精品解析：重庆市长寿川维中学校2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2025年春期川维中学教育集团联合考试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2.答第1至10题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.答第11至26题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出最符合题意的选项，并在答题卡上将该项涂黑． 1. 若二次根式有意义，则x的值不可以取（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 4. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点F是CD的中点．若，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 5. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ） A. B. 5 C. D. 10 7. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在矩形中，，，将此矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 9. 已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若与最简二次根式可以合并，则______． 12. 如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为；将第1次输出的结果再输入数值转换机中，第2次输出的结果为3；…；以此类推，则第6次输出的结果为_____． 13. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，若设该平行四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为______ 14. 如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形的边长为___________. 15. 若二次根式有意义，且关于x的方程 有正整数解，则符合条件的整数m的乘积为_______． 16. 如图，在边长为4的正方形中，点E、点F分别是、上的点，连接、、，满足．若，则的长为__． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点作的垂线，垂足为，交线段于点，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹） 四边形是平行四边形， ①__________ 平分， ， ②__________ ， ， ， 在和中 ， （③__________） ④__________， ，， 垂直平分线段， ⑤__________， ， 四边形是菱形． 20. 如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积 22. 为进一步提升小区居民的安全意识、文明意识，防范高空抛物，泌阳县某小区开展了“拒绝高空抛物”宣传活动，并在小区内张贴了宣传海报．小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”宣传海报．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，） （1）已知小明家住层，每层的高度近似为m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号） （2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要焦的动能，高以空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？（结果精确到秒） 23. 在中，对角线与相交点O，过点O分别作和的垂线，垂足分别为H，M． （1）如图1，当时，求证：平行四边形是菱形； （2）如图2，当时，若，求的值． 24. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是________．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______ （2）点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，若正方形的边长为4，求周长的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期川维中学教育集团联合考试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2.答第1至10题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.答第11至26题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出最符合题意的选项，并在答题卡上将该项涂黑． 1. 若二次根式有意义，则x的值不可以取（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数为非负数进行解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ， 解得：， 观察四个选项，的值不可以取0， 故选：A． 2. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加、乘、除运算．根据二次根式加、乘、除运算法则计算即可作答． 【详解】解：A、，计算正确，故本项不符合题意； B、，计算正确，故本项不符合题意； C、，原计算错误，故本项符合题意； D、，计算正确，故本项不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断．根据菱形的判定方法对②进行判断；根据矩形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断． 【详解】解：A. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A说法不正确； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B说法不正确； C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项C说法不正确； D. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形,说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题真假的判断以及平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项． 4. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点F是CD的中点．若，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】据平行四边形的性质得出AE=EC，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE=EC， ∵点F是CD的中点， ∴DF=FC， ∴EF是△ADC的中位线， ∴2EF=AD=10cm， ∴EF=5cm， 故选：C． 【点睛】】此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是三角形中位线定理的应用． 5. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案． 【详解】解：A、，， ∴图中只有一个直角三角形，不符合题意； B、，， ∴图中有两个直角三角形，符合题意； C、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； D、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可． 【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， ∵圆柱的底面周长为6，高为4， ∴， ∴， ∴从点A爬到点B的最短路程是5， 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，能把圆柱的侧面展开成平面图形，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 7. 如图，四边形的对角线相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求； C、，，不可以判定四边形是平行四边形，故符合要求； D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，可以判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，将此矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题．设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定，，a的符号是解题的关键． 利用数轴上点的位置确定，，，再利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：根据数轴可得，，，， ∴，， ∴原式 ． 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和，可知是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，即可判断①；根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可判断②；根据为直角三角形，可知，进一步可知，即可判断③；根据勾股定理可得，再根据三角形面积的求法即可判断④．从而得出答案． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，分别是，的中点， ， ， ，， ， 故①正确； 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 为直角三角形， ， ， 与不全等， 故③错误； ∵菱形，， ∴ ，，， 根据勾股定理，得， ， 故④正确， 故正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可． 【详解】解∶， 与最简二次根式可以合并， ， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 12. 如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为；将第1次输出的结果再输入数值转换机中，第2次输出的结果为3；…；以此类推，则第6次输出的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算．直接按照程序规定的计算法则结合二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：第1次，； 第2次，； 第3次，； 第4次，； 第5次，； 第6次，； 故答案为：． 13. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，若设该平行四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为______ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质证明可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线相交于点， ， 又 ∵， ， ， ∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半， ∴阴影部分面积为， 故答案为：8． 14. 如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形的边长为___________. 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的知识，熟记以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积是解题的关键． 【详解】解：字母所代表的正方形的面积． 则字母所代表的正方形的边长是， 故答案为：． 15. 若二次根式有意义，且关于x的方程 有正整数解，则符合条件的整数m的乘积为_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】由二次根式有意义，得，解得，解分式方程，得，由方程有正整数解，得或或；根据方程的增根情况舍去，进而求得结论． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，解得， 对于关于x的方程 ， 去分母得， 解得， ∵， ∴. ∵方程有正整数解 ∴或或， ∴或或． 而时，，相应的，此时原方程无解； ∴满足条件的m的值为-1和1， ∴符合条件的整数m的乘积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，分式方程的特殊解，一元一次不等式求解，注意考虑分式方程的增根情况是解题的关键． 16. 如图，在边长为4的正方形中，点E、点F分别是、上的点，连接、、，满足．若，则的长为__． 【答案】3.4 【解析】 【分析】在上截取，连接，证明，，可得，在中，根据勾股定理求出，进而可以求出结果． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，，， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得， ， ∴的长为3.4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 对于（1），先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加法； 对于（2），先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式＝ ； 当时，原式＝． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点作的垂线，垂足为，交线段于点，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹） 四边形是平行四边形， ①__________ 平分， ， ②__________ ， ， ， 在和中 ， （③__________） ④__________， ，， 垂直平分线段， ⑤__________， ， 四边形是菱形． 【答案】 如图所示， 【解析】 【分析】以点A为圆心，以为半径画弧，再分别以J，H为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点G，交于点F，连接； 先根据平行四边形的性质和角平分线的定义得，再根据证明，可得，然后说明 垂直平分线段，可得，进而得出答案. 【详解】解：证明：连接， 四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， . ， ， 在和中 ， (）， . ，， 垂直平分线段， ， ， 四边形是菱形． 故答案为：；；；；． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 20. 如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： 如图，在中，，，， ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，； （2）元． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． （1）先在中，利用勾股定理可求，在中，易求，再利用勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且； （2）分别利用三角形的面积公式求出，即是四边形的面积，再乘以80，即可求总花费． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， 费用（元）． 答：铺满这块空地共需花费元． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在 中， ∵为中点， ， 在 中， ∵为中点， ， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，在中，，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 22. 为进一步提升小区居民的安全意识、文明意识，防范高空抛物，泌阳县某小区开展了“拒绝高空抛物”宣传活动，并在小区内张贴了宣传海报．小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”宣传海报．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，） （1）已知小明家住层，每层的高度近似为m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号） （2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要焦的动能，高以空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？（结果精确到秒） 【答案】（1）该物品落地的时间为秒 （2）最少经过秒落地就可能会伤害到楼下的行人 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据题意可先求得米，根据代入计算即可求解； （2）先根据高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），求出该玩具最低的下落高度，再由代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵小明家住20层，每层的高度近似为3米， ∴（米）， ∴（秒）， ∴该物品落地的时间为秒； 【小问2详解】 解：该玩具最低的下落高度为（米）， ∴（秒）． ∴最少经过秒落地就可能会伤害到楼下的行人． 23. 在中，对角线与相交点O，过点O分别作和的垂线，垂足分别为H，M． （1）如图1，当时，求证：平行四边形是菱形； （2）如图2，当时，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质． （1）根据角平分线的判定定理证得，根据平行线的性质得到，即可得到，得到，根据菱形的判定定理即可证得结论； （2）证明四边形是矩形得到，进而证得是等边三角形，，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求得，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 24. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是________．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______ （2）点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，若正方形的边长为4，求周长的取值范围 【答案】（1）， （2） ①成立，理由如下： 如图2，在上取一点P，使，连接， 则， 由（1）得：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②周长c的取值范围是 【解析】 【分析】（1）取的中点P，连接．先证，再证，，然后由证，即可得出结论； （2）①在上取一点P，使，连接，证，即可得出结论； ②过D作交于点H，连接，证是等腰直角三角形，则点H与D关于对称，得，当A、F、H三点共线时，即最短，此时，再由勾股定理得，此时；当与相等时，即A、D、F三点共线，此时，则；即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）如图1，取的中点P，连接． 则， ∵点E是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①略 ②如图3，过D作交于点H，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称， ∴， ∴， 当A、F、H三点共线时，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得：， 此时； 当与相等时，即A、D、F三点共线， 此时， 则； ∴的周长c的取值范围是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $