精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

哈尔滨市第六中学校2024级高二下学期期中考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的概念求解. 【详解】由已知有， 则. 故选：B 2. 已知等比数列的前项和为，则其公比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用等比数列的通项公式及前项和公式，即可求出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，若，由，得到，不满足，所以， 由，得到①，由，得到②， 由①②得，整理得到，解得， 故选：C. 3. 曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果. 【详解】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 4. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 0 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求得，根据是函数的极小值点，求得，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极小值点，可得，解得或， 当时，，此时函数在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上点单调递减， 所以是函数的极小值点，符合题意， 所以，此时，所以. 故选：A. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用对恒成立求出范围. 【详解】函数，求导得， 由函数在上单调递增，得，恒成立， 而当时，，即，因此， 所以实数a的最小值为. 故选：C 6. 若正项数列的前项和为，且，则（ ） A. 20 B. 100 C. 200 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：由数列的前项和公式与的关系推出，利用等差数列的定义求得数列通项，再由求和公式即得；解法二：通过赋值法求出数列的各项，猜想通项并由条件验证后，再代入求值. 【详解】解法一：将代入，得，解得. 由，得，两式相减得， 即，所以或. 若，则由，得，与为正项数列矛盾. 故有，则， 则是以1为首项、1为公差的等差数列，故. 则.（另解：将代入中得） 解法二：将代入，得，解得， 当时，，得（由为正项数列取舍）， 当时，，得， 故猜想，当时，，满足， 故，，故. 故选：D. 7. 等差数列，的前项和分别记为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据下标和性质，结合求和公式求解即可. 【详解】因为，所以 所以. 故选：D 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案. 【详解】设，因为，所以， 对函数求导，得，因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 因此由. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．） 9. 已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. 的最大值为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式逐项分析判断. 【详解】在等差数列中，，而，则， 对于A，等差数列的公差，数列为递减数列，A错误； 对于B，由选项A，知数列前7项均为正，从第8项起为负，因此的最大值为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，则，D正确. 10. 关于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 的一个极大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数与函数单调性，极值的关系，即可判断ACD，利用特殊值，即可判断B. 【详解】，得或， 的变化情况如下表， 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，函数在区间单调递减，在区间单调递增， 当时取极小值，也是最小值，无极大值， ，，，所以函数也不关于对称， 所以正确的只有AC. 故选：AC 11. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递减 C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】由有，结合图象逐项去分析即可判断. 【详解】由，得， 若过的曲线为的图象， 则当时，，函数在上单调递减，矛盾， 故的图象过点，的图象过点， 即的图象关系如下： 对于A，当时，，，则， 所以，即在上单调递增，故A错误； 对于B，当时，，所以，即， 所以在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 故当时，函数有极小值，故C正确； 对于D，当时，，所以，即， 所以在上单调递增，又在上单调递减，， 所以当时，函数有极大值，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知等比数列的前项和，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的前项和求出，再利用等比中项列式求解并验证即可. 【详解】由等比数列的前项和，得， 由，得，解得，此时，数列的公比， ，符合题意， 所以. 13. 记为数列的前项积，且，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】先根据累加法求出的通项公式，再根据与的关系求出的通项公式，最后计算. 【详解】，，将上述式子累加可得， 又，. 时，. 不符合通项公式，. . 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数求出有两个变号零点的的范围即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点， 令函数，求导得，显然函数在R上单调递增， 当时，，函数，即单调递增，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，；当时，， 当且仅当时，函数有两个变号零点， 由，解得，所以实数的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．） 15. 已知等差数列中，，，设是等差数列的前n项和，若数列满足 （1）求数列，通项； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程求得，得到，再求得，得到，即可求解； （2）由（1）知，利用乘公比错位法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，因为，， 可得，解得，所以， 所以，则. 【小问2详解】 解：由（1）知， 可得， 则， 两式相减得 ， 所以. 16. 已知函数． （1）若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围； （2）若，且函数有三个零点，求实数的取值范围； （3）若，过点作函数的切线，求切线方程． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）对求导，由不单调可得有两个不相等的实数根，利用根的判别式求解即可. （2）先利用导数确定的单调性，然后根据有三个零点确定实数的取值范围. （3）设出切点坐标，写出切线方程，利用切线经过列出关于的方程，求解出，然后写出切线方程即可. 【小问1详解】 的定义域为. . 函数在定义域上不单调，说明有两个不相等的实数根， 所以，解得或. 【小问2详解】 ，，. 令，即，或，列表如下： 极小值 极大值 . 要使函数有三个零点，则，解得. 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 时，，. 设切点，则切线的斜率. 故切线方程为. 又切线经过，，整理得：， 解得或. 当时，切点坐标为，切线方程为. 当时，切点坐标为，切线方程为. 综上，切线方程为或. 17. 已知数列中，． （1）求； （2）设，证明：数列是等比数列； （3）记，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）， （2） 由可得， 则，又因为， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列； （3） 由（2）可得，解得， 则 ， 所以． 【解析】 【分析】（1）依次将代入递推关系式中计算即可； （2）由得到，再根据等比数列的定义证明即可； （3）由（2）得到的解析式，进而得到及的解析式，再根据裂项相消法求出数列的前项和为，即可得证. 【小问1详解】 在数列中，已知， 则，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知函数. （1）讨论在上的单调性； （2）若，证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （2） 若，则． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为． 先证明不等式，设，则， 所以在上单调递减，故，即． 再证明不等式，设， 则，所以在上单调递增， 故，即． 综上，原命题得证． 【解析】 【分析】（1）求导，利用分类讨论可求得函数的单调区间； （2）不等式变形为，设，通过构造函数法可证明不等式； 【小问1详解】 由题意得函数定义域为，． 若，则，即恒成立，所以在上单调递减； 若，则，即恒成立，所以在上单调递增； 若，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【小问2详解】 略 19. 设函数，． （1）令，，． （i）求的表达式； （ii）当时，恒成立，求的最大值； （2）求（令，结果用表示）． 【答案】（1）（i）；（ii）4． （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）先由题意求得，再根据，运用构造法，得到是等差数列，即可得解； （ii）先将该不等式化简为，再令，求导研究其单调性，求得其最小值的取值范围，再结合，即可得解； （2）利用以及差角的正弦公式，可得，再运用裂项相消法，即可得解. 【小问1详解】 （i）∵，， ∴， ∴， ∴是一个首项为，公差为1的等差数列， 故， ∴. （ii）当时，由条件得， ∴，∴， ∴. 令，则， 令，， 所以在单调递增，又， ， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，，即，故在上单调递减； 当时，，即，故在上单调递增， 所以，即， 又∵，， 因为，所以n的最大值为4． 【小问2详解】 由（1）知，则， ， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2024级高二下学期期中考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6 2. 已知等比数列的前项和为，则其公比（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 0 C. D. 或 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 若正项数列的前项和为，且，则（ ） A. 20 B. 100 C. 200 D. 210 7. 等差数列，的前项和分别记为，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．） 9. 已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. 的最大值为 C. D. 10. 关于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 的一个极大值为1 11. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递减 C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知等比数列的前项和，则___________； 13. 记为数列的前项积，且，则___________； 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．） 15. 已知等差数列中，，，设是等差数列的前n项和，若数列满足 （1）求数列，通项； （2）求数列的前n项和． 16. 已知函数． （1）若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围； （2）若，且函数有三个零点，求实数的取值范围； （3）若，过点作函数的切线，求切线方程． 17. 已知数列中，． （1）求； （2）设，证明：数列是等比数列； （3）记，数列的前项和为，求证：． 18. 已知函数. （1）讨论在上的单调性； （2）若，证明：. 19. 设函数，． （1）令，，． （i）求的表达式； （ii）当时，恒成立，求的最大值； （2）求（令，结果用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $