精品解析：吉林白城市第一中学等G35+联合体2026届高三考前模拟考试数学试题

高三年级模拟考试试卷数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则 的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（ ） A. 120 B. 96 C. 72 D. 36 5. 若双曲线（，）的离心率为3，则点到C的一条渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 6. 设等差数列的前 项和为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 若对任意的恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（ ） A. B. 从高一年级中抽取的学生人数为30 C. 从高二年级中抽取的学生人数为27 D. 从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 函数在内有5个零点 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. C. 的图象关于点对称 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则__________. 13. 某种药物在人体内的代谢浓度 （单位：）服从正态分布，则__________. 14. 已知与坐标轴不垂直的直线 与椭圆交于点， 为坐标原点，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知分别是 的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求 的面积. 16. 已知抛物线的焦点为 ，点 关于 上一点的对称点在 轴上. （1）求 的方程； （2）若过点的直线与 交于两点，直线 与 交于另外一点 ，证明：直线 的倾斜角为定值. 17. 如图，在四棱柱中，，底面 是边长为1的正方形，，点 是上异于 的一点，． （1）求证：平面 ； （2）若点E是上的点，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 有 个编号分别为的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第个盒子中取出蓝球的概率为. （1）求； （2）求； （3）求数列的前 项和. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求 的取值范围； （3）已知，若，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级模拟考试试卷数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得 2. 已知复数，则 的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以 的虚部为. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示求得 ，然后再由模的坐标表示求解． 【详解】由，得，即.解得.所以， 则. 4. 2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（ ） A. 120 B. 96 C. 72 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】首先指导老师有3个位置可以排，剩余4人有种排法， 根据分步乘法计数原理，得指导老师不在两端的不同排法总数为. 5. 若双曲线（，）的离心率为3，则点到C的一条渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】通过离心率，求得关系，确定渐近线方程，再由点到线距离公式即可求解. 【详解】设 的焦距为，则，又， 得，所以， 故渐近线方程为， 所以点到C的一条渐近线的距离为． 6. 设等差数列的前 项和为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和前 项和公式进行计算. 【详解】在等差数列中，， 所以，因为，所以. 7. 若对任意的恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值，进而求解 的范围. 【详解】由已知得，所以问题转化为恒成立， 设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可， 因为，当且仅当 时取等号， 所以的最小值为，所以，解得. 8. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（ ） A. B. 从高一年级中抽取的学生人数为30 C. 从高二年级中抽取的学生人数为27 D. 从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 【答案】AB 【解析】 【详解】A选项，根据分层抽样，，解得，正确； B选项，从高一年级中抽取的学生人数为，正确； C选项，从高二年级中抽取的学生人数为，错误； D选项，从全校中任选一人，此人是高三学生的概率，错误． 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 函数在内有5个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的变换求出的解析式，再利用余弦函数的图象性质逐项分析判断. 【详解】依题意，， 对于A，当时，，而余弦函数 在上单调递减，因此在上单调递减，A正确； 对于B，，的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，，的图象关于点对称，C正确； 对于D，依题意，，而不成立， 则，解得， 由，得，则 可取， 因此函数在内有4个零点，D错误. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. C. 的图象关于点对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由得进而判断，对于B，由得，又得，即，由得，进而得，令即可判断，对于C，证明即可判断，对于D，先求，由结合即可求解，进而判断. 【详解】对于A：由可得， 则有，故函数是偶函数，故A正确； 对于B：由是偶函数，，即关于对称，故， 又，代入得，即，等式两边求导得：①， 由等式两边同时求导得：②， 由①和②可得：，令得，故B错误； 对于C：由有，即③，又由有④， 由③和④可得：，即，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D：由，又由，令得， 又，则，， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则__________. 【答案】##0.75 【解析】 【详解】由，得， 所以. 13. 某种药物在人体内的代谢浓度 （单位：）服从正态分布，则__________. 【答案】36 【解析】 【详解】在中，，即，所以. 14. 已知与坐标轴不垂直的直线 与椭圆交于点， 为坐标原点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用的条件，通过设直线方程，联立方程组，结合韦达定理，最终将转化为原点到直线距离的倒数平方来求解即可. 【详解】设直线 的方程为， 则 到 的距离为， 联立直线 的方程与 的方程， 得， 设，则， 所以 ， 所以，则， 因为，所以， 所以，所以， 所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知分别是 的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并根据余弦定理求得，从而得到； （2）由已知条件求出，再根据三角形面积公式求得 的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ，所以， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 解得， 所以. 16. 已知抛物线的焦点为 ，点 关于 上一点的对称点在 轴上. （1）求 的方程； （2）若过点的直线与 交于两点，直线 与 交于另外一点 ，证明：直线 的倾斜角为定值. 【答案】（1） （2）证明：设，设直线 的方程为， 与 联立，得，即， 所以 因为共线，所以，整理得， 因为，所以， 所以直线 的倾斜角为定值. 【解析】 【分析】（1）利用点关于点对称的性质以及点在抛物线上即可求出； （2）设直线 的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理即可证明. 【小问1详解】 设点 关于 上一点的对称点为，则的中点为， 所以，所以， 即 的方程为 . 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱柱中，，底面 是边长为1的正方形，，点 是上异于 的一点，． （1）求证：平面 ； （2）若点E是上的点，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为，又正方形 中， ， ，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四棱柱中，，所以， 因为，，平面 ，所以平面 ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先得平面， 从而，进而可得平面 ； （2）以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，利用空间向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知四棱柱是正四棱柱，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 设，，，， 因为，所以，， ，设平面的法向量为， 因为，，所以，， 取得． 因为，，所以， 又，，平面，所以平面， 是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则． 18. 有 个编号分别为的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第个盒子中取出蓝球的概率为. （1）求； （2）求； （3）求数列的前 项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式，分从第1个盒子取出红球/蓝球两种情况，计算得到； （2）通过全概率公式建立递推关系，构造等比数列，从而求出； （3）将拆分为两部分，分别用错位相减法和等差数列求和，合并得到前 项和. 【小问1详解】 记事件表示从第个盒子里取出蓝球，则 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 因为，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列. 所以，即. 【小问3详解】 由（2）得. 设的前 项和分别是， ， ， 以上两式相减，得 , 所以. ， 所以， 即数列的前 项和为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求 的取值范围； （3）已知，若，且，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3） 已知，由（2）可知在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设， 则. 设， 则. 所以在上单调递减. 又，所以，从而在上单调递增. 因为，所以. 因为，所以， 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 【解析】 【分析】（1）求导，然后求出切点坐标和过切点的线的斜率，代入点斜式方程即可求解； （2）利用二次求导分析原函数的取值范围，对 分类讨论，进而求解 的取值范围； （3）构造新函数，利用二次求导和均值不等式进行求解. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由，则， 令，则， 令，解得， 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，则在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 若，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以时，单调递减，， 与在上恒成立矛盾. 综上所述，若在上恒成立，则 的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $