第四章 因式分解 单元综合能力提升卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学因式分解单元综合能力提升卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，全面考查因式分解的概念、方法及综合应用，适配单元复习，助力提升运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解定义（第1题）、公式法（第6题平方差公式）|基础概念辨析，突出数学眼光的培养| |填空题|6/18|提公因式与公式法结合（第14题- my²+4my-4m）、新定义“智慧优数”（第16题）|融合应用意识，体现数学语言表达| |解答题|7/52|整体思想（第20题）、添项技巧（第23题）、新定义“m级数”（第22题）|分层设计，综合考查推理能力与创新意识|

第4章 因式分解 单元综合能力提升卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列从左到右的变形为因式分解的是（　　）． A． B． C． D． 2．多项式4a2+1再加上一个单项式后，使其成为一个多项式的完全平方，则不同的添加方法有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．多于4种 3．已知， 那么 等于（　　） A．4 B．2 C．16 D． 4．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　） A． B． C． D． 6．下列能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 7．下列各式能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 8．已知一个圆的面积为，则该圆的半径是（　　） A． B． C． D． 9．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 10．有n个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为；将第二项与相加作为第三项；将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论： ①；②当时，第三项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为；⑤当时，；以上结论正确的是（　　） A．①②④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③⑤ 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．分解因式：x（x﹣2）+1=　 　. 12．因式分解：　 　． 13．分解因式： 　 　 ． 14．分解因式：﹣my2+4my﹣4m＝　 　． 15．分解因式：ab2﹣4ab+4a=　 　 ． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第2个智慧优数是　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．因式分解： （1）； （2）； （3）． 18．下列各式从左到右的变形中， 是整式乘法的填“A”， 是因式分解的填“B”， 两者都不是的填"C"． （1） ．（　 　 ） （2） ．（ 　 　） （3） ．（ 　 　） （4） ．（ 　 　） （5） ．（ 　 　） 19．学习了乘法公式后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解； ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为-1． 请你运用上述方法解决下列问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最小值； （3）若多项式比较多项式的大小． 20．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛.如已知a+2b=2，求3a+6b-3的值.根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将(a+2b)看作一个整体，其值即为2， 而3a+6b-3=3(a+2b)-3，将a+2b=2整体代入， 即可求得3a+6b-3=3×2-3=3. （1） 已知 则 　 　。 （2） 若m+3n=-3，求2(3m+n)-4(m-n)的值； （3）设多项式. 若A+B+C的结果与x的取值无关，求a+b-c+d的值. 21．先因式分解再求值： （1）其中x=-5. （2）其中：x=3，y=1. 22．若两个正整数a，b，满足，m为自然数，则称a为b的“m级”数．例如，，，则2为3的“11级”数． （1）3是4的“ ”级数；正整数n为1的“ ”级数（用关于n的代数式表示）； （2）若m为4的“”级数，求m的值； （3）是否存在正整数a，b的值，使得a为b的“级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在请说明理由． 23．在因式分解中，添项是一种重要的技巧，即在要分解的代数式中添加符号相反的两项.请根据提示补全第（1）-（3）小题的过程和结果，并解决第（4）小题. （1）　 　. （2）　 　. （3）　 　. （4）分解因式：. 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列从左到右的变形为因式分解的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵从左至右的变形，是将两个整式的积化为了一个多项式，∴此题从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意； B、∵从左至右的变形，是利用平方差公式将两个整式的积化为了一个多项式，∴此题从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意； C、∵从左至右的变形，是将一个多项式通过提取公因式及平方差公式化为了三个整式的积的形式，∴此题从左到右的变形是因式分解，故此选项符合题意； D、∵从左至右的变形，没有将一个多项式化为几个整式的积，∴此题从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此逐一判断得出答案. 2．多项式4a2+1再加上一个单项式后，使其成为一个多项式的完全平方，则不同的添加方法有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．多于4种 【答案】B 【解析】【解答】解：4a2+1+4a=（2a+1）2； 4a2+1-4a=（2a-1）2； 4a2+1-1=（2a）2; 一共有3种 故答案为：B 【分析】利用完全平方公式的结构特点，可以添加的项有-4a或4a或-1，即可得出答案。 3．已知， 那么 等于（　　） A．4 B．2 C．16 D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵x2-16=（x+a）（x-a）， ∴x2-16=x2-a2， ∴a2=16， ∴a=±4. 故选：D. 【分析】利用平方差公式可得：（x+a）（x-a）=x2-a2，从而可得a2=16，开方即可求解. 4．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：A.，故不符合题意； B.，故符合题意； C.，故不符合题意； D.，故不符合题意； 故答案为：B． 【分析】利用提公因式法和公式法因式分解逐项判断即可。 5．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A、是多项式乘法，故A不符合题意； B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B不符合题意； C、提公因式法，故C符合题意； D、右边不是积的形式，故D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个因式的乘积的形式，可排除A，B，D，即可得出正确的答案。 6．下列能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、是三项，不能用平方差公式分解因式； B、是三项，不能用平方差公式分解因式； C、是三项，不能用平方差公式分解因式； D、，能用平方差公式分解因式； 故选：D． 【分析】根据“a2-b2=（a+b）(a-b)”作答. 7．下列各式能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】 ，属于平方差公式；其余选项都不可因式分解. 故答案为：A. 【分析】根据平方差公式，完全平方公式进行分析即可。 8．已知一个圆的面积为，则该圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设该圆的半径是R， ， ∴R=3a+b， 即该圆的半径是3a+b， 故答案为：A. 【分析】利用提公因式法和完全平方公式计算求解即可。 9．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 【答案】C 【解析】【解答】解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12 ∴p+q=m，pq=-12. ∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12 ∴m=-11或11或4或-4或1或-1. ∴m的最大值为11. 故答案为：C. 【分析】先将（x+p）（x+q） 展开，让两边对应的部分相等，得到p+q=m，pq=-12，接着分情况讨论，得到m=-11或11或4或-4或1或-1，得到m的最大值为11. 10．有n个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为；将第二项与相加作为第三项；将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论： ①；②当时，第三项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为；⑤当时，；以上结论正确的是（　　） A．①②④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意得：， ， ， ， ，故①正确； ……， ∴， ∴ ，故⑤正确； 第一项是， 第二项是， 第三项是， 第四项是， 第五项是， ……， 第n项是， ∴第2022项为，故④错误； ∴当时，第三项的值是，故②错误； ∵第5项与第4项之差为15， ∴， 解得：，故③正确； 故选：D 【分析】根据题意求出，，，，，……，据此找出规律，继而得出，可判断①⑤；然后再求出第一项，第二项，第三项，第四项，……，由此找出规律，即得第n项是，可判断②③④． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．分解因式：x（x﹣2）+1=　 　. 【答案】（x﹣1）2 【解析】【解答】解：x（x﹣2）+1=x2﹣2x+1=（x﹣1）2． 故答案是：（x﹣1）2． 【分析】首先进行化简，然后利用完全平方公式即可分解． 12．因式分解：　 　． 【答案】3b（a+2）（a-2） 【解析】【解答】解：3a2b−12b =3b（a2-4） =3b（a+2）（a-2）． 故答案为：3b（a+2）（a-2）． 【分析】先提取公因式3b，再利用平方差公式因式分解即可。 13．分解因式： 　 　 ． 【答案】a(x2-3y)(x2+3y) 【解析】【解答】解：ax4﹣9ay2=a（x4﹣9y2） =a（x2﹣3y）（x2+3y）． 故答案为： a（x2﹣3y）（x2+3y）． 【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式进行因式分解. 14．分解因式：﹣my2+4my﹣4m＝　 　． 【答案】﹣m（y﹣2）2 【解析】【解答】解：﹣my2+4my﹣4m ＝﹣m（y2﹣4y+4） ＝﹣m（y﹣2）2． 故答案为：﹣m（y﹣2）2． 【分析】根据题意，利用提公因式法以及公式法进行因式分解即可。 15．分解因式：ab2﹣4ab+4a=　 　 ． 【答案】a（b﹣2）2　 【解析】【解答】解：ab2﹣4ab+4a =a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式） =a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式） 故答案为：a（b﹣2）2． 【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第2个智慧优数是　 　． 【答案】12 【解析】【解答】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，……， 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为8，12，16，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为15，21，27，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为24，32，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为35，45，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为48，60，……； ……， 把这些智慧优数从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，……， 故第2个智慧优数是12， 故答案为：12． 【分析】根据正整数m、n满足m-n＞1，按m-n=2、3、4、……情况分别生成对应的“智慧优数”序列，将所有生成的数列合并后从小到大排列，找到对应位置的数即可. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【解析】【分析】本题考查了因式分解的方法，即把一个多项式化为几个整式的积的形式； （1）发现每一项都有x，所以利用提公因式的方法进行因式分解； （2）观察式子，满足平方差公式，所以由平方差公式进行分解因式； （3）分析式子，先提公因式2，再由完全平方公式进行因式分解． （1）解：． （2）解：． （3）解：． 18．下列各式从左到右的变形中， 是整式乘法的填“A”， 是因式分解的填“B”， 两者都不是的填"C"． （1） ．（　 　 ） （2） ．（ 　 　） （3） ．（ 　 　） （4） ．（ 　 　） （5） ．（ 　 　） 【答案】（1）C （2）A （3）B （4）C （5）B 【解析】【解答】（1）（4）等号左边是多形式，等号右边整体不是乘积形式，既不属于整式乘法，也不属于因式分解，故填“C”； （2）等号左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，故填“A”； （3）（5）等号左边是多项式，右边是乘积形式，且分解彻底，属于因式分解，故填“B”. 【分析】根据整式乘法以及因式分解的定义判断. 整式乘法：指单项式与单项式、单项式与多项式、以及多项式与多项式相乘； 因式分解：因式分解‌是将一个多项式转化为几个整式的积的形式的过程. 19．学习了乘法公式后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解； ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为-1． 请你运用上述方法解决下列问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最小值； （3）若多项式比较多项式的大小． 【答案】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴， ∴多项式的最小值． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴即． 【解析】【分析】（1）根据题意利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可； （2）先配方，再利用即可解决问题； （3）利用作差法及配方法求解即可． （1）解： ； （2）解： ∵， ∴， ∴多项式的最小值． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴即． 20．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛.如已知a+2b=2，求3a+6b-3的值.根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将(a+2b)看作一个整体，其值即为2， 而3a+6b-3=3(a+2b)-3，将a+2b=2整体代入， 即可求得3a+6b-3=3×2-3=3. （1） 已知 则 　 　。 （2） 若m+3n=-3，求2(3m+n)-4(m-n)的值； （3）设多项式. 若A+B+C的结果与x的取值无关，求a+b-c+d的值. 【答案】（1）1 （2）解：2(3m+n)-4(m-n)=6m+2n-4m+4n=2m+6n=2(m+3n) ∵m+3n=-3 ∴ 原式=2×(-3)=-6 （3）解： ∵结果与x的取值无关 ∴ a+b+3=0，2-c+d=0 ∴ a+b=-3，c-d=2 ∴ a+b-c+d=a+b-(c-d)=-3-2=-5 【解析】【解答】解：(1)∵ ∴ 【分析】(1)将变形为，整体代入的值即可； (2)化简多项式 (3m+n)-4(m-n) 为2(m+3n)，再整体代入m+3n=-3计算即可； (3)首先计算A+B+C，根据条件可知结果中不能存在含有x的项，于是得到a+b=-3，c-d=2，而代求式a+b-c+d可化为a+b-(c-d)，整体代入a+b，c-d的值进行计算。 21．先因式分解再求值： （1）其中x=-5. （2）其中：x=3，y=1. 【答案】（1）解：原式. 当x=-5时，原式 （2）解：原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x -y)2. 当时，原式 【解析】【分析】（1）先变形，提公因式（x-3），再利用平方差公式分解因式，最后代入求值即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式进行第二次分解，最后代入求值即可. 22．若两个正整数a，b，满足，m为自然数，则称a为b的“m级”数．例如，，，则2为3的“11级”数． （1）3是4的“ ”级数；正整数n为1的“ ”级数（用关于n的代数式表示）； （2）若m为4的“”级数，求m的值； （3）是否存在正整数a，b的值，使得a为b的“级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在请说明理由． 【答案】（1）15， （2）解：由题意可得：， ， ， ， ； （3）解：假设存在a，b的值，使得a为b的“级”数．，则a为b的“级”数，则，， ， ， ， ∵a，b是正整数， ∴， ∴， ∴，这与假设产生矛盾， ∴不存在a，b的值，使得a为b的“级”数． 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴3是4的“15级”数， ∵， ∴正整数n为1的“n+2”级数， 【分析】（1）根据新定义“m级”数，列出算式进行计算，再分解因式即可； （2）根据新定义“m级”数，列出关于m的方程，求解即可； （3）先假设存在a，b的值，使得a为b的“级”数，根据新定义列出算式，再分解因式，最后根据a，b为正整数，k为自然数，求出的取值，判断假设是否成立即可． （1）解：∵， ∴3是4的“15级”数， ∵， ∴正整数n为1的“n+2”级数， （2）解：由题意可得：， ， ， ， ； （3）解：假设存在a，b的值，使得a为b的“级”数．，则a为b的“级”数，则， ， ， ， ， ∵a，b是正整数， ∴， ∴， ∴，这与假设产生矛盾， ∴不存在a，b的值，使得a为b的“级”数． 23．在因式分解中，添项是一种重要的技巧，即在要分解的代数式中添加符号相反的两项.请根据提示补全第（1）-（3）小题的过程和结果，并解决第（4）小题. （1）　 　. （2）　 　. （3）　 　. （4）分解因式：. 【答案】（1） （2） （3） （4）解：由（3）可得， 当a+b+c=0时，，即， ∵， ∴ . 【解析】【解答】解：（1） 故答案为：； (2) 故答案为：； （3） ， 故答案为：； 【分析】（1）（2）（3）利用题目提供的添项，运用分组分解因式法解题即可； （4）先根据（3）的结论发现当a+b+c=0时，，然后把原式分解为，然后结合（1）的结论和平方差公式进行分解因式即可. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 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