精品解析：黑龙江齐齐哈尔市恒昌中学校等九校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 4 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数在区间上的平均变化率为： . 2. 已知数列满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为，. 所以， 所以. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一，根据等差数列通项公式的基本量的计算，即可求出结果；方法二，利用等差数列通项公式的性质，即可求出结果. 【详解】方法一：设等差数列的公差为， 由，，得， 所以，； 方法二：因为数列是等差数列，所以， 即，解得. 故选：B 4. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由的图象知，的图象为增函数， 且在区间上增长速度越来越快， 而在区间上增长速度越来越慢． 故选B. 5. 在等比数列中，，则（ ） A. 150 B. 125 C. 100 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】法一，利用等比数列通项公式求出，进而可求解，法二，由，成等比数列，即可求解. 【详解】方法一：设等比数列的公比为，由， 得，所以， 所以. 方法二：设等比数列的前项和为， 则， 且，成等比数列， 所以，解得. 6. 已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对函数求导得，因为函数在定义域上不是单调函数， 所以导函数的函数值既有正值又有负值，故，即，所以. 7. 某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多个座位，前5排，中5排，后5排分别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70，95，则此电影放映厅的座位总数为（ ） A. 120 B. 210 C. 285 D. 495 【答案】C 【解析】 【详解】设第排的座位数为，的前项和为， 由题意可知，数列是公差为的等差数列， 方法一：因为成等差数列，所以， 由题意知，所以，解得. 方法二：因为， 所以，解得， 所以. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于，通过构造函数，求导确定单调性可判断，对于，通过构造，求导确定单调性可判断，进而可解题. 【详解】由，构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 由， 构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 综上，. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】由导数的运算公式，得，故A错误，BCD正确. 10. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 与的公差相等 D. 取得最小值时 【答案】AD 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式及下标和性质计算判断A，应用等差数列求和公式结合下标和性质判断B，应用等差数列求和公式计算判断C，结合数列的正负判断D. 【详解】因为，，所以，，故公差，所以，故A正确； 又，所以，故B错误； ，则，所以也是等差数列，公差为，又，故二者的公差不相等，故C错误； 因为，所以，则取得最小值时，故D正确. 故选：AD. 11. 已知无穷数列，且，，记数列的前项积为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件推导出数列的单调性，再结合数列的性质逐一分析选项. 【详解】对于A选项，由，，得，所以，即，所以，故A正确； 对于B选项，由A选项，知，所以，得，故B错误； 对于C选项，当时，，所以，即， 当时，，所以，即，所以，所以，故C正确； 对于D选项，由选项C可知，当且时，，所以，又，所以，又，所以，即，解得，故D正确. 故选ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前n项和，则______. 【答案】－3750 【解析】 【分析】首先根据题设条件，利用，即可求得的值. 【详解】数列的前n项和， . 故答案为：－3750. 13. 已知函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得， 所以，所以. 14. 已知数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，例如，则__________. 【答案】18214 【解析】 【分析】根据题中定义，结合对数函数的单调性、对数的运算性质、错位相减法进行求解即可. 【详解】当时，， 每组共有个，， 故 ， 设， 则， 相减得到， 整理得到， 故. 故答案为：18214 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导即可代入求解. （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 由，得， 所以曲线在处的切线方程为，即 16. 在数列中，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明：因为，所以，即， 所以数列是公差为1的等差数列. （2） 【解析】 【分析】(1)利用等差数列的定义即可证明； (2)由（1）先写出数列的通项，即得数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为数列是公差为1的等差数列，，所以， 所以于是 设数列的前项和为， 则. 17. 已知函数在处取得极大值． （1）求a，b的值； （2）求函数的零点的个数． 【答案】（1）， （2）函数的零点的个数为1 【解析】 【分析】（1）根据极大值点导数为0及列方程求解，再检验即可； （2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理即可得解. 【小问1详解】 对求导得， 由，且，解得，． 经检验，，符合题意，所以，． 【小问2详解】 由， 令或 令， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 所以可得函数的极小值为，又极大值为， 而， 综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间内． 18. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，其中． （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列前项和为． （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解公差、比即可得解； （2）（i）根据错位相减法求和即可（ii）代入后分离参数，转化为恒成立，根据数列单调性求最值即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得， 由， 得由，解得 所以，． 【小问2详解】 （i）由（1）知, 所以①， 所以②， ①-②得： ， 所以． （ii）由题意，对任意的，均有恒成立， 所以，即恒成立． 设， 所以， 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为， 所以． 故的取值范围是． 19. 已知函数． （1）若，讨论在上的单调性； （2）若，证明：； （3）当时，若，且，在处取得极值，求证：． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） 若，则的定义域为，且， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知存在，使得，即， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 因为，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，可得， 所以时，． （3） 当时，的定义域为，且， 令，则， 当时，，则， 可知在内单调递增，即在内单调递增， 且， 可知存在，使得，即， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以是的极小值点； 因为，且， 不妨设，则， 要证，即证， 因为，则， 又因为在上单调递增，且， 因此只要证， 设，则， 可得， 令，则， 设， 则， 可知在上单调递增，即在上单调递增， 则，可知在上单调递减， 则，可知在上单调递增，可得， 所以时，， 又因为，所以成立． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，利用导数判断的单调性； （2）可得，，利用导数判断的单调性和最值，根据零点代换结合基本不等式分析证明； （3）可得，，利用导数判断的单调性和极值点；分析可知只要证，构造，利用导数可证，即可得结果. 【小问1详解】 若，则的定义域为，且， 当时，则在上恒成立，可知在上单调递增； 当时，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 4 B. 12 C. D. 2. 已知数列满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，则（ ） A. 150 B. 125 C. 100 D. 75 6. 已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多个座位，前5排，中5排，后5排分别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70，95，则此电影放映厅的座位总数为（ ） A. 120 B. 210 C. 285 D. 495 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 与的公差相等 D. 取得最小值时 11. 已知无穷数列，且，，记数列的前项积为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前n项和，则______. 13. 已知函数，则__________. 14. 已知数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，例如，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程. 16. 在数列中，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数在处取得极大值． （1）求a，b的值； （2）求函数的零点的个数． 18. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，其中． （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列前项和为． （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，讨论在上的单调性； （2）若，证明：； （3）当时，若，且，在处取得极值，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $