北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，融合赵爽弦图文化传承与河宽测量实际应用，梯度设计覆盖基础到创新，有效检测数学眼光、思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|复数、向量、解三角形、立体几何|以赵爽弦图类比考解三角形（文化），河宽测量考正弦定理应用（实践）| |填空题|5/25|复数、向量、解三角形|向量动态最值问题（能力），解三角形多结论判断（推理）| |解答题|6/85|复数运算、向量综合、解三角形、集合新定义|解三角形条件选择（创新），集合新定义探究（思维）|

2025-2026学年北京市顺义区牛栏山一中高一（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题：每小题4分，共40分。每小题中只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）·（2023春•桂林期末）已知复数z满足z＝3+2i，则z的虚部为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 2．（4分）·（2026春•顺义区校级月考）已知向量，满足||＝2，||，且与的夹角为，则•（　　） A． B． C． D．3 3．（4分）·（2026春•顺义区校级月考）已知向量（1，2），（3，﹣4），则•（）＝（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4 4．（4分）·（2026春•顺义区校级月考）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1被一个平面截成两个几何体，其中EF∥B1C1∥BC，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，E，F分别为A1B1，C1D1的中点，则几何体AA1EB﹣DD1FC的体积为（　　） A． B．1 C． D． 5．（4分）·（2026春•顺义区校级月考）在△ABC中，，若，，则（　　） A． B． C．23 D．32 6．（4分）·（2020春•芜湖期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2acosB＝c，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 7．（4分）·（2026春•顺义区校级月考）已知非零向量，，则“|2|＝|2|”是“•0”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（4分）·（2026春•顺义区校级月考）某数学活动小组计划测量河宽即河两岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝60米，由此可得河宽约为（结果精确到0.1米，参考数据，）（　　） A．13.0米 B．21.3米 C．40.3米 D．47.3米 9．（4分）·（2026春•顺义区校级月考）如图，在△ABC中，，，，则（　　） A．4 B．6 C． D． 10．（4分）·（2026春•顺义区校级月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC中，若FD＝2AF，则△DEF与△ABC的面积之比为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：每小题5分，共25分。 11．（5分）·（2026春•顺义区校级月考）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（﹣2，1），则复数z的共轭复数 　 　 ． 12．（5分）·（2026春•顺义区校级月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则∠C＝　 　 ． 13．（5分）·（2026春•顺义区校级月考）已知向量与不共线，且，，.若A，B，C三点共线，则k＝　 　 ． 14．（5分）·（2026春•顺义区校级月考）四边形ABCD是边长为2的正方形，若点P为边AB的中点，则　 　 ；若点P在边AB（包含端点）上运动，则的最大值为　 　 ． 15．（5分）·（2026春•顺义区校级月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，给出下列结论： ①若b＝8，则存在两个三角形ABC； ②△ABC面积的最大值为； ③b+c可能等于8； ④的最大值为． 其中所有正确结论的序号是　 　 ． 三、解答题：共计85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（13分）·（2026春•顺义区校级月考）（I）已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i．分别求；（要求有必要的解答过程） （Ⅱ）若复数为纯虚数，求实数a的值． 17．（13分）·（2026春•顺义区校级月考）已知三个非零向量． （I）若，求向量与夹角的余弦值； （Ⅱ）若，求k的值． 18．（14分）·（2026春•顺义区校级月考）在△ABC中，． （I）求AC边长； （Ⅱ）设BC的中点为D，求AD长以及∠DAB的大小． 19．（15分）·（2026春•顺义区校级月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求∠A； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，并求三角形ABC的面积以及三角形ABC外接圆的面积． 条件①a＝7，b＝8；条件②，b＝1；条件③sinC＝5sinB，． 20．（15分）·（2026春•顺义区校级月考）在四边形ABCD中，对角线AC＝4，BCsin∠ABC＝ACcos∠BAC． （I）求∠BAC的大小； （Ⅱ）若△ACD是锐角三角形，且，求AD边长的取值范围； （Ⅲ）当AD＝2时，是否存在实数λ，使得的最小值为.若存在，求λ值以及∠CAD的大小；若不存在，请说明理由． 21．（15分）·（2026春•顺义区校级月考）已知集合S＝{1，2，⋯n}（n≥3且n∈N*），A＝{a1，a2，⋯am}，且A⊆S．若对任意ai∈A，aj∈A（1≤i≤j≤m），当ai+aj≤n时，存在ak∈A（1≤k≤m）使得ai+aj＝ak，则称A是S的m元好子集． （I）判断下列集合是否是S＝{1，2，3，4，5，6，7}的3元好子集：①A1＝{1，2，3}；②A2＝{2，4，6}；（直接写出结果，不需要说明理由） （Ⅱ）若A＝{a1，a2，a3，a4}是S＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的4元好子集，求a1+a2+a3+a4的最小值； （Ⅲ）若A＝{a1，a2，⋯，am}是S＝{1，2，⋯，n}（n≥3且n∈N*）的m元好子集． 求证：，并指出等号成立的条件． 2025-2026学年北京市顺义区牛栏山一中高一（下）月考数学试卷（4月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题4分，共40分。每小题中只有一项是符合题目要求的。 1．【考点】复数的运算．版权所有 【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解． 【分析】根据复数的概念即可求出结果． 【解答】解：因为z＝3+2i，所以复数z的虚部为2． 故选：B． 【点评】本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题． 2．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．版权所有 【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解． 【分析】由数量积的定义式计算即可． 【解答】解：因为||＝2，||，且与的夹角为， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查平面向量的数量积，属于基础题． 3．【考点】平面向量的坐标运算．版权所有 【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解． 【分析】结合向量的数量积运算，即可求解． 【解答】解：向量（1，2），（3，﹣4）， 则， 故•（）＝1×4+2×（﹣2）＝0． 故选：C． 【点评】本题主要考查平面的数量积运算，属于基础题． 4．【考点】棱锥的体积．版权所有 【专题】对应思想；综合法；立体几何；运算求解． 【分析】根据题意几何体AA1EB﹣DD1FC为直棱柱，求出AA1EB的面积，进而求解即可． 【解答】解：由题易知几何体AA1EB﹣DD1FC为直棱柱， 且已知A1E＝1，AB＝2，A1A＝1， 所以， 则直棱柱AA1EB﹣DD1FC的体积为． 故选：C． 【点评】本题主要考查棱柱的体积，属于基础题． 5．【考点】平面向量的数乘与线性运算．版权所有 【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解． 【分析】结合向量的线性运算即可求解． 【解答】解：△ABC中，，若，， 则3（）＝32． 故选：D． 【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题． 6．【考点】三角形的形状判断．版权所有 【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解． 【分析】由正弦定理可得sin（A+B）＝2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得tanA＝tanB，根据0＜A，B＜π，可得结论． 【解答】解：c＝2acosB，由正弦定理可得 sinC＝sin（A+B）＝2sinAcosB， 由两角和的正弦公式可得：sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB， ∴sinAcosB＝cosAsinB， 可得tanA＝tanB， 又0＜A，B＜π， ∴A＝B， 故△ABC的形状为等腰三角形． 故选：A． 【点评】本题考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小得到tanA＝tanB是解题的关键，属于基础题． 7．【考点】充要条件的判断；平面向量的数量积运算．版权所有 【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解． 【分析】结合充分必要条件的定义即可求解． 【解答】解：非零向量，，则|2|＝|2|⇔4444 ⇔0． 则“|2|＝|2|”是“•0”的充要条件． 故选：C． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 8．【考点】解三角形．版权所有 【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解． 【分析】利用正弦定理计算AC，得出△ABC 的面积，根据面积求出C到AB的距离即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝180°﹣75°﹣45°＝60°． 由正弦定理得：， ∴， ∴S△ABC1419.61， （sin75°＝sin（45°+30°）0.962） ∴C到AB的距离47.3（米）． 故选：D． 【点评】本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，正确运用正弦定理是关键，属于中档题． 9．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．版权所有 【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解． 【分析】根据向量的线性运算可知，结合平面向量数量积定义即可求解． 【解答】解：在△ABC中，，，， 则（） 22＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题． 10．【考点】解三角形．版权所有 【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解． 【分析】不妨设AF＝1，则FD＝2，求出，AF＝BD＝1，利用余弦定理求出AB，利用面积比等于相似比的平方得出结论． 【解答】解：不妨设AF＝1，则FD＝2． 由题意知△EFD 为等边三角形，则，所以． 已知△AFC 与△BDA全等，所以AF＝BD＝1． 在△ABD 中，AD＝3，BD＝1，AB2＝AD2+BD2﹣2×AD×BD×cos∠BDA， 所以， 所以△DEF与△ABC的面积之比为． 故选：A． 【点评】本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题． 二、填空题：每小题5分，共25分。 11．【考点】由复平面中的点确定复数．版权所有 【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解． 【分析】由题意可得z，进一步得到． 【解答】解：在复平面内，复数z对应的点的坐标为（﹣2，1）， 则z＝﹣2+i，可得复数z的共轭复数2﹣i． 故答案为：﹣2﹣i． 【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 12．【考点】利用正弦定理解三角形．版权所有 【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解． 【分析】根据正弦定理求解即可． 【解答】解：△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 由， 可得，故sin∠C， 又a＞c，∠A＞∠C，可得∠C＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 13．【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．版权所有 【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解． 【分析】根据向量共线的性质求解即可． 【解答】解：由题可得3，2（k﹣1）， 又A，B，C三点共线，向量与不共线， 可得，解得k＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查向量共线的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 14．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．版权所有 【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；运算求解． 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，再由向量坐标运算求得第一空；设P（t，0），t∈[0，2]，由向量的坐标运算求得t2﹣2t+4，结合二次函数求最值即可． 【解答】解：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 设A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（0，2）， 因为P是AB中点，所以P的坐标为， 所以（2﹣1，2﹣0）＝（1，2），（0﹣1，2﹣0）＝（﹣1，2）， 所以，所以； 当P在AB上运动时，设P的坐标为（t，0），t∈[0，2]， 所以（2﹣t，2﹣0）＝（2﹣t，2），（0﹣t，2﹣0）＝（﹣t，2） 所以2t+t2+4＝t2﹣2t+4，其开口向上，对称轴为， 因为t∈[0，2]，所以当t＝0时，f（0）＝02﹣2×0+4＝4；．当t＝2时，f（2）＝22﹣2×2+4＝4， 所以的最大值为4． 故答案为：4；4． 【点评】本题考查平面向量的数量积，坐标运算，属于中档题． 15．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．版权所有 【专题】转化思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解． 【分析】利用正弦定理可判断①；由余弦定理和基本不等式、三角形的面积公式判断②；由正弦定理和三角恒等变可得，再结合B的范围求取值范围即可判断③；由向量的运算和三角恒等变换计算后结合B的范围即可求得最值，判断④． 【解答】解：因为在△ABC中，∠A＝60°，， 所以由正弦定理得外接圆直径， 所以b＝8sinB，c＝8sinC． 对于①：因为b＝8，所以由正弦定理得：， 因为sinB＝1在（0，π）内仅有唯一解B，所以仅存在1个三角形，故①错误； 对于②：△ABC的面积． 由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc（当且仅当b＝c时取等号）， 因此，所以最大值为，故②正确； 对于③：因为b+c＝8（sinB+sinC）＝8[sinB+sin（120°﹣B）]， 因为， 所以）， 因为0°＜B＜120°，所以30°＜B+30°＜150°，所以， 所以，因为．，所以8在区间内， 所以b+c可以等于8，故③正确； 对于④：因为，所以b2﹣c2， 由正弦定理b＝8sinB，c＝8sinC＝8sin（120°﹣B），代入得：b2﹣c2＝64（sin2B﹣sin2C）， 因为sin2α﹣sin2β＝sin（α+β）sin（α﹣β），所以2B﹣120°）， 所以，因为0°＜B＜120°，所以﹣120°＜2B﹣120°＜120°， 所以sin（2B﹣120°）最大值为1，当2B﹣120°＝90°，即B＝105°时取等号，所以最大值为，故④正确． 故选：②③④． 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理、基本不等式、向量数量积运算，三角恒等变换应用，属于中档题． 三、解答题：共计85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．【考点】纯虚数；复数对应复平面中的点．版权所有 【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解． 【分析】（I）根据复数的运算求解即可； （Ⅱ）根据纯虚数的定义求解即可． 【解答】解：（I）， z1+z2＝2+i+1﹣2i＝3﹣i， z1z2＝（2+i）（1﹣2i）＝2+i﹣4i+2＝4﹣3i， ； （Ⅱ）复数为纯虚数， 则，解得a＝﹣2， 所以a得值为﹣2． 【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题． 17．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．版权所有 【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解． 【分析】（I）结合向量共线的性质，以及向量的夹角公式，即可求解； （Ⅱ）结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解． 【解答】解：（I）若，则4（k+1）＝2k，解得k＝﹣2， 故， ； （Ⅱ）若， 则16+k2﹣4（k2+2k+5）＝0，解得k＝﹣2或． 【点评】本题主要考查向量共线、垂直的性质，属于基础题． 18．【考点】三角形中的几何计算．版权所有 【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解． 【分析】（I）在△ABC中，根据余弦定理建立关于AC的方程，解之即可得到边AC的长； （Ⅱ）运用余弦定理求得cosB，然后在△ABD中，求出AD的长，由AB2+AD2＝BD2，判断出∠DAB为直角，进而可得本题答案． 【解答】解：（I）在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC， 即， 整理得AC2+4AC﹣96＝0，解得AC＝8（AC＝﹣12不符合题意，舍去）， 所以AC边长为8； （Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得cosB， 在△ABD中，BDBC， 所以AD， 可得AB2+AD2＝BD2＝28，所以△ABD是直角三角形，∠DAB＝90°． 【点评】本题主要考查余弦定理、勾股定理的逆定理等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 19．【考点】解三角形．版权所有 【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解；结构不良题． 【分析】（I）先对已知条件进行化简，再结合余弦定理求出cos A的值，进而得到∠A； （II）分别分析三个条件，根据正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，求出三角形的面积和外接圆面积． 【解答】解：（I）因为，所以， 所以b2﹣2bc+c2﹣a2＝﹣bc，所以b2+c2﹣a2＝bc， 由余弦定理，将b2+c2﹣a2＝bc代入可得． 因为0＜A＜π，且，所以； （II）选择条件①已知a＝7，b＝8，，由正弦定理， 可得， 因为b＞a，所以B＞A， B可能为锐角也可能为钝角，则． 当时，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB； 当时，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， 此时三角形不唯一，所以条件①不符合要求． 选择条件②已知，b＝1，，则． 由正弦定理，可得． sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB． 由正弦定理，可得． 根据三角形面积公式S△ABC， 设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，则， 所以外接圆面积S＝πR2＝7π； 选择条件③已知sinC＝5sinB，由正弦定理可得c＝5b，又，， 根据余弦定理可得， 即21＝b2+25b2﹣5b2＝21b2，解得b＝1，则c＝5． 根据三角形面积公式S△ABC， 设△ABC 外接圆半径为R，由正弦定理可得，则， 所以外接圆面积S＝πR2＝7π． 【点评】本题考查余弦定理、正弦定理以及三角形面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于难题． 20．【考点】解三角形．版权所有 【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解． 【分析】（I）利用正弦定理，结合条件求∠BAC的大小； （Ⅱ）利用余弦定理，建立不等式组，解不等式组，求AD边长的取值范围； （Ⅲ）利用平方的方法求模，结合的最小值为，求λ值以及∠CAD的大小． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，即． 因为BC•sin∠ABC＝AC•cos∠BAC，且sin∠ABC≠0，所以， 所以， 所以sin∠BAC＝cos∠BAC， 所以tan∠BAC＝1． 因为0＜∠BAC＜π， 所以； （II）设AD＝x，则，所以x， 即AD边长的取值范围是（，）； （Ⅲ）因为AC＝4，AD＝2，所以 ＝16+4λ2+16λcos∠CAD＝4（λ+2cos∠CAD）2+16﹣16cos2∠CAD≥16﹣16cos2∠CAD， 所以当λ+2cos∠CAD＝0，即λ＝﹣2cos∠CAD时， 取得最小值是， 所以， 所以，或， 所以λ＝﹣1，或λ＝1，∠CAD或， 所以存在实数λ＝±1，使得的最小值为，． 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查向量的模，考查学生的计算能力，属于中档题． 21．【考点】元素与集合的属于关系的应用．版权所有 【专题】转化思想；综合法；集合；逻辑思维；新定义类． 【分析】（I）根据m元完美子集的定义判断可得结论； （II）不妨设a1＜a2＜a3，由a1＝1，a1＝2，a1≥3分别由定义可求得a1+a2+a3的最小值； （III）不妨设a1＜a2＜…＜am，有a1＜a1+a1＜a1+a2＜…＜a1+am﹣1﹣1≤n．ai+a1，ai+a2，…，ai+am+1﹣i是A中m+1﹣i 个不同的元素，且均属于集合{ai+1，ai+2，…，am}，此时该集合恰有 m﹣i 个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1≤i≤m，都有a1+am+1﹣i≥n+1由此可得证． 【解答】（I）解：①因为1+3＝4≤7，又4∉A1，所以A1不是S的3元完美子集． ②因为2+2＝4≤5，且4∈A2，而5+5＞4+5＞4+4＞2+5＞2+4＞5，所以A2是S的3元完美子集； （II）解：要使a1+a2+a3+a4最小，不妨设a1＜a2＜a3＜a4． 若a1＝1，则a1+a1＝2∈A，1+2＝3∈A，1+3＝4∈A，1+4＝5∈A，1+5＝6∈A，1+6＝7∈A，1+7＝8∈A，1+8＝9∈A，不满足4元好子集的条件； 若a1＝2，则a1+a1＝4∈A，2+4＝6∈A，2+6＝8∈A，此时a1+a2+a3+a4＝2+4+6+8＝20； 若a1≥3，则a1+a1≥6，于是a2≥4，a3≥6，a4≥8，所以a1+a2+a3+a4≥3+4+6+8＝21， 所以，a1+a2+a3+a4的最小值为20； （III）证明：不妨设a1＜a2＜…＜am． 对任意1≤i≤m，都有ai+am+1﹣i≥n+1，否则，存在某个i（1≤i≤m），使得ai+am+1﹣i≤n． 由a1＜a2＜…＜am得ai＜ai+a1＜ai+a2＜…＜ai+am+1﹣i≤n， 所以ai+a1，ai+a2，…，ai+am+1﹣i是A中m+1﹣i个不同的元素，且均属于集合{ai+1，ai+2，…，am}，该集合恰有m﹣i个不同的元素，显然矛盾， 所以对任意1≤i≤m，都有ai+am+1﹣i≥n+1． 于是2（a1+a2+⋯+am﹣1+am）＝（a1+am）+（a2+am﹣1）+…+（am﹣1+a2）+（am+a1）≥m（n+1）， 即a1+a2+⋯+am，等号成立的条件是且ai． 【点评】本题考查集合新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题． 考点卡片 1．元素与集合的属于关系的应用 【知识点的认识】 元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 【解题方法点拨】 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 【命题方向】 知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数． 已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值． 分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可． 解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分） 当a+2＝3时，a＝1，…（5分） 此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分） 当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分） 由，得，成立…（12分） 故（14分） 点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力． 2．充要条件的判断 【知识点的认识】 充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的． 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性． 【命题方向】 充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件． “方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥2 D．m≥0 解：“方程 x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”． 故选：A． 3．平面向量的平行向量（共线向量） 【知识点的认识】 相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量． 共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量． 规定：零向量与任一向量平行． 注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移． 【解题方法点拨】 平行向量与相等向量的关系： （1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行； （2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等． （3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量． （4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量． 【命题方向】 了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察． 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有（　　） 解：平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点， 所以图中与平行的向量有，，，共3个． 4．平面向量的数乘与线性运算 【知识点的认识】 （1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反． 当λ＝0时，λ与平行． 对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔λ （2）向量数乘运算的法则 ①1；（﹣1）； ②（λμ）λ（μ）μ（λ）； ③（λ+μ）λμ； ④λ（）＝λλ． 一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示． 5．平面向量的数量积运算 平面向量的数量积运算 6．平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的认识】 1、平面向量数量积的重要性质： 设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则： （1）||cosθ； （2）⇔0；（判定两向量垂直的充要条件） （3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||； 特别地：||2或||（用于计算向量的模） （4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状） （5）||≤|||| 2、平面向量数量积的运算律 （1）交换律：； （2）数乘向量的结合律：（λ）•λ（）•（）； （3）分配律：（）••（） 平面向量数量积的运算 平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2•2．②（）（）22．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 【解题方法点拨】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“” ②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”； ③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”； ④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”； ⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•”； ⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 　①②　 ． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn＝nm”类比得到“”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”， 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”， 即③错误； ∵||≠||•||， ∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”； 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”， 即⑤错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴”不能类比得到， 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到． 【命题方向】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 7．平面向量的坐标运算 【知识点的认识】 平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d．若（m，n），则（x+m，y+n），则（x﹣m，y﹣n）；•（xm，ny），λ（λx，λy）． 【解题方法点拨】 例：已知平面向量满足：，，且，则向量的坐标为 　（4，2）或（﹣4，﹣2）　 ． 解：根据题意，设（x，y）， 若，有0，则﹣x+2y＝0，①， 若，x2+y2＝20，②， 联立①②，可得， 解可得或， 则（4，2）或（﹣4，﹣2）； 故答案为（4，2）或（﹣4，﹣2）． 这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设（x，y），根据题意，由，可得﹣x+2y＝0，①，由，可得x2+y2＝20，②，联立①②两式，解可得x、y的值，即可得的坐标．这也是常用的一种方法． 【命题方向】 这是一个很重要的考点，也是一个比较容易的考点，大家在学习的时候关键是掌握公式的应用，常用的解法一般就是上面例题中的先设未知数，再求未知数． 8．平面向量共线（平行）的坐标表示 【知识点的认识】 平面向量共线（平行）的坐标表示： 设（x1，y1），（x2，y2），则∥（）⇔x1y2﹣x2y1＝0． 9．数量积表示两个平面向量的夹角 【知识点的认识】 我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了． 【解题方法点拨】 例：复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 　60°　 ． 解：cos60°+isin60°． ∴复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°． 故答案为：60°． 点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角． 【命题方向】 这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握． 10．数量积判断两个平面向量的垂直关系 【知识点的认识】 向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有•1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0． 【解题方法点拨】 例：与向量，垂直的向量可能为（　　） A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3） 解：对于A：∵，•（3，﹣4）5，∴A不成立； 对于B：∵，•（﹣4，3），∴B不成立； 对于C：∵，•（4，3），∴C成立； 对于D：∵，•（4，﹣3），∴D不成立； 故选：C． 点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直． 【命题方向】 向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用． 11．利用正弦定理解三角形 【知识点的认识】 1．正弦定理 定理 正弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） 变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ﹣ 【解题方法点拨】 ﹣应用正弦定理：用正弦定理解决三角形中的边长和角度问题，特别是在已知部分角和边的情况下． ﹣三角形的解法：在已知两个角和一个边，或两个边和一个角的情况下，利用正弦定理求解其他边和角． 【命题方向】 ﹣正弦定理的应用：考查如何应用正弦定理解决涉及三角形的几何问题． ﹣三角形解的存在性：如何使用正弦定理判断三角形的解的存在性和唯一性． △ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，则b＝_____． 解：∵△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°， ∴由正弦定理得，， ∴， 解得b＝3． 12．三角形中的几何计算 【知识点的认识】 1、几何中的长度计算： （1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． （2）利用余弦定理可以求解： ①解三角形； ②判断三角形的形状； ③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角． 2、与面积有关的问题： （1）三角形常用面积公式 ①Sa•ha（ha表示边a上的高）； ②SabsinCacsinBbcsinA． ③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）． （2）面积问题的解法： ①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决． ②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解． 【解题方法点拨】 几何计算最值问题： （1）常见的求函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域． ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域． （2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况： ①当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1； 余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1； 正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0． ②当角度在90°～180°间变化时， 正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1； 余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0； 正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0． 13．解三角形 【知识点的认识】 1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b． 2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角． 3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． 4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C． 5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度． 6．俯角和仰角的概念： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角． 7．关于三角形面积问题 ①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； ②S△ABCabsinCbcsinAacsinB； ③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径） ④S△ABC； ⑤S△ABC，（s（a+b+c））； ⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径） 在解三角形时，常用定理及公式如下表： 名称 公式 变形 内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C 余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC 正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC 射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a 面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC 14．三角形的形状判断 【知识点的认识】 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 15．纯虚数 【知识点的认识】 形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数． 纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果． 【解题方法点拨】 复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0． 实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集． 【命题方向】 纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点． 16．复数对应复平面中的点 【知识点的认识】 1、复数的代数表示法 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a； （2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离． 【解题方法点拨】 ﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示． ﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析． 【命题方向】 ﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义． ﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题． 17．由复平面中的点确定复数 【知识点的认识】 1、复数的代数表示法 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a； （2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离． 【解题方法点拨】 ﹣从点到复数：通过点的坐标（x，y），直接确定复数x+yi． ﹣几何解释：理解复数的几何意义并应用于实际问题中． 【命题方向】 ﹣点与复数的关系：考查如何根据复平面上的点确定对应的复数． ﹣复数的几何应用：如何利用复平面中的点解决实际问题． 18．复数的运算 【知识点的认识】 复数的加、减、乘、除运算法则 19．棱锥的体积 【知识点的认识】 棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度． 【解题方法点拨】 ﹣计算公式：体积计算公式为． ﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算． 【命题方向】 ﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积． ﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/26 16:23:15；用户：18610230139；邮箱：18610230139；学号：39881500 APP 公众号 小程序 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $