考点专题训练（一）二次根式 2025-2026学年人教版数学八年级下册

考点专题训练（一）二次根式 考点过关自测：二次根式的定义□　二次根式有意义的条件□　二次根式的性质□　二次根式的混合运算□ 最简二次根式□　能合并的二次根式□　二次根式的应用□ 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列式子一定是二次根式的是(C) A． B． C． D． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(C) 3．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a－1|－的结果是(A) A．2a－3 B．－1 C．1 D．3－2a 4．下列式子中，属于最简二次根式的是(D) A． B． C． D． 5． －＝m(m，n为整数)，则m＋n＝(C) A．－2 B．－1 C．1 D．2 6．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为2的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图．已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为(B) A．2 B．2＋2 C．3 D．4＋2 7．计算÷4×的结果是(C) A．1 B． C． D． 8．下面的计算和推导过程中， ∵＝，(第一步) ∴＝3.(第二步) ∵－3＝＝，(第三步) ∴－3＝3.(第四步) 其中首先错误的一步是(C) A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 9．已知a，b(a＜b)都是正整数，且＋＝，则(C) A．没有满足条件的a，b B．只有一组满足条件的a，b C．有两组满足条件的a，b D．有四组满足条件的a，b 10．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为1和6，则图中阴影部分的面积为(A) A．－1 B．＋1 C．2－2 D．2＋2 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．) 11．若最简二次根式与能合并，则＝3． 12．已知a满足|2 024－a|＋＝a，则a－2 0242的值为2_025． ∵|2 024－a|＋＝a有意义，∴a－2 025≥0，∴a≥2 025， ∴2 024－a＜0.∵|2 024－a|＋＝a，∴a－2 024＋＝a， ∴＝2 024，∴a－2 025＝2 0242，∴a－2 0242＝2 025. 13．要使＋＝b(a，b为整数且a≠0)，则a的最小值为10，此时b＝4． 14．利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当a＝＋1时，移项得a－1＝，两边平方，得(a－1)2＝()2，所以a2－2a＋1＝3，即得到整系数方程：a2－2a－2＝0.仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当a＝时， (1)得到的整系数方程为a2＋a－1＝0；(2)计算：a3－2a＋2 024＝2_023． (1)∵a＝，∴2a＋1＝，∴(2a＋1)2＝5，即4a2＋4a＋1＝5， ∴a2＋a－1＝0.(2)∵a2＋a－1＝0，∴a2＝－a＋1，∴a3＝a(－a＋1)＝－a2＋a＝－(－a＋1)＋a＝2a－1，∴a3－2a＋2 024＝2a－1－2a＋2 024＝2 023. 三、解答题(本大题共6个小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(8分)计算： (1)(＋)－(－)＋|－|； (2)(＋2)(2－)－(－1)2. (1)原式＝3＋3－2＋5＋＝8＋2. (2)原式＝4－2－(4－2)＝－2＋2. 16．(10分)计算：＋＋. 解：原式＝3＋3＋5…第1步， ＝8＋3…第2步， ＝(8＋3)…第3步， ＝11…第4步． (1)以上解答过程中，从第3步开始出现错误； (2)请写出本题的正确解答过程． (1)第3步 (2)正确解答：原式＝3＋3＋5＝8＋3. 17．(10分)如图，甲和乙均是体积为V且高为h的长方体容器，甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c(c≠b)的长方形． (1)若b＝4，c＝，h＝.求乙容器的体积V； (2)若bc＝24，h＝，求甲盒子的侧面积． 　　　 (1)乙容器的体积V＝4××＝4； (2)由条件，可知甲、乙底面积相同，∴a2＝bc＝24， 解得a＝＝2， ∴甲盒子的侧面积为4ah＝4×2×＝24. 18．(10分)若最简二次根式和可以合并成一个二次根式，求(y－x)2 025的值. ∵和可以合并成一个二次根式，∴解得∴(y－x)2 025＝－1. 19．(12分)计算下列各式，将结果填在横线上． 10×10＝100；13×13＝169； 16×16＝256； 9×11＝99；12×14＝168； 15×17＝255． 你发现了什么？n2＝(n－1)(n＋1)＋1． 请根据上述规律完成下面的题目： 求的值； 求的值．(n为正整数) 10×10＝100；13×13＝169；16×16＝256； 9×11＝99；12×14＝168；15×17＝255. 发现规律：n2＝(n－1)(n＋1)＋1. ＝ ＝＝2 026； ＝＝n. 20．(14分)【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2.善于思考的小明进行了以下探索：若设a＋b＝(m＋n)2＝m2＋2n2＋2mn(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)若a＋b＝(m＋n)2，当a，b，m，n均为整数时，则a＝m2＋5n2，b＝2mn．(均用含m，n的式子表示) (2)若x＋4＝(m＋n)2，且x，m，n均为正整数，分别求出x，m，n的值． 【拓展延伸】 (3)化简＝＋(直接写出结果). (1)(m＋n)2＝m2＋2mn＋5n2. ∵a＋b＝(m＋n)2，且a，b，m，n均为整数， ∴a＝m2＋5n2，b＝2mn. (2)(m＋n)2＝m2＋2mn＋3n2. ∵x＋4＝(m＋n)2，∴ 又∵x，m，n均为正整数，∴或 即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7. (3)原式＝＝＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点专题训练（一）二次根式 考点过关自测：二次根式的定义□　二次根式有意义的条件□　二次根式的性质□　二次根式的混合运算□最简二次根式□　能合并的二次根式□　二次根式的应用□ 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列式子一定是二次根式的是( ) A． B． C． D． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( ) 3．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a－1|－的结果是( ) A．2a－3 B．－1 C．1 D．3－2a 4．下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A． B． C． D． 5． －＝m(m，n为整数)，则m＋n＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 6．用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为2的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图．已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为( ) A．2 B．2＋2 C．3 D．4＋2 7．计算÷4×的结果是( ) A．1 B． C． D． 8．(河北沧州青县期末)下面的计算和推导过程中， ∵＝，(第一步) ∴＝3.(第二步) ∵－3＝＝，(第三步) ∴－3＝3.(第四步) 其中首先错误的一步是( ) A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 9．已知a，b(a＜b)都是正整数，且＋＝，则( ) A．没有满足条件的a，b B．只有一组满足条件的a，b C．有两组满足条件的a，b D．有四组满足条件的a，b 10．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为1和6，则图中阴影部分的面积为( ) A．－1 B．＋1 C．2－2 D．2＋2 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．) 11．若最简二次根式与能合并，则＝ ． 12．(江苏淮安清江浦区期末)已知a满足|2 024－a|＋＝a，则a－2 0242的值为 _ ． 13．要使＋＝b(a，b为整数且a≠0)，则a的最小值为 ，此时b＝ ． 14．利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当a＝＋1时，移项得a－1＝，两边平方，得(a－1)2＝()2，所以a2－2a＋1＝3，即得到整系数方程：a2－2a－2＝0.仿照上述操作方法，完成下面的问题： 当a＝时， (1)得到的整系数方程为 ；(2)计算：a3－2a＋2 024＝ _ ． 三、解答题(本大题共6个小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(8分)计算： (1)(＋)－(－)＋|－|； (2)(＋2)(2－)－(－1)2. 16．(10分)计算：＋＋. 解：原式＝3＋3＋5…第1步， ＝8＋3…第2步， ＝(8＋3)…第3步， ＝11…第4步． (1)以上解答过程中，从 开始出现错误； (2)请写出本题的正确解答过程． 17．(10分)如图，甲和乙均是体积为V且高为h的长方体容器，甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c(c≠b)的长方形． (1)若b＝4，c＝，h＝.求乙容器的体积V； (2)若bc＝24，h＝，求甲盒子的侧面积． 　　　 18．(10分)若最简二次根式和可以合并成一个二次根式，求(y－x)2 025的值. 19．(12分)计算下列各式，将结果填在横线上． 10×10＝ ；13×13＝ ； 16×16＝ ； 9×11＝ ；12×14＝ ； 15×17＝ ． 你发现了什么？ ． 请根据上述规律完成下面的题目： 求的值； 求的值．(n为正整数) 20．(14分)【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2.善于思考的小明进行了以下探索：若设a＋b＝(m＋n)2＝m2＋2n2＋2mn(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)若a＋b＝(m＋n)2，当a，b，m，n均为整数时，则a＝ ，b＝ ．(均用含m，n的式子表示) (2)若x＋4＝(m＋n)2，且x，m，n均为正整数，分别求出x，m，n的值． 【拓展延伸】 (3)化简＝ (直接写出结果). 学科网（北京）股份有限公司 $