精品解析：辽宁朝阳市2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

辽宁朝阳市2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题 第Ⅰ卷（客观题，共58分） 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 已知，数列的项数为（ ） A. B. C. D. 2. 若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（ ） A. -6 B. 6 C. 3 D. -3 3. 已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，有一个盛水的容器，高为，其可看作两个完全相同的圆台，将面积较大的底面去掉后对接而成.现将容器从底部放水，且任意相等的时间间隔内所放水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（ ） A. B. C. D. 5. 为公差不为0的等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 6. 数列满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 7. 已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为372，则写错之前这个数为（ ） A. 64 B. C. 100 D. 8. 已知定义在上的偶函数，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，结果得到列联表如下：则（ ） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 合计 100 参考公式：，其中. 附表： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A. 当时，有的把握认为参与答题意愿与性别无关. B. 当时，有的把握认为参与答题意愿与性别有关. C. 当时，根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联. D. 当时，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断参与答题意愿与性别有关联. 10. 已知数列的通项公式为，前项和为，前项积为.则下列结论中正确的是（ ） A. 使的项有2项 B. 满足的的值共有6个 C. 既有最小值，又有最大值 D. 有最小值，无最大值 11. 三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，拐点处的切线方程为 B. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 C. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 D. 存在等差数列，使 第II卷（主观题，共92分） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知数列中，前n项和，求的通项公式为______. 13. 已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式恒成立，则实数的最小值______. 14. 已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为__________. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数且 （1）讨论函数的单调性； （2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标. 16. 某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量（库仑）与使用时间（小时）的散点图，其中为正整数. （1）利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ii）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由. 参考公式：.参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 -4.25 45.07 3.42 17. 已知函数 . （1）求函数的单调性； （2）若且，若，求的取值范围. 18. 等差数列的前项和为，，，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 19. 在数列与中，，数列的前n项和满足，为与的等比中项，. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求数列与的通项公式； （Ⅲ）设，证明 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁朝阳市2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题 第Ⅰ卷（客观题，共58分） 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 已知，数列的项数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以可得数列的第项为， 由，解得. 所以该数列的项数为. 2. 若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（ ） A. -6 B. 6 C. 3 D. -3 【答案】B 【解析】 【详解】因为当无限趋近于0时，无限趋近于常数6， 所以该质点在时的瞬时速度为6. 3. 已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得， 所以，，，， 所以，故， 则. 4. 如图，有一个盛水的容器，高为，其可看作两个完全相同的圆台，将面积较大的底面去掉后对接而成.现将容器从底部放水，且任意相等的时间间隔内所放水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考虑函数增长速度得到结论可得正确的选项. 【详解】因为单位时间内放水的体积不变，结合容器的形状， 在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快. 5. 为公差不为0的等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得，所以，所以， 设等差数列的公差为，所以，所以， 由，得，所以， 所以，又，所以，解得. 6. 数列满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推公式推出数列周期为3，再利用求出首项，最后通过周期运算得到求出答案 【详解】因为，所以，即数列是周期为3的周期数列, 因为，所以， 7. 已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为372，则写错之前这个数为（ ） A. 64 B. C. 100 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由并项求和及等差数列的求和公式即可直接求得答案. 【详解】，则其前20项和为 , 设写错项为，则，解得，， 故写错之前这个数为． 8. 已知定义在上的偶函数，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知构造新函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质，进行求解，即可得到答案． 【详解】当时，由，得， 两边同乘得， 设，则当时，， ∴在单调递减， 由，则，即， 因为是偶函数， 所以也是偶函数，则不等式等价， 即，则或， 即实数的取值范围是. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，结果得到列联表如下：则（ ） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 合计 100 参考公式：，其中. 附表： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A. 当时，有的把握认为参与答题意愿与性别无关. B. 当时，有的把握认为参与答题意愿与性别有关. C. 当时，根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联. D. 当时，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断参与答题意愿与性别有关联. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于AB，当时，， 则， 所以有的把握认为参与答题意愿与性别有关.，故A错误，B正确； 对于CD，当时，， 零假设为：参与答题意愿与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联，故C正确，D错误. 10. 已知数列的通项公式为，前项和为，前项积为.则下列结论中正确的是（ ） A. 使的项有2项 B. 满足的的值共有6个 C. 既有最小值，又有最大值 D. 有最小值，无最大值 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，因为为奇数， 所以只有当时，即或时，，故A正确； 对于B中，当时，满足； 当时，满足；当时，， 所以，满足时，，共有4个值，所以B不正确； 对于C中，由数列的通项公式为， 可得，当时，数列的各项小于1，且是单调递减数列； 当时，数列的各项大于1，且是单调递减数列， 所以，数列的最小项为，最大项为，所以C正确； 对于D中，由上述中的讨论，可得在中，只有和为负数，且， 所以存在最小值或，从第8项开始，为正数，结合， 可知随着的增大而增大，所以无最大值，所以D正确. 11. 三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，拐点处的切线方程为 B. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 C. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 D. 存在等差数列，使 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的意义求得切线方程可判断A；设切点为，可得切线方程，进而得，利用与有三个交点求得的取值范围判断B；由，求得可判断C；求得对称中心，可得函数图象关于点对称，进而列举法可判断D. 【详解】对于A：当时，，则，， 令，解得，又，， 所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，令，则， 所以当时，，当或时，， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故B错误； 对于C：由， 可得， 即，显然在定义域上单调递增，所以， 即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故C正确. 对于D，由，得，所以， 令，解得，又， 所以函数图象关于点对称，所以，， 所以， 所以存在等差数列，使，故D正确. 第II卷（主观题，共92分） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知数列中，前n项和，求的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用求解通项公式. 【详解】①，当时，， 当时，， 显然不满足， 综上，. 故答案为： 13. 已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式恒成立，则实数的最小值______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质求得，用裂项相消法求得的和，进而求出最小值 【详解】是等差数列，则，， 所以， 所以， 所以， 即对任意恒成立， 所以，即的最小值是． 14. 已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上的最小值为，求导得，利用单调性可得对上恒成立，据此求解即可求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 又不等式在上恒成立， 所以在上的最小值为， 由，得， 又在上单调递增， 若在上有解，即，使得， 当时，，则函数在上单调递减，即， 与在上的最小值为矛盾，不符合题意； 所以在上无解，即对上恒成立， 所以，所以，所以， 解得，所以的取值范围为. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数且 （1）讨论函数的单调性； （2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标. 【答案】（1） 当时，在上单调递减；在上单调递增. 当时，在上单调递增；在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论，可求得函数的单调区间； （2）设：切点坐标为，由题意可得，求解即可. 【小问1详解】 由题. 若时，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 若时，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 综上：当时，在上单调递减；在上单调递增. 当时，在上单调递增；在上单调递减. 【小问2详解】 设：切点坐标为， 由题意得，解得，， 所以切点的坐标. 16. 某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量（库仑）与使用时间（小时）的散点图，其中为正整数. （1）利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ii）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由. 参考公式：.参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 -4.25 45.07 3.42 【答案】（1）更适宜作为回归模型. （2）（i）； （ii）会报警提示，理由如下： 中，令得， 故会报警提示 【解析】 【分析】（1）由散点图知，能更好地对与的关系进行拟合. （2）（i）两边取对数得，进而利用最小二乘法可求得回归方程；（ii）代入，计算可得结论. 【小问1详解】 函数是均匀变化的，图象是一条直线， 函数的图象是一条曲线，选择恰当的可使更好拟合散点图. 所以更适宜作为回归模型. 【小问2详解】 （i）两边取对数得， 由于，故， ， 即，故， （ii）略 17. 已知函数 . （1）求函数的单调性； （2）若且，若，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求导，分，，和四种情况讨论求得函数的单调区间； （2）由题意得在单调递减，利用导数可得对恒成立，进而计算可求得的取值范围. 【小问1详解】 由已知， 当时，令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减. 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 【小问2详解】 等价于在单调递减.. 时，恒成立，即恒成立， ，而， ， ，故a的取值范围是. 18. 等差数列的前项和为，，，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 【答案】（1）， （2）3421 【解析】 【小问1详解】 因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则； 因，① 当时，，② 得，，即， 当时， ，解得，满足上式， 则， 综上所述，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，数列是递增数列，且，， 又因为，，，，，，，， 经验证数列中的，，均在中的前50项， 从而数列中需要取47项， 所以数列的前50项和. 19. 在数列与中，，数列的前n项和满足，为与的等比中项，. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求数列与的通项公式； （Ⅲ）设，证明 【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）, （Ⅲ）因为，， 所以当时 当时 当时， 当时， ， 当时， 综上. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据得，解得，根据为与的等比中项，得，解得的值；（Ⅱ）根据和项与通项关系得通项递推关系，再根据叠乘法得数列的通项公式，根据等比条件可得，再用数学归纳法得的通项公式；（Ⅲ）根据符号变化规律，分类求和，再比较大小证明不等式. 【详解】（Ⅰ）因为，所以， 因为为与的等比中项， 所以 （Ⅱ） 因此 所以 因为，所以， 因为为与的等比中项， 所以 下面用数学归纳法证明 （1）当时，，结论成立， （2）假设当时，结论成立，即， 当时，结论成立， 综合（1）（2）可得 （Ⅲ）略 【点睛】本题考查由和项与通项关系求通项、利用数学归纳法求通项以及利用分组法求和，考查综合分析论证与求解能力，属较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $