函数与方程课件-2027届高考数学一轮复习

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第10节　函数与方程 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第10节　函数与方程 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 四个高考关键点 关键点1 函数零点及个数 1.函数y=(x-2)(2x+1)的零点是(　　)[命题点❶] A.2 B.(2,0) C.-2 D.2或-1 A 解析:由题意令y=(x-2)(2x+1)=0,因为2x+1>1>0,所以x-2=0,即x=2.故选A. 返回目录 2.(苏教版必修第一册教材习题改编)函数f(x)=的零点个数为(　　)[命题点❶] A.3 B.2 C.7 D.0 B 解析:由解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点. 返回目录 关键点2 零点存在定理的应用条件 3.(人教A版必修第一册教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)[命题点❷❸] A 解析:根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点. 返回目录 关键点3 确定零点所在区间 4.(人教A版必修第一册教材习题改编)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(　　)[命题点❷] A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) B 解析:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1,f(2)=1,则f(x)在(0,+∞)上只有一个根,则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2). 返回目录 5.(2026·山东临沂学业考试)设f(x)=lg x+x-3,用二分法求方程lg x+x-3=0在(2,3)内近似解的过程中得到f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,则方程的根所在区间为(　　)[命题点❷] A.(2,2.25) B.(2.25,2.5) C.(2.5,2.75) D.(2.75,3) C 解析:因为f(2.5)<0,f(2.75)>0,由函数零点存在定理知,方程的根所在区间为(2.5,2.75). 返回目录 6.(人教A版必修第一册教材习题改编)函数y=f(x)的图象是一个连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数在区间[1,6]上的零点个数至少为(　　)[命题点❷] x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 A.2 B.3 C.4 D.5 B 解析:由表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 返回目录 关键点4 二分法的原理与步骤 7.(2025·江苏南京模拟)用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)[命题点❸❹] A.(0,0.5),f(0.125) B.(0,0.5),f(0.375) C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.25) D 解析:因为f(0)f(0.5)<0,由零点存在性知:零点x0∈(0,0.5),根据二分法,第二次应计算f(),即f(0.25),故选D. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.函数的零点[❶] 即函数对应方程的根,图象与x轴交点的横坐标 (1)定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点; (2)几个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y=f(x)有零点. 返回目录 2.函数零点存在定理[❷] 只能判定存在性,无法确定零点个数与精确值;当f(a)f(b)>0时,区间内仍可能有零点 (1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②f(a)·f(b)<0. (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 返回目录 3.二分法的定义[❸] 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 　　　　 求函数零点的近似值的算法 返回目录 4.用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0. (2)取区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间. ①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点; ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c; ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c. (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4).[❹] 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　零点所在区间的判定 命题视角:通过计算特定点函数值,利用零点存在定理锁定包含零点的区间范围. 例1 (1)(2025·天津,7)已知函数f(x)=0.3x-,则该函数的零点落在以下哪个区间内(　　) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) B 解析:∵函数y=0.3x与y=-在定义域内单调递减,∴函数f(x)在定义域内单调递减.∵f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0,f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0,∴f(0.3)·f(0.5)<0,∴函数f(x)的零点在区间(0.3,0.5)内.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2026·四川绵阳模拟)方程lg x+x=0在下列哪个区间上有实数解(　　) A.[-10,-0.1] B.[0.1,1] C.[1,10] D.(-∞,0] B 解析:由于y=lg x,y=x均为(0,+∞)上的单调递增函数,故f(x)=lg x+x为(0,+∞)上的单调递增函数,且f(0.1)=lg 0.1+0.1=-1+0.1<0,f(1)=lg 1+1=0+1>0,因此f(x)=lg x+x在[0.1,1]上有零点,故方程lg x+x=0在[0.1,1]上有实数解,故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=ln x+2x-5的零点x0∈(k,k+1),则整数k的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 解析:y=ln x和y=2x-5均为单调递增函数,所以f(x)=ln x+2x-5在(0,+∞)上也为单调增函数,因为f(3)=ln 3+2×3-5=ln 3+1>0,f(2)=ln 2+4-5=ln 2-1<0,所以函数f(x)的零点在区间(2,3)上,又函数f(x)的零点在区间(k,k+1),k∈Z上,所以k=2.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 能力要语 数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　函数零点个数的判定 命题视角:通过数形结合,分析函数图象与x轴的交点个数,或利用函数单调性、周期性、奇偶性与最值综合判断. 例2 (2026·江苏淮安模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点个数为(　　) A.14 B.13 C.12 D.11 D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),故f(x)是以2为周期的函数,结合当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,可作出f(x)的图象;又函数g(x)=在同一坐标系中可作出其图象, 由图象可知当x>0时,f(x)的图象和g(x)的图象有5个交点,则h(x)=f(x)-g(x)此时有5个零点;当x≤0时,f(x)的图象和g(x)的图象有6个交点,则h(x)=f(x)-g(x)此时有6个零点;故h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点个数为5+6=11,故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (2025·海南质检)函数y=ex+x2+2x-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 解析:函数y=ex+x2+2x-1的零点个数即函数f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象的交点个数,在同一直角坐标系中,分别作出f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象,如图所示,由图可知,两图象有2个交点,故原函数有2个零点,故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　函数零点的应用 角度 1 根据函数零点个数求参数范围 命题视角:将零点问题转化为方程根或图象交点问题,利用数形结合思想,通过参数分离或临界状态分析确定范围. 例3 (2025·湖南岳阳二模)若函数f(x)有唯一零点,且f(x+1)=x2-1+a(ex+e-x),则a=(　　) A.- B. C. D.1 C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由于f(x)有唯一的零点,所以f(x+1)也有唯一的零点,由于y=x2-1, y=a(ex+e-x)均为偶函数,所以g(x)=f(x+1)为偶函数,因此g(0)=f(1)=-1+2a=0,故a=,故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (2026·四川绵阳模拟)已知函数f(x)=若∃m∈R,方程f(x)=m有三个实根,则实数a的取值范围是(　　) A. (-,-1] B. (-,-1) C. (-,0] D. (-,0) D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:当a≥0时,函数y=x2在[a,+∞)上单调递增,且最小值为a2,函数y=2x+3在(-∞,a)上单调递增,且y<2a+3,如图所示, 由图象可知,函数f(x)的图象与直线y=m都不可能有三个交点,不符合题意; 当a<0时,函数y=x2在[0,+∞)上单调递增,在[a,0)上单调递减,则有y≥0,函数y=2x+3在(-∞,a)上单调递增,且y<2a+3,如图所示,要想函数f(x)的图象与直线y=m可能有三个交点,只需2a+3>0,即-<a<0,故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 根据零点范围求参数范围 命题视角:将零点问题转化为方程解的问题,通过参变分离或数形结合构建不等式求解. 例4 已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(　　) A. (-∞,) B. (0,) C.(-∞,0) D.(,+∞) B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由f(x)=3x-=0,可得a=3x-,令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1),由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域.由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x-<g(-1)=3-1+1=,又g(x)=3x->0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为(0,).因此,实数a的取值范围是(0,). 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 (2025·陕西榆林模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:令f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)=0,得m=-x2+4x或m=-1. 作出g(x)=-x2+4x,h(x)=-1的图象,如图所示.这两个函数图象的交点坐标为(0,0),(3,3),因为g(x)max=4,h(x)>-1,所以由图可知m的取值范围是(-1,0) ∪(0,3)∪(3,4).故整数m=1或2,即整数m的取值个数为2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 分离参数,构造新函数.分析函数单调性与极值,依据零点存在定理,由动、定曲线相对位置,将交点个数转化为参数满足的方程或不等式,谨记验证边界. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:函数零点与方程根的分布问题仍是高考核心热点. 1.(原创)设函数f(x)=ax2+ax,g(x)=x-a,方程f(x)-g(x)=0的两个实根p,q满足0<p<q<.则当x∈(0,p)时,有(　　) A.g(x)<p-a<f(x) B.g(x)<f(x)<p-a C.f(x)<g(x)<p-a D.f(x)<p-a<g(x) B 返回目录 解析:由题意可知f(x)-g(x)=a(x-p)(x-q),因为0<p<q<,则f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x);又f(x)-(p-a)=a(x-p)(x-q)+g(x)-(p-a)=a(x-p)(x-q)+x-a-(p-a)= (x-p)(ax-aq+1). 因为x-p<0,ax-aq+1>1-aq>0,所以f(x)-(p-a)<0,即f(x)<p-a, 综上可得,g(x)<f(x)<p-a. 故选B. 返回目录 2.(原创)记函数f(x)=ex+x,g(x)=ln(-x)+的零点分别为a,b,则(　　) A.ab< B.ab=1 C.ab=2 D.ab>e B 解析:∵函数f(x)=ex+x,g(x)=ln(-x)+的零点分别为a,b,∴ea+a=0,ln(-b)+=0,由ln(-b)+=0,得=-ln(-b)=ln(-),∴=-,即=0,显然函数f(x)=ex+x在R上单调递增,∴f(a)=f()=0,∴a=,即ab=1.故选B. 返回目录 命题趋势2:强化以复合函数为载体的方程问题,侧重数形结合与分类讨论. 3.已知函数g(x)=x+-2,若关于x的方程g(|2x-1|)+-3k=0有三个不同的实数解,则实数k的取值范围是(　　) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞)∪{-} D.(-∞,0)∪{} A 返回目录 解析:令t=|2x-1|≠0,其函数图象如图: 方程g(|2x-1|)+-3k=0可化为g(t)+-3k=0,即t+-2+-3k=0,即t2-(2+3k)t+1+2k=0(t≠0),则该方程有2个不等的实根t1,t2,设t1<t2,则0<t1<1,t2≥1,令h(t)=t2-(2+3k)t+1+2k, 则 解得k>0或无解,所以实数k的取值范围是(0,+∞).故选A. 返回目录 模块内融合:综合考查函数、方程、不等式与导数的综合应用. 4.牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数f(x)在x0附近一点的函数值可用f(x)≈f(x0)+f'(x0)·(x-x0)代替,该函数零点更逼近方程的解,以此法连续迭代,可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法,解方程x3-3x+1=0,选取初始值x0=,在下面四个选项中最佳近似解为 (　　) A.0.333 B.0.335 C.0.345 D.0.347 D 返回目录 解析:令f(x)=x3-3x+1,则f'(x)=3x2-3,令f(x)=0,即f(x0)+f'(x0)(x-x0)≈0,可得x≈x0-,迭代关系为xk+1=xk-=xk-(k∈N),取x0=,则x1=,x2=0.347,故选D. 返回目录 模块外融合:与平面几何、解析几何、数列等知识交叉命题. 5.(原创+模块间融通)已知数列{an}满足a1=8,且函数f(x)=an+1sin(πx)-anx2+anx-5.当x∈(0,1)时,函数f(x)恰有一个零点,则a4=(　　) A. B. C.- D.- B 返回目录 解析:函数f(x)=an+1sin(πx)-anx2+anx-5,其中y=sin(πx)与y=-anx2+anx-5的图象均关于直线x=对称,故f(x)的图象关于直线x=对称,因为当x∈(0,1)时f(x)恰有一个零点,所以该零点为x=,即f()=0,将x=代入f(x),结合sin=1,可得an+1-an+an-5=0,进一步可转化为an+1-4=-(an-4),由此可知,数列 {an-4}是以a1-4=4为首项,公比q=-的等比数列,所以,an-4=(a1-4) =4,当n=4时,a4-4=4,即a4=4-故选B. 返回目录 $