精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

建平县实验中学2024~2025学年度高二下学期期中考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教B版选择性必修第二册，选择性必修第三册第五章5.1~5.3.1. 参考公式：线性回归方程：，其中， 相关系数， ，其中. 005 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 3. 在等比数列中，，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 在一组样本数据互不相等 的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A. B. C. D. 1 5. 抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则（ ） A. B. C. D. 6. 九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且则（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 16 7. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种 8. 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，. A. 该校学生体育成绩的方差为10 B. 该校学生体育成绩的期望为70 C. 该校学生体育成绩的及格率不到 D. 该校学生体育成绩的优秀率超过 11. 数列中，，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，，则公比__________. 13. 已知递减等差数列，，方程两个实根，当时，__________. 14. 盒中有个红球，个黑球，个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中取出一球，则第二次取出的是黑球的概率是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对短视频剪接成长视频的APP有需求 200 对短视频剪接成长视频的APP无需求 150 其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400. （1）求的值； （2）是否有的把握认为对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人有差异？ 16. 如图所示，平面，四边形为矩形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 17. 某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月、11月中的5组数据： 日期 10月8日 10月18日 10月28日 11月8日 11月18日 昼夜温差x（℃） 8 11 6 15 5 就诊人数y 13 17 12 19 9 （1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y与昼夜温差x之间的关系，请用以上5组数据求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程（结果精确到0.01）； （2）一位住校学生小明所患感冒为季节性流感，传染给同寝室每个同学的概率为0.6．若该寝室的另3位同学均未患感冒，在与小明近距离接触后有X位同学被传染季节性流感，求的分布列和期望． 参考数据：，． 参考公式：，． 18. 已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列. （1）求的值； （2）证明：数列为等差数列； （3）记，求数列的前n项和为. 19. 已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为.当时，的面积为. （1）求椭圆方程； （2）、为椭圆的左、右顶点，点满足，当与、不重合时，射线交椭圆于点，直线、交于点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县实验中学2024~2025学年度高二下学期期中考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教B版选择性必修第二册，选择性必修第三册第五章5.1~5.3.1. 参考公式：线性回归方程：，其中， 相关系数， ，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可. 【详解】分母2，4，6，8是序号n的2倍，分母加1是分子. 故选：D． 2. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算． 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 故选：D 3. 在等比数列中，，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项定义即可求得. 【详解】因为等比数列，故，解得. 故选：C. 4. 在一组样本数据互不相等 的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据所有样本点都在直线上可知样本数据完全正相关，相关系数取到最大值，可得答案. 【详解】由题意可知，所有样本点都在直线上， 则这组样本数据完全正相关，且相关系数为1， 故选：D 5. 抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点分布的方差计算公式和方差的基本性质，直接得出结果. 【详解】由题知，服从两点分布，且， 所以， 故选:B. 6. 九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且则（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用数列通项的递推公式求出结果. 【详解】. 故选：C. 7. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出所有可能得选派方法，在计算出甲乙在同一足球场的情况，可求出不在同一足球场的分配方案数. 【详解】总分配方案种数为，甲､乙在同一足球场的分配方案种数为，则甲､乙不在同一个足球场的分配方案种数为， 故选:A. 8. 斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】利用斐波那契数列的规律列方程来求得的值. 【详解】由斐波那契数列的定义及递推公式可得： ， 则． 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则（ ） A B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法，结合二项展开式的结构特征，逐项分析即可得解. 【详解】对于A，， 令，可得，故A正确； 对于B，，可得，故B错误； 对于C，令，可得，故C正确； 对于D，上述两式相加， 故，故D错误， 故选：AC. 10. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，. A. 该校学生体育成绩的方差为10 B. 该校学生体育成绩的期望为70 C. 该校学生体育成绩的及格率不到 D. 该校学生体育成绩的优秀率超过 【答案】BC 【解析】 【分析】由正态分布的期望、方差判断A、B正误，利用正态分布的对称性，结合特殊区间概率的求法求、即可判断C、D的正误. 【详解】A：由题设知，所以该校学生体育成绩的方差，错误； B：由题设知，即该校学生体育成绩的期望为70，正确； C：，所以该校学生体育成绩的及格率不到85%，正确； D：，故该校学生体育成绩的优秀率为2.28%，故错误； 故选：BC. 11. 数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推公式可得数列是以3为周期的周期数列，再逐个选项判断即可. 【详解】由题意得：， 数列是以3为周期的周期数列． 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由递推关系式知：， ，D正确． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，，则公比__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，解出即可. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得. 故答案为： 13. 已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次方程求和，再根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】解方程，得和， 又等差数列递减，则，， 数列的公差为， 所以，故. 故答案为：. 14. 盒中有个红球，个黑球，个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中取出一球，则第二次取出的是黑球的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设事件，然后利用全概率公式求解. 【详解】设事件“第一次取出的是红球”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是黑球”. 由全概率公式知. 由题意， ， ， 则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对短视频剪接成长视频的APP有需求 200 对短视频剪接成长视频的APP无需求 150 其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400. （1）求的值； （2）是否有的把握认为对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人有差异？ 【答案】（1） （2）有的把握认为对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人有差异. 【解析】 【分析】（1）利用表格中数据列出方程组求解. （2）完善列联表并计算的观测值，再与临界值比对即可得解. 【小问1详解】 依题意，，所以. 【小问2详解】 依题意，列联表： 青年人 中老年人 合计 对短视频剪接成长视频的APP有需求 300 250 550 对短视频剪接成长视频APP无需求 100 350 450 合计 400 600 1000 计算得， 所以有的把握认为对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人有差异. 16. 如图所示，平面，四边形为矩形，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间中点线面的位置关系，通过证明面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，利用法向量求空间中两个面的夹角的余弦值，进而得到正弦值. 小问1详解】 证明：四边形为矩形，. 又平面平面平面. 又，平面，平面， ∴平面. 又平面 平面平面. 又平面平面 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， . 设是平面的一个法向量，则 即,令，解得, 所以平面的一个法向量 又是平面的一个法向量， ， 平面与平面所成角的正弦值为. 17. 某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月、11月中的5组数据： 日期 10月8日 10月18日 10月28日 11月8日 11月18日 昼夜温差x（℃） 8 11 6 15 5 就诊人数y 13 17 12 19 9 （1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y与昼夜温差x之间的关系，请用以上5组数据求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程（结果精确到0.01）； （2）一位住校学生小明所患感冒为季节性流感，传染给同寝室每个同学的概率为0.6．若该寝室的另3位同学均未患感冒，在与小明近距离接触后有X位同学被传染季节性流感，求的分布列和期望． 参考数据：，． 参考公式：，． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据已知数据结合公式计算即可得答案； （2）根据题意得，进而根据二项分布求解即可. 【小问1详解】 解：（1）由表格中数据可得，，， ∴ ∴． ∴就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程为 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3 ∵， ∴ ∴的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 期望 18. 已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列. （1）求的值； （2）证明：数列为等差数列； （3）记，求数列的前n项和为. 【答案】（1）9，6 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件可得和，然后令代入即可求得的值 （2）根据等差中项及等比中项的性质化简后，由等差中项可判断数列为等差数列 （3）由数列为等差数列求出，代入条件可求出，利用裂项相消法求和即可 【小问1详解】 因为成等差数列，所以， 当时，，即，所以， 因为成等比数列，所以， 当时，，即，所以 【小问2详解】 由条件可得，且，又， 故，代入中，得时， 有，即， 所以数列为等差数列 【小问3详解】 由（1）（2）知数列为等差数列且， 所以数列是首项为2，公差1为的等差数列， 得，即， 故，即， 所以时，，且也符合上式，故， 则， 数列的前n项和为， 19. 已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为.当时，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）、为椭圆的左、右顶点，点满足，当与、不重合时，射线交椭圆于点，直线、交于点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，分析出，利用勾股定理结合椭圆的定义、三角形的面积公式可得出，再由可得出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）求出点的坐标，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，将这两条直线的方程联立，求出点的横坐标为，设点，其中，求出关于的函数表达式，利用基本不等式求出的最大值，即可得出的最大值. 【小问1详解】 解：设点，则，， 因为 ， 所以，， 设椭圆左焦点为，因为，所以. 即， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 因为此时，所以，所以，所以. 因为，所以，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设点，，， 因为点满足，则，解得，所以， 由题知不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，消整理得， ， 设、，则，. 因为的方程为，的方程为 两直线方程联立得：. 因为. 所以，解得， 所以动点的轨迹方程为. 由椭圆的对称性不妨设，直线、的倾斜角为、， 由图可知，且， 因为，则， 因为，， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $