专题15：函数与导数压轴题充要条件证明三种常用方法 -2026届高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题16 函数与导数压轴题充要条件证明三种常用方法 方法一、直接法 【例1】（2024·上海·高考真题）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【跟踪训练】 1. （24-25华师大二附中高二期中）若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”． （1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”； （3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“” 2.（2026届高三黄埔区一模）已知函数的定义域为,对于给定实数,定义集合. （1）若，求； （2）若，求证:“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数，使得”. （3）若，，且对于任意的，都有，求实数的取值范围. 3.（2026虹口区高三一模）已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当，求函数的零点: (2)当，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证:“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 4．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 5．（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 方法二、反证法 【例2】（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【跟踪训练】 1．（2025·上海杨浦·一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 2. （2026长宁区二模）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 3．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 4.（2025上师大闵行分校高二期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 方法三、夹逼法 【例3】（2026届高三青浦区一模）已知函数定义域为,对于实数,定义集合, (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合、满足:，则称和互为对称集.证明:“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 【跟踪训练】 1．（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． (1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； (2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； (3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 1．（25-26高三上·上海徐汇·月考）定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”． (1)求与自身所有“零二值”的取值集合的子集； (2)求和的“一一值”的个数； (3)判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由． 2．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 3．（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． (1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； (2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； (3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 4．（2024·上海黄浦·二模）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”. (1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”； (3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题16 函数与导数压轴题充要条件证明三种常用方法 方法一、直接法 【例1】（2024·上海·高考真题）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【详解】（1）由题意得:； （2）由题意知，记，有或2， 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论: 当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件; 当时，，先减后增，， 因为取等号)，所以， 此时，符合条件，且时，； 当时，，在严格增，在严格减，在严格增， ，因为， 此时，，则，则成立; 综上可知，对于任意，都有，且存在，使得. （3）必要性:若为偶函数，则， 当，因为，故; 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为，中最小元素为， 又 则对任意成立，则 ， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， ， 综上，任意，即是偶函数. 故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【跟踪训练】 1. （24-25华师大二附中高二期中）若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”． （1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”； （3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“” 【答案】（1）不是 （2）证明见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导可的，显然为单调递增函数，不存在两个不相等的实数，使得，所以不是“双切函数”； （2）易知函数为奇函数，为偶函数，所以必存在两个不相等的实数，且，使得，利用对称性可解得即为“双切点”， 为其“双切线”； （3）由是“双切函数”可得存在两个不相等的实数，使得，即函数不单调，再求导利用判别式即可求得充分条件为，同时也可证明必要性成立. 【小问1详解】 根据“双切函数”的定义可知，若是“双切函数”， 则存在两个不相等的实数，使得； 由可知，； 易知为单调递增函数， 所以不存在两个不相等的实数，使得； 即不是“双切函数”. 【小问2详解】 由可得； 显然为偶函数，且在上为单调递增； 所以必存在两个不相等的实数，使得，且； 不妨设两切点分别为， 易知函数为奇函数，又； 所以两切点关于原点对称； 即此时切线斜率， 即，解得或； 即存在两点满足条件，所以函数是“双切函数”， 此时，两点确定的直线方程即为“双切线”， 由直线的两点式方程可得即为函数的“双切线”. 故其“双切线”为. 【小问3详解】 充分性： 若是“双切函数”， 则需存在两个不相等的实数，使得； 令，即存在实数使得函数在定义域内有两个零点； 所以不单调，又， 即，可得，即； 所以充分性成立； 必要性： 因为是“双切函数”，设点，为其一对“双切点”， 函数在处的切线方程为， 所以， 即， 即， 因为，所以， ， 设，， 原式即， 由①可得， 代入②得， 化简得， ， 假设，则，原方程仅有一解， 所以， 所以，为方程的两个相异实根， 但由此一元二次方程的判别式， 即方程要么无实根，要么有两个相等的实数根，与，存在且不等矛盾， 所以假设不成立，即，所以必要性成立. 因此，“”是“双切函数”的充要条件是“” 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“双切函数”的定义，充分利用导函数和原函数之间的对应关系，并利用导函数零点个数解决原函数不单调问题，即可实现问题求解. 2.（2026届高三黄埔区一模）已知函数的定义域为,对于给定实数,定义集合. （1）若，求； （2）若，求证:“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数，使得”. （3）若，，且对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【解析】（1），即， 可得， 解得或. 故. ……………………4分 （2）若且为周期函数，则存在非零常数，使得对一切恒成立，故对一切恒成立，所以； 由，即对一切恒成立， 可知对一切恒成立，故对一切恒成立， 所以. 故存在非零实数，使得. ………………………7分 若且存在非零实数，使得，则对一切,都有与恒成立，可知对一切,与恒成立，从而恒成立，所以为周期函数. 综上可知：若，“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数，使得”. ………………………10分 （3）由，且对任意，，可知对任意的，都有，它等价于在上是增函数，故 对于恒成立， ……………………13分 即对于恒成立，又直线过定点 ，的图像在处的切线方程为，若此切线过点 ，则有，即（*） 当与时，（*）成立，故当时，直线与 的图像相切，由图像可知. ……………17分 若，则，故在上严格增;若，则当时， ，当时，，此时在上严格增;若，则当时，，当时，，此时在上严格增.所以当时在上必为增函数. 综上可知，所求的取值范围是. ………………18分 法二；前面同上法.令，. 若,则，与矛盾；若，当时，；当时， ；当时，，故的最小值为. 由，可知 ，当时，等号成立，由图像可知. 以下同上法. 3.（2026虹口区高三一模）已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当，求函数的零点: (2)当，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证:“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 【解析】（1） （2） 若,则(舍) 若,则(舍) 必要性 对称轴: 在上严格增 （3）必要性:不妨设 要证 只要证 只要证 易知 取,得证 充分性:要证严格增函数 只要证 只要证 只要证 只要证 取,得证 4．（2025·上海崇明·二模）已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 【答案】(1)点具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，然后写出经过的切线方程，将代入求解，即可判断； （2）设，然后写出经过的切线方程，按是否在分类讨论，代入切线方程，得到关于的方程，证明其有解即可； （3）设，然后写出经过的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可. 【详解】（1）点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； （2）证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； （3）证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 5．（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【思路分析】（1）首先求的导数，再根据等比数列的定义，即可证明； （2）首先求和集合，再利用导数讨论函数的单调性，由，讨论得到取值范围； （3）首先证明必要性，若函数为偶函数，根据偶函数的性质，证明，再证明充分性，若对于任意正实数，均有，分和两种情况证明. 【规范答题】（1），因为， 所以是以为公比的等比数列； （2），所以 且 令 则得：在严格增，在严格减 ①当时，，所以与矛盾； ②当时，，所以] 令 则，所以在上严格减，所以， 而当时，,从而矛盾，综上，不存在正数，使得. （3）必要性：若为偶函数，则 ， 当，因为，故； 同理可证，故. 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为中最小元素为， 又，则对任意成立， 则， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， 最小元素是，且最小元素是， 则 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 方法二、反证法 【例2】（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； （3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【跟踪训练】 1．（2025·上海杨浦·一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. (1)判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； (2)若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； (3)已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【思路分析】（1）根据压缩函数的定义，判断对于任意，是否都有成立. （2）根据压缩函数的定义，得到关于的不等式，进而求出的取值范围. （3）结合压缩函数的定义，分充分性和必要性进行证明.在充分性证明时，先证明函数连续，再用反证法假设函数不单调，借助极值点附近函数值与极值的大小比较，推出矛盾即证. 【规范答题】（1）已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数. （2）因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得； 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上，的取值范围为. （3）（必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有. 证明：若在上单调， ①若在上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若在上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证. （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即的图象在上连续不断. 下面用反证法证明. 假设在上不是单调函数，又的图象连续不断， 则存在实数，使得在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即在上是单调函数，充分性得证. 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有. 2. （2026长宁区二模）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】（1） （2）或或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论，，，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【小问1详解】 由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. 【小问2详解】 由题意得, 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当时，在区间上单调递减， 此时，满足； ③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或或. 【小问3详解】 必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 3．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 【答案】(1)是，理由见解析； (2)且； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，作差判断即可. （2）利用给定定义列出恒成立的不等式，再建立关于的不等式求解即得. （3）根据给定的定义，按充分性、必要性分别推理证明. 【详解】（1）函数，求导得， ，恒成立， 所以是上的函数. （2）由为上的函数，， 得， 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则， 又， 所以t的取值范围是：且. （3）（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立； （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即； 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是， 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确． 4.（2025上师大闵行分校高二期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）为的充要条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义来判断即可； （2）根据函数，将问题转化为不等式问题，进一步转化为恒成立问题进行求解； （3）推导出为的充分条件，若成立，即对任意正整数，有：，记函数的最大值为．用反证法证明恒成立和恒成立，从而为的充要条件． 【小问1详解】 设定义域为的函数 在上可导，导函数为 ． 若区间及实数满足：，对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ，， ，在时恒成立， 是 上的函数． 【小问2详解】 实数满足：函数为上的函数， 则有，得， 函数，有在上恒成立， 在单调递减，在上， 所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 若成立，则对任意正整数，有：， 即 为上的函数，成立．故为充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：（2） 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与（2）矛盾． 则有恒成立，这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知， 但，所以， 于是． 对任意 ，可取一个与有关的正整数，使得， 由（2）知：． 于是成立，故也为的必要条件． 故为的充要条件． 【点睛】思路点睛： 本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，（1）中直接根据定义来判断，（2）将不等式问题转化为恒成立问题来求解；（3）巧用反证法来证明． 方法三、夹逼法 【例3】（2026届高三青浦区一模）已知函数定义域为,对于实数,定义集合, (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合、满足:，则称和互为对称集.证明:“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 【解析】（1）， （2）首先，由知，∴．其次，当时，由可以推得，∴．因此只需保证对任意，均有． ，令得． 在和上，，严格增； 在上，，严格减． 时，取得极小值，且方程即的另一个根为． 结合图像可知，的取值范围是 （3）必要性． 若函数为偶函数，则对任意实数， ， 所以与互为对称集． 充分性． 若对任意实数，与互为对称集．下面证明对任意，． 假设， ①若，则，则，∴，矛盾； ②若，则，则，∴，矛盾． ∴假设不成立．∴对任意，．∴函数为偶函数． 【跟踪训练】 1．（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． (1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； (2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； (3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)的所有可能值为或 【分析】（1）结合题目所给定义分别计算即可得； （2）结合定义可得，，即可得解； （3）记集合，，结合定义可得，再分、、讨论即可得. 【详解】（1）不是关于的“函数”． 解法一：当时，，所以不存在，使得 解法二：因为函数()的值域为，比如取，则， 不存在，使得； （2）设． 由题意，存在，使得． 因为函数是关于的“函数”， 所以存在，满足， 从而． 同理，由是关于的“函数”， 可得， 综上，； （3）记集合，． 由是关于的“函数”，得， ①当时， ，， 从而，解得， 因唯一，令，解得(舍)或(舍)； ②当时，，， 从而，解得， 因唯一，令，解得，符合题意； ③当时，，， 从而，解得， 因唯一，令，解得，符合题意； 综上，的所有可能值为或． 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助集合，，得到，从而对、、讨论. 1．（25-26高三上·上海徐汇·月考）定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”． (1)求与自身所有“零二值”的取值集合的子集； (2)求和的“一一值”的个数； (3)判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由． 【答案】(1)； (2)2； (3)充要条件，理由见解析 【详解】（1）由题， 令即，解得或， 所以与自身所有“零二值”的取值共有3个，构成的集合为， 所以与自身所有“零二值”的取值集合的子集为. （2）由题和，令， 则当时，，即，解得（舍去）或； 当时，即即，解得（舍去）或. 所以和的“一一值”的个数为2个. （3）对于定义域为的函数，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的充要条件， 理由如下：任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’， 则任意x均满足且，又， 则（c为常数）， 所以，所以，充分性成立； 当时，对任意x均有且， 所以任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’必要性成立. 所以对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的充要条件. 2．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 3．（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． (1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； (2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； (3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 【答案】(1)是，不是 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）， 由解得， 故A是“P－可见”的. ， 由解得或， 故B不是“P－可见”的. （2）,， 则在有且仅有1解， 整理得，为此方程的解， 则在无解， 设， 对称轴， 当时，在单调递增， 由于，，则此时不符合题意， 当时，在单调递减， 由于，，则此时不符合题意， 当时， 由于，则需， 解得， 综上 . （3）任取，，则， 设，， 则， 由于函数的图像是一条连续不断的曲线，则函数的图像是一条连续不断的曲线. 必要性：若函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 则在有且仅有1个零点， 则时，恒正或恒负， 若恒正，即任取，， 则， 则， 则函数在上严格增， 同理若恒负，可得函数在上严格减. 充分性： 若函数在上严格增， 则任取，有， 则， 即， 则在有且仅有1个零点， 则函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 若函数在上严格减同理. 4．（2024·上海黄浦·二模）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”. (1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”； (3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”. 【答案】(1)函数的图象存在“自公切线”； 函数的图象不存在“自公切线”，理由见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由直线切的图象于点判断，由导数确定意见性判断. （2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明在上无解即得. （3）求出在点与处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得. 【详解】（1）显然直线切的图象于点， 直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”； 对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同， 所以函数的图象不存在“自公切线”. （2）由恒成立，且仅当时， 则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点， 令， 由的图象是连续曲线，且， 因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点； 假设的图象存在“自公切线”，则存在且， 使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设， 切线，， 有相同截距，即，而， 则，即， 则有，即，令，， 即函数在上单调递增，，因此当时，， 即在上无解， 所以的图象不存在“自公切线”. （3）对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定， 又在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为， 若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”， 则，又，则， 所以，且，从而存在， 使得，代入，可得，则，即是数列中的项； 反之，若是数列中的项，则存在，使得，即， 由（2）中的严格增，可知严格增，又且，可知， 令，则且， 即，可得，所以存在， 使得点与是函数的图象的一对“同切点”. 所以存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”. 【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $