北京市和平街第一中学2025-2026学年第二学期高一数学期中调研试卷

**基本信息** 高一年级数学期中卷聚焦复数、立体几何、解三角形、向量核心知识，通过选择填空巩固基础，解答题分层设计（如正方体线面证明、新定义“完美子集”），考查空间观念、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/50|复数象限、线面平行、解三角形|基础概念辨析，如第2题线面平行命题判断| |填空题|6/30|向量数量积、圆柱圆锥、正方体截面|动态问题设计，如第16题截面形状判断| |解答题|5/70|解三角形综合、线面平行证明、新定义集合|分层递进，如第18题三问从证明到计算，第21题新定义创新应用|

和平街一中2025—2026学年度第二学期高一年级 数学期中调研试卷 班级 姓名 学号 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1.复数=5-3i在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知，是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中真命题为( ) A.若⊂,∥,则∥ B.若∥,∥,则∥ C.若∥,⊂,则∥ D.若∥,∥,则∥ 3.在△ABC中, =2 ,b=2,∠C=30°, 则= ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 4.如图，在平行四边形中，边 点E是对角线BD上靠近点 D的三等分点，则 ( ) A. B. C. D. 5.已知向量 若A, B, C三点共线,则= ( ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 6.已知△ABC是等腰三角形, AB=AC=5, BC=6,点P在线段AC上运动,则 的取值范围是( ) A. [3, 4] B. C. [6, 8] D. 7.设，是非零向量，则 是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高一年级数学试卷 第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 8.某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为 在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台 CD的高度为( ) A. 20m C. 30m 9.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，下列四个说法中正确个数是( ) ①若 则△ABC一定是等边三角形； ②若cosA=cosB,则△ABC一定是等腰三角形; ③若cosC+cosB=,则△ABC一定是等腰三角形; ④若 则△ABC一定是锐角三角形. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.如图，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若 AD=8，BD=4,点 M为线段CE上的动点,则 的最大值为( ) A. B. 21 C. 24 D. 40 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 11.已知向量ā，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 12.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为,,,且 则sinB= . 高一年级数学试卷 第 2 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 13.如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为 . 14.已知不共线的向量，满足 若 则的一个坐标为 . 15.如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则 16.如图，正方体. 的棱长为1，E为BC的中点，F 为线段CC₁上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是 . ①直线DD与直线AF 相交;₁ ②当 时，S为四边形； ③当F为CC₁的中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为 ④当 时,截面S与A₁D₁, C₁D₁分别交于M,N,则 三、解答题(本大题共5小题，共70分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程.) 17.已知△ABC的内角A, B, C所对的边分别为, b, c,且 (1)若b=4,求 sin A的值; (2)若△ABC的面积 求b, c的值. 18.如图，在正方体 中, E为的中点. (1)求证: //平面AEC; (2)取CC₁中点F,求证:平面AEC//平面; (3)求异面直线AE与DB所成角的余弦值. 高一年级数学试卷 第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 19.在△ABC中, 且=+4. (1)求C的大小; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积. 条件①: =4; 条件②：BC边上的高为 条件③： 20.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形, F为AB上的点,且AF=2FB, E为PD中点. (1)证明: PB∥平面AEC; (2)过F点作平面FHG∥平面ACE交PA于H点,交PC于G点. (i)证明: HG∥AC; (ii)求 的值. 21.设正整数n≥3,集合 对于集合A中的任意元素 和 及实数λ，定义：当且仅当 时 若A的子集 满足：当且仅当 时， 则称B为A的完美子集. (1)当n=3时,已知集合 分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由； (2)当n=3时,已知集合B={(2m,m,m-1),(m,2m,m-1),(m,m-1,2m)}. 若B不是A的完美子集，求m的值； (3)已知集合 其中 若 对任意i=1，2，3都成立，判断B是否一定为A的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例. 高一年级数学试卷 第 4 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $