精品解析：吉林松原市实验高级中学2026届高三下学期期中考试数学试题

吉林松原市实验高级中学2026届高三下学期期中考试数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选B. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合，可得， 根据集合交集的定义与运算，可得. 3. 春节期间四位同学回母校看望两位老师，看望结束合影留念，若两位老师相邻，则不同的排法种数共有（ ） A. 240 B. 300 C. 360 D. 480 【答案】A 【解析】 【分析】把两位老师捆绑在一起，看成一个元素，进行全排列，结合排列数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，把两位老师捆绑在一起，看成一个元素，进行全排列， 则不同的排法种数共有种. 4. 若双曲线的离心率为2，则实数（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由双曲线的离心率为2，得，所以. 5. 设满足：，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积的定义和运算律，证得为等腰直角三角形，结合勾股定理，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，所以，即为直角三角形， 又由， 所以，可得，所以为等腰直角三角形， 设，且，可得，解得，即. 6. 已知P是抛物线C：上的动点，若点P到直线距离的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的平行线为且与抛物线相切，联立直线与抛物线方程，结合可得，结合平行线之间的距离公式列方程求解即可. 【详解】由题意，设直线的平行线为且与抛物线相切， 联立，整理得， 则，即， 因为点P到直线距离的最小值为， 所以，解得（舍去）或，则. 7. 已知锐角的内角所对的边分别是，若角成等差数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，化简，再由为锐角三角形，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】因为成等差数列，可得， 又因为，可得，可得，且， 则， 因为为锐角三角形，所以，可得， 则，可得，则 所以的取值范围为. 8. 已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数确定函数的性质并作出图象，再由函数零点的意义变形，将问题转化为直线与函数图象有4个交点求解. 【详解】当时，在上单调递减，函数值域为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当时，，求导得，由，得； 由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0 时，，当时，，函数的图象如图： 由，得，则或， 显然方程无解，要函数有4个零点，当且仅当方程有4个解， 即直线与函数的图象有4个交点，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某奶茶店统计了六天每天天气平均气温t（℃）和每天凉茶的销售数量n（单位：杯），得到以下数据： t（℃） 3 0 5 7 9 12 n（单位：杯） 23 17 27 29 36 42 若t与n线性相关，且回归直线方程为，则（ ） A. t和n正相关 B. 点在回归直线上 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心，结合选项，逐项分析、计算，即可求解. 【详解】根据表格中的数据，可得， 即数据的样本中心为， 对于A，由表格中的数据得，当气温从0到12时，从17增加到42， 所以随着气温的升高，凉茶的销售数量总体呈上升趋势，所以t和n正相关，故A正确； 对于B，根据回归直线过样本中心，所以点在回归直线上，所以B正确； 对于C，由气温t和销售数量总体上正相关，所以，所以C不正确； 对于D，由表格中的数据得： 第一组：；第二组：； 第三组：；第四组：； 第五组：；第六组：； 所以，所以D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的最小正周期为π D. 函数的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】变形函数，结合二倍角的正弦及正弦函数性质判断A；利用辅助角公式及正弦函数性质判断B；求出的一个周期为判断C；利用轴对称的意义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，当时，，而， 正弦函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，B正确； 对于C，， 因此函数的一个周期为，C错误； 对于D，， 因此函数的图象关于直线对称，D正确. 11. 在棱长为1的正四面体中，M，N分别是棱AB，BC的中点，则下列说法正确的是 A. 正四面体外接球的体积是 B. 直线SM和AN所成角的余弦值为 C. 可以用棱长为的正方体切割出正四面体 D. 若正四面体的内切球为球O，在球O和各个顶角的空隙内分别放入一个和球O、顶角侧面都相切的小球，则这5个球的半径之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得正四面体的外接球的半径为，结合球的体积公式，可判定A正确；利用向量的夹角公式，可判定B正确；根据正方体的性质，结合正方体的对角线长，可判定C正确；设正四面体的内切球的半径为，求得，在顶角处的小球的半径为，求得，可判定D不正确. 【详解】对于A，设正四面体的外接球的半径为， 因为正四面体的棱长为，由正四面体的性质，可得， 所以外接球的体积为，所以A正确； 对于B，设，则，且两两夹角为， 可得， 由， 可得，可得， 且，可得， 又由， 设异面直线和所成的角为， 则，所以B正确； 对于C，如图所示，把正四面体放置在正方体中， 设正方体的棱长为，因为正四面体的棱长为，可得，解得， 所以用棱长为的正方体切割出正四面体，所以C正确； 对于D，设正四面体的内切球的半径为，高为， 因为正四面体的棱长为，可得，且， 设顶角处的小球的半径为，其中小球和内切球，侧面都相切， 若小球和内切球的切点作平行底面的截面，得到一个以为顶点的小正四面体， 设小正四面体的高为，可得， 所以小球的半径为， 所以5个球的半径和为，所以D不正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 若数列满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，得到的表达式，即可求解. 【详解】由数列满足，即， 可得， 各式相加，可得， 因为，所以，即， 所以，可得. 14. 已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在上的最大值，分类讨论求出的最大值，再根据给定条件建立不等式，借助单调性求出范围. 【详解】由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值， 由函数，求导得， 函数在上单调递增，； 函数的定义域为， 求导得，当时，， 函数在上单调递增，当时，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，令，函数在上单调递增， 不等式，解得， 所以实数a的取值范围是. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 据医学统计，某地区男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为，患色盲的学生在高考志愿填报时限报医学、生物类等专业．已知该地区某学校高三年级有男生500人，女生400人． （1）依据医学统计，按照志愿填报规定，估计该学校高三年级至少有多少名学生因色盲限报医学、生物类等专业； （2）从该学校高三年级中随机选出一名学生（设男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为），则这个学生患色盲的概率是多少？ 【答案】（1）27 （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意，要使限报医学、生物类等专业的学生人数最少， 则男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为， 因此，估计该学校高三年级因色盲限报医学、生物类等专业的学生有 名. 【小问2详解】 设选出一名男生为事件，设选出一名女生为事件，选出一名患色盲的学生为事件， 由题意，得， 由全概率公式，得. 16. 在梯形中，，，，AB的中点为E，将A点沿DE折起到P点位置，使得，如图所示． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在梯形中，由，为的中点，得， 则四边形为平行四边形，，而，因此， ，又平面，则平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得平面平面，在平面内过作，则平面， 直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，又，则， ， 设平面和平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 设平面和平面夹角为，则， 所以平面和平面夹角的正弦值为. 17. 数列满足，． （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和为，求． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，证得为等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）知，得到，分和，两种情况讨论，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：由，可得，所以， 因为，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，则，所以， 则，且， 因为，可得， 当时，， 其中， ， 所以， 将代入上式，可得； 当时，， 因为，且， 所以， 将代入上式，可得， 综上可得，数列的前n项和为. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）证明：函数的图象是中心对称图形； （3）若函数为减函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，求得，求得，即可得证； （3）求得，转化为在内恒成立，当时，恒成立；当时，恒成立，利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 又由，可得， 所以函数的图象在处的切线方程，即. 【小问2详解】 解：由函数， 可得， 所以 ， 即，即， 所以函数的图象关于点中心对称. 【小问3详解】 解：由，其定义域为， 且， 因为函数是减函数，所以在内恒成立， 即在内恒成立， 因为，不等式可化为， 即， 当时，恒成立，此时； 当时，， 令，则，因为且，即且， 则， 令， 令，则，， 当时，取得最大值，此时， 所以的最大值为，则的最小值为， 因为恒成立，所以，即实数的取值范围为. 19. 已知椭圆C：的上、下焦点分别为，，直线l：和C交于M，N两点，轴，P为C上的动点，面积的最大值为． （1）求C的方程； （2）若，求的面积； （3）设C上有两点A，B（A，B与M都不重合）满足，且，垂足为D，证明：存在定点Q，使得为定值． 【答案】（1）； （2）3； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即得. （2）由（1）求出点的坐标，结合对称性及数量积的坐标表示求出点的坐标，进而求出三角形面积. （3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及向量垂直的坐标表示求出直线所过定点，进而求出点的轨迹即可推理得证. 【小问1详解】 令椭圆C：的半焦距为，则， 由面积的最大值为，得， 由直线交于点，轴，得，则， 而，联立解得，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，椭圆，，设，由对称性得关于原点对称， 则，，由， 得，即，而，解得，即点， 又，点到直线的距离， 所以的面积为. 【小问3详解】 设，当直线斜率存在时，设其方程为， 由消去，得， ，， ，而， 则 整理得，由直线不过点，得， 因此，即，直线过定点， 当直线斜率不存在时，设其方程为，则， ，而， 联立得，而，解得，直线过定点， 因此直线过定点，又，则点在以线段为直径的圆上， 圆心坐标为，令点，则， 所以存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林松原市实验高级中学2026届高三下学期期中考试数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 春节期间四位同学回母校看望两位老师，看望结束合影留念，若两位老师相邻，则不同的排法种数共有（ ） A. 240 B. 300 C. 360 D. 480 4. 若双曲线的离心率为2，则实数（ ） A. B. C. 3 D. 5. 设满足：，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 6. 已知P是抛物线C：上的动点，若点P到直线距离的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 10 7. 已知锐角的内角所对的边分别是，若角成等差数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某奶茶店统计了六天每天天气平均气温t（℃）和每天凉茶的销售数量n（单位：杯），得到以下数据： t（℃） 3 0 5 7 9 12 n（单位：杯） 23 17 27 29 36 42 若t与n线性相关，且回归直线方程为，则（ ） A. t和n正相关 B. 点在回归直线上 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的最小正周期为π D. 函数的图象关于直线对称 11. 在棱长为1的正四面体中，M，N分别是棱AB，BC的中点，则下列说法正确的是 A. 正四面体外接球的体积是 B. 直线SM和AN所成角的余弦值为 C. 可以用棱长为的正方体切割出正四面体 D. 若正四面体的内切球为球O，在球O和各个顶角的空隙内分别放入一个和球O、顶角侧面都相切的小球，则这5个球的半径之和为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 若数列满足，，则______． 14. 已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 据医学统计，某地区男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为，患色盲的学生在高考志愿填报时限报医学、生物类等专业．已知该地区某学校高三年级有男生500人，女生400人． （1）依据医学统计，按照志愿填报规定，估计该学校高三年级至少有多少名学生因色盲限报医学、生物类等专业； （2）从该学校高三年级中随机选出一名学生（设男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为），则这个学生患色盲的概率是多少？ 16. 在梯形中，，，，AB的中点为E，将A点沿DE折起到P点位置，使得，如图所示． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的正弦值． 17. 数列满足，． （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和为，求． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）证明：函数的图象是中心对称图形； （3）若函数为减函数，求实数a的取值范围． 19. 已知椭圆C：的上、下焦点分别为，，直线l：和C交于M，N两点，轴，P为C上的动点，面积的最大值为． （1）求C的方程； （2）若，求的面积； （3）设C上有两点A，B（A，B与M都不重合）满足，且，垂足为D，证明：存在定点Q，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $