A等级，估计该校八、九年级竞赛成绩为A等级的学生总人数． 24. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 25. 城市高层建筑火灾一直是消防救援中难度极高的场景，面对复杂的建筑结构和多变的火情，消防员需要精准把控水枪射流的力度与角度，才能在安全距离内高效扑灭不同高度的火源．已知某次消防实战演练中，消防水枪喷出的水流呈抛物线形状．如图，点是消防水枪喷水口，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为，水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为．以为原点，水平地面所在直线为轴，过点且垂直于水平地面的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求点处喷出的抛物线形状水流的函数表达式； （2）若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处．求喷水口移动的距离． 26. 按要求解答问题： 【问题提出】 （1）如图①，在中，，，分别是边，的中点．若，，则的长为_____； （2）如图②，正方形的边长为，，分别是边，上一点，且，连接，交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图③是一个以为圆心的圆形警戒海域的示意图，半径为海里．海域边界上设有两个固定航标，，海里．一艘巡逻艇在警戒海域边界上巡航（不与重合），将的中点设为辅助定位点，的中点设为临时指挥点．为确保指挥通信距离在安全范围内，求巡航过程中临时指挥点到航标的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜川市2026年初中学业水平模拟考试（二） 数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 对于选项B：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项C：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求得，再两直线平行，内错角相等可得．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用积的乘方与幂的乘方法则计算结果，选出正确选项 【详解】解：∵ 积的乘方法则为，幂的乘方法则为 ∴ 5. 如图，是的角平分线，点O在上，且于点E，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可知，再由可求得的度数，再由角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义、直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 6. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则过原点和点的直线所对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出a、b的值，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解： ∵和关于原点对称， ∴ ，， 即点为． 设过原点的直线的表达式为， 将代入，得 ， 解得． ∴所求直线的函数表达式为． 7. 如图所示，在菱形中，E为边中点，连接，交于点P，过点P作，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．由菱形性质先判定，可得，所以．再由，可得，故，即可求解． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（ ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值6 D. 最小值6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到且，进而求得m值和函数关系式，再求得最小值即可． 【详解】解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值， ∵图象经过点，其对称轴在轴右侧， ∴， ∴且， ∴或（舍去）， ∴， ∴该二次函数有最小值0， 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，数轴上点，对应的数分别是0，2，若点在线段上运动，则点对应的无理数可以是_____．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：点在线段上运动，，即，根据无理数的大小关系：被开方数越大，算术平方根越大，所以点对应的无理数可以是、等，任取其中一个即可． 10. 如图，将绕点旋转至的位置，点在边上．若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴． 11. 互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，已知某件商品的进价是元，若按该商品的标价打八折销售，仍可获利元，则这件商品的标价是_____元． 【答案】 【解析】 【分析】设商品标价为元，根据题意列出方程，并求解即可． 【详解】解：设商品标价为元， 根据题意，可列方程：， 解得． 12. 如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 【答案】##95度 【解析】 【分析】连接，设与交于点，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，然后由三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 已知反比例函数（为常数）的图象过点．若点，是这个反比例函数图象上的两点，且，则，的大小关系是_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的系数，再根据判断两点，所在象限，比较与的大小． 【详解】解：将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴． 14. 如图，已知正方形的边长为，是边上一动点，连接，以为直角顶点作等腰，连接．当取得最小值时，的周长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接、、，，由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，则、、、四点共圆，因此，进而计算出．容易证明，则，因此，当、、三点共线时，取得最小值，用勾股定理计算出，并求出的周长即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、、，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当、、三点共线时，取得最小值，此时的周长为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 17. 已知，且，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先把分式化简，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【详解】解：原式 ． ， ． 原式． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，求作一点，使得点到边，的距离相等，且的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求． 由角平分线的性质可知，点到边，的距离相等， ∵垂线段最短， ∴的长度最短． 【解析】 【分析】先用尺规作图画出的平分线，再过点作的平分线的垂线，交点即为点． 【详解】略 19. 如图，在四边形中，点在对角线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由可得，进而证明，因此． 【详解】略 20. 为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： （2）当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有：，共1种， ∴能够让小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意， 可以画出如下的树状图 ： 由树状图可以看出， 所有可能出现的结果共有 12 种， 这些结果出现的可能性相等， 能够让灯泡发光的有 6 种结果， 能够让灯泡发光的概率为： ． 21. 为测量一座桥的拱顶距离水面的竖直高度，学习小组设计了一个方案：如图，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内，．测角仪，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为．已知水平地面离水面的高度为，且，，，，求拱顶距离水面的竖直高度．（参考数据：，，） 【答案】拱顶距离水面的竖直高度约为 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于点，容易证明四边形和四边形都是矩形，则．，，．设，则，利用三角函数可得，，构造方程求出的值，进而求出的值． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵，，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴．，，， 设，则， 由题意可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴． 答：拱顶距离水面的竖直高度约为． 22. 随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026－2028年）》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳共根，已知A型跳绳的单价为元，B型跳绳的单价为元．若该场馆计划采购根A型跳绳，采购费用为元． （1）求与之间的函数表达式； （2）若A型跳绳的采购数量不多于根，求采购费用最少是多少元． 【答案】（1） （2）采购费用最少是元 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出与之间的函数表达式即可； （2）根据一次函数的增减性，结合的取值范围，确定的最小值． 【小问1详解】 解：根据题意可得，该场馆计划采购根型跳绳， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值． 答：采购费用最少是元． 23. 4月22日是世界地球日，2026年的主题是“我们的力量，我们的星球”，该主题呼吁全球民众以集体行动推动环保与气候保护，某校组织八、九年级学生参加了世界地球日知识竞赛，现从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，单位：分，满分为100分，均为整数）进行整理、分析． 八年级学生的成绩：56，70，72，75，75，76，77，78，81，82，84，88，88，88，89，91，95，95，100，100． 九年级学生的成绩：54，68，71，73，75，76，76，78，80，86，86，86，87，90，90，92，95，98，99，100． 八、九年级20名学生的竞赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的_____，_____； （2）你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由；（写出一个理由即可） （3）该校八年级有名学生，九年级有名学生，若将竞赛成绩不低于分认定为A等级，估计该校八、九年级竞赛成绩为A等级的学生总人数． 【答案】（1）， （2）八年级的竞赛成绩更好，理由见解析 （3）该校八、九年级竞赛成绩为A等级的学生总人数约为名 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行计算即可； （2）从平均数、众数、中位数和方差的角度评价两个年级的成绩即可； （3）根据样本中两个年级A等级学生的占比，乘以对应年级的学生总人数，再求和即可． 【小问1详解】 解：∵八年级学生的成绩中，88出现3次，出现的次数最多， ∴八年级学生成绩的众数为88，即， 九年级学生的成绩中，第10个数和第11个数都是， ∴九年级学生成绩的中位数为，即； 【小问2详解】 解：八年级的竞赛成绩更好．因为八、九年级竞赛成绩的平均数相同，但八年级竞赛成绩的方差小于九年级竞赛成绩的方差，所以八年级的竞赛成绩更稳定，因此八年级的竞赛成绩更好．（答案不唯一） 【小问3详解】 （名）． 答：该校八、九年级竞赛成绩为等级的学生总人数约为134名． 24. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 城市高层建筑火灾一直是消防救援中难度极高的场景，面对复杂的建筑结构和多变的火情，消防员需要精准把控水枪射流的力度与角度，才能在安全距离内高效扑灭不同高度的火源．已知某次消防实战演练中，消防水枪喷出的水流呈抛物线形状．如图，点是消防水枪喷水口，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为，水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为．以为原点，水平地面所在直线为轴，过点且垂直于水平地面的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求点处喷出的抛物线形状水流的函数表达式； （2）若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处．求喷水口移动的距离． 【答案】（1） （2）喷水口移动的距离为 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数表达式即可； （2）先利用表达式求出点的坐标，设喷水口移动的距离为．写出平移后的表达式，再将点的坐标代入，求出的值． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴点处喷出的抛物线形状水流的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点的坐标为， 设喷水口移动的距离为， ∴喷水口移动后，喷出的抛物线形状水流的函数表达式为， 将代入，得， ， 解得，（舍去）． 答：喷水口移动的距离为． 26. 按要求解答问题： 【问题提出】 （1）如图①，在中，，，分别是边，的中点．若，，则的长为_____； （2）如图②，正方形的边长为，，分别是边，上一点，且，连接，交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图③是一个以为圆心的圆形警戒海域的示意图，半径为海里．海域边界上设有两个固定航标，，海里．一艘巡逻艇在警戒海域边界上巡航（不与重合），将的中点设为辅助定位点，的中点设为临时指挥点．为确保指挥通信距离在安全范围内，求巡航过程中临时指挥点到航标的距离的最大值． 【答案】（1）6 （2） （3）海里 【解析】 【分析】（1）先利用中位线的性质求出，再使用勾股定理求出； （2）容易证明，则，进而得到，因此点在以为直径的上运动，当、、三点共线时，取得最小值，用勾股定理求出即可； （3）连接、、，取的中点，连接、，取的中点，连接、，作于点，由中位线的性质可得，，，因此点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，当、、三点依次共线时，取得最大值．使用勾股定理的逆定理容易判断，进而可证明，，计算得，，使用勾股定理计算出，因此的最大值为． 【小问1详解】 解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上运动， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，连接、、，取的中点，连接、，取的中点，连接、，作于点， ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴，， ∴点在以点为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当、、三点依次共线时，取得最大值， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 在中，， ∴的最大值为． 答：临时指挥点到航标的距离的最大值为海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $