精品解析：吉林东北师范大学附属中学2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试题

2025－2026学年下学期 东北师大附中 数学科试卷 高二年级期中考试 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后.再选涂其它答案标号. 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数满足，则（ ） A. －1 B. C. 1 D. 2 4. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 65 B. 85 C. 105 D. 125 5. 某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（ ） A. 0.6 B. 0.3 C. 0.1 D. 0.05 6. 已知曲线的一条切线过点，且与直线平行，则（ ） A. 6 B. 23 C. 6或38 D. 23或38 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数单调递减，数列满足，若，则（ ） A. 0 B. 39 C. 3 D. 12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 某人结合当前市场主线和政策产业催化，投资了“中际旭创”和“长江电力”两支股票，每股收益的分布列如下表，则下列说法正确的是（ ） 股票“中际旭创”收益分布列 收益 概率 股票“长江电力”收益分布列 收益 概率 A. 投资股票“中际旭创”的收益期望为 B. 投资股票“长江电力”的收益期望为 C. 投资股票“中际旭创”比投资股票“长江电力”的风险低（即方差小） D. 投资股票“长江电力”比投资股票“中际旭创”的风险低（即方差小） 10. 已知正项等比数列的前项和为，且，下列结论正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. 数列的通项公式为． C. 数列的前项和为，则数列为递增数列 D. 数列的前项积为，则数列为递减数列 11. 2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2－3波反击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干导弹对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用了两种导弹作战：加德尔常规导弹和海巴尔高精导弹．不妨将两种导弹分别记为，已知两种导弹命中目标的概率分别为，假设在某波反击中两种导弹各发射10枚，每次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 且且 C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分，其中14题双空，每空2分． 12. 某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 13. 设函数在点处的切线恰与曲线相切，则实数的值为_____． 14. 对于数列，记，对于，记，规定：，，称为数列的阶差数列．若的一阶差数列为等比数列，，，，的二阶差数列为常数列，常数为4，，，则数列的通项公式为_____，数列的前项和为_____． 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求的值； （2）讨论的单调性． 16. 设数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 17. 如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥． （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 某校高中三个年级每个年级择优选拔了10名学生，参加全校的“五育数学知识”竞答比赛，比赛设置了多选题环节，每道题都有四个选项，其中正确选项有2个或3个，要求至少选择一个选项，得分规则如下：若正确选项有2个，只选一个且为正确选项得3分，选两个且为正确选项得6分，若选择的选项中有一个错误选项得－1分，选择的选项中有两个错误选项得－2分；若正确选项有3个，只选一个且为正确选项得2分，选两个且为正确选项得4分，选三个且为正确选项得6分，若选项中有一个错误选项得－1分．学生小明对其中的一道多选题完全不会，这道题恰有两个正确选项的概率为，记为小明随机选择1个选项的得分，为小明随机选择2个选项的得分． （1）当时，求的概率； （2）试探究是否存在概率，使得，若存在求出概率的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）若过点的动直线与抛物线相交于两点， （i）在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上； （ii）是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下学期 东北师大附中 数学科试卷 高二年级期中考试 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后.再选涂其它答案标号. 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时代入各选项检验即可. 【详解】当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B可以是； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故ACD错误，B正确. 3. 若函数满足，则（ ） A. －1 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】 4. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 65 B. 85 C. 105 D. 125 【答案】C 【解析】 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 因为，所以， 联立方程组，解得， 则，故C正确. 5. 某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（ ） A. 0.6 B. 0.3 C. 0.1 D. 0.05 【答案】C 【解析】 【详解】男生编号，女生编号， 则随机抽两人有 ，共种， 其中抽取的两人都为女生有， 则抽取的两人都为女生的概率是. 6. 已知曲线的一条切线过点，且与直线平行，则（ ） A. 6 B. 23 C. 6或38 D. 23或38 【答案】C 【解析】 【分析】由切线斜率求出切点坐标，确定切线方程，即可求解. 【详解】因为切线与直线平行， 所以切线斜率， 对求导得：， 设切点横坐标为，则切线斜率满足：  ，  解得或， 切线方程为 ， 因为切线过点 ，将 代入得：   ， 当时： ， 当时： ， 因此或. 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】问题等价转换成在上恒成立，通过分离参数，求最值即可求解. 【详解】函数在上单调递增， 等价于在上恒成立， 即 因为指数 恒成立， 因此等价于：  因为：  时，， 整理不等式得：  ， 令，因此须大于或等于在区间上的上确界， 由于在上单调递增，其上确界为，故， 的取值范围是. 8. 定义在上的奇函数单调递减，数列满足，若，则（ ） A. 0 B. 39 C. 3 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数和单调性得到，进而求解. 【详解】因为， 所以， 又是奇函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即，又， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 某人结合当前市场主线和政策产业催化，投资了“中际旭创”和“长江电力”两支股票，每股收益的分布列如下表，则下列说法正确的是（ ） 股票“中际旭创”收益分布列 收益 概率 股票“长江电力”收益分布列 收益 概率 A. 投资股票“中际旭创”的收益期望为 B. 投资股票“长江电力”的收益期望为 C. 投资股票“中际旭创”比投资股票“长江电力”的风险低（即方差小） D. 投资股票“长江电力”比投资股票“中际旭创”的风险低（即方差小） 【答案】BD 【解析】 【分析】直接由分布列求期望及方差并判断可得. 【详解】因为中际旭创收益的期望： ，所以A错误； 长江电力收益的期望：  ，所以B正确； 因为方差公式：， 所以， ， 所以，故C错误，D正确. 10. 已知正项等比数列的前项和为，且，下列结论正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. 数列的通项公式为． C. 数列的前项和为，则数列为递增数列 D. 数列的前项积为，则数列为递减数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过等比数列求和公式，求得数列的首项和公比，可判断AB，再结合作差法和作商法可判断CD. 【详解】设公比，首项， 由题意： ， ， 两式相除得，即，代入得，因此通项公式为， 选项A，由上述计算，，A正确， 选项B， ，B错误， 选项C，，是首项为1、公比为的等比数列， 前项和： ， 因为 ， 即​， 是递增数列，C正确， 选项D，数列的前项积： ​， 则 ，且，因此数列为递减数列，D正确， 11. 2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2－3波反击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干导弹对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用了两种导弹作战：加德尔常规导弹和海巴尔高精导弹．不妨将两种导弹分别记为，已知两种导弹命中目标的概率分别为，假设在某波反击中两种导弹各发射10枚，每次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 且且 C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项分布的期望公式和方差公式判断AC；利用二项分布的分布列判断BD. 【详解】由题意可知，，，则， 因为，所以，故A正确； 且， 且， 则， 当时，，故B错误； 因为， 且函数在上单调递减，， 所以，故C正确； ， 则当时， 若，则；若，则， 因为当且仅当时，取得最大值，所以， 则，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分，其中14题双空，每空2分． 12. 某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 【答案】23 【解析】 【分析】根据正态分布特殊区间的概率求解即可. 【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布, 所以男生身高不低于190cm的概率为, 所以估计可以备选的男生人数约为人. 13. 设函数在点处的切线恰与曲线相切，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求得曲线在处的切线，再与联立，结合判别式求解即可. 【详解】对于曲线，， 所以，， 所以曲线在点处的切线为，即， 因为与曲线相切， 所以得，即， 所以，解得 所以实数的值为 14. 对于数列，记，对于，记，规定：，，称为数列的阶差数列．若的一阶差数列为等比数列，，，，的二阶差数列为常数列，常数为4，，，则数列的通项公式为_____，数列的前项和为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意得到，，即，，累加法求和得到和的通项公式，进而得到的通项公式；得到的通项公式，使用两次错位相减求和即可. 【详解】，，，，， 的一阶差数列为等比数列，故公比为，首项为， 故通项为，即， 所以 ， ，，故， 的二阶差数列为常数列，常数为4，故， 故， 即， 所以 ， 所以的通项公式为， ， 设的前项和为， 则①， ②， 式子①-②得， 所以③， 其中设④， 则⑤， 式子④-⑤得 ， 故， 将其代入③得. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导，根据求的值； （2）求导，分类讨论，利用导数研究单调性. 【小问1详解】 ，，所以 【小问2详解】 当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 16. 设数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 时，也适合， 所以 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以 17. 如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥． （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为点分别是边的中点， 所以由中位线定理得，由菱形性质得， 则，即，作面， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，所以，由中位线性质得， 而，则，由余弦定理得， 得到，则，设， 由菱形的性质得，得到，， 可得，，设， 则，，由折叠性质得， 因为，所以，得到，解得， 此时，得到， 可得，故得证. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，再结合空间位置关系的向量证明即可. （2）求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用平面夹角余弦值的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知得，且， 由两点间距离公式得， 因为，所以， 联立两式子，解得，（另一情况等效）， 得到，则，， 设面的法向量为，得到， 令，解得，，则， 设面的法向量为，而， 又，得到， 得到，令，解得，， 则，设平面与平面夹角为， 得到. 18. 某校高中三个年级每个年级择优选拔了10名学生，参加全校的“五育数学知识”竞答比赛，比赛设置了多选题环节，每道题都有四个选项，其中正确选项有2个或3个，要求至少选择一个选项，得分规则如下：若正确选项有2个，只选一个且为正确选项得3分，选两个且为正确选项得6分，若选择的选项中有一个错误选项得－1分，选择的选项中有两个错误选项得－2分；若正确选项有3个，只选一个且为正确选项得2分，选两个且为正确选项得4分，选三个且为正确选项得6分，若选项中有一个错误选项得－1分．学生小明对其中的一道多选题完全不会，这道题恰有两个正确选项的概率为，记为小明随机选择1个选项的得分，为小明随机选择2个选项的得分． （1）当时，求的概率； （2）试探究是否存在概率，使得，若存在求出概率的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）确定对应的事件，再由独立事件概率乘法公式即可求解； （2）分别计算，再代入求解即可. 【小问1详解】 的含义是：该题正确选项为3个，且小明选1个选项时选到正确选项， 已知该题恰有2个正确选项的概率，因此恰有3个正确选项的概率为​； 当正确选项为3个时，从4个选项中随机选1个，选到正确选项的概率为​， 因此：  【小问2详解】 计算（随机选1个选项的期望得分） 若题目有2个正确选项（概率）：选对概率（得3分），选错概率（得分）， 此时期望为：  若题目有3个正确选项（概率）：选对概率（得2分），选错概率（得分）， 此时期望为： ， 因此总期望： ​ ② 计算（随机选2个选项的期望得分） 从4个选项选2个共种选法： 若题目有2个正确选项（概率）：全对（1种，得6分）、一对一错（4种，得分）、全错（1种，得分）， 期望为：  若题目有3个正确选项（概率）：全对（3种，得4分）、一对一错（3种，得分）， 期望为：  因此总期望： ， 代入不等式 得：，解得：， 又， 故存在满足条件的，取值范围为. 19. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）若过点的动直线与抛物线相交于两点， （i）在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上； （ii）是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （i）设，、、， 联立，消去可得， ，即， ，， 由，则，故， 由点在线段上，则与异号， 故， 即有， 整理得， 即有，解得， 则， 有， 故总在定直线上； （ii）存在，且点坐标为 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义即可得； （2）（i）设出直线的方程与各点坐标，联立抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，由，可得，计算可用表示出、，即可得点轨迹，即可得证；（ii）设，则有，结合韦达定理计算可得存在定值、，使得该等式恒成立，即可得点坐标. 【小问1详解】 由抛物线定义可得，则； 【小问2详解】 （i）略 （ii）存在，且点坐标为，理由如下： 设，则， 由，则，即有， 即， ， 设，，，， 即有 ， ， 则可化为， 整理得， 由，故， 又， , 故， 即， 要使得恒成立，则，则有，即， 则，解得或（舍），则， 即，，即； 即存在，使得恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $