第二十一章 四边形 章末小结 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 第二十一章四边形章末同步练习，通过基础-中档-综合三层设计，覆盖平行四边形、特殊四边形及中位线定理，实现从单一知识点到多考点综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|平行四边形判定、中位线应用、菱形基本性质|选择题为主，如第1题平行四边形判定方案选择，直接考查概念理解| |中档|平行四边形与直角三角形综合、矩形动点问题、正方形性质辨析|选择与填空题结合，如第7题矩形中动点与角平分线判定，需2-3个知识点关联| |综合|特殊四边形判定证明、几何计算与推理综合|解答题为主，如第13题平行四边形与矩形判定综合，要求逻辑推理与运算能力结合|

第二十一章 四边形 章末小结 考点1　平行四边形的判定和性质的综合应用 1.(河北邯郸成安县一模)如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是( ) 　 A．甲是 B．乙是 C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论： ①CD＝AB；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE＋∠BGF＝180°.其中正确的所有选项是( ) A．①② B．③ C．②④ D．②③④ 3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过A，C两点作AG⊥BD，CH⊥BD，垂足分别为M，N，且分别交CD，AB于点G，H. (1)求证：四边形AHCG是平行四边形； (2)若DG＝3，AH＝2，AC＝5，BD＝8，求AB的长及△AOB的周长． 考点2　三角形的中位线定理的应用 4．如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝20 m，则A，B两点间的距离是( ) A．15 m B．20 m C．30 m D．40 m 5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝2，点M，N分别是线段BC，AB上任意一点(含端点，但M不与B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ． 6．(1)如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由； (2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME＝∠CNE. 　 考点3　矩形的判定和性质的综合应用 7．(河北邯郸一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线BD上的动点(不含端点)，连接PC，点E是PC的中点，作PF⊥AB于点F，PG⊥AD于点G，连接FG.对于下列两个结论： ①当BP＝2时，点E在∠BDC的平分线上；②线段FG的长的最小值为. 判断正确的是( ) A．①②都对 B．①②都错 C．①错，②对 D．①对，②错 8．如图，△ADE为直角三角形，DE⊥AE，将△ADE沿AM方向平移，使点A落在点M处，点E落在点F处．连接CD，四边形AMCD为菱形，对角线AC，MD相交于点N. (1)求证：四边形CDEF是矩形； (2)连接NE，若AM＝20，ME＝8，求NE的长. 考点4　菱形的判定和性质的综合应用 9．(河北唐山丰润区一模)小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图(1)所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图(2)所示的正方形，并测得对角线AC＝10，则图(1)中菱形的对角线BD长为( ) A．10 B．20 C．10 D．10 10．石家庄火车站始建于清光绪二十三年(1897年)，经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯(图1)，其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E，F在BD上，BE＝DF. (1)求证：四边形内部框架AECF为菱形． (2)若AE⊥AD，F为DE的中点，AF＝2，求四边形ABCD的周长． 　 考点5　正方形的判定和性质的综合应用 11． 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE＋CG＝6.其中结论正确的序号有( ) A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 12． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG. (1)求证：AF＝BF； (2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形. 13．如图1，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE＝CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G. (1)求证：四边形DEFG是矩形． (2)如图2，连接DF，BE，当∠DFG＝∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由． 　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 章末小结 考点1　平行四边形的判定和性质的综合应用 1.(河北邯郸成安县一模)如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是(C) 　 A．甲是 B．乙是 C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论： ①CD＝AB；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE＋∠BGF＝180°.其中正确的所有选项是(D) A．①② B．③ C．②④ D．②③④ 3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过A，C两点作AG⊥BD，CH⊥BD，垂足分别为M，N，且分别交CD，AB于点G，H. (1)求证：四边形AHCG是平行四边形； (2)若DG＝3，AH＝2，AC＝5，BD＝8，求AB的长及△AOB的周长． (1)∵AG⊥BD，CH⊥BD， ∴∠AMB＝90°，∠HNB＝90°，∴AG∥CH. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴四边形AHCG是平行四边形； (2)∵四边形ABCD是平行四边形，四边形AHCG是平行四边形， ∴AB＝CD，CG＝AH＝2. ∵DG＝3，∴AB＝CD＝DG＋CG＝3＋2＝5. ∵O为AC，BD的中点，∴AO＝AC＝×5＝2.5，BO＝BD＝×8＝4， ∴△AOB的周长为AO＋BO＋AB＝2.5＋4＋5＝11.5. 考点2　三角形的中位线定理的应用 4．如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝20 m，则A，B两点间的距离是(D) A．15 m B．20 m C．30 m D．40 m 5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝2，点M，N分别是线段BC，AB上任意一点(含端点，但M不与B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为． 6．(1)如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由； (2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME＝∠CNE. 　 (1)△OMN是等腰三角形，理由如下： 如图1，取BD的中点H，连接HE，HF. 图1 ∵E，F分别是BC，AD的中点， ∴HF∥AB，HE∥CD，HF＝AB，HE＝CD. ∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠HFE＝∠HEF. ∵HF∥AB，HE∥CD，∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN， ∴∠ONM＝∠OMN，∴OM＝ON，∴△OMN是等腰三角形． (2)如图2，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF， 图2 ∴HF∥CN，HE∥BM，HF＝CD，HE＝AB. ∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE. ∵HF∥CN，HE∥BM，∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE， ∴∠BME＝∠CNE. 考点3　矩形的判定和性质的综合应用 7．(河北邯郸一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线BD上的动点(不含端点)，连接PC，点E是PC的中点，作PF⊥AB于点F，PG⊥AD于点G，连接FG.对于下列两个结论： ①当BP＝2时，点E在∠BDC的平分线上；②线段FG的长的最小值为. 判断正确的是(D) A．①②都对 B．①②都错 C．①错，②对 D．①对，②错 如图，连接AP，DE. 由题意，可知AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∴BD＝＝＝5. ∵BP＝2，∴DP＝BD－BP＝5－2＝3，∴DP＝CD＝3. ∵点E是PC的中点，∴点E在∠BDC的平分线上，故①正确； ∵PF⊥AB，PG⊥AD，∠BAD＝90°，∴四边形AFPG是矩形， ∴AP＝FG，∴当AP⊥BD时，AP有最小值． 此时S△ABD＝AB·AD＝BD·AP，即3×4＝5×AP， 解得AP＝，∴FG＝AP＝，故②错误． 8．如图，△ADE为直角三角形，DE⊥AE，将△ADE沿AM方向平移，使点A落在点M处，点E落在点F处．连接CD，四边形AMCD为菱形，对角线AC，MD相交于点N. (1)求证：四边形CDEF是矩形； (2)连接NE，若AM＝20，ME＝8，求NE的长. (1)∵四边形AMCD是菱形，∴DC∥AM，且DC＝AM. ∵AE＝MF，∴AM＝EF，∴DC＝EF. ∵DC∥EF，∴四边形DEFC是平行四边形． ∵DE⊥AM，∴∠DEF＝90°，∴四边形CDEF是矩形； (2)∵四边形AMCD是菱形，AM＝20，∴DA＝AM＝20. ∵ME＝8，∴AE＝20－8＝12， 在Rt△DAE中，由勾股定理，得DA＝＝16， 在Rt△DEM中，由勾股定理，得DM＝＝8， ∵四边形AMCD是菱形，∴ND＝NM，∴NE＝DM＝4. 考点4　菱形的判定和性质的综合应用 9．(河北唐山丰润区一模)小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图(1)所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图(2)所示的正方形，并测得对角线AC＝10，则图(1)中菱形的对角线BD长为(D) A．10 B．20 C．10 D．10 10．石家庄火车站始建于清光绪二十三年(1897年)，经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯(图1)，其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E，F在BD上，BE＝DF. (1)求证：四边形内部框架AECF为菱形． (2)若AE⊥AD，F为DE的中点，AF＝2，求四边形ABCD的周长． 　 (1)∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC. ∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴▱AECF是菱形； (2)∵四边形AECF是菱形，AF＝2，∴AE＝AF＝2. ∵AE⊥AD，F为DE的中点，∴DE＝2AF＝4. ∵AE2＋AD2＝DE2，即22＋AD2＝42，∴AD＝2(负值不符合题意，舍去). ∵四边形ABCD为菱形，∴菱形ABCD的周长为4×2＝8. 考点5　正方形的判定和性质的综合应用 11． 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE＋CG＝6.其中结论正确的序号有(B) A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ ①如图，过点E作EM⊥BC于点M，过点E作EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形，∴EM＝EN. ∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF.又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM(ASA)， ∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；故①正确； ②当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故②错误； ③由①知DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG. 在△ADE和△CDG中，∴△ADE≌△CDG(SAS)， ∴AE＝CG，故③正确； ④∵AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴AC＝AB＝×3＝6， ∴AC＝AE＋CE＝CG＋CE＝6.故④正确． 12． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG. (1)求证：AF＝BF； (2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形. (1)∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC， ∴DE是线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠ACB. 在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°， 得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°， ∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF. (2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE. 又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE. 在△AEG和△CEF中， ∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF. 又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形． ∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形． 在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF. 即得点F是边BC的中点． 又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，∴∠AFC＝90°. ∴四边形AFCG是正方形． 13．如图1，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，AE＝CF，DE⊥AC，过点D作DG∥AC交BF的延长线于点G. (1)求证：四边形DEFG是矩形． (2)如图2，连接DF，BE，当∠DFG＝∠BEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由． 　　 (1)在▱ABCD中，AD＝CB，AD∥CB， ∴∠DAE＝∠BCF. 又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)， ∴∠AED＝∠CFB. ∵∠AFG＝∠CFB，∴∠AED＝∠AFG，∴DE∥GF. ∵DG∥AC，∴四边形DEFG是平行四边形． ∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴四边形DEFG是矩形． (2)四边形DEFG是正方形． 理由：由(1)知DE∥BF，DE＝BF， ∴四边形DEBF是平行四边形，∴DF∥BE， ∴∠AFD＝∠BEF.∵∠DFG＝∠BEF， ∴∠AFD＝∠DFG. 在矩形DEFG中，∠EFG＝∠DEF＝90°， ∴∠DFE＝∠EDF＝45°，∴DE＝EF， ∴矩形DEFG是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $