2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试（四）

2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试（四） 考试时长：90分钟满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.内蒙古牛肉干以内蒙古草原散养牛的瘦肉为原料，肉质紧实，咸香有嚼劲若每包内蒙古牛肉干的标 准质量为250g,超出标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，则下面四个包装中最 接近标准质量的是( ) A.+3g B.-2g C.+5g D.-4g 【答案】B 【解析】解：+31=3，一2=2，+5=5，-4=4， .2<3<4<5, ∴.-2g的绝对值最小，偏差最小，是最接近标准质量的选项. 答：下面四个包装中最接近标准质量的是-2g 故选：B. 最接近标准质量意味着偏离标准的程度最小，只需比较各偏差值的绝对值，绝对值越小，越接近标准 质量 本题考查了正数和负数，解决本题的关键是熟练运用正数和负数的定义解决问题. 2.如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是( A.V2 B.√5 C.V10 D.√13 0 【答案】B 【解析】解：根据无理数的大小估算逐项分析判断如下： A:,1<√2<2， ∴.V2在1和2之间，不符合题意： B:,2<V5<3, ∴.√5在2和3之间，符合题意； C:.3<y104, 第1页，共19页 .√10在3和4之间，不符合题意： D:3<13<4, ∴.√13在3和4之间，不符合题意. 故选：B. 由图可知，被手掌遮挡住的数在2和3之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的 数可能是哪一个 本题考查了无理数的大小估算，熟练掌握该知识点是关键， 3.下列运算正确的是() A.2a+3b=5ab B.m2.m4-m6 C.(a-b)2=a2-b2 D.(2m2)3=6m6 【答案】B 【解析】解：2a与3b不是同类项，无法合并，则A不符合题意， m2.m4m6,则B符合题意， (ab)2=a2-2ab+b2,则C不符合题意， (2m2)3-8m,则D不符合题意， 故选：B. 利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方法则逐项判断即可. 本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的 关键。 4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ABC'是位似图形，位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应 点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B的坐标为( A.（-8,4) B.(8,-4) C.(-4,8) D.(4,-8) 【答案】c 【解析】解：，△ABC与△ABC是位似图形，点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2), .△ABC与△ABC的位似比为2， 第2页，共19页 .点B(-2,4)的对应点B的坐标为(2×2,4×2)，即(-4,8)， 故选：C 根据点A、A的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解， 本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键， 5.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F,的方向与斜面垂 直，摩擦力F,的方向与斜面平行若斜面的坡角c=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为() A.155 B.125° C.115° D.65° a 【答案】C 【解析】解：如图， F a ,支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行， .∠3=90°， ,重力G的方向竖直向下， ∴.∠c+∠1=90°， .∠2=∠1=90°-25°=65°， ,摩擦力F的方向与斜面平行， ∴.∠B+∠2=180°， .∠=180°-∠2=180°-65=115°. 故选：C 根据题意结合图形可知邱的大小等于重力G与斜面形成的三角形的外角的大小，从而可求得的度数. 本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，正确进行计算是解题关键 第3页，共19页 6如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且 相似比为好 点A,B,E在x轴上，若正方形ABCD的边长为3，则F点坐标为() A.(8,6 B.(12,12) C.(16,12) D.(16,8) OA B 【答案】c 【解析】解：·正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为好 ∴器器 ,且正方形ABCD的边长为3， .EF=12, 设0Bx,则OEx+12, “品 解得x=4, 经检验x一4是原方程的解，且符合题意. .0E-4+12=16, ∴.F(16,12). 故选：C. 正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为可求出EF=12,设 0Bx,则OEx+12,可求出0E-4+12=16,由此即可求解 本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键. 第4页，共19页 7如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 y(单位：cm)与物距（蜡烛到小孔的距离）x(单位：cm)成反比例关系，己知当x=4时，y=2.5,则当x=10 时，y的值为() A.10 B.2.5 C.4 D.1 蜡烛 【答案】D 【解析】解：设反比例函数的表达式为：y=k0), 当x=4时，y=2.5, “代入表达式得：25号 解得：k=10, “反比例函数的表达式为：y=兴 当10时，y=81, 故选：D 首先设反比例函数的表达式为：y=k0),代入已知数值，得到k的值，继而得到反比例函数的表达 式，代入10，得到对应的y的值即可. 本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键， 8.反比例函数y的图象上有Pty),Q+4y2)两点.下列正确的选项是() A.当t长-4时，y2<y1<0 B.当-4<t长0时，y2y1<0 C.当-4<tK0时，0y1y2 D.当t>0时，0y1y2 【答案】A 【解析】“反比例函数y=中，k=4>0,∴此函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象 限内，y随x的增大而减小，当长-4时，廿4<0，，t+4,y2y1<0,.选项A正确. 第5页，共19页 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.将分别标有“美“丽‘内蒙“古”汉字的五个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他 差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组 成“内蒙的概率是· 【答案】号 【解析】解：根据题意，列表如下： 美 丽 内 蒙 古 美 美美 美丽 美内 美蒙 美古 丽 丽美 丽丽 丽内 丽蒙 丽古 内 内美 内丽 内内 内蒙 内古 蒙 蒙美 蒙丽 蒙内 蒙蒙 蒙古 古 古美 古丽 古内 古蒙 古古 因此共有25种等可能的结果 两次摸出的球上的汉字能组成“内蒙”，即第一次摸出“内”，第二次摸出蒙或者第一次摸出“蒙”，第 二次摸出“内”，有2种符合条件的结果， 根据概率公式可得，所求概率为号 故答案为： 2 利用列表法列出所有等可能的结果，找出满足两次摸出的球上的汉字组成“内蒙”的结果数，再利用概 率公式计算即可. 本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键 10.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现杠杆原理”为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬 棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m,则动力F关于自变量动力臂1(>0)的函 数解析式为 阻力 支点 动力 阻力臂 动力臂 第6页，共19页 【答案】F=9 【解析】解：由题意得：FI=1200×0.5, 9 故答案为：=侧 根据“：阻力×阻力臂=动力×动力臂”列式求解。 本题考查了反比例函数的应用，理解杠杆原理是解题的关键 11如图，一艘货轮以36海里时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯 塔B.货轮继续向北航行40mim后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向上，则此时货轮与灯塔B 的距离为海里.（结果保留根号） 北 中东 B 759 【答案】24V2 【解析】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D, 北 B 45 D y 则∠CDA=∠CDB=90°， 由题意可得：AC-36×8-24(海里)， ∠A=45°， .CD=ACsin45°=24×2-12√2（海里）， 2 ,∠BCE=75°， ∴.∠B=∠BCE-∠A=30°， ∴.BC=2CD=24V2(海里)， 第7页，共19页 故答案为：24v2. 过点C作CD⊥AB于点D;根据题意求出AC的长，由锐角三角函数定义求出CD的长，再由三角形 的外角的性质求出∠B的度数，进而求出BC的长，即可解决问题. 此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题意正确作出辅助线是解题的关键. 12如图，菱形ABCD的边长为4W3,∠ABC-60,对角线BD上有点E和点F,BE-3,DF=?,连接 AE,取AE中点M,连接MF,则MF的长为· M 【答案】√19 【解析】解：过点M作MH LBD于H, B C 四边形ABCD是菱形， ∴.∠ABD=30°，AB=AD=4V3,BO=DO,AC⊥BD A0=AB=2W3, 由勾股定理可得，BO=D0=VAB2-AO=6, 'BE-3.DP->. 0E=6-33,即=6+6-3子=号 由勾股定理可得，AE=VAO+OE (2W3)2+32=√21， ,点M是AE中点， 第8页，共19页 .ME-AE-Y 由三角函数可知，tam∠AE0=0-2in∠AE09-A0-3-27 EH EO 3 ME AE 21 7 MME9-平时盟 V147 7 3 7 2 2万-2- H=EP-EH=号多4， .∴MF=VMHP+F2= +4=VI9 故答案为：√19. 连接AC交BD于点O,根据菱形的性质得出∠ABD=30°，AB=AD=4V3,BO=DO,AC⊥BD, A02V3,勾股定理求出B0D0=6,结合BE=3,DF=子，求出OE3,EF=号，勾股定理求出 AE=√2T,根据点M是AE中点，得出ME=罗，根据 m∠A0器铝-m∠AE0提-烂-求出I,,则可求出亚，最后根据勾股定 理即可求解。 此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出∠ABD=30°，AB=AD=4V3,BO=DO,AC⊥BD, A0=2W3解答， 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) (1)计算：1-V2-2cos45°+； (②化简：1(+3x+1-1). x 解：()原式-√2-1-2x+1 3分 =√2-1-V2+1 =√2-V2+1-1 =0… 5分 (2)原式=1Xx1÷x2+3x+1-× =+10-1)x2+2x+1 =区+1)区-1) x+1) 3分 =太1 x+1 5分 第9页，共19页 (1)根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质进行计算即可； (2)先把括号里的1化成分母是×的分式，先算括号里面的，再把被除数和除数的分子分解因式，除法 化成乘法，然后化简即可. 本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角函数值和 零指数幂的性质。 14.(本小题7分)（原创试题） 为了让学生体验内蒙古民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.毛毡画，B河套 草编，C蒙古族剪纸，D.沙嘎游戏。现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取 部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统 计图。 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为；扇形统计图中a=: (2)补全条形统计图； (3)该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名？ (4)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个 课程的概率. 人数 50E.48 40 0% 30 20 D 8% 0 ABCD课程 图1 图2 【解析】(1)此次被调查的学生总人数为4830%=160（人）， a6-32÷160×1006=20%, .a=20. 故答案为：160人；20.1分 (2)选择B的人数为160-48-32-40=40.2分 补全条形统计图如图1所示. 第10页，共19页 人数 50: 48 % 40 40 0 20 3分 0 A B C D 课程 图1 (3)1600x40 160 =400(名). 答：估计该校对课程D感兴趣的学生有400名， 4分 (4)列表如下： A B D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) ①，C) D.D) 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果有4种， 6分 “两人恰好选到同一个课程的概率为。子 7分 (1)用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数：用条形统 计图中C的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以100%可得a%,即可得a的值. (2)求出选择B的人数，补全条形统计图即可， (3)根据用样本估计总体，用1600乘以样本中D的人数所占的百分比，即可得出答案。 (4)列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答 案 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列 表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键. 第11页，共19页 15.(本小题10分)（原创试题） 呼和浩特某中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用8000元购 买了A、B两种体育器材共120件作为奖品.已知一件B种器材是一件A种器材价格的2倍，且购买 A种器材与购买B种器材费用相同. (1)求购买一件A种器材、一件B种器材各需多少元？ (2)若学校需购买A、B两种器材共100件，且A种器材的数量不多于B种器材数量的2倍，至少要花 多少钱？ 解：(1)设一件A种器材的价格为x元，则一件B种器材的价格为2x元， 8000÷2-4000(元)： 4000+400=120,.3分 2x 解得=50， 经检验：x=50是方程的解， .2x=100, 则购买一件A种器材需50元、一件B种器材需100元5分 (2)设购买A器材a件，总费用y元， 根据题意得，a≤2(100-a), 解得a90,7分 y=50a+100(100-a）-50a+10000,8分 -50K0, ∴y随a的增大而减小， ras9 .当a=66时，y取得最小值，为-50×66+10000-6700（元）9分 则至少要花6700元 10分 (1)设一件A种器材的价格为x元，则一件B种器材的价格为2x元，根据题意，列出分式方程，求解 即可： (2)设购买A器材a件，则B器材100-a)件，总费用y元，根据不等关系，列出不等式求出a的取值 范围，再根据题意，求出一次函数，利用函数的性质，求解即可. 本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键. 第12页，共19页 16.(本小题12分) 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接AC,∠PCA=∠B. (1)求证：PC是⊙O的切线： (2)若simB=号，求证：AC=AP; (3)在(2)的条件下，若⊙0的半径为2，求图中阴影部分的面积. 【解析】(I)证明：AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，如图，连接OC. 0 .∴.∠ACB=90°，OB-OC, ∴.∠BCO+∠OCA=90°，∠B=∠BCO, ,∠PCA=∠B, .∠PCA=∠BCO,2分 ∴.∠PCA+∠OCA=90°，即∠OCP=90°， ..OCLPC, 又，OC为圆的半径， .PC是⊙0的切线4分 (②)证明：：sinB- ∴.∠B=30°， ∴.∠PCA=∠B=30°. 由(1)知，∠ACB=90°， .∠CAB=60°.6分 ∴.∠P=∠CAB-∠PCA=30°， ∴.∠PCA=∠P, .ACAP8分 (3)解：由(2)知，∠P=∠PCA=∠B=30°， .∠COP=∠B+∠BCO=∠B+∠B=60°， 第13页，共19页 ,⊙0的半径为2， .0C210分 在Rt△OCP中，∠P-=30°， .PC=2W3. S1影SAOCPS形A0c-×2x2W3器×元×2-2V312分 (1)连接OC.证明OC⊥PC即可证明PC是⊙O的切线： (2)根据siB=号，得到∠B=30°，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定即可证明 AC=AP; (6)根据S阴影8△cp8形oc}×2*2W了0×x2-2V3解答即可。 本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定，特殊角的三角函数的应用，圆周角定理，等腰三角形 的判定，扇形的面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键， 第14页，共19页 17.(本小题12分)（原创试题） 草原喷灌车是锡林郭勒盟饲草基地的主力设备。如图1，喷灌车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物 线。数学兴趣小组成员为了解喷灌车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个饲草带，通过建立数学 模型进行探索。 如图2，建立平面直角坐标系，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米。可以把喷灌车喷出的上、下边 缘抽象为两条抛物线的部分图象。上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，喷出水的最大 射程OC为6米。把饲草带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=1.5米，竖直高度EF=0.7米， 喷灌车与饲草带之间的距离就可以用线段OD的长来表示。小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出 的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的。 【问题解决】 (1)直接写出点C,H的坐标： (2)求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与x轴交点B的坐标： (3)若要使喷灌车行驶时喷出的水能浇灌到整个饲草带（即矩形DE℉G位于上边缘抛物线和下边缘抛 物线所夹区域内)，求OD的取值范围。 喷水可 BD 图1 图2 解：(1)，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米， ∴.H(0,1.2): ,喷出水的最大射程OC为6米， ∴.C(6,0) (2),上边缘抛物线的顶点为A(2,),且过点H(0,1.2)和C(6,0), 所以设上边缘抛物线的顶点式为y1=a(x-2)2+k(a≠0)， 将H(0,1.2),C(6,0)分别代入，得： 1.2-4a+k l0=16a+k 解和民16 .上边缘抛物线的解析式为：y1=-0.1(x-2)+1.6, 第15页，共19页 即y1=-0.1x2+0.4x+1.2, 由题意可得：设下边缘抛物线的解析式为y2=-0.1(x-2+m)2+1.6, 将H(0,1.2)代入，得 1.2=-0.1(-2+m)2+1.6, 解得m=4或m=0(与上边缘重合，舍去)， ∴.下边缘抛物线的解析式为：y2=-0.1x+2)+1.6, 令y=0,则-0.1x+2)2+1.6=0, 即(x+2)2=16, 解得=2或x=-6(不符合题意，舍去)， .下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为(2,0). (3)若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛物 线所夹区域内)， B(2,0), ∴.OB=2,则OD≥2， 将y1=0.7代入y1=-0.1(x-2)2+1.6,得： -0.1(x-2)2+1.6-0.7 解得=-1（不符合题意，舍去）或x=5, ∴.当x=5时，点F在上边缘抛物线上，此时OD=5-1.5=3.5, .2≤0D≤3.5. (1)直接根据题意得出点C、H的坐标即可： (2)先推导出上边缘抛物线的顶点为A(2,k),且过点H(0,1.2)和C(6,0),设上边缘抛物线的顶点式为 y1=a(k-2)+k(a≠0)，将H(0,1.2),C(6,0)分别代入，求出上边缘抛物线的解析式为： y1=-0.1(x-2)+1.6,由下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点H(0,1.2),设下边缘抛物 线的解析式为y2=-0.1(x-2+m)+1.6,将H(0,1.2)代入，求出下边缘抛物线的解析式为 y3=-0.1(x+2)+1.6,继而求出点B的坐标即可： (3)先求出OB=2,则0D22,将y1=0.7代入y1=-0.1(x-2)+1.6,解得x=-1(不符合题意，舍去)或x=5, 此时0D=5-1.5=3.5,则2≤0Ds3.5,即可解答： 本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键】 第16页，共19页 18.(本小题13分) 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一个动点(O<AE<AC),连接BE,DE. (1)如图1，求证：BE=DE (2)如图2，在AB左侧作∠ABP=∠CBE,延长DE分别交AB,BP于点F,G,当BF=6, cos∠CDE-时 ①求△GFB的面积： ②证明：tan∠下G塑=FE 2 BE D A E B 图1 图2 (I)证明：，正方形ABCD中，E是对角线AC上的一个动点， ∴.BC=DC,∠ECB=∠ECD=45°， 在△BEC和△DEC中， EC-EC ∠ECB=∠ECD, (BC-DC .∴.△BEC≌△DEC(SAS), .'.BE=DE; (2)解：①由(1)知△BEC≌△DEC, ∴.∠CBE=∠CDE, 又，'∠ABP=∠CBE, ∴.∠ABP=∠CDE, 又，四边形ABCD为正方形， ∴.AB//CD, ∴.∠CDE=∠GFB, .∴.∠ABP=∠GFB, ∴.△GFB是等腰三角形， 如图2，过点G作GM⊥AB于点M, 第17页，共19页 D E 图2 ∴点M是BF的中点， 又BF=6, ∴MF=BF3, 又：∠CDE=∠GFB,cos∠CDE ∴cos∠GB=3 在Rt△GMF中，cos∠GFB= FG 器 FG-3MF=3×35, 在Rt△GMF中，由勾股定理得：GM=√FG-MF2=4, ∴SAGFP=-BF.GM-3×6x4=12: ②证明：，延长DE分别交AB,BP于点F,G, ∴.∠AFE=∠GFB, 又，'∠GFB=∠ABP=∠CBE, ∴.∠AFE=∠CBE, 四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴.∠FAE=∠BCE-45°， .△AFE∽△CBE, ∴噩篇品 ,∠AFD=∠GFM, .∴.tan∠AFD=tan∠GFM, “铝器即荒恶 AD GM “是 第18页，共19页 由①知△GFB是等腰三角形，GM⊥AB, ∴.GM平分∠FGB, tan∠GB-tan∠FGM= 2 GM tan∠GB_E 2 BE (1)根据正方形的性质证明△BEC≌△DEC,继而得证BE=DE; (2)①首先证明△GB是等腰三角形，过点G作GMLAB于点M,根据等腰三角形的性质得到MF的 长度，根据∠CDE=∠GFB,cos∠CDE-,得到FG的长度，根据勾股定理得到GM的长度，进而得到 △GFB的面积： ②首先证明△APE∽△CBE,得到嚅需根据∠AFE∠GFB,得到哈g恶进而得到腰织根 据等腰三角形三线合一的性质得到amBm∠下GM-品进而得到mB-噩 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形 的判定和性质，相似三角形的判定和性质. 第19页，共19页 2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试（四） 考试时长：90分钟　满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.内蒙古牛肉干以内蒙古草原散养牛的瘦肉为原料，肉质紧实，咸香有嚼劲若每包内蒙古牛肉干的标准质量为，超出标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，则下面四个包装中最接近标准质量的是(     ) A. B. C. D. 2.如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是(     ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为(     ) A. B. C. D. 5.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为(    ) A. B. C. D. 7.如图，根据小孔成像的原理，当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高单位：与物距蜡烛到小孔的距离单位：成反比例关系，已知当时，，则当时，的值为(     ) A. B. C. D. 8.反比例函数的图象上有，两点下列正确的选项是(     ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.将分别标有“美”“丽”“内”“蒙”“古”汉字的五个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“内蒙”的概率是       ． 10.公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为             11.如图，一艘货轮以海里时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔货轮继续向北航行后到达处，发现灯塔在它北偏东方向上，则此时货轮与灯塔的距离为        海里结果保留根号 12.如图，菱形的边长为，对角线上有点和点，，连接，取中点，连接，则的长为        ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简：． 14.本小题分(原创试题) 为了让学生体验内蒙古民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.毛毡画，B.河套草编，C.蒙古族剪纸，D.沙嘎游戏。现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图。 根据以上提供的信息，解答下列问题： 此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中 ______； 补全条形统计图； 该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ 甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 15. 本小题分(原创试题) 呼和浩特某中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同． 求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？ 若学校需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，至少要花多少钱？ 16.本小题分 如图，是的直径，是上的一点，是延长线上的一点，连接，． 求证：是的切线； 若，求证：； 在的条件下，若的半径为，求图中阴影部分的面积． 17.本小题分(原创试题) 草原喷灌车是锡林郭勒盟饲草基地的主力设备。如图 1，喷灌车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物线。数学兴趣小组成员为了解喷灌车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个饲草带，通过建立数学模型进行探索。 如图 2，建立平面直角坐标系，喷水口 H 离地面竖直高度 h 为 1.2 米。可以把喷灌车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象。上边缘抛物线最高点 A 离喷水口的水平距离为 2 米，喷出水的最大射程 OC 为 6 米。把饲草带横截面抽象为矩形 DEFG，其水平宽度 DE=1.5 米，竖直高度 EF=0.7 米，喷灌车与饲草带之间的距离就可以用线段 OD 的长来表示。小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的。 【问题解决】 (1)直接写出点 C，H 的坐标； (2)求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与 x 轴交点 B 的坐标； (3)若要使喷灌车行驶时喷出的水能浇灌到整个饲草带（即矩形 DEFG 位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求 OD 的取值范围。 18.本小题分 如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点，连接，． 如图，求证：； 如图，在左侧作，延长分别交，于点，，当，时 求的面积； 证明：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试（四） 考试时长：90分钟　满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.内蒙古牛肉干以内蒙古草原散养牛的瘦肉为原料，肉质紧实，咸香有嚼劲若每包内蒙古牛肉干的标准质量为，超出标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，则下面四个包装中最接近标准质量的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，，，， ， 的绝对值最小，偏差最小，是最接近标准质量的选项． 答：下面四个包装中最接近标准质量的是． 故选：． 最接近标准质量意味着偏离标准的程度最小，只需比较各偏差值的绝对值，绝对值越小，越接近标准质量． 本题考查了正数和负数，解决本题的关键是熟练运用正数和负数的定义解决问题． 2.如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据无理数的大小估算逐项分析判断如下： ：， 在和之间，不符合题意； ：， 在和之间，符合题意； ：， 在和之间，不符合题意； ：， 在和之间，不符合题意． 故选：． 由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个． 本题考查了无理数的大小估算，熟练掌握该知识点是关键． 3.下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：与不是同类项，无法合并，则不符合题意，  ，则符合题意，  ，则不符合题意，  ，则不符合题意，  故选：． 利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方法则逐项判断即可． 本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：与是位似图形，点的对应点为，  与的位似比为，  点的对应点的坐标为，即，  故选：． 根据点、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键． 5.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图， 支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， 重力的方向竖直向下， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ． 故选：． 根据题意结合图形可知的大小等于重力与斜面形成的三角形的外角的大小，从而可求得的度数． 本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，正确进行计算是解题关键． 6.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ，且正方形的边长为， ， ， 设，则， ， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． ， ． 故选：． 正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，可求出，设，则，可求出，由此即可求解． 本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 7.如图，根据小孔成像的原理，当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高单位：与物距蜡烛到小孔的距离单位：成反比例关系，已知当时，，则当时，的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设反比例函数的表达式为：， 当时，， 代入表达式得：， 解得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 故选：． 首先设反比例函数的表达式为：，代入已知数值，得到的值，继而得到反比例函数的表达式，代入，得到对应的的值即可． 本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 8.反比例函数的图象上有，两点下列正确的选项是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A  【解析】反比例函数中，，此函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，当时，，，，选项 A正确． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.将分别标有“美”“丽”“内”“蒙”“古”汉字的五个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“内蒙”的概率是        ． 【答案】  【解析】解：根据题意，列表如下： 美 丽 内 蒙 古 美 美美 美丽 美内 美蒙 美古 丽 丽美 丽丽 丽内 丽蒙 丽古 内 内美 内丽 内内 内蒙 内古 蒙 蒙美 蒙丽 蒙内 蒙蒙 蒙古 古 古美 古丽 古内 古蒙 古古 因此共有种等可能的结果． 两次摸出的球上的汉字能组成“内蒙”，即第一次摸出“内”，第二次摸出“蒙”或者第一次摸出“蒙”，第二次摸出“内”，有种符合条件的结果， 根据概率公式可得，所求概率为， 故答案为：． 利用列表法列出所有等可能的结果，找出满足两次摸出的球上的汉字组成“内蒙”的结果数，再利用概率公式计算即可． 本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键． 10.公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为             【答案】  【解析】解：由题意得：，  ，  故答案为：． 根据“：阻力阻力臂动力动力臂”列式求解． 本题考查了反比例函数的应用，理解杠杆原理是解题的关键． 11.如图，一艘货轮以海里时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔货轮继续向北航行后到达处，发现灯塔在它北偏东方向上，则此时货轮与灯塔的距离为        海里结果保留根号 【答案】  【解析】解：如图，过点作于点， 则， 由题意可得：海里， ， 海里， ， ， 海里， 故答案为：． 过点作于点；根据题意求出的长，由锐角三角函数定义求出的长，再由三角形的外角的性质求出的度数，进而求出的长，即可解决问题． 此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 12.如图，菱形的边长为，对角线上有点和点，，连接，取中点，连接，则的长为        ． 【答案】  【解析】解：过点作于， 四边形是菱形， ， ， 由勾股定理可得，， ， ， 由勾股定理可得，， 点是中点， ， 由三角函数可知，， ， ， ． 故答案为：． 连接交于点，根据菱形的性质得出，，勾股定理求出，结合，求出，勾股定理求出，根据点是中点，得出，根据，求出，，则可求出，最后根据勾股定理即可求解． 此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，解答． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简：． 解：原式........................................3分 ..............................................................................................5分 原式 .............................................................3分 ..........................................................................................5分 根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质进行计算即可； 先把括号里的化成分母是的分式，先算括号里面的，再把被除数和除数的分子分解因式，除法化成乘法，然后化简即可． 本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质． 14.本小题分(原创试题) 为了让学生体验内蒙古民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.毛毡画，B.河套草编，C.蒙古族剪纸，D.沙嘎游戏。现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图。 根据以上提供的信息，解答下列问题： 此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中 ______； 补全条形统计图； 该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ 甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【解析】此次被调查的学生总人数为人． ， ． 故答案为：人；．....................................1分 选择的人数为．....................................2分 补全条形统计图如图所示． ....................................3分 名． 答：估计该校对课程感兴趣的学生有名．....................................4分 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果有种，..............................6分 两人恰好选到同一个课程的概率为．..............................7分 用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次被调查的学生总人数；用条形统计图中的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以可得，即可得的值． 求出选择的人数，补全条形统计图即可． 根据用样本估计总体，用乘以样本中的人数所占的百分比，即可得出答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 15.本小题分(原创试题) 呼和浩特某中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同． 求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？ 若学校需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，至少要花多少钱？ 解：设一件种器材的价格为元，则一件种器材的价格为元， 元， ，.........................3分 解得， 经检验：是方程的解， ， 则购买一件种器材需元、一件种器材需元.........................5分 设购买器材件，总费用元， 根据题意得，， 解得，.........................7分 ，.........................8分 ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最小值，为元........................9分 则至少要花元.........................10分 设一件种器材的价格为元，则一件种器材的价格为元，根据题意，列出分式方程，求解即可； 设购买器材件，则器材件，总费用元，根据不等关系，列出不等式求出的取值范围，再根据题意，求出一次函数，利用函数的性质，求解即可． 本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 16.本小题分 如图，是的直径，是上的一点，是延长线上的一点，连接，． 求证：是的切线； 若，求证：； 在的条件下，若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【解析】证明：是的直径，是上的一点，如图，连接． ，， ，， ， ，.........................2分 ，即， ， 又为圆的半径， 是的切线.........................4分 证明：， ， ． 由知，， .........................6分 ， ， .........................8分 解：由知，， ， 的半径为， .........................10分 在中，， ． .........................12分 连接证明即可证明是的切线； 根据，得到，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定即可证明； 根据解答即可． 本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定，特殊角的三角函数的应用，圆周角定理，等腰三角形的判定，扇形的面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 17.本小题分(原创试题) 草原喷灌车是锡林郭勒盟饲草基地的主力设备。如图 1，喷灌车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物线。数学兴趣小组成员为了解喷灌车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个饲草带，通过建立数学模型进行探索。 如图 2，建立平面直角坐标系，喷水口 H 离地面竖直高度 h 为 1.2 米。可以把喷灌车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象。上边缘抛物线最高点 A 离喷水口的水平距离为 2 米，喷出水的最大射程 OC 为 6 米。把饲草带横截面抽象为矩形 DEFG，其水平宽度 DE=1.5 米，竖直高度 EF=0.7 米，喷灌车与饲草带之间的距离就可以用线段 OD 的长来表示。小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的。 【问题解决】 (1)直接写出点 C，H 的坐标； (2)求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与 x 轴交点 B 的坐标； (3)若要使喷灌车行驶时喷出的水能浇灌到整个饲草带（即矩形 DEFG 位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求 OD 的取值范围。 解：喷水口离地面竖直高度为米， ； 喷出水的最大射程为米， ； 上边缘抛物线的顶点为，且过点和， 所以设上边缘抛物线的顶点式为， 将，分别代入，得： ， 解得， 上边缘抛物线的解析式为：， 即， 由题意可得：设下边缘抛物线的解析式为， 将代入，得 ， 解得或与上边缘重合，舍去， 下边缘抛物线的解析式为：， 令，则， 即， 解得或不符合题意，舍去， 下边缘抛物线与轴交点的坐标为． 若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内， ， ，则， 将代入，得： 解得不符合题意，舍去或， 当时，点在上边缘抛物线上，此时， ． 直接根据题意得出点、的坐标即可； 先推导出上边缘抛物线的顶点为，且过点和，设上边缘抛物线的顶点式为，将，分别代入，求出上边缘抛物线的解析式为：，由下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点，设下边缘抛物线的解析式为，将代入，求出下边缘抛物线的解析式为，继而求出点的坐标即可； 先求出，则，将代入，解得不符合题意，舍去或，此时，则，即可解答； 本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 18.本小题分 如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点，连接，． 如图，求证：； 如图，在左侧作，延长分别交，于点，，当，时 求的面积； 证明：． 证明：正方形中，是对角线上的一个动点， ，， 在和中， ， ≌， ； 解：由知≌， ， 又， ， 又四边形为正方形， ， ， ， 是等腰三角形， 如图，过点作于点， 点是的中点， 又， ， 又， ， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； 证明：延长分别交，于点，， ， 又， ， 四边形是正方形，是对角线， ， ∽， ， ， ， ，即， ， 由知是等腰三角形，， 平分， ， ． 根据正方形的性质证明≌，继而得证； 首先证明是等腰三角形，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到的长度，根据 ，得到的长度，根据勾股定理得到的长度，进而得到的面积； 首先证明∽，得到，根据，得到，进而得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，进而得到． 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试（四） 考试时长：90分钟满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.内蒙古牛肉干以内蒙古草原散养牛的瘦肉为原料，肉质紧实，咸香有嚼劲若每包内蒙古牛肉干的标 准质量为250g,超出标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，则下面四个包装中最 接近标准质量的是( A.+3g B.-2g C.+5g D.-4g 2如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是( ) A.V2 B.√5 C.√10 D.V13 0 3.下列运算正确的是( ) A.2a+3b=5ab B.m2.m4-m9 C.(a-b)2=a2-b2 D.(2n2)3=6m9 4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'是位似图形，位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应 点为A(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B的坐标为( A.（8,4) B.(8,-4) C.(-4,8) D.(4,-8) 5.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F的方向与斜面垂 直，摩擦力F,的方向与斜面平行.若斜面的坡角c=25°，则摩擦力F,与重力G方向的夹角β的度数为() A.155° B.125° C.115 D.65 第1页，共7页 6如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且 相似比为，点A,B,E在x轴上，若正方形ABCD的边长为3，则F点坐标为() A.(8,6 B.(12,12) C.(16,12) D.(16,8) ! OA B E 7如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 y(单位：cm)与物距（蜡烛到小孔的距离）x(单位：cm)成反比例关系，已知当x=4时，y=2.5,则当x=10 时，y的值为( A.10 B.2.5 C.4 D.1 蜡烛 8.反比例函数y=的图象上有Pt,y1),Q+4,y2)两点.下列正确的选项是( A.当tK-4时，y2y1<0 B.当-4<tK0时，y2<y1<0 C.当-4<tK0时，0y1y2 D.当>0时，0y1y3 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.将分别标有“美“丽“内蒙“古”汉字的五个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他 差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组 成“内蒙的概率是 10.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬 棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m,则动力F关于自变量动力臂1(>0)的函 数解析式为 ↓阻助支点 动力 阻 动力臂 第2页，共7页 11如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯 塔B.货轮继续向北航行40min后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向上，则此时货轮与灯塔B 的距离为 海里.（结果保留根号） 北 个东 h75 A 12.如图，菱形ABCD的边长为4W3,∠ABC-60°，对角线BD上有点E和点F,BE=3,DF=子，连接 AE,取AE中点M,连接MF,则MF的长为一· 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) (1)计算：1-√2-2c0s45°+m: ②化简：(-1) 第3页，共7页 14.(本小题7分)（原创试题） 为了让学生体验内蒙古民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.毛毡画，B.河套 草编，C.蒙古族剪纸，D.沙嘎游戏。现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取 部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统 计图。 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为一：扇形统计图中a=一： (2)补全条形统计图； (3)该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名？ (④)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个 课程的概率， 人数 50 48 40 0 30 20 D 10 a% 0 A BCD课程 图1 图2 15.(本小题10分)（原创试题） 呼和浩特某中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用8000元购 买了A、B两种体育器材共120件作为奖品.已知一件B种器材是一件A种器材价格的2倍，且购买 A种器材与购买B种器材费用相同， (1)求购买一件A种器材、一件B种器材各需多少元？ (2)若学校需购买A、B两种器材共100件，且A种器材的数量不多于B种器材数量的2倍，至少要花 多少钱？ 第4页，共7页 16.(本小题12分) 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接AC,∠PCA=∠B. (1)求证：PC是⊙0的切线： (2)若sinB-号，求证：ACAP; (3)在(2)的条件下，若⊙0的半径为2，求图中阴影部分的面积. 第5页，共7页 17.(本小题12分)（原创试题） 草原喷灌车是锡林郭勒盟饲草基地的主力设备。如图1，喷灌车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物 线。数学兴趣小组成员为了解喷灌车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个饲草带，通过建立数学 模型进行探索。 如图2，建立平面直角坐标系，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米。可以把喷灌车喷出的上、下边 缘抽象为两条抛物线的部分图象。上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，喷出水的最大 射程OC为6米。把饲草带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=1.5米，竖直高度EF=0.7米， 喷灌车与饲草带之间的距离就可以用线段OD的长来表示。小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出 的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的。 【问题解决】 (1)直接写出点C,H的坐标： (2)求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与x轴交点B的坐标： (3)若要使喷灌车行驶时喷出的水能浇灌到整个饲草带（即矩形DE℉G位于上边缘抛物线和下边缘抛 物线所夹区域内)，求OD的取值范围。 喷水口 BD E 图1 图2 第6页，共7页 18.(本小题13分) 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一个动点(O<AE<二AC),连接BE,DE. (1)如图1，求证：BE=DE: (2)如图2，在AB左侧作∠ABP=∠CBE,延长DE分别交AB,BP于点F,G,当BF=6, cos∠CDE=时， ①求△GFB的面积； ②证明：tan∠Fc吧=巴 2 BE A D A E E B 图1 图2 第7页，共7页 2026年内蒙古初三年级中考数学全真模拟测试（四） 试卷双向细目表 题号 题型 分值 考查知识点 难度系数 1 选择题 3 绝对值的意义、正负数表示实际偏差 0.95 2 选择题 3 无理数估算、数轴概念 0.90 3 选择题 3 整式运算（合并同类项、幂的运算、完全平方公式） 0.90 4 选择题 3 位似图形的坐标变化规律 0.85 5 选择题 3 平行线的性质、角度计算 0.80 6 选择题 3 位似图形的性质、正方形坐标计算 0.75 7 选择题 3 反比例函数的实际应用 0.85 8 选择题 3 反比例函数的图像与增减性 0.70 9 填空题 3 列表/树状图法求概率 0.80 10 填空题 3 反比例函数建模（杠杆原理） 0.85 11 填空题 3 解直角三角形的方位角应用 0.65 12 填空题 3 菱形的性质、中位线定理、勾股定理 0.55 13 解答题 10 实数运算、分式的化简求值 0.85 14 解答题 7 条形/扇形统计图、样本估计总体、概率 0.80 15 解答题 10 分式方程、一元一次不等式组的实际应用（最值问题） 0.70 16 解答题 12 圆的切线证明、三角函数、阴影面积计算 0.60 17 解答题 12 二次函数的实际应用（抛物线平移、取值范围） 0.50 18 解答题 13 正方形的性质、全等三角形、三角函数、几何证明 0.40 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $