专题07：圆锥曲线中档问题10种考法讲义【圆锥曲线综合】-2026届高考数学二轮复习【压轴题全突破】（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题07 圆锥曲线中档问题10种考法 题型01：求圆锥曲线的标准方程 【例1】平面内，动点M(x，y)与定点F(，0)的距离和M到定直线l：x=的距离的比值是常数，记动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)O为坐标原点，A，B为曲线E上不同两点，经过A，B两点的直线与圆x2+y2=1相切，求△OAB面积的最大值. 解　(1)依题意，可得=， 化简得x2+4y2=4， 即曲线E的方程为+y2=1. (2)依题意，直线AB的斜率不可能是0， 不妨设其方程为x=my+t， 则圆x2+y2=1的圆心O(0，0)到直线x=my+t的距离d==1，即m2+1=t2， ① 由 消去x，可得(m2+4)y2+2mty+t2-4=0， 由Δ=4m2t2-4(m2+4)(t2-4)>0， 可得m2-t2+4>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 则|AB|=· =· =·， 将①式代入，化简得|AB|=， S△OAB=×|AB|×d=2·， 设λ=m2+1，则λ≥1， S△OAB=2·=2·， 因为λ+≥2=6，当且仅当λ=3时取等号，此时m=±， △OAB的面积的最大值为2×=1. 【跟踪训练】 1.椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12． (1)求椭圆的方程； (2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，再结合面积求得，即可求解； （2）设，，，，则，通过点差法，化简求解即可. 【详解】（1）依题意，当两点与椭圆的左、右顶点重合时，有最大值，且的面积有最大值， 所以，，，． 所以椭圆的方程为． （2） 证明：设，，，，则， 则． 因为，， 两式相减，得，所以， 即． 所以．① 同理，可得， 所以．② ，得， 则， 所以． 即直线AB的斜率与直线MN的斜率乘积为定值． 2.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个. (1)求椭圆的方程； 【答案】(1) 【详解】（1）由椭圆上满足的点有且仅有2个知以为直径的圆与椭圆有2个公共点， 故，故椭圆：，代入解得， 故椭圆的方程为. 3．（2026·上海普陀·一模）设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． (1)若，且四边形为矩形，求的离心率； (2)若，且的周长的最大值为12，求的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，根据题意得到，从而求出离心率； （2）根据，再由题意可求出，即可求出方程； 【详解】（1）由，得，， 将代入椭圆方程得，解得，则， 又四边形是矩形，则，即离心率. （2）由得，，即轴， 则， 当且仅当过右焦点时等号成立，即的周长的最大值为， 即，即， 则方程为 4.经过抛物线：上一点（除坐标原点外），作垂直于轴的直线与轴交于点．若． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于A，B两点，且，过坐标原点O，作交于点D，问平面内是否存在定点N，使垂足点D到N点的距离为定值，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设，由题意直接求出即可； （2）设出直线的方程，直曲联立，表示出韦达定理，利用向量的坐标表示出向量的数量积进而求出，得到直线所过定点，再结合直径所对应的圆周角为直角可得； 【详解】（1）设， 由题意可得， 所以抛物线的方程为. （2）    设直线的方程为，， 联立，消去可得， ，， ， 解得， 所以直线的方程为，所以直线恒过定点，设为， 因为，所以点D在以为直径的圆上（不含原点），所以平面内存在定点，使垂足点D到N点的距离为定值1. 5．（2025·上海浦东新·二模）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； 【答案】(1)(2) 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【详解】（1）由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 （2）由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. 题型02：圆锥曲线的长轴、短轴、焦距 【例2】（2020•上海高考）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分． （1）若，求的值； （2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求； 【分析】（1）联立曲线与曲线的方程，以及，解方程可得； （2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角； 【解答】解：（1）由，点为曲线与曲线的交点，联立，解得，； （2）由题意可得，为曲线的两个焦点， 由双曲线的定义可得，又，， 所以，因为，则， 所以， 在△中，由余弦定理可得 ， 由，可得； 【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 【跟踪训练】 1. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限交于点，. (1)求p的值. 【答案】(1) 【详解】（1）由抛物线定义知，，解得； 2. （2023七宝中学三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； 【答案】（1）焦距为，离心率为 （2） 证明见解析 【分析】（1）直接由椭圆的方程得出和，再由求出，即可得出焦距和离心率； （2）设，，首先由得出，方法一：由三点共线和三点共线，得出，再将代入椭圆方程，联合整理得，，即可证明结论；方法二：写出直线的方程与椭圆联立，由根与系数关系得出点和的坐标，进而得出，，即可证明结论； 【小问1详解】 由可知， ，，故， 所以焦距，离心率． 【小问2详解】 设，， 由题意，，，，，，，， 又， 所以，得， 方法一：由三点共线，则，即， 同理可得，三点共线，则，即， 故，即， 又，， 所以， 所以， 由，整理得， 所以有， 又， 故， 所以， 所以三点共线． 方法二：因为，，则， 由得直线的方程为， 与椭圆联立，得， 则， 所以， 同理得， 所以，，即三点共线． 题型03：求离心率的值或范围 【例3】（2025杨浦区高三5月质量检测）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上动点到点的最大距离； 【答案】（1） （3） 答案详见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意:利用为为面积为1的直角三角形，可得到，再求解离心率即可. （2）设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. 【小问1详解】 如图，设椭圆的焦距为， 易得，，， 又因为为面积为1直角三角形，， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 有第一问知，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. 【跟踪训练】 1．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线l与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）. (1)若椭圆的离心率为，求a的值； (2)若，求的面积的最大值； 【答案】(1)3 (2)2 【分析】（1）根据离心率得到方程，求出； （2）设直线l的方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用表达出三角形面积，由基本不等式求出最大值； 【详解】（1）椭圆的离心率为，故， 解得； （2）时，，故，所以，， P、Q均不在x轴上，故直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为，，， 联立与得， 所以，是方程的两根， ， ，， 所以， 又，故的面积，    而， 当且仅当，即时等号成立， 所以的面积的最大值为2； 2.已知分别为双曲线的左、右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点在上 求双曲线的离心率； 若，双曲线的左、右顶点分别为，过左顶点作实轴的垂线交渐近线于点，过作直线分别交双曲线的左、右两支于两点，直线分别交于两点证明：四边形为平行四边形． 【答案】 见解析 【解析】解：连接， 由于关于直线对称，又，所以， 到直线的距离为， 因此，故， 由双曲线定义可得，故， 因此离心率为， 证明：当时，则，故双曲线的方程为， 所以，直线，故， 由题意可知直线有斜率，故设， 联立与， 可得， 则 设， 则， 则直线，联立方程可得， 解得，，所以， 同理可得， ，， 所以 ， ， ， ， ， ， ， 所以，即， 因此，因此， 故四边形为平行四边形． 题型04：双曲线的渐近线方程 【例4】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点点在轴上方，点在双曲线上,直线交轴于点点在点的右侧． 求双曲线的渐近线方程； 若点，且，求点的坐标； 【答案】；; 【解析】解：已知双曲线，则，所以渐近线方程为； 由知，所以， 双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 设，所以 解得，即， 则，所以点的坐标为； 【跟踪训练】 1．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； 2．（2025·上海奉贤·二模）如图1，曲线是与组合的． (1)过点，求的渐近线方程； (2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入即可求出，再计算渐近线即可； （2）分和两种情况，设点坐标，利用消元法将问题转化为求一元二次函数在区间上的最小值问题； 【详解】（1）将点代入，得，得， 所以，渐近线方程：. （2）因，则，， ①当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则， 当时，则或时，取最小值，此时或， 当时，当时，取最小值，此时； ②当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则 ， 因，则， 故当时， 取最小值，此时. 综上可知，曲线上存在点，使得达到最小. 3．（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； 【答案】(1)焦点坐标为，渐近线方程为 (2) 【分析】（1）根据双曲线方程求出，从而求出焦点坐标与渐近线方程； （2）设，则，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点，，以及、的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得解； 【详解】（1）双曲线的标准方程为，则， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为； （2）设，则， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，， 所以 ， 即． 题型05：求点的坐标 【例】（25-26崇明区二模）已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率； （2）已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据离心率定义直接计算可得； （2）设利用向量关系表示出点坐标，代入椭圆方程即可得解； （3）利用韦达定理表示出点的纵坐标，利用向量共线表示出点的纵坐标，证明和的纵坐标相等即可得证. 【小问1详解】 记椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，所以离心率. 【小问2详解】 由题知，，设，， 因为，， 所以，得， 代入椭圆方程得，解得（负根舍去） 【跟踪训练】 1．（2026·上海奉贤·一模）椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； 【答案】(1)椭圆的方程为，作图见解析 (2) 【分析】（1）根据椭圆中的关系求解椭圆方程即可，利用椭圆的定义作图即可得椭圆的左焦点； （2）设，则，根据三角形面积公式即可得，关于的式子，利用面积比例求解即可得所求； 【详解】（1）因为椭圆中，，，椭圆的离心率是， 则，解得， 则椭圆的方程为； 如下图：以为圆心，以的长为半径在线段上画圆弧，与线段的交点即为椭圆的左焦点；    （2）设，则①，且， 当时，， 又， 因为，，所以直线的方程为，即， 故点到直线的距离， ， 因为，所以，即②， 联立①②，且，解得， 故点的坐标为； 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； 【答案】(1)椭圆的离心率，抛物线； (2)； 【分析】（1）根据椭圆方程写出离心率和右焦点坐标，依题意得，可得抛物线方程； （2）由题设，联立椭圆并应用韦达定理得，进而有，即可得中点坐标； 【详解】（1）由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； （2）由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. 3 （2025上海市崇明中学高三三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算求参； （2）设点的坐标结合两角和正切，应用点在椭圆上计算； 【小问1详解】 因为与的左焦点重合，故，因此. 又因为，而， 所以，解得：(负舍). 【小问2详解】 因为，又因为， 而， 代入解得. 若在第一象限，则，故在第二象限. 设，而， 整理可得. 代入椭圆方程，可得：. 所以解得(增根舍去)，所以. 因此. 4．（2026·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用双曲线的焦距确定c，渐近线斜率确定，结合求出，进而得到双曲线方程. （2）联立直线与双曲线，由判别式得以确定点坐标，设点坐标后，利用向量垂直的数量积为0求解的坐标. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）联立，消去并化简得， 由题意可得，解得，因为， 所以，代入上式，解得， 所以，设， 因为为直角， 所以， 解得或， 所以或. 5. （25-26杨浦区二模）已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. （1）求双曲线的离心率和渐近线的方程； （2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助离心率定义与渐近线定义计算即可得； （2）设，结合中点公式可表示出点坐标，代入双曲线方程计算即可得； 【小问1详解】 由可得，则，则， 故双曲线的离心率， 渐近线的方程为； 【小问2详解】 由，则双曲线方程为，，设， 则线段的中点的坐标为， 有，解得，故点Q的坐标为； 6 （2026长宁区二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求的离心率； （2）设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可； 【小问1详解】 将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中，所以， 即离心率： ； 【小问2详解】 设，直线方程为， 令，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或（因为此时与点重合故舍去），即； 题型06：求弦长或距离 【例6】（2025·上海崇明·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用抛物线的定义可求出点的值，由此可求出点的坐标； （2）设，则，根据点在轴上，可求出的值，可得出点的坐标，可求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果； 【详解】（1）设，因为点在抛物线上， 所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离， 所以，则，所以，故点的坐标是. （2）设，则，由题意，所以， 所以点的坐标为，则， 所以，直线的方程为，即直线的方程为， 所以原点到直线的距离为. 【跟踪训练】 1.（25-26奉贤区二模）已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线l与相切，求当时，的长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率及所过点计算即可得； （2）设出直线后，利用圆的切线的性质计算可得，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得； 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 由，则，可设，、， 则由直线与相切，可得，化简得， 联立，消去可得， ， 则，， 则 ； 题型07：求直线的斜率或直线方程 【例7】 （2025上海宝山区高三三模）如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点. （1）证明：直线是抛物线的切线； （2）已知，且的重心是的焦点，求所在的直线方程； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先设出点坐标，根据中点关系得点坐标，求直线PA斜率，进而得直线方程，再联立直线与抛物线方程，通过判别式证直线是抛物线切线. （2）设、坐标及其中点，由已知条件求出坐标.假设直线PQ斜率不存在推出矛盾，所以斜率存在.设直线PQ方程，联立抛物线方程，根据韦达定理及已知的值求出斜率，从而得直线PQ方程. 【小问1详解】 设，因为是线段的中点，所以. 则，所以直线的方程为， 即. 联立，整理得，所以， 因此，直线是抛物线的切线. 【小问2详解】 设中点为， 由已知得， 解得，从而 若直线斜率不存在，则，与重心矛盾，故斜率存在； 设 联立得：， 因为，所以 所以所在直线方程是 【跟踪训练】 1.已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆过的点与椭圆的基本性质求解椭圆方程即可. （2）联立方程组得到，利用直线与椭圆的位置关系得到，再结合题意与中点坐标公式得到，最后结合题意求解出参数，得到目标直线方程即可. 【详解】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得，则椭圆的方程为. （2）如图，设的方程为，设，， 联立方程组，可得， 解得，，则， 因为直线与椭圆有唯一公共点，所以直线与椭圆相切， 得到，解得， 由题意得，，则的斜率是， 而过点与直线平行的直线交x轴于点， 则该直线方程为，令，解得，得到， 设线段的中点为，由中点坐标公式得， 因为在直线上，所以， 化简得，而，，故解得， 代入中，得到，解得， 则的方程为或. 2.已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. (1)求椭圆方程； (2)轴上有一点，，求直线的斜率； (3)若直线与轴交于点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题知，，，， 且，，， ，，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，， 设过点的直线方程为，过原点且与直线平行的直线为， 联立可得， 则点的坐标为， 联立可得， 则点的坐标为， 所以，， 由，整理为，解得，（舍）， 即直线的斜率为. （3）由题知，， ， ， 由（2）整理为，解得，（舍）， 所以直线的斜率为. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且经过点.是E的左、右焦点.过的直线与E交于两点. (1)求E的标准方程； (2)若的内切圆半径为，求的方程； (3)点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【详解】（1）由题意，解得， 则E的标准方程为. （2）由，且， 可得（其中为到直线的距离）. ，设，由，解得， 故或. （3）设，则， 将代入椭圆方程得， 所以， 直线的方程为， 令，得， 代入直线方程以及韦达定理可得， 即直线过定点， 面积， 当且仅当时取等号，故的最大值为. 4.已知椭圆的右焦点为，且的离心率为，直线与有两个不同的交点. (1)求的方程； (2)若点在直线上，点是线段的中点，为坐标原点，若上存在点，使得，求直线的斜率； (3)若在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.试判断：直线是否过定点？若是，则求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)直线过定点. 【解题思路】（1）由题意求出即可求解； （2）当直线的斜率存在或不存在讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，椭圆方程联立消元，由韦达定理得，利用中点坐标得点的坐标，又得，进而解出点的坐标代入椭圆方程求解即可； （3）设直线的方程为，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，由解出，进而得，得直线的方程为，同理得，解出的横坐标，又，解出即可求解. 【解答过程】（1）由题意知解得 ， 所以的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，此时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， 则， 所以，又， 所以，又点在上， 所以， 解得，即直线的斜率为或； （3）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为. 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由,得， 所以，得， 所以， 所以. 所以直线的方程为，即， 同理可得直线的方程为. 由，解得，可得点的横坐标，即， 又，可得，所以，整理得，即，所以， 所以直线的方程为，即直线过定点. 5. （25-26黄浦区二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． （1）求点、的坐标； （2）若，求直线的方程； 【答案】（1）、 （2）或． 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的半焦距，可得出点、的坐标； （2）设直线的方程为，设、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程； 【小问1详解】 椭圆的半焦距，故、. 【小问2详解】 由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、， 将代入，得，则， 故，， 又，， ，解得， 所以直线的方程为或． 6. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 （1）设直线的方程为，求线段的长 （2）设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，结合抛物线焦点弦长公式可求得结果； （2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可构造方程求得结果； 【小问1详解】 由抛物线方程知：，则直线过焦点， 设， 由得：，， . 【小问2详解】 由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则，解得：； ，， ，，， ， 解得：（满足）， 直线得方程为：或. 7．（25-26高三上·上海松江·期末）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点的直线交椭圆于两点，由椭圆性质得，结合题意得到，即可求出离心率； （2）若，结合（1）得到和椭圆的方程，设点，线段的中点，列方程组计算得到点，再根据直线的斜率公式计算即可. 【详解】（1）设，则根据椭圆性质得， 而，所以有，即， 因此椭圆的离心率为. （2）若，因为，所以，且， 以原点为圆心，为半径的圆的方程为， 设点，线段的中点， 则，消化简可得，解得或， 因为，所以，计算得，点， 所以直线的斜率为； 8.（25-26金山区二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． （1）若，求点的坐标； （2）若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； 【答案】（1）或 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程即可求解； （2）联立抛物线方程，消元后得方程，分类讨论，根据方程有一根求解即可； 【小问1详解】 由可知， 因为，所以， 即，解得， 代入抛物线方程，， 所以点的坐标为或. 【小问2详解】 联立方程，可得，即， 因为只有一个交点， 所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时； 当时，则需，解得， 此时. 综上，直线的方程为和. 题型08：求线段长的最大（小）值 【例8】 （25-26嘉定区二模）已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． （1）当P为椭圆的上顶点时，求的大小； （2）若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； （3）若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 【答案】（1）4 （2）最大值为4，最小值为2 （3），四边形面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据条件分别求直线和的方程，再联立直线求交点，的坐标，即可求解； （2）首先根据离心率求椭圆方程，再根据向量的平行四边形法则转化为求的最值； （3）首先根据点的坐标求直线和的方程，通过联立直线方程求点，的坐标，再代入两点间距离公式，根据定值求，首先角的关系求，再根据为定值4，分两种情况，结合余弦定理和基本不等式求面积的最大值，再求四边形面积的最大值. 【小问1详解】 当点在椭圆的上顶点时，,，， 联立，得，即， 联立，得，即， 所以； 【小问2详解】 椭圆的离心率，得， 所以椭圆方程为； 由条件可知四边形是平行四边形，所以， 设，， 所以， 所以的最大值为4，最小值为2； 【小问3详解】 设，则，, 联立，解得：，， 即， 联立，解得：，， 即， 因为点在椭圆上，满足， 所以 因为为定值，所以与无关，所以，得，则； 此时， 如图：由条件可知，，则， ， 则，且为定值4， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 此时，四边形的最大值为4， 如下图：由以上可知，，， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 综上两种情况可知，四边形的最大值为. 【跟踪训练】 1．（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的焦点为，准线为．    (1)若点在抛物线上，求所在直线的斜率； (2)若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； (3)若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，且定值为 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出该抛物线的标准方程，可求出其焦点的坐标，再利用斜率的斜率公式可求出直线的斜率； （2）设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设这两条切线的斜率分别为、，设过点的切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径得出，结合韦达定理得出，，求出、的坐标，结合韦达定理可求出的最小值； （3）设点，设过点的切线的方程为，因为圆心到切线的距离为，可得出，设切线、的斜率分别为、，则、为该方程的两根，利用韦达定理得出，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，同理可得出，化简的表达式，根据韦达定理结合为定值可求得的值，即可得出结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 故抛物线的标准方程为，其焦点为， 故直线的斜率为. （2）圆的标准方程为，则圆心为，半径为， 因为抛物线的准线方程为，即，可得，故抛物线的方程为， 设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设它们的斜率分别为、， 不妨设过点的切线方程为，即， 由题意知，圆心到直线的距离为，即， 整理可得， 依题意，、是关于的方程的两根， 所以，且，， 易知直线的方程为，令可得，即得点，同理点， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. （3）若点到准线的距离为，即，故抛物线的方程为， 其准线的方程为，设点， 圆的圆心为，半径为，    由题意可知，过点的切线的斜率存在，设过点的切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离为，则， 整理可得， 设切线、的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 故，， 将直线的方程与抛物线的方程联立，可得， 由韦达定理可得，同理可得， 故 为定值，则， 因为，解得， 故当时，即存在定圆，使得当点运动时，为定值. 2．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）令，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标； （2）若垂直抛物线的准线于，结合抛物线的定义得，数形结合确定其最小值； （3）设，，应用导数几何意义求过的切线，进而得到，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，即可证. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    （3）由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，则，， 显然点在直线，即上，得证. 3．（2024·25高三下·北京·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的左顶点，为右焦点，为椭圆上一个动点．设直线与直线交于点，连接，过作的平行线与交于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 所以设椭圆方程为， 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由题意得，设， 则，得，即， 由题意得直线的斜率存在，则， 所以直线为， 当时，，所以， 所以直线的斜率为， 因为直线与直线平行，所以直线的斜率为， 所以直线为， 当时，由椭圆的对称性，不妨设点为第一象限的点，则， 此时直线为，直线为， 由，得，即， 所以， 当时，直线的斜率为，则直线为， 由，得，即， 所以 综上， 4.已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意建立关于的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用和三角形相似可推得，与韦达定理联立求得，再用弦长公式即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知，，      解得，      所以的方程为 （2）联立，整理得，      由，可得， 设，则      因为， 又直线过点，且，     所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）     将①式代入得，消去得，     解得，     则    5．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得双曲线的方程； （2）根据直线与圆相切得，设，则，从而，进而求得 （3）设直线的方程为，联立方程组，设，得到，得出直线的方程求得和，结合为的中点，列出方程求得，求得为定值，利用直角的性质，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，.      题型09：三角形面积的值、最值与范围 【例9】（2025·上海宝山·二模）已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. (1)当直线过点，且时，求的周长； (2)已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； (3)已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由双曲线的定义，根据整体思想，可得答案； （2）由斜率之和为零，可得倾斜角的大小，从而求得直线方程，利用三角形面积公式，可得答案； （3）分斜率存在与不存在两种情况，表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】（1） 根据双曲线定义得：，， 两式相加得，即， 由已知得，所以的周长为， （2） 设直线的倾斜角分别为， 由已知得，不妨设，则， 则可求得，， 所以直线解得， 直线解得， 所以的面积为. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， ， 化简得，即， 解得，则点的坐标为. 【跟踪训练】 1.已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴 求的方程； 过点的直线交于两点，求面积的最大值． 【答案】； 【解析】解：依题意，右焦点，则左焦点，而，轴， 则，于是， 解得，，所以椭圆的方程为； 依题意，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去并整理得， ，解得， 设，则， 则面积， 令，则，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 2.已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【详解】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 3.已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【解题指导】（1）直线与抛物线联立→韦达定理→弦长公式列方程→求 （2）直线与抛物线联立→韦达定理→→找的关系→的面积表达式→结合函数的性质求最小值． 【解】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2） 第1步：设直线方程，并联立抛物线方程消去，韦达定理写出两根之和与积，及判别式 因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 【易错提醒】忽视直线与椭圆有两个交点，从而得到Δ＞0. 第2步：将数量积进行坐标运算，并结合韦达定理，转化为之间的关系 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 第3步：点到直线的距离为，及弦长 设点到直线的距离为，所以， ， 第3步：求的面积的最小值 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 4.已知抛物线上有三个点，，，且直线与斜率之和为． 求直线的斜率； 若，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】解：如图： 因为抛物线：过点，所以， 所以得到抛物线：， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线方程为：，即，代入， 整理得：， 由韦达定理可得：， 所以， 所以， 用代替，同理可得， 所以， 所以直线的斜率为； 设直线：，代入， 整理得：， 由韦达定理：，， 因为，，所以， 所以 ， 又点到直线的距离为：， 所以， 设，则，所以， 设， 则，由， 又因为，所以函数在上单调递增， 所以，所以， 即面积的最大值为． 5. （2025上海市育才中学高三三模）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过的右焦点，且，，求的值； （3）设直线的方程为，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系列出等式，进而可得椭圆的方程； （2）设的左焦点为，连接，利用向量的运算以及椭圆的定义和对称性推出，再代入三角形面积公式中即可求解； （3）设出，，三点的坐标，利用向量的运算得到，，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，将点的坐标代入椭圆方程中得到，此时满足，再结合弦长公式和换元法进行求解即可． 【小问1详解】 由的离心率是短轴的长的倍，得 ，即， 又，则， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设的左焦点为，连接， 因为，所以点、关于点对称， 又，则， 由椭圆的对称性可得， ，且三角形与三角形全等， 则， 又，化简整理得， ，则. 【小问3详解】 设，，， 又 ，则，， 由得，， ， 由韦达定理得，，， 又， 则，， 因为点在椭圆上，所以， 化简整理得，， 此时，， 则 ， 令，即， 则， 则的取值范围是. 【点睛】关键点点睛:本题考查直线与椭圆得位置关系及弦长范围问题，关键是向量坐标化得C坐标并代入椭圆方程得m,k的等量关系. 6. （2025上海市金山中学高三三模）已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为． 【小问2详解】 ①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设，∴， 则， 解得，则. 【小问3详解】 ①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴， 联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 7．（2026·上海闵行·一模）已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)2 (3). 【分析】（1）求得渐近线方程，得到倾斜角即可求解； （2）设直线方程为：，联立渐近线方程求得坐标，结合直角三角形面积公式即可求解； （3）由，得到，即，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由双曲线方程可得渐近线方程为， 两条渐近线的倾斜角分别为， 所以两条渐近线的夹角为； （2）由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 所以， 所以当时，取最大值，此时面积最小， 即； （3） 由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 联立，消去得：， 所以， 因为， 所以 所以， 即， 即， 即，因为，所以， 又P、Q两点在的右支上，所以，， 所以. 8．（2026·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． (1)设，求点的横坐标； (2)设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； (3)设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的定义及，求出； （2）设，设直线的直线方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到，，再根据中点的纵坐标为，可解得结果； （2）设，，求出，利用可得结果. 【详解】（1）由抛物线方程知：，设， 由得：，. （2）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，， ，又因为中点的纵坐标为，所以， 所以的面积为； （3）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，，所以中点为， 因为线段的垂直平分线与抛物线交于点， 设， 联立可得， 由韦达定理可得，， 若以线段为直径的圆经过点， ， ，不相等，不相等， 所以，同理 可得，不相等， 所以 即，解得. 所以直线的方程为. 9. （25-26闵行区二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. （1）求的方程； （2）记的面积为，求证：； （3）求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最大值，直线方程；最小值，直线方程 【解析】 【分析】（1）根据椭圆已知的焦距和离心率求出参数，代入椭圆标准方程得到结果； （2）将表示为点坐标的线性式，结合椭圆方程的参数形式，利用余弦函数的值域证明结论； （3）设过点的直线参数方程，利用参数的几何意义将转化为，结合韦达定理得到表达式后求最值. 【小问1详解】 由题意得，故，结合离心率得. 由椭圆关系，因此椭圆的方程为： ； 【小问2详解】 设，因为，所以直线，即， 所以点到直线的距离，又， 所以 由在椭圆上得，所以可设， 所以，  因此​，得证. 【小问3详解】 设过的直线参数方程为（为参数）， 代入椭圆方程整理得： ， 由参数的几何意义得， 结合韦达定理得： ， 斜率存在时，设斜率为，化简得， 由得：当时，取得最大值，对应直线方程为； 当直线斜率不存在时，直线为，此时，为最小值. 综上，的最大值为，对应直线方程为；最小值为，对应直线方程为 题型10：求参数的值或范围 【例10】 设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． （1）当时，求椭圆的离心率； （2）若且点在直线上，求的值； （3）设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出和，求出即可求解； （2）设，求出，求出和，求出和，根据椭圆的定义即可求解； （3）求出，设，对于每一个固定的设点到的距离为，利用点到直线距离公式求出，利用辅助角公式求出，证明是第一象限的角，据此即可求解. 【小问1详解】 由题可知，， ， 所以椭圆的离心率为； 【小问2详解】 如图，设， ， 又， 是第一象限上的点， ，即解得， ， 由椭圆的定义知，. 【小问3详解】 由椭圆的定义知． ，设， 对于每一个固定的设点到的距离为， 利用点到直线距离公式有， 由辅助角公式得， 是第一象限内的一点， ，注意到， 是第一象限的角， 设， 当时为在固定下的最小值， 由题意知对于有解， ， 两边平方可得， 要求的最小值，即求的最大值， ，当时取到． 【跟踪训练】 1．（2026·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． (1)当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； (2)当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； (3)当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点三角形的周长计算公式求解出结果； （2）联立直线与椭圆方程，求得点坐标，然后根据纵坐标求得的值； （3）先判断出的位置关系，然后通过联立直线与椭圆方程求得中点的坐标，由此可表示出直线的方程，根据直线过定点可求解出结果. 【详解】（1）由椭圆方程可知，， 所以的周长为； （2）因为，所以，则，即， 联立，可得，解得或，所以， 因为，所以， 所以； （3）因为，所以， 所以， 所以 ，所以，所以； 当中有一条直线斜率不存在时，此时一定有一条弦的中点和点重合，故不符合条件； 当为坐标原点时，此时均与点重合，故不符合条件； 由上可知，的斜率都存在， 设，， 联立，可得， 所以，所以，所以，所以， 同理可得，即， 所以，所以， 令，解得， 因为直线恒过定点，所以，所以， 所以. 2．（25-26高三上·上海青浦·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为上两个不同的点，记的周长和面积分别为和. (1)若的离心率为，求的值； (2)若满足的点有且仅有两个，求的取值范围； (3)若，是否存在点使得和同时取到最大值？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据离心率的定义计算； （2）根据椭圆的对称性以及即可求出； （3）根据椭圆的定义得出，得出当三点共线时最大，进而设，与椭圆方程联立，再分别令，，结合基本不等式分别求面积的最大值，再作比较即可. 【详解】（1）由题意知，，则， 因，则离心率为，得； （2）对于椭圆上任意一点，有， 因满足的点有且仅有两个且椭圆为对称图形，则， 得， 故的取值范围为； （3）若，则，， 由椭圆的定义可知，， 则， 等号成立时三点共线， 故当三点共线时，取得最大值； 因直线的斜率不为，则可设直线，， 联立，得， 则，得， 由韦达定理可知，， 则， 则， 令，则， 若，则，则，等号成立时； 若，则， 则，等号成立时； 因，    则不存在点使得和同时取到最大值. 3. 已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【解】（1）由题意，设点、，则， 因为点为线段的中点，则，即， 因为点在圆上，所以，即， 因此，点的轨迹的方程为. （2）由已知可得，设点、， 联立得， 由已知可得，得， 由韦达定理可得，， 因为，即，则，即， 所以，所以，即， 当时，不成立， 所以，代入得， 解得，因此，的取值范围是. 4.已知椭圆的短轴长为4，离心率为． (1)求Γ的方程； (2)若直线与交于A，B两点，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据短轴长和离心率求出椭圆方程. （2）联立直线与椭圆方程，利用判别式、韦达定理和弦长公式，结合弦长条件求出的取值范围. 【解答过程】（1）由题意可得：短轴长，故， 又因为离心率，结合椭圆关系可得： ，解得，， 所以椭圆的方程为：. （2）由题意可知，联立直线与椭圆方程： ， 消去整理得：， 设直线与椭圆交于点，， 则判别式：， 解得，即，由韦达定理得： ，， 由弦长公式，其中， 可得：， 又因为，所以 ， 化简可得：，两边平方得：， 即或， 又因为，所以的取值范围为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题07 圆锥曲线中档问题10种考法 题型01：求圆锥曲线的标准方程 【例1】平面内，动点M(x，y)与定点F(，0)的距离和M到定直线l：x=的距离的比值是常数，记动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)O为坐标原点，A，B为曲线E上不同两点，经过A，B两点的直线与圆x2+y2=1相切，求△OAB面积的最大值. 【跟踪训练】 1.椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12． (1)求椭圆的方程； (2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值． 2.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个. (1)求椭圆的方程； 3．（2026·上海普陀·一模）设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． (1)若，且四边形为矩形，求的离心率； (2)若，且的周长的最大值为12，求的方程； 4.经过抛物线：上一点（除坐标原点外），作垂直于轴的直线与轴交于点．若． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于A，B两点，且，过坐标原点O，作交于点D，问平面内是否存在定点N，使垂足点D到N点的距离为定值，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由． 5．（2025·上海浦东新·二模）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； 题型02：圆锥曲线的长轴、短轴、焦距 【例2】（2020•上海高考）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分． （1）若，求的值； （2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求； 【跟踪训练】 1. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限交于点，. (1)求p的值. 2. （2023七宝中学三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； 题型03：求离心率的值或范围 【例3】（2025杨浦区高三5月质量检测）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上动点到点的最大距离； 【跟踪训练】 1．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线l与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）. (1)若椭圆的离心率为，求a的值； (2)若，求的面积的最大值； 2.已知分别为双曲线的左、右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点在上 求双曲线的离心率； 若，双曲线的左、右顶点分别为，过左顶点作实轴的垂线交渐近线于点，过作直线分别交双曲线的左、右两支于两点，直线分别交于两点证明：四边形为平行四边形． 题型04：双曲线的渐近线方程 【例4】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点点在轴上方，点在双曲线上,直线交轴于点点在点的右侧． 求双曲线的渐近线方程； 若点，且，求点的坐标； 【跟踪训练】 1．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； 2．（2025·上海奉贤·二模）如图1，曲线是与组合的． (1)过点，求的渐近线方程； (2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小； 3．（2025·上海杨浦·二模）已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. (1)求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； (2)过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； 题型05：求点的坐标 【例】（25-26崇明区二模）已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率； （2）已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； 【跟踪训练】 1．（2026·上海奉贤·一模）椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； 3 （2025上海市崇明中学高三三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； 4．（2026·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； 5. （25-26杨浦区二模）已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. （1）求双曲线的离心率和渐近线的方程； （2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； 6 （2026长宁区二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求的离心率； （2）设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； 题型06：求弦长或距离 【例6】（2025·上海崇明·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于点、，与轴交于点．    (1)若点位于第一象限，且点到抛物线的焦点的距离等于，求点的坐标； (2)若点坐标为，且点恰为线段的中点，求原点到直线的距离； 【跟踪训练】 1.（25-26奉贤区二模）已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线l与相切，求当时，的长； 题型07：求直线的斜率或直线方程 【例7】 （2025上海宝山区高三三模）如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点. （1）证明：直线是抛物线的切线； （2）已知，且的重心是的焦点，求所在的直线方程； 【跟踪训练】 1.已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 2.已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. (1)求椭圆方程； (2)轴上有一点，，求直线的斜率； (3)若直线与轴交于点，求直线的斜率. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且经过点.是E的左、右焦点.过的直线与E交于两点. (1)求E的标准方程； (2)若的内切圆半径为，求的方程； (3)点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，说明理由. 4.已知椭圆的右焦点为，且的离心率为，直线与有两个不同的交点. (1)求的方程； (2)若点在直线上，点是线段的中点，为坐标原点，若上存在点，使得，求直线的斜率； (3)若在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.试判断：直线是否过定点？若是，则求出该定点；若不是，请说明理由. 5. （25-26黄浦区二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． （1）求点、的坐标； （2）若，求直线的方程； 6. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 （1）设直线的方程为，求线段的长 （2）设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 7．（25-26高三上·上海松江·期末）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； 8.（25-26金山区二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． （1）若，求点的坐标； （2）若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； 题型08：求线段长的最大（小）值 【例8】 （25-26嘉定区二模）已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． （1）当P为椭圆的上顶点时，求的大小； （2）若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； （3）若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 【跟踪训练】 1．（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的焦点为，准线为．    (1)若点在抛物线上，求所在直线的斜率； (2)若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； (3)若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 2．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 3．（2024·25高三下·北京·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的左顶点，为右焦点，为椭圆上一个动点．设直线与直线交于点，连接，过作的平行线与交于点，求的值． 4.已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 5．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 题型09：三角形面积的值、最值与范围 【例9】（2025·上海宝山·二模）已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. (1)当直线过点，且时，求的周长； (2)已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； (3)已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 【跟踪训练】 1.已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴 求的方程； 过点的直线交于两点，求面积的最大值． 2.已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 3.已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 4.已知抛物线上有三个点，，，且直线与斜率之和为． 求直线的斜率； 若，，求面积的最大值． 5. （2025上海市育才中学高三三模）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过的右焦点，且，，求的值； （3）设直线的方程为，且，求的取值范围. 6. （2025上海市金山中学高三三模）已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 7．（2026·上海闵行·一模）已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 8．（2026·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． (1)设，求点的横坐标； (2)设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； (3)设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 9. （25-26闵行区二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. （1）求的方程； （2）记的面积为，求证：； （3）求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 题型10：求参数的值或范围 【例10】 设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． （1）当时，求椭圆的离心率； （2）若且点在直线上，求的值； （3）设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 【跟踪训练】 1．（2026·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． (1)当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； (2)当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； (3)当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 2．（25-26高三上·上海青浦·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为上两个不同的点，记的周长和面积分别为和. (1)若的离心率为，求的值； (2)若满足的点有且仅有两个，求的取值范围； (3)若，是否存在点使得和同时取到最大值？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 3. 已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 4.已知椭圆的短轴长为4，离心率为． (1)求Γ的方程； (2)若直线与交于A，B两点，且，求m的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $