《第5章分式与分式方程》单元练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式与分式方程》 单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 2．把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的倍 C．是原来的 D．不变 3．下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．解分式方程，去分母得（   ）． A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 6．若分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．在一个不透明的袋子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一枚棋子，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸棋试验后发现，摸到黑棋的频率稳定在，则袋中白棋约有（   ） A．8枚 B．30枚 C．40枚 D．50枚 二、填空题 8．两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 9．化简的结果是______． 10．已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数． 11．已知，则的值为_______ ． 12．已知，则常数，的值分别是：_____． 13．已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球___________个． 14．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成此工程需要几个月？设乙队单独施工需要个月，则列方程为：______． 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3) (4) 16．先化简，再求值：，其中． 17．小强昨天做了一道分式题：“对下列分式通分：”．他的解答过程如下．请你指出他的错误，并改正． ，…① ．…② 18．已知关于的分式方程： (1)当时，求此方程的解； (2)当为何值时，此方程无解； 19．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 20．猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 参考答案 1．A 【详解】解：选项A ，分子，分母无法分解因式，分子分母没有除1以外的公因式，是最简分式； 选项B ，分母，分子为，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式； 选项C ，分母=，分子为，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式； 选项D， 分子=，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式． 2．A 【分析】根据题意，只需将扩大后的、代入原分式，化简后和原分式比较，即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将扩大后的、代入原分式可得， ， 所以，新分式的值是原分式的9倍，即分式的值扩大到原来的9倍． 3．B 【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变， ∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意； 、，又，故该选项变形正确，符合题意； 、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意； 、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意； 故选：． 4．A 【分析】先确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母即可得到结果，注意不要漏乘． 【详解】解：将原方程的右侧分母变形得， 方程两边同时乘以最简公分母，得． 5．A 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过已知分式等式变形得到与的关系，再将所求分式的分子、分母转化为含和的形式，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入中， 分子， 分母， ∴原式． 故选：A． 6．C 【分析】先将分式方程转化为整式方程求出解，再根据解为正数且分母不为0的条件，列不等式组确定m的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴变形为， 两边同乘（），得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， ∴， ∵方程的解为正数，且， ∴， 解，得，即， 解，得，即， ∴且． 【点睛】注意：要排除分式方程出现增根的情况，即解不能使原分母为0． 7．C 【详解】解：设袋中白棋有枚 ∵摸到黑棋的频率稳定在， ∴摸到黑棋的概率约为， 又∵总棋子数为枚，黑棋有10枚， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， 即白棋子有约40枚． 8． 【分析】本题主要考查了写出某些特征的分式，根据分式值为零的条件，当时分子为零且分母不为零，因此分子应含的因子，分母在时不为零． 【详解】解：当时，分式的值为0，因此分子必须为0，但分母不能为0， 设分子为，分母为a，则当时，分子，分母，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 9．/ 【分析】同分母分式相减，分母不变，分子相减后因式分解并约分即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 10．3或1或7或-3 【分析】先将分式通过拆分变形为整式与真分式相加的形式，转化为；再根据分式的值为整数，得出必须为整数，进而确定是5的约数，最后通过枚举5的所有整数约数求出的整数值． 【详解】解：， 是整数， 应是整数， ， 或或或， 解得：或或或． 11． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：， ． 12．， 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数 的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 13． 【分析】本题考查的是分式的应用，先计算原计划的时间为天，可得实际的时间为天，进一步可得答案. 【详解】解：由题意可得， 实际每天生产篮球为：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，属于工程问题，根据工作总量工作时间工作效率，结合总工作量为，即可列出正确方程． 【详解】解：设乙队单独施工需要个月，则乙队的工作效率为， 由题意可知，甲队单独施工个月完成总工程的，因此甲队的工作效率为， 甲先单独完成的工作量，之后甲乙两队共同工作半个月（即个月），总工作量为， 列方程得：， 整理可得：． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键． 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 16．， 【分析】本题考查了分式化简求值． 先对括号内的式子通分，再把除法化为乘法，化简得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17．见解析 【分析】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：（1）系数取各系数的最小公倍数；（2）凡出现的因式都要取；（3）相同因式的次数取最高次幂． 将两式系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，找出最简公分母，再通分即可． 【详解】解：错误：①的最后结果不能进行去分母，②的通分过程中符号出现问题，并且不能进行去分母． 改正：， 18．(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把代入方程并转化为整式方程，解方程并验证即可； （2）把方程转化为整式方程得，当或或时，方程无解，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为 去分母得： 检验：把代入最简公分母 是此时方程的解． （2）解：原方程去分母得： ①当即时原方程无解 ②把增根代入整式方程 得： 此时 ③把增根代入整式方程 得： 此时 综上所述，满足条件的值为或或． 19．(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 20．(1) (2)；5 (3)金额；理由见解析 【分析】（1）设猕猴桃的单价为x，根据泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤，列出方程，解方程即可； （2）根据两个人的购买方案，分别求出购买的猕猴桃平均价格即可； （3）设两次油价分别为a，b，分别求出两种方式下加油单价，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设猕猴桃的单价为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这种猕猴桃的单价为6元． （2）解：泰泰两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）， 顺顺两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）； （3）解：设两次油价分别为a，b．则选择相同油量加油的单价为， 选择每次相同金额的单价为， ， ∴按相同金额加油更合算． 学科网（北京）股份有限公司 $