精品解析：黑龙江齐齐哈尔市实验中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答題卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第4-7节，必修第二册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为2. 2. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得. 3. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 4. “”是“函数的最小正周期为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦型函数的周期公式求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若函数的最小正周期为，则，解得， 所以“”时，可得“函数的最小正周期为”， “函数的最小正周期为”，不能推出“”. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为复数是关于x的方程的一个根， 所以复数也是关于x的方程的一个根， 则，所以， 所以. 故选：C. 6. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】由，得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用诱导公式和二倍角正弦公式化简得，然后利用换元法及正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】， 当时，， 因为在上单调递增，则，解得，所以． 8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知， 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，两式相加， 得，即， 解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量的长度是0 B. 向量是有向线段 C. 若，则 D. 若是共线的单位向量，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由零向量的定义可知，A正确； 对于B，向量可以用有向线段表示，不能说向量是有向线段，B错误； 对于C，由向量相等的定义可知，C正确； 对于D，若是共线的单位向量，则或，D错误． 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设复数，然后逐个分析判断即可. 【详解】对于A，设复数，则， 则，为实数，故A正确； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误； 对于D，，则 ， ，则 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两角差正弦公式和条件得判断A；令，则，利用两角差的正切公式得，然后使用基本不等式求得有最大值，即可判断BCD. 【详解】对于A，因为， 又，所以， 则，故A正确； 对于BCD，令，则， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以有最大值，故C正确，BD错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是偶函数，则的一个值是__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据是偶函数可得到，，即，，再根据写出一个答案即可. 【详解】因为是偶函数，所以，， 即，， 因为，所以，解得， 因为，可取，得， 所以的一个值是. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形的对称性得出，再应用共线时周长最小，再应用余弦定理计算即可求值. 【详解】如图，作点关于线段所在的直线的对称点，连接， 由图形的对称性知， 则， 的周长，当且仅当四点共线时取等号， ， 的周长的最小值是. 故答案为： 14. 已知向量，满足对任意的，都有，若，则的最大值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】数形结合推出即可由题意得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】如图， 对任意，都有， 令，则， 则由t的任意性可得，即， 所以， 所以由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）当为何值时，与共线？ 【答案】（1）4 （2）． 【解析】 【小问1详解】 已知，可得， 两边同时除以2得， 因此. 【小问2详解】 根据向量数乘与减法的坐标运算法则，可得，. 若与共线，则存在实数  使得， 即，解得. 因此时，与共线. 16. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解. （2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解. 【小问1详解】 复数在复平面内对应的点为， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，， 又，则，解得， ， 所以. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【小问1详解】 由函数的最大值为，最小值为，结合，得. 由图象知，最小值点到零点的距离为，对应个周期，即，解得. 由周期公式，得，故， 将最小值点代入，得，解得， 结合，取得，故. 【小问2详解】 令，解得， 故的单调递减区间为. 【小问3详解】 由图像左移​个单位得. 在上恰有三个零点，等价于在上恰有三个解， 令，当时，， 的通解为或， 在范围内，从小到大的解为，要恰有三个解，需满足​，解得​， 故实数的取值范围为. 18. 如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点. （1）用向量，表示，. （2）若，，求的值； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算求解； （2）利用向量共线定理求解； （3）将相关向量表示出来，求出向量的模，再利用二次函数性质求最值. 【小问1详解】 由题意可知，， . 【小问2详解】 若，，， 设，，， 则，， ， 因为，不共线，所以，解得， 所以，所以. 【小问3详解】 由题意可知， 若，则， ， 当时，， 则， 所以的取值范围为. 19. 在中，是边上靠近的三等分点. （1）若，证明：； （2）若. （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1） 因为是边上靠近的三等分点，所以， 所以， 设内角的对边分别为，则， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 所以， 化简得， 即. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由已知，可得，在利用余弦定理可得，化简即可； （2）（i）由已知，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式得，则，即可求得面积的最大值；（ii）在中， 由正弦定理，可得，由，利用余弦定理，可得，可得，即可求得的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）在中，由余弦定理得， 又， 所以， 当且仅当，即为等边三角形时等号成立， 所以， 又是边上靠近的三等分点， 所以， 即的面积的最大值为. （ii）在中，， 由正弦定理，得， 又， 所以， 因为，所以， 由余弦定理，得， 将代入上式，化简得， 所以 ，其中， 当，即时，取得最小值， 的最小值为. 【点睛】关键点点睛：（2）（i）由余弦定理可得后，再利用基本不等式得；（ii）因为，得到，利用余弦定理角化边，再将由正弦定理得到的代入，化简为，求得的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答題卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第4-7节，必修第二册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 已知向量，若，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 4 3. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数的最小正周期为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ） 参考数据：. A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量的长度是0 B. 向量是有向线段 C. 若，则 D. 若是共线的单位向量，则 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 11. 已知，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是偶函数，则的一个值是__________. 13. 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______. 14. 已知向量，满足对任意的，都有，若，则的最大值是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）当为何值时，与共线？ 16. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围． 18. 如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点. （1）用向量，表示，. （2）若，，求的值； （3）若，求的取值范围. 19. 在中，是边上靠近的三等分点. （1）若，证明：； （2）若. （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $