《4.3探索三角形全等的条件》同步练习题2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《4.3探索三角形全等的条件》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 2．根据下列已知条件，能够画出唯一的是(   ) A． B． C． D． 3．如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙三个三角形中，一定和全等的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不存在 4．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 6．面积为， 是的平分线， 于 P，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，，，垂足分别是点交于点．若，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在和中，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题 9．如图，在中，，．如果用“”证明，只需添加条件_____． 10．如图所示，是小明和小红跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小红（点）到地面的距离为__________． 11．如图，已知，，于，且，若，，则的长为_____． 12．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 13．如图，在中，为等腰直角三角形，直角顶点D在线段上运动，当点D运动到中点时，的面积为________． 14．如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接、、，，过点作于点H，若，，则五边形的面积为____． 15．如图，已知，，，点、、、共线．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______．（只填序号） 16．如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为______时，和可能全等． 三、解答题 17．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 18．综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 19．如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，交于点． (1)请探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 20．如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 21．如图，在中，，．过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以的速度运动．连接，设运动时间为． (1)当点在边上时，请写出的长（用含的代数式表示）：_____，_____cm． (2)当点在边上时，若的面积为，求的值． (3)请利用备用图探究，当的值为多少时，与全等？ 22．四边形中，，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 23．【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示即可求解． 【详解】解：自行车支架一般都会采用如图的设计，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B ． 2．C 【分析】本题考查全等三角形的判定方法． 能够确定唯一三角形的条件包括、、、等，而和不能保证唯一三角形． 【详解】解：选项A：已知， ， ，为两边和其中一边的对角， 不能保证唯一三角形． 选项B：已知， ， ，同样为， 不能保证唯一三角形． 选项C：已知， ， ，为两角和夹边， 能画出唯一． 选项D：已知， ， ，为三个角， 只能确定形状，不能确定大小，不能画出唯一三角形． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：甲图中有两条边以及其中一条边的对角对应相等，无法证明全等； 乙图可以根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，证明乙图形和全等； 丙图形中只有两个内角对应相等，无法证明全等； 故一定和全等的是乙图， 故选：B． 4．C 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 5．C 【分析】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质；延长交于点D，可证明，则，从而可转化得到，即可解答． 【详解】解：延长交于点D，    ∵ 是的平分线， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴（）． 故选B． 7．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ 又， ∴， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的几种判定方法是解题的关键；易证，则有，，从而可判断①③正确；由即可证明，从而可判断④正确；条件不足，无法判断②正确，最后即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故①③正确． 又∵，，， ∴； 故④正确； 由于条件不足，无法证得，故②错误； 故正确的结论有：①③④； 故选：A． 9． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用证明全等三角形是解题的关键． 由可得，再结合，再根据“”即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴添加可用“”证明． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明得到，再加上的长度即可求解． 【详解】解：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， ∵的长度为， ∴小红（点）到地面的距离为， 故答案为：． 11．3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据同角的余角相等求出，再利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． ∴． 故答案为：3． 12．/125度 【分析】本题主要运用全等三角形的判定定理以及全等三角形的性质来求解．先通过线段的等量关系证明三角形全等，再利用全等三角形对应角相等求出角度． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 通过作辅助线构造全等三角形，将的面积转化为可计算的图形面积，利用等腰直角三角形和中点的性质求解． 【详解】解：过点作，交的延长线于点 ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵，是中点， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 14． 【分析】延长至点，使得，容易证明，则，，进而证明，则五边形的面积等于面积的两倍． 【详解】解：如图，延长至点，使得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】“半角”模型一般借助旋转构造全等三角形来解题． 15．①③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，利用全等三角形的性质和三角形内角和定理，逐个判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，故①正确； 没有理由能证明，故②错误； ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，无条件能证明是等边三角形，即不能证明，故④错误， ∴①③正确， 故答案为：①③． 16．或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为 ； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为 ； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是关键． （1）根据平行线的性质可得，然后利用即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，进而可得，再利用线段间的关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解： ， ， ， ，， ． 18．此方案可行，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．根据证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：此方案可行，理由如下： 在和中， ， 所以， 所以， 所以的长即是的距离． 19．(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理． (1)由等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得； (2)由全等三角形的性质可得，可得，利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）解：， 理由如下： 是等边三角形， ，， 在与中，， ， ； （2）解：由(1)知， ， ， 即， ． 即． 20．(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明全等三角形． （1）利用垂直得直角，结合对顶角和，证明，得； （2）证明，得． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 21．(1) (2) (3)当的值为4或20时，与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由路程=速度×时间，可得的长度； （2）过点作于点．由等腰直角三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形判定可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． （2）解：如图1，过点作于点． ， ． 的面积为， ， ， ， ． （3）解：根据题意，分两种情况： ①如图2，当点向上运动时， ， 点在线段上， 当时，， ， ； ②如图3，当点向下运动时， ，， 点在线段的延长线上， 当时，， ， ． 综上所述，当的值为4或20时，与全等． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用． （1）连接，证明，得到，，即可证明； （2）延长到，使，连接，得到，根据得到，证明，得到，，，即，，证明，得到，即可证明； （3）作交于，可知，证明，得到，证明，得到，即可证明平分． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （2）证明：延长到，使，连接 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（），     ∴，， 即，， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即； （3）证明：如图，作交于， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即平分． 23．（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，同理证明和全等得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可得出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）； ∵从点，向直线作垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $