专题12：函数与导数新定义问题讲义（五种角度定义新概念）-2026届高三数学二轮专题复习

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题12 函数与导数新定义问题 （五种角度定义新概念） 题型一：切线角度定义新函数 【例1】设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由; (3)当时，求证：函数为“函数”. 【跟踪训练】 1. （24-25华师大二附中高二期中）若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”． （1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”； （3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“” 2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 3．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 题型二：方程角度定义新函数 【例2】（2026届高三奉贤区一模）记分别为函数和的导数，存在，满足且,则称为和的一个“点”. （1）若函数与存在“点”，求实数的值； （2）证明函数与不存在“点”； （3）已知函数，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·上海徐汇·月考）定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”． (1)求与自身所有“零二值”的取值集合的子集； (2)求和的“一一值”的个数； (3)判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由． 2. （25-26杨浦区二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. （1）若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； （2）若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； （3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 3．若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 4. （25-26华师大附中高二期中）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 题型三：不等式角度定义新函数 【例3】函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． (1)判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 【跟踪训练】 1.（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 2.（2025上师大闵行分校高二期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 3. （25-26徐汇区二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. （1）设.求证：是的“2-调整函数”； （2）设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； （3）已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 4.（2026届高三闵行区一模）已知函数的定义域为,对于,若,且,则称为的一个“点”,记为的所有“点”构成的集合. (1)若分别判断与是否正确； (2)证明:“”的一个充要条件为“当时，”; (3)已知，其中,记.若,求的取值范围. 5.（2026届高三青浦区一模）已知函数定义域为,对于实数,定义集合, (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合、满足:，则称和互为对称集.证明:“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 6．（2025·上海奉贤·模拟预测）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ． (1)求证：函数不是“增函数”； (2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围； (3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”． 题型四：函数性质角度定义新函数 【例4】（25-26普陀区二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. （1）设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； （2）设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； （3）设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数． (1)若是R上的自律函数． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围； (2)已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由． 2. 已知初等函数的定义域为，令，若，，则是一个下凸函数. (1)分别判断是否是上的下凸函数？请说明理由； (2)已知，，，是公差不为0的等差数列，的定义域为，求证：为下凸函数是成立的充分不必要条件； (3)已知下凸函数的定义域为，且，，求证：，. 3. 已知函数的定义域为，区间，当时，如果，则称函数是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递增． (1)证明：函数是凹函数； (2)若函数是上的凹函数，证明：对于任意的和任意的，总有； (3)求证：，其中，均为正数． 4. 定义“下凸函数”：在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． (1)若是上的“下凸函数”，求实数的取值范围； (2)证明：函数在上为“下凸函数”； (3)已知正实数满足，求的最小值（用含的代数式表示）． 5.（2026届高三静安一模）已知函数的图像关于点成中心对称的充要条件是是奇函数.如果一个函数的图像关于点成中心对称,则称这个函数是点奇函数,其中点为对称中心.设函数 (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明:对于任意给定的实数，函数存在两个极值点:若是的极小值点,求出的所有极值点: (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心;若不是,请说明理由. 6. （2026长宁区二模）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 题型五：构造新函数 【例5】（25-26黄浦区二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合． （1）若，，求； （2）若，，且，求的最小值； （3）已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 【跟踪训练】 1. （25-26曹杨二中高二期中）对于一个函数和一个点，定义. （1）设，求函数的最小值； （2）设，若集合是双元素集，求的取值范围； （3）已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 2.（2026届高三宝山区一模）已知连续函数和,设,集合. （1）若指数函数的图像过点，且，求； （2）若，且在区间上存在极值点，求实数的取值范围,并判断是否属于,请说明理由; （3）若的导函数是上的严格减函数，，且函数在处的切线方程是.求证:“”的充要条件是“”. 3.（2026虹口区高三一模）已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当，求函数的零点: (2)当，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证:“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 4.记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)已知和在上“2次缠绕”，设，求的值； (2)设，若和在实数集上“3次缠绕”，求的取值范围； (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 1.（2026届高三松江区一模）已知函数,正常数,记. (1)当时,试判断函数在区间上的单调性,并说明理由; (2)若函数既存在极小值也存在极大值，求实数的取值范围； (3)求证:对于任意正整数，都有. 2.（2026届高三徐汇区一模）已知函数的定义域为,若其导函数在上是严格减函数,则称是一个“函数”. (1)设.分别判断是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列,且的各项都为正数,若定义在上的函数是“函数”，求证:; (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为.证明:函数在上是严格减函数. 3.（2026届高三崇明区一模）已知函数,其导函数是.对于任意,记曲线在点处的切线方程为.定义集合. (1)若，求集合； (2)若定义域且函数是偶函数，证明:若则； (3)设，若集合，求实数的取值范围. 4. （25-26闵行区二模）对于定义在上的函数，若存在实数对，对于任意的实数，都有成立，则称函数为“型函数”，点称为的“”点. （1）判断函数与是否为“型函数”（无须说明理由）； （2）是否存在“型函数”，其图象上的所有点都是的“点”，如果存在，求出所有满足题意的，如果不存在，说明理由； （3）设，函数是“型函数”，且的图象是一条连续曲线. 已知，点，都是的“点”. 证明：“对任意，当时，均有”是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 5.（2026届高三杨浦区一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意、， 均有，则称函数为压缩函数. （1）判断函数，是否为压缩函数？并说明理由； （2）若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； （3）已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意、，均有. 6. （24-25莘庄中学高二期末）已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）对于，求证：； （2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： （3）设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 7．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题12 函数与导数新定义问题 （五种角度定义新概念） 题型一：切线角度定义新函数 【例1】设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由; (3)当时，求证：函数为“函数”. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线方程； （2）利用反证法，假设切线是函数的一条“切线”，构造函数，根据导数研究函数的图像得假设不成立，从而得证； （3）设，求出在处的切线，构造函数，利用导数得出存在在处的切线与只有唯一公共点，从而得证. 【详解】（1），， ， 所求切线方程为，即. （2）（1）中所求切线不是函数的一条“切线”. 理由如下： 假设切线是函数的一条“切线”， 则方程，即只有一个解. 记函数，则只有一个零点. （方法一）， 当时，单调递增; 当时，单调递减; 当时，单调递增， 的极大值为，极小值为， 又时，， 函数有两个零点，这与其只有一个零点矛盾. 切线不是函数的一条“切线”. （方法二）， 函数至少有两个零点，这与其只有一个零点矛盾. 切线不是函数的一条“切线”. （3）证明:由（1）知， 设， 在处的切线方程为， 即， 只需方程， 即只有一个解， 令， 则， 令，则， 取，则， 单调递增，又， 函数只有一个零点，即只有一个解， 函数为“函数” 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点个数常用方法：（1）转化为相应方程根的个数：求出其根可得解；（2）根据导数求研究函数的单调性，画出函数大致图像，判断函数与x轴交点的情况；（3）转化为两个函数图像交点的个数：利用导数研究两个函数的图像，根据两个函数交点情况可得结果. 【跟踪训练】 1. （24-25华师大二附中高二期中）若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”． （1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”； （3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“” 【答案】（1）不是 （2）证明见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导可的，显然为单调递增函数，不存在两个不相等的实数，使得，所以不是“双切函数”； （2）易知函数为奇函数，为偶函数，所以必存在两个不相等的实数，且，使得，利用对称性可解得即为“双切点”， 为其“双切线”； （3）由是“双切函数”可得存在两个不相等的实数，使得，即函数不单调，再求导利用判别式即可求得充分条件为，同时也可证明必要性成立. 【小问1详解】 根据“双切函数”的定义可知，若是“双切函数”， 则存在两个不相等的实数，使得； 由可知，； 易知为单调递增函数， 所以不存在两个不相等的实数，使得； 即不是“双切函数”. 【小问2详解】 由可得； 显然为偶函数，且在上为单调递增； 所以必存在两个不相等的实数，使得，且； 不妨设两切点分别为， 易知函数为奇函数，又； 所以两切点关于原点对称； 即此时切线斜率， 即，解得或； 即存在两点满足条件，所以函数是“双切函数”， 此时，两点确定的直线方程即为“双切线”， 由直线的两点式方程可得即为函数的“双切线”. 故其“双切线”为. 【小问3详解】 充分性： 若是“双切函数”， 则需存在两个不相等的实数，使得； 令，即存在实数使得函数在定义域内有两个零点； 所以不单调，又， 即，可得，即； 所以充分性成立； 必要性： 因为是“双切函数”，设点，为其一对“双切点”， 函数在处的切线方程为， 所以， 即， 即， 因为，所以， ， 设，， 原式即， 由①可得， 代入②得， 化简得， ， 假设，则，原方程仅有一解， 所以， 所以，为方程的两个相异实根， 但由此一元二次方程的判别式， 即方程要么无实根，要么有两个相等的实数根，与，存在且不等矛盾， 所以假设不成立，即，所以必要性成立. 因此，“”是“双切函数”的充要条件是“” 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“双切函数”的定义，充分利用导函数和原函数之间的对应关系，并利用导函数零点个数解决原函数不单调问题，即可实现问题求解. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出直线，结合余弦函数性质可得当或当时都不符合要求，再结合导数的几何意义计算即可得解； （2）由题意可得、存在公切线，结合导数的几何意义即可表示出与有关等式，构造相应函数后借助导数研究其单调性即可得解； （3）由，可取上斜率为的切线，则可设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负即可得证. 【详解】（1）设直线：是的“上切线”， 则有恒成立，令， 则，即， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 故，令，解得， 有，即此时的切线为，又，故， 即的“上切线”的方程为； （2）设该直线的方程为，其在上的切点为， 在上的切点为， 对，有，对，有， 则， 即， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故是函数的“下切线”； 令 ，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故是函数的“上切线”； 则有，即有， 则， 整理得， 令， 则， 令，则， 故在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即，又时，， 即，即； （3）， 则， 令，， 设分别为的两根，则， 有，故， 则，在点处的切线为， 即， 同理可得，在点处的切线为， ， 由，则恒成立，即为其“下切线”； 同理可得， 由，则恒成立，即为其“上切线”； 综上所述，对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于取上斜率为的切线，设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负. 3．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 题型二：方程角度定义新函数 【例2】（2026届高三奉贤区一模）记分别为函数和的导数，存在，满足且,则称为和的一个“点”. （1）若函数与存在“点”，求实数的值； （2）证明函数与不存在“点”； （3）已知函数，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由. 【解析】（1）函数 所以 设为与的“”点,由且, 得 得 （2）函数，则. 由且 令 该方程无解 因此,与不存在“”点。 （3）对任意，设. 因为,且的图象是不间断的, 所以存在,使得,令,则. 函数, 则. 由且 得(**) 此时,满足方程组,即是函数与在区间内的一个“点”.因此,对任意,存在,使函数与在区间内存在“点”, 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·上海徐汇·月考）定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”． (1)求与自身所有“零二值”的取值集合的子集； (2)求和的“一一值”的个数； (3)判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由． 【答案】(1)； (2)2； (3)充要条件，理由见解析 【详解】（1）由题， 令即，解得或， 所以与自身所有“零二值”的取值共有3个，构成的集合为， 所以与自身所有“零二值”的取值集合的子集为. （2）由题和，令， 则当时，，即，解得（舍去）或； 当时，即即，解得（舍去）或. 所以和的“一一值”的个数为2个. （3）对于定义域为的函数，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的充要条件， 理由如下：任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’， 则任意x均满足且，又， 则（c为常数）， 所以，所以，充分性成立； 当时，对任意x均有且， 所以任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’必要性成立. 所以对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的充要条件. 2. （25-26杨浦区二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. （1）若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； （2）若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； （3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】利用赋值即可求证； 利用分离变量求值域，即可求得参数范围； 利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证. 【小问1详解】 因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； 【小问2详解】 由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； 【小问3详解】 由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 3．若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 【答案】(1)不是“3阶自和函数”. (2) (3)证明见解析 【详解】（1）对于，有. 如果存在，使得． 则必有， 令，则， 所以不是“3阶和函数”. （2）函数在区间上的值域为． 因为是在区间上的“2阶和函数”． 所以对任意，总存在唯一的，使得成立， 所以， 所以在上的值域必定包含区间，且当时，方程的解在上是唯一的. 又因为函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则必有，解得． 当时，在上单调递减，则必有，解得． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：. 综上所述，的取值范围为. （3）对，有． 如果存在，使得，则必有， 因为为区间上的“2阶和函数”， 所以，即，解得. 所以当时，函数， 所以函数的定义域为，且． 设， 则， 因为，所以． 所以在上单调递增，即在上单调递增，而． 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 而，当且时，． 所以. 设，则， 所以，又， 所以，所以． 因为且在上单调递增， 所以，即. 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，单调递增． 所以，则． 因为， 所以当时，，当时，. 所以， 整理得 由①②得，， 因为，所以，所以． 综上得证. 4. （25-26华师大附中高二期中）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“0跃点”函数的定义，可得方程在R上有3个不同的解，构造函数令，利用导数判断单调性，求出极值得解. （3）根据题意将问题转化为在R上恰有两根，再构造函数，借助导数求解作答. 【小问1详解】 函数的导函数为， 因为函数是“跃点”函数， 所以方程有解，即有解， 又，所以. 【小问2详解】 函数的导函数为， 由题意可得方程，即在R上有3个不同的解， 令，则，令，得或， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”， 所以方程，即在R上恰有两根， 令，则， 当时，，在R上单调递增，此时最多只有一个实根，不合题意； 当时，令，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，且， 又当时，，当时，， 要使得在R上恰有两根，仅需，即. 综上，实数满足的条件为且. 题型三：不等式角度定义新函数 【例3】函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． (1)判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)； (3)6. 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【详解】（1）不是，理由如下： 因为，则， 由于，即对任意的不恒成立， 所以函数不是上的“函数”. （2）因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 若对任意的，当时，都有成立， 不妨设，则，于是有， 即， 令，， 则存在，使得在上为增函数， 于是存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 而函数在上单调递增，所以，即， 另一方面，当，时，，， 可得知恒成立，满足题意， 所以实数的最大值为6. 【跟踪训练】 1.（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不一定，举出反例即可 【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可. 【详解】（1）因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. （3）不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 2.（2025上师大闵行分校高二期中）设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）为的充要条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义来判断即可； （2）根据函数，将问题转化为不等式问题，进一步转化为恒成立问题进行求解； （3）推导出为的充分条件，若成立，即对任意正整数，有：，记函数的最大值为．用反证法证明恒成立和恒成立，从而为的充要条件． 【小问1详解】 设定义域为的函数 在上可导，导函数为 ． 若区间及实数满足：，对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ，， ，在时恒成立， 是 上的函数． 【小问2详解】 实数满足：函数为上的函数， 则有，得， 函数，有在上恒成立， 在单调递减，在上， 所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 若成立，则对任意正整数，有：， 即 为上的函数，成立．故为充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：（2） 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与（2）矛盾． 则有恒成立，这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知， 但，所以， 于是． 对任意 ，可取一个与有关的正整数，使得， 由（2）知：． 于是成立，故也为的必要条件． 故为的充要条件． 【点睛】思路点睛： 本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，（1）中直接根据定义来判断，（2）将不等式问题转化为恒成立问题来求解；（3）巧用反证法来证明． 3. （25-26徐汇区二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. （1）设.求证：是的“2-调整函数”； （2）设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； （3）已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不一定，举出反例即可 【解析】 【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； 【小问2详解】 由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. 【小问3详解】 不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 4.（2026届高三闵行区一模）已知函数的定义域为,对于,若,且,则称为的一个“点”,记为的所有“点”构成的集合. (1)若分别判断与是否正确； (2)证明:“”的一个充要条件为“当时，”; (3)已知，其中,记.若,求的取值范围. 【解析】(1)由题意， 所以正确； 由不正确. (2)充分性:因为 当, 当， 所以 必要性:当时, 当 当 所以时,. 综上,“”的一个充要条件为“当时,”. (3)当时， 此时不存在点 当时， 此时不存在点 所以 所以 当时，不存在点 当时，，不存在点 当时, 此时, 当时, 此时在上单调递增，不成立; 当时, 所以在上单调递增，在上单调递减； 此时, 所以或 解得 当时, 所以在上单调递增，在上单调递减； 此时 所以或 解得 所以 综上,. 5.（2026届高三青浦区一模）已知函数定义域为,对于实数,定义集合, (1)若，求和； (2)给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围； (3)若集合、满足:，则称和互为对称集.证明:“函数为偶函数”的充要条件是“对任意实数与互为对称集”. 【解析】（1）， （2）首先，由知，∴．其次，当时，由可以推得，∴．因此只需保证对任意，均有． （2026届高三长宁区一模）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点. (1)设，求点的横坐标； (2)设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； (3)设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点,求直线的方程. 【解析】(1)抛物线，所以 (2)线段中点的纵坐标为 所以 所以 所以 所以 (3)如图所示： 线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点,则四点共圆； 所以 因为 所以直线方程为： Way2标答：设，，， 由已知，AB⊥MN，直线AB与MN斜率均存在， 设直线AB方程为，直线MN方程. 代入抛物线方程得， 所以，.① 因为以MN为直径的圆经过点A、B，所以. ， 因为，，，，且四个点互不相同 所以， 得是方程两个根 所以②. 由①②得，. 所以直线AB的方程为或. ，令得． 在和上，，严格增； 在上，，严格减． 时，取得极小值，且方程即的另一个根为． 结合图像可知，的取值范围是 （3）必要性． 若函数为偶函数，则对任意实数， ， 所以与互为对称集． 充分性． 若对任意实数，与互为对称集．下面证明对任意，． 假设， ①若，则，则，∴，矛盾； ②若，则，则，∴，矛盾． ∴假设不成立．∴对任意，．∴函数为偶函数． 6．（2025·上海奉贤·模拟预测）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ． (1)求证：函数不是“增函数”； (2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围； (3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【详解】（1）取，则，因为， 故函数不是“增函数”； （2）因为函数是“增函数”，故任意的，， 有恒成立， 即恒成立 ， 所以恒成立， 又，，故，则， 则，即； （3）记， 根据题意，得， 可得方程的一个解， 令， 则，令， 则， 故在上是严格增函数， 又因为，故在恒成立，故， 故在上是严格增函数，所以是唯一解， 又，此时在处的切线方程即为， 故成立； 设，其中， ，由在上是严格增函数以及， 得， 即 ， 所以在上是严格增函数， 因为，则,故，即得证. 题型四：函数性质角度定义新函数 【例4】（25-26普陀区二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. （1）设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； （2）设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； （3）设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【答案】（1）函数和函数为T函数，理由见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据T函数的定义判断； （2）由T函数的定义求得，然后由基本不等式求得最小值； （3）先求得和的最小值和最小值点，根据题意得出，， 然后消去得关于的等式，构造函数使用同构法得出，，再利用导数求得的范围． 【小问1详解】 ，， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数； 【小问2详解】 ，， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； 【小问3详解】 是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是． 【跟踪训练】 1.已知函数的导函数为，的导函数为，对于区间A，若与在区间A上都单调递增或都单调递减，则称为区间A上的自律函数． (1)若是R上的自律函数． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）若a取得最小值时，只有一个实根，求实数t的取值范围； (2)已知函数，判断是否存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数，若存在，求出b与c的关系及b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）（i）根据函数新定义，列式求解，即可得答案；（ii）利用导数判断函数的单调性，求出其函数值情况，即可求得答案； （2）求出的导数以及二次导数，利用导数判断函数单调性，结合函数新定义，即可判断出结论. 【详解】（1）（ⅰ）因为， 所以，， 因为是R上的自律函数， 所以恒成立，恒成立， 所以 解得，所以a的取值范围是． （ⅱ）当时，， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当或时，，单调递增， 因为，，， 所以若只有一个实根，t的取值范围是． （2）由得，， 令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上不单调，且是及上的自律函数， 得， 则，，     所以时， ， 在上单调递增，与已知矛盾， 所以不存在b，c及，使得在上不单调，且是及上的自律函数． 2. 已知初等函数的定义域为，令，若，，则是一个下凸函数. (1)分别判断是否是上的下凸函数？请说明理由； (2)已知，，，是公差不为0的等差数列，的定义域为，求证：为下凸函数是成立的充分不必要条件； (3)已知下凸函数的定义域为，且，，求证：，. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），， 因为当时，， 所以不是上的下凸函数. （2）令，不妨设，，，的公差为且， 充分性：因为定义在上的函数是下凸函数， 所以，，即在上单调递增， 设，则， 所以在上单调递增， 故，即， 所以， 即成立， 所以充分性成立； 必要性：令，，，，，，， 则，再令，则，当时，， 所以不是下凸函数， 但 ， 所以， 所以，必要性不成立. （3）下凸函数的定义域为， 所以在上单调递增， ，设，则， 当时，；当时，； 函数在内单调递减，在内单调递增， 所以， 即， 因为，， 所以， 所以， 假设，使，则当时，， 这与，矛盾，故不存在使成立， 所以，. 3. 已知函数的定义域为，区间，当时，如果，则称函数是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递增． (1)证明：函数是凹函数； (2)若函数是上的凹函数，证明：对于任意的和任意的，总有； (3)求证：，其中，均为正数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1），定义域为， ， 设，则， ，，， 在上是单调递增函数，即在上是单调递增函数， 根据题中凹函数的充要条件，可知函数是凹函数. （2）设，，不妨设， ，， ， ， ， ，， 由凹函数的定义，， ，， ，， 转化为， 转化为， ，， 转化为， ， ， ， ， . （3）要证明，即证明， 即证明， 即， 即， 即， 即， 当时，，； 当时，，； 综上可得，，其中，均为正数. 4. 定义“下凸函数”：在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． (1)若是上的“下凸函数”，求实数的取值范围； (2)证明：函数在上为“下凸函数”； (3)已知正实数满足，求的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，可得，则. 因为是上的“下凸函数”， 所以对任意的恒成立， 即恒成立，所以在上恒成立. 令，则函数在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为. （2）由，可得，. 令， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 根据“下凸函数”的充要条件可知，函数在上为“下凸函数”． （3）令， 则，即是增函数，所以. 又， 考虑函数，求导得， 则. 当时，，则， 故在上为“下凸函数”， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为． 5.（2026届高三静安一模）已知函数的图像关于点成中心对称的充要条件是是奇函数.如果一个函数的图像关于点成中心对称,则称这个函数是点奇函数,其中点为对称中心.设函数 (1)若函数是点奇函数，求实数的值； (2)证明:对于任意给定的实数，函数存在两个极值点:若是的极小值点,求出的所有极值点: (3)若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心;若不是,请说明理由. 【解析】(1)由题知：为奇函数 所以 所以 化简得： (2) 所以函数存在两个极值点 解得： 当 令 此时在单调递增，在单调递减； 在处取得极大值，不符，舍去； 所以 令 此时在单调递增，在单调递减； 在处取得极大值，在处取得极小值； 所以极值点为 (3)由（2）得： 所以 所以为奇函数 当时， 为奇函数 综上： 6. （2026长宁区二模）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】（1） （2）或或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论，，，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【小问1详解】 由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. 【小问2详解】 由题意得, 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当时，在区间上单调递减， 此时，满足； ③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或或. 【小问3详解】 必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 题型五：构造新函数 【例5】（25-26黄浦区二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合． （1）若，，求； （2）若，，且，求的最小值； （3）已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 【答案】（1）． （2）． （3）证明见详解． 【解析】 【分析】（1）先求出 的解析式，再转化为二次函数值域问题求解. （2）由题设可知函数 的值域为非负实数集，从而其最小值为 ，再据此构造极值点并结合基本不等式求最小值. （3）法一：由 得 ．取 ，构造 ，证明其为常量，从而得到 ．再结合单调性与连续性，求出 ，进而求得 . 法二：由 得 ．再分正整数、零、负整数三种情况迭代，证明 ．结合单调递增与图像连续，得到 ，从而求得 . 法三：先由 推出 ．再对正整数、负整数分别迭代，得到对任意 ，都有 ．最后结合连续性与单调性确定 的值域，进而求得 . 【小问1详解】 由题意，. 因为 ，所以 . 当 时，等号成立．故 =. 【小问2详解】 令 . 由题设可知， 的值域为非负实数集，从而其最小值为 . 设 时取到最小值，则 ，且 ， 因为所以. 又由 ，得即. 从而. 由 可得故 令 ，则当且仅当 时，等号成立. 此时 ，由 得 ，于是 ，又 ，故 ．所以 的最小值为 . 【小问3详解】 法一：由 可知，对任意 ，都有. 而所以. (1) 已知存在正数 ，使得. 对任意整数 ，令. 由式（1）可得即. 所以 为常量，即对任意 ，都有. 于是. (2) 下面证明 . 先证 对任意 都成立． 任取 ，必存在 ，使. 因为 在 上为增函数，所以. 故对任意 ，都有． (3) 再由式（2）知且. 由于 的图像是连续曲线，且 在 上单调递增，因此 的值域为． 又因为所以 当 取遍 时， 也取遍 ． 故. 法二： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以． (1) 已知存在正数 ，使得. 先证明：对任意整数 ，都有． (2) 当 时，由式（1）反复应用可得. 当 时，显然. 当 时，设 （），则由式（1）得, 故. 反复使用上式可得. 所以式（2）对任意整数都成立． 由式（2）知且. 又因为 在 上单调递增，且图像连续，所以. 由 ，可得. 于是. 法三： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以． (1) 已知存在正数 ，使得. 由式（1）对正整数 反复迭代，可得. 从而. 同理，对负整数部分可得, 于是对任意 ，都有． (2) 由式（2）知且. 又因为 在 上连续且单调递增，所以. 再由可得. 故. 【跟踪训练】 1. （25-26曹杨二中高二期中）对于一个函数和一个点，定义. （1）设，求函数的最小值； （2）设，若集合是双元素集，求的取值范围； （3）已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 【答案】（1） （2） （3） 在 上单调递减. 【解析】 【分析】（1）直接把写成关于的式子，再利用基本不等式求最小值. （2）先把方程化简，再令，转化为函数在上与水平直线的交点个数问题，由导数讨论单调性后确定的范围. （3）先对固定的分别写出函数和，由证明公共最小值点只能是，再由极值点处导数为得到，从而判断的单调性. 【小问1详解】 由题意，，其中. 因为，当且仅当，即时取等号. 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意，. 令，则，原方程化为. 设，则. 所以在上递增，在上递减，在上递增. 又，，. 因为集合是双元素集，所以方程恰有两个不同实数解. 而，当时对应两个实数解，当时只对应一个实数解. 因此方程在上必须恰有一个正根. 由函数的单调性可知，当时，方程在上恰有一个正根； 当时，方程在上至少有两个正根；当时，方程在上恰有一个正根. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 对任意固定的，设，则，. 由且非空，取. 因为，，所以，且. 又，，于是有. 另一方面，. 代入，得. 所以，从而. 因此，即同时是函数和的最小值点. 因为可导，所以在处导数为 . 由，可得. 令，得，所以. 又因为对任意，都有，所以对任意，都有. 故函数在上单调递减. 2.（2026届高三宝山区一模）已知连续函数和,设,集合. （1）若指数函数的图像过点，且，求； （2）若，且在区间上存在极值点，求实数的取值范围,并判断是否属于,请说明理由; （3）若的导函数是上的严格减函数，，且函数在处的切线方程是.求证:“”的充要条件是“”. 【解析】（1）设,由题意可知,则 所以 由得,即. （2） 设 因为,所以在上是严格增函数 所以, 又因为在上存在极值点 所以, 解得. 由得,,则 所以, 因为,所以, 从而,即. （3）①已知，则当时， 因为是连续函数且,所以 所以是的一个极大值点,故 又, 于是 所以在处的切线方程为: 代入化简得， 即 ②已知 又在处的切线是,即 所以,所以 因为 又因为是上的严格减函数 所以也是上的严格减函数 当时,, 所以在上严格减,则 当时,, 所以在上严格增,则 所以,必要性成立. 综上即证. 3.（2026虹口区高三一模）已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当，求函数的零点: (2)当，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证:“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 【解析】（1） （2） 若,则(舍) 若,则(舍) 必要性 对称轴: 在上严格增 （3）必要性:不妨设 要证 只要证 只要证 易知 取,得证 充分性:要证严格增函数 只要证 只要证 只要证 只要证 取,得证 4.记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)已知和在上“2次缠绕”，设，求的值； (2)设，若和在实数集上“3次缠绕”，求的取值范围； (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由和在上“2次缠绕”知存在，使得，当且仅当时等号成立 因为，当和时，， 对任意，当且仅当和时，等号成立， 所以． （2）设，因为和在上“3次缠绕”， 所以存在互异的三个数，使得，当且仅当时等号成立， 所以是的三个零点． 注意到，所以是的一个零点． ，令 ①当时，在上单调递增，是的唯一零点，不合题意． ②当时，，在上单调递减，是的唯一零点，不合题意． ③当时，，则关于的方程存在两个不相等的根，不妨令， 当时，单调递减；当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上递减，所以，即，所以存在． 又，，所以存在． 所以存在互异的三个数，使得恒成立，当且仅当时等号成立，即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是． （3）取，设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意，存在， 其中，使得，且和在上“次缠绕”． 1.（2026届高三松江区一模）已知函数,正常数,记. (1)当时,试判断函数在区间上的单调性,并说明理由; (2)若函数既存在极小值也存在极大值，求实数的取值范围； (3)求证:对于任意正整数，都有. 【解析】(1)当时,, 所以 所以函数在区间上单调递增； (2) 所以 因为函数既存在极小值也存在极大值； 所以在有两个不相等的实根； 令在有两个不相等的实根； 所以在有两个交点； 如图所示： 所以 (3)由(1)函数在区间上单调递增； 所以在恒成立 所以 即 所以 所以 因为 所以对于任意正整数，都有 2.（2026届高三徐汇区一模）已知函数的定义域为,若其导函数在上是严格减函数,则称是一个“函数”. (1)设.分别判断是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列,且的各项都为正数,若定义在上的函数是“函数”，求证:; (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为.证明:函数在上是严格减函数. 【解析】(1) 在严格减，故是“函数” 严格增,故不是“函数” (2)已知是公差为的等差数列 所以 所以要证 等价于证 构造函数 因为是“函数”,且在严格减, 所以 所以在严格减 所以 因为 所以 即 (3)由题知： 在严格减； 假设存在使得，，则 在严格增，在严格减； 若，不妨取，则 所以与不等式的解集为矛盾； 若，不妨取，则 所以与不等式的解集为矛盾； 所以假设不成立； 所以 3.（2026届高三崇明区一模）已知函数,其导函数是.对于任意,记曲线在点处的切线方程为.定义集合. (1)若，求集合； (2)若定义域且函数是偶函数，证明:若则； (3)设，若集合，求实数的取值范围. 【解析】(1)由函数，可得，则且可得， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又由，可得，解， 解得或，所以或. (2)解：因为函数是偶函数，所以，且， 则在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为，即， 又因为且，所以， 因为，则，即， 要证明，即证明， 因为， 所以，即. (3)解：由函数，可得， 当时，可得，所以切线方程为，即，因为集合，所以的解集为， 即的解集为， 令，则的解集为，且， 又由， 若，当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，满足的解集为； 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，不满足的解集为， 综上可得，实数的取值范围为. 4. （25-26闵行区二模）对于定义在上的函数，若存在实数对，对于任意的实数，都有成立，则称函数为“型函数”，点称为的“”点. （1）判断函数与是否为“型函数”（无须说明理由）； （2）是否存在“型函数”，其图象上的所有点都是的“点”，如果存在，求出所有满足题意的，如果不存在，说明理由； （3）设，函数是“型函数”，且的图象是一条连续曲线. 已知，点，都是的“点”. 证明：“对任意，当时，均有”是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 【答案】（1）不是“型函数”，是“型函数” （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“型函数”定义直接验证等式能否恒成立即可； （2）通过条件隐含的恒等式，得到只有两种取值，然后分情况讨论即可； （3）必要性的证明只需要利用单调性证明不等式成立即可，充分性的证明则需要先证明在上的单调性，再通过对数变换转化为中心对称函数，进而利用连续性不断扩展得到整个实数集上的单调性. 【小问1详解】 对于，考查，为随变化的变量， 不可能恒等于某个常数，所以不是“型函数”； 对于，考查，取 即可满足恒成立，所以是“型函数” 【小问2详解】 依题意这样的函数意味着对于任意实数和，都有， 令，可得，所以对任意实数，只能取或， 若存在使得，由是“点”可知对任意实数成立， 又因为只能取或，所以且对任意实数成立， 也即对任意实数成立，反过来函数确实满足恒成立； 若对任意实数都有，此时函数也满足恒成立， 综上所述，满足题意的有和. 【小问3详解】 由点是的“点”可知恒成立，取得，同理可得， 因为，所以，所以有，，已知，所以即， 必要性，若函数在上为严格减函数，当时，有， 所以，，，所以， 充分性，对任意，时，均有， 可知在上，所以在上严格单调，又因为，所以在上严格递减， 设，则有即关于中心对称， 同理有即关于中心对称，因为严格递增， 所以根据复合函数单调性可知在上严格递减，同时因为连续且，所以也连续， 于是可以通过中心对称得到在和上严格递减，不断往两边扩展， 即可得到在上严格递减，所以在上严格递减， 所以“对任意，当时，均有” 是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 【点睛】中心对称可以保持函数的单调性，若函数存在两个对称中心，则对称中心之间的单调性可以通过不断对称扩展到整个定义域上. 5.（2026届高三杨浦区一模）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意、， 均有，则称函数为压缩函数. （1）判断函数，是否为压缩函数？并说明理由； （2）若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； （3）已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意、，均有. 【解析】（1）函数是压缩函数 理由:对任意,易知 所以 （2）由题意，，都有.显然，当时，符合.不妨设,则,即. 设,在上为减函数,,在上为增函数. 所以,即. 所以,即. 所以的取值范围是 （3）证明:必要性:已知为单调函数，不妨设在上为增函数任取,不妨设,则,由为增函数所以, 进而 充分性:已知任意,均有 假设不为单调函数, 则存在,使得或, 不妨设,取实数满足 记,由于 可知:所以, 若,记,否则记 重复上面的操作,可以得到区间满足:,对任意. 且区间的长度. 因为函数为压缩函数 可得:, 又,记, 所以对任意恒成立. 取,则,矛盾! 所以为单调函数. 6. （24-25莘庄中学高二期末）已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）对于，求证：； （2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： （3）设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）举出实例即可； （2）令，时不合要求，，求导得到单调性，求出，故，即，令，求导得到其单调性，得到，故； （3）设，，与都存在最小值，且最小值相等，设在处取得最小值，在处取得最小值，故，即，结合在R上严格增，若，得到，要想恒成立，需满足且，由于的任意性，可知是偶函数，若，此时直线与重合，是偶函数满足要求，得到结论 【小问1详解】 当时，， ，对恒成立，故； 【小问2详解】 ，令， 则， 当时，，故在R上单调递增， 无最小值，不合要求， 当时，令，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为直线“距离”不小于2，故， 即，令，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故； 【小问3详解】 设，， 若对任意，都有，直线与的“距离”相等， 即与都存在最小值，且最小值相等， 设在处取得最小值，在处取得最小值， 故，， ， 其中，， 则，， 故，， 若，因为在R上严格增，所以，故， 要想恒成立，需满足且， 由于的任意性，可知是偶函数， 若，此时直线与重合，是偶函数满足要求， 综上，是偶函数. 7．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【详解】（1）当时，（）， 则 当时，，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $