专题14：导数与数列综合压轴五种考法讲义-2026届高三数学二轮专题复习（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题15 导数与数列综合 题型一：曲线切线与坐标轴交点坐标形成数列（牛顿迭代法） 【例1】（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【详解】（1），则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； （2）作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，； （3），令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列， 【跟踪训练】 1. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.    (1)若函数，取作为的初始近似值，求的2次近似值； (2)若函数，取作为的初始近似值，点，数列是由，，，，构成的，记：，.回答以下问题： （i）求数列的通项公式，并将的长度用表示； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）证明见解析 【详解】（1）由得，则，又，得， 故在处的切线的方程为：， 令，得到，所以，得到， 所以，在处的切线的方程为：， 令，得到，故r的2次近似值为； （2）（i）由，得， ，则，，得， 同理：在点处的切线斜率为， ，将代入得， 所以或， 若，则重合，与题设矛盾，故舍去， 故，故数列是首项为，公比为的等比数列， 得到， 由抛物线的定义可得， 故； （ii）由题意得， 由（i）知， 得， 结合时，， 可得，故， 所以，将代入， 得 . 2.（25-26奉贤区二模） 设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． （1）若，，求； （2）求证：数列是严格递减数列； （3）若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）对于，当，；当，；当， 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可. （2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明. （3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小. 【小问1详解】 已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. 【小问2详解】 设，，，，所以， ， 则直线为. 令，则. ， 因为，且， 所以， 所以数列是严格递减数列. 【小问3详解】 当时，，，令， 则， 令. 所以. 构造函数，令，， 求导， 构造函数，，所以单调递增，且， 所以，所以函数在上单调递增， 当，， 根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性， 当，，此时； 当，，此时； 当，，此时. 3. （24-25建平中学高二期末）牛顿法又称切线法，是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是方程的解，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为．称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，取为方程近似解．已知函数，其中． （1）当时，试用牛顿法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留两位小数） （2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题． （ⅰ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ⅱ）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：． （参考数据：时，） 【答案】（1）－1.35 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数，再根据题设定义，即可求解； （2）（i）点的坐标为，根据条件可得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得，即可求解；（ii）根据条件，先证明，进而证明，即可求解. 【小问1详解】 当时，令， 则，所以，又， 所以曲线在处的切线为， 令，得，则． 又， 曲线在处的切线为， 令，得，则， 故用牛顿迭代法求原方程满足精度的近似解为－1.35． 小问2详解】 （ⅰ）设点的坐标为，则，即， 所以，得到，解得，则， 又，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 令，即，则． 因为在上单调递减，所以在上单调递减． 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以对任意的正实数都有，即当时，都有． （ⅱ）因为在上单调递减，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是在的极大值点，也是在的最大值点， 即． 又，所以当方程有两个根时， 必满足，且， 曲线过点和点的割线方程为． 下面证明：． 设， 则，令，得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，， 在上单调递减，， 所以当时，，即． 因为，所以，解得①． 曲线过点（1，n－1）和点的割线方程为． 下面证明：． 设， 则，即上单调递减， ． 因为，且，即和都在的严格减区间内， 所以，即， 所以，即． 由零点存在性定理可知，存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，， 在上单调递减，， 所以当时，，即． 因为，所以，解得②． 由②①，得， 即证得． 题型二：曲线与直线交点横坐标形成数列 【例2】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和 (1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围. (2)若函数和有相同的最小值，求的值 (3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 【答案】(1)(2)1 (3)存在 【分析】（1）求导，然后根据导函数不大于零恒成立，转化为最值求解即可； （2）分别求出两函数的最值，根据最值相等构造函数，求导研究函数单调性，进而可得的值； （3）求导研究函数和的单调性，及最值，设出其交点，进而求出三个不同的交点，根据等式可证明等差数列. 【解析】（1）恒成立， 因为， 所以， 则的取值范围为； （2）定义域为， ，， 若，则，单调递增，无最小值， 故， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故， 的定义域为， ，， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故， 函数和有相同的最小值 ， ， 化为， 令，， 则， ， 恒成立， 在上单调递增， 又，仅有此一解， ； （3）（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 设， 则，当时，， 所以函数在上单调递增，因为， 所以当时，恒成立，即在时恒成立， 所以时，， 因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减， 所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为,， 此时可作出函数和的大致图象， 由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 直线必经过点,，即， 因为，所以，即， 令得， 解得或，由，得， 令得，解得或，由，得， 所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为，，， 因为，所以， 所以，，成等差数列． 存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是找到两函数的交点对应的相关等式，才能求出3个交点时的横坐标. 【跟踪训练】 1．（2025·上海·二模）已知，函数． (1)若，求的单调区间； (2)是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (3)已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 【详解】（1），则函数， ，令，则 ； 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 所以函数的单调增区间：；单调减区间：； （2）函数，则， 由（1）可知，的单调性为：在上单调递减，在上单调递增. 要使有最大值，则， 所以． ，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以．所以，则． 令，， 此函数在上单调递减，且，所以． （3）证明：由的单调性，可知． 又当时，知，从而． ． 设，，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即当时，， 所以当时，， 当时，． 为了体现代数证明的严谨性，下面通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标． 如果，那么由（*）知，从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 如果，那么由（**）知， 从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 由上可知，要证，即证， 则，又，成立，证毕． 2.定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数. (1)当时 （i）判断的奇偶性，并求在的极值； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 【答案】(1)（i）偶函数，极小值为，无极大值；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由奇偶性的定义，结合求导确定函数单调性即可求解；（ii）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即可. （2）利用导数几何意义得，，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下构造函数利用导数确定单调性，从而得出缩小的范围，再由不等式的性质证明结论即可. 【详解】（1）（i）当时，， 因为，故是偶函数， 由，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在的极小值为，无极大值.    （ii）由（i）得，令，则， 对满足方程的有，所以， 设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， （为奇数） 0 + （为偶数） + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根， 且满足，， 所以， 因为，，， 则，由，可得， 故得证. （2）由题意得， 当时，， 设对应的切点为，， 对应的切点为，， 由于，所以，， 由余弦函数的周期性，只要考虑的情形， 又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形， 则， ， 其中，得到， 又，， 即，， 当时，，， 令（）， 则，， 在上单调递减，又，所以， 所以，此时，则， 故得证. 题型三：函数递推数列 【例3】（24-25上海实验学校高二期末）已知A，B，C是函数图象上不同三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． （1）当时，求函数在处的切线方程 （2）若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； （3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求解即可； （2）设，，，故只需判断的符号即可； （3）由题意，证明得到，放缩即可得证. 【小问1详解】 ，，则切线方程为； 【小问2详解】 设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以； 【小问3详解】 ，则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故 【跟踪训练】 1. （25-26嘉定区二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数． （1）证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心； （2）设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数； （3）在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用中心对称性恒等式进行证明即可； （2）利用求导，结合不等式恒成立可确定参数取值； （3）利用拉格朗日中值定理，构造递推数列关系，结合迭代法可证明不等式. 【小问1详解】 由​，得 ​，求和可得：， 则对任意实数x，有， 即图像的对称中心为： ； 【小问2详解】 由题意可得： ， 求导得：， 要使得在上是减函数，则， 因为，所以，即， 又因为，所以； 【小问3详解】 构造，， 则， 所以在上单调递减， 又因为，， 且在上连续递减，结合零点存在定理， 可知存在唯一实数，使得， 再由，当且仅当时取等号， 根据拉格朗日中值定理，对任意有：， 又因为，，所以对任意，恒有不等式成立， 则由迭代法，结合不等式性质可得： ， 因为，即，， 所以， 因此，即问题得证. 2. （25-26金山区二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． （1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； （2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； （3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）2； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用不等式性质求出函数的值域，利用定义判断即可； （2）二次函数在闭区间的最值在顶点或端点取得，只需保证即可； （3）可先利用零点存在性定理证明存在性，再用反证法证明唯一性，最后根据证明. 【小问1详解】 由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； 【小问2详解】 由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为； 【小问3详解】 由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 3．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数． (1)证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心； (2)设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数； (3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）利用中心对称性恒等式进行证明即可； （2）利用求导，结合不等式恒成立可确定参数取值； （3）利用拉格朗日中值定理，构造递推数列关系，结合迭代法可证明不等式. 【详解】（1）由​，得 ​，求和可得：， 则对任意实数x，有， 即图像的对称中心为： ； （2）由题意可得： ， 求导得：， 要使得在上是减函数，则， 因为，所以，即， 又因为，所以； （3）构造，， 则， 所以在上单调递减， 又因为，， 且在上连续递减，结合零点存在定理， 可知存在唯一实数，使得， 再由，当且仅当时取等号， 根据拉格朗日中值定理，对任意有：， 又因为，，所以对任意，恒有不等式成立， 则由迭代法，结合不等式性质可得： ， 因为，即，， 所以， 因此，即问题得证. 4．（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【思路分析】（1）首先求的导数，再根据等比数列的定义，即可证明； （2）首先求和集合，再利用导数讨论函数的单调性，由，讨论得到取值范围； （3）首先证明必要性，若函数为偶函数，根据偶函数的性质，证明，再证明充分性，若对于任意正实数，均有，分和两种情况证明. 【规范答题】（1），因为， 所以是以为公比的等比数列； （2），所以 且 令 则得：在严格增，在严格减 ①当时，，所以与矛盾； ②当时，，所以] 令 则，所以在上严格减，所以， 而当时，,从而矛盾，综上，不存在正数，使得. （3）必要性：若为偶函数，则 ， 当，因为，故； 同理可证，故. 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为中最小元素为， 又，则对任意成立， 则， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， 最小元素是，且最小元素是， 则 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 题型四：数列“累加型”不等式证明 【例4】（24-25洋泾中学高二期中）已知函数， （1）当时，求函数的单调递减区间； （2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若数列满足，，记的前项和为，求证：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，因为，所以显然不成立，先证明因此时，在上恒成立，再证明当时不满足题意，从而可得结果；（3）先求出等差数列的前项和为，结合（II）可得，各式相加即可得结论. 【解析】（1）由，得.所以 令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间为 . （2）由得， 当时，因为，所以显然不成立，因此. 令，则，令，得. 当时，，，∴，所以，即有 因此时，在上恒成立. ②当时，，在上为减函数，在上为增函数， ∴，不满足题意. 综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是. （3）证明：由知数列是的等差数列，所以 所以 由（2）得，在上恒成立. 所以. 将以上各式左右两边分别相加，得 .因为 所以 所以. 【跟踪训练】 1. 设函数，. （1）证明：. （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析. 【解析】 （1）证明：令函数，， ， 所以为单调递增函数，， 故. （2），即为， 令，即恒成立， ， 令，即，得. 当，即时，在上单调递增， ， 所以当时，在上恒成立； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以不恒成立. 综上所述：的取值范围为. （3）证明：由（1）知， 令，，， ，即， 故有， ， … ， 上述各式相加可得. 因为， ，， 所以. 2.设函数． 求的单调区间； 当时，若对任意的，都有，求实数的取值范围； 证明不等式. 【答案】（1）的递减区间为，递增区间为；（2）；（3）详见解析 【解析】 函数的定义域为， 令，则， 当时， 递增区间为，没有递减区间；[来源:Zxxk.Com] 时，当时，，当时，， 所以的递减区间为，递增区间为 ，即， ，， 原不等式等价于 对恒成立，令， 则对恒成立， 时，， 故所求a的范围为     由知不等式对任意的和恒成立， 则对任意的恒成立，令得： ， ，2，，n，再迭加即可， 得 3.已知函数，其中． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a=1时，证明：； （3）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数） 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】 （1）函数的定义域为， ①当时，，所以在上单调递增 ②当时，令，解得： 当时，， 所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2）当时， 要证明，即证，即 设则，令得， 当时，，当时， 所以为极大值点，也为最大值点 所以，即 故 （3）由（2）（当且仅当时等号成立） 令， 则 所以 即 所以 4. 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间 （2）当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围 （3）求证：（其中是自然对数的底数） 【答案】（1）增区间，减区间；（2）见解析 【解析】（1）常规解法，求出单调区间找最值 ,令求出单调区间如下： 增 减 （2）解：函数图像上的点都在区域内， 条件等价于,恒成立，即 令 令即 ① 时， 不符合题意 （此时发现单调性并不能直接舍掉的情况，但可估计函数值的趋势，恒为正，而早晚会随着值的变大而为正数，所以必然不符合题意.在书写时可构造反例来说明，此题只需即可，所以选择） ② 时，即 在单调递减 ，符合题意 综上所述： （3）思路：观察所证不等式，左边连乘，右边是，可以想到利用两边取对数“化积为和”，同时利用第二问的结论.第二问给我们提供了恒成立的不等式，时，，取，即，则可与左边的求和找到联系. 解：所证不等式等价于 由（2）可得，令，即 （左边可看做是数列求和，利用结论将不等式左边的项进行放缩，转化成可求和的数列——裂项相消） 不等式得证 【名师点睛】（1）第二问中代数方法与数形结合方法的抉择（体会为什么放弃线性规划思路），以及如何将约束条件转变为恒成立问题 （2）对数运算的特点：化积为和.题目中没有关于乘积式的不等关系，于是决定变为和式 题型五：等差数列与等比数列判别与应用 【例5】（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 【思路分析】（1）根据定义和等差中项的性质列等式，讨论的范围化简等式，即可求得的值； （2）根据定义和等差中项的性质列等式，可得，进一步根据等差中项性质列关于的等式即可证明. （3）已知，为曲线，构造新函数，，即有解即可.讨论的范围，利用导数讨论函数的单调性和零点，即可得解. 【规范答题】（1），，， 因为，所以， ①不成立； ②，不存在； ③； ④不成立. 解得. （2），① ，② 两式相乘得，解得， 代入①得， 则成立，是曲线. （3）在上有解， 令，， ①当时，，，解得，有零点； ②当时，，， 由零点定理知，上存在使，有零点； ③当时，若，则， 因为在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以，，无零点； 若，又，有， 得，， ，在上为严格增函数， 注意到， 由零点定理知，若有零点，则， 解得，又，故， ④当时，，，为严格增函数，，无零点； 综上，. 【跟踪训练】 1．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 2．（2025·上海徐汇·一模）已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． (1)设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 【答案】(1)函数为“函数”，函数不是“函数” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）要证，即证，构造函数，其中，利用“函数”的定义结合导数分析函数在上的单调性，即可得出结论； （3）利用反证法，假设不是减函数，分两种情况讨论，为增函数、不单调，结合“函数”的定义分析函数的单调性，分析函数的函数值变化，对不等式的解集进行分析，推出矛盾，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为，其导函数在上为减函数， 函数的定义域为，其导函数在上为增函数， 故函数为“函数”，函数不是“函数”. （2）因为数列是公差为的等差数列， 所以，，， 要证，即证， 设函数，其中，则， 因为函数为“函数”，则函数在上为减函数，且， 所以，故对任意的恒成立， 故函数在上为减函数， 又因为对任意的，，所以， 即，故. （3）假设不是严格减， 的解集为， 不可能严格增，否则解集中必包含正无穷大， 只能有增有减， 使得， 严格减， ∴当时，严格增， 当时，严格减， 取，求处切线方程， ,即， 令,得， 构造函数， 严格减， 当时，严格增， 当时，严格减， ，即，即（当时，取等）， 而，结合，得严格增， ∴当时,， 与的解集为矛盾， ∴假设不成立，即严格减. 3．（2025·上海徐汇·三模）已知，函数. (1)当时，求的值域； (2)若函数在区间上是严格增函数，求a的最大值； (3)设.方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求所有满足条件的u的值；若不能，说明理由. 【答案】(1)的值域为； (2)a的最大值为； (3)或满足条件，理由见解析. 【分析】(1)结合二次函数性质和正弦函数的性质可求的值域；(2)由已知可得在上恒成立，通过换元及分离变量结合不等式与函数关系，可求a的最大值；(3)结合已知条件及正弦函数图象及性质可求u的值； 【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，所以，所以的值域为； （2）由， 可得， 整理得， 因为函数在区间上是严格增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，因为，所以， 又由，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由函数在上单调递增， 所以当时，取最小值，且最小值为0， 所以，所以的最大值为0. （3）因为，，所以不等式可化为， 令，则，，作函数的图象， 又当时，， 由图象可得当或时，方程在上没有解，方程没有解； 当时，方程的解为，则，方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为，如图， 则，，，所以该数列不是等差数列， 当时，方程在内有两个解，设方程的解为，且，，作函数，，图象如下， 方程和的正实数解按从小到大的顺序排列记为， 设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，则，与矛盾， 当时，方程在内有一个解，设方程的解为，且，作函数，，图象如下， 方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为， 设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，与矛盾， 若，则方程在内的解为，所以，所以，所以方程的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为，该数列为等差数列，满足条件； 当时，方程在内有两个解，，由，可得，，由，可得或，， 所以方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足，，，所以，所以该数列为等差数列， 综上所述，当或时，方程的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为等差数列. 1．从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线(轴，以下同)，切线与轴交于点.，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解.    (1)设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解(取，且结果保留小数点后第二位)； (2)如图，设函数； (i)由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释? (ii)若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和. 【答案】(1) (2)(i)答案见解析；(ii) 【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的近似值； （2）（i）设，则，由求得处的切线方程，得到即可； (ii)再根据得，从而，再结合等比数列的求和公式求解即可； 【详解】（1）由函数，则，切线斜率，， 那么在点处的切线方程为， 所以，且， 那么在点处的切线方程为， 所以，且， 故用牛顿法求方程满足精度的近似解为； （2）(i)设，则， 因为，所以， 则处切线为， 切线与轴相交得，即为定值， 根据牛顿法，此函数没有零点； (ii)因为得， 所以，， 所以， . 故所得前个三角形的面积和为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于根据，再结合牛顿法得到. 2．牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中. (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题. （i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，） 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）当时，可以利用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解； （2）（i）利用导数求出函数在点处的切线方程，可得出函数的解析式，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可得出、的大小关系； （ii）利用导数分析函数的单调性，利用导数分别证明出，，结合参考数据可证得结论成立. 【详解】（1）当时，令， 则， 曲线在处的切线为， 令，得，则. ，， 曲线在处的切线为， 令，得，则. 故用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为. （2）（i）设点的坐标为，则， ，则 曲线在点处的切线方程为，即， 令，即，则. 因为在上单调递增， 所以在上单调递增. 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意的正实数都有， 即当时，都有. （ii）证明：因为在上单调递增，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是在的极小值点，也是在的最小值点， 即. 又，所以当方程有两个根时， 必满足，且， 曲线过点和点的割线方程为. 下面证明：. 设， 则，令，得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，， 在上单调递增，， 所以当时，，即. 因为，所以，解得①. 曲线过点和点的割线方程为. 下面证明：. 设， 则，即在上单调递增， ，. 因为， 所以，即， 所以，即. 由零点存在性定理可知，存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，， 在上单调递增，， 所以当时，，即. 因为，所以，解得②. 由②①，得， 即证得. 3.（25-26大同中学高二期中）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； （3）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域； （2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明； （3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明. 【小问1详解】 由， 当时，，即函数在区间上是严格增函数， 且，， 所以在区间上的值域为. 【小问2详解】 当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. 【小问3详解】 由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故， 所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点， 于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解. 4.牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．    已知函数，． (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， 曲线在处的切线为，且 曲线在处的切线为，且 故，用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为． （2）由，得， 设， 则 ∴当时，，单调递增，由于时，，不合题意； 当时，则有，，单调递减，，，单调递增， 即，即 易知单调递增，且，故. 5. （2024·上海崇明·二模）已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，．求证：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示，然后结合二次方程根的存在条件即可证明； （3）结合导数分析的单调性，结合已知递推关系及函数单调性即可证明. 【解析】（1）当时，， 所以曲线在点处的切线方程为.； （2）由，得：，令，则， 原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以，所以； （3）由题意可知，，所以， 当时，，所以函数在区间上严格减， 当时，，所以函数在区间上严格增， 因为，所以，， 以此类推，当时，， 又， 所以函数在区间上严格减， 当时，，所以， 所以，即，故. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性在不等式证明中的应用，解题关键在于根据定义域判断导函数的正负性，从而得出函数的单调性，得到最值进行比较. 6.已知函数，. (1)若函数与的图象在处有相同的切线，求的值； (2)当时，恒成立，求整数的最大值. (3)证明：. 【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析. 【解析】 (1)由题意可知，和在处有相同的切线， 即在处且， 解得. (2)现证明，设， 令，即， 因此，即恒成立. 即， 同理可证. 由题意，当时，且， 即， 即时，成立. 当时，，即不恒成立. 因此整数的最大值为2. (3)由，令， 即，即， 由此可知，当时，， 当时，， 当时，， …… 当时，. 综上： . . 即. 7.已知函数， . （1）求函数的单调区间； （2）若不等式区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）求证： 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2） （3）见解析. 【解析】 （1）∵，故其定义域为， ∴，令，得，令，得. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）∵， ，∴，令 又，令解得. 当在内变化时， ， 变化如下表 + 0 - 由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以， （3）由（2）知，∴（） ∴ ∴ 即 8. （2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知函数，. (1)若存在极值，求的取值范围； (2)若，求的值； (3)对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）通过用导数求出函数的单调性结合极值的定义即可求解； （2）求出函数的最小值即可求解； （3）由（2）可得不等式恒成立，则，下面把的值放缩到中，从而可得的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，恒成立，此时在上单调递增，无极值； 当时，令得， 时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时有极小值为，无极大值. 综上所述，若存在极值，则的取值范围是. （2）， 由（1）可知，当时，恒成立，此时在上单调递增， 与恒成立矛盾； 当时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以，则需， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意舍去； 若，则，不合题意舍去. 综上所述，. （3）由（2）可知当时，即， 所以恒成立，当且仅当时取等号， 所以，， 一方面，， 即， 另一方面，， 从而当时，， 因为为正整数，且对于任意正整数，恒成立， 故的最小值为3. 【点睛】关键点睛：用对数切线不等式将放缩成等比数列的和是这题的关键. 9．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】(1)不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题15 导数与数列综合 题型一：曲线切线与坐标轴交点坐标形成数列（牛顿迭代法） 【例1】（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【跟踪训练】 1. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.    (1)若函数，取作为的初始近似值，求的2次近似值； (2)若函数，取作为的初始近似值，点，数列是由，，，，构成的，记：，.回答以下问题： （i）求数列的通项公式，并将的长度用表示； （ii）求证：. 2.（25-26奉贤区二模） 设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． （1）若，，求； （2）求证：数列是严格递减数列； （3）若，比较与的大小，并说明理由． 3. （24-25建平中学高二期末）牛顿法又称切线法，是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是方程的解，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为．称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，取为方程近似解．已知函数，其中． （1）当时，试用牛顿法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留两位小数） （2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题． （ⅰ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ⅱ）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：．（参考数据：时，） 题型二：曲线与直线交点横坐标形成数列 【例2】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和 (1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围. (2)若函数和有相同的最小值，求的值 (3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 【跟踪训练】 1．（2025·上海·二模）已知，函数． (1)若，求的单调区间； (2)是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (3)已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 2.定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数. (1)当时 （i）判断的奇偶性，并求在的极值； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 题型三：函数递推数列 【例3】（24-25上海实验学校高二期末）已知A，B，C是函数图象上不同三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． （1）当时，求函数在处的切线方程 （2）若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； （3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【跟踪训练】 1. （25-26嘉定区二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数． （1）证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心； （2）设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数； （3）在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有． 2. （25-26金山区二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． （1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； （2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； （3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 3．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数． (1)证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心； (2)设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数； (3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有． 4．（2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 题型四：数列“累加型”不等式证明 【例4】（24-25洋泾中学高二期中）已知函数， （1）当时，求函数的单调递减区间； （2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若数列满足，，记的前项和为，求证：. 【跟踪训练】 1. 设函数，. （1）证明：. （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，. 2.设函数． 求的单调区间； 当时，若对任意的，都有，求实数的取值范围； 证明不等式. 3.已知函数，其中． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a=1时，证明：； （3）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数） 4. 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间 （2）当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围 （3）求证：（其中是自然对数的底数） 题型五：等差数列与等比数列的判别与应用 【例5】（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 【跟踪训练】 1．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 2．（2025·上海徐汇·一模）已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． (1)设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 3．（2025·上海徐汇·三模）已知，函数. (1)当时，求的值域； (2)若函数在区间上是严格增函数，求a的最大值； (3)设.方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求所有满足条件的u的值；若不能，说明理由. 1．从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线(轴，以下同)，切线与轴交于点.，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解.    (1)设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解(取，且结果保留小数点后第二位)； (2)如图，设函数； (i)由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释? (ii)若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和. 2．牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中. (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题. （i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，） 3.（25-26大同中学高二期中）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. （1）求函数在区间上的值域； （2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； （3）求证：. 4.牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．    已知函数，． (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）； (2)若，求的取值范围． 5. （2024·上海崇明·二模）已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，．求证：当时，． 6.已知函数，. (1)若函数与的图象在处有相同的切线，求的值； (2)当时，恒成立，求整数的最大值. (3)证明：. 7.已知函数， . （1）求函数的单调区间； （2）若不等式区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）求证： 8. （2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知函数，. (1)若存在极值，求的取值范围； (2)若，求的值； (3)对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 9．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $