河南郑州市外国语学校2026届高三下学期一模考试数学试题

**基本信息** 以新能源汽车保有量分析、函数“δ点”新定义等为载体，融合数学抽象与数据分析，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量等基础概念|通过函数图象辨析（4题）考查几何直观| |多选题|3/18|区域凸集、函数性质等|以立体几何翻折（11题）考查空间观念| |填空题|3/15|等比数列、双曲线离心率等|结合双曲线焦点问题（13题）考查运算能力| |解答题|5/77|概率统计、立体几何、函数新定义等|新能源汽车数据（15题）体现数据观念，函数“δ点”（19题）培养创新意识|

数　学 （120分钟 150 分） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知为纯虚数，其中为虚数单位，则实数（　　） A． B．2 C．1 D． 3．设非零向量，，则“或”，是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是（　　） A．至少有1个深度贫困村 B．有1个或2个深度贫困村 C．有2个或3个深度贫困村 D．恰有2个深度贫困村 7．若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（　　） A．， B．， C． D．， 8．已知对，恒成立，则的最小值为（　 ） A．4 B．6 C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．设为坐标原点，若对于区域中任意两点，都有则称为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．有且仅有2个零点 11．如图1，在长方形中，是边上一点，且，，．将△沿着翻折至△，连接，，得到如图2所示的四棱锥，则下列结论正确的是（　　） A．四棱锥体积的最大值为 B．在翻折的过程中，与始终不垂直 C．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等比数列的前项和为已知，，成等差数列，则的公比为 　　． 13．已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为 　　． 14．已知实数，满足，则的最大值是 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 (1)从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； (2)用函数模型对变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）． 参考数据：，，，； 设，， 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 16．（15分）如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）． (1) 若，求AD的长度； (2) 求的取值范围． 17．（15分）已知为圆上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接并延长至点，使得，点的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若过右焦点的直线与曲线交于不同的，两点，且，当，时，求直线在轴上的截距的取值范围． 18．（17分）如图，四棱锥中，平面，， ，． （1）求证：； （2）若为△的重心， 求与平面所成角的正弦值； 若交平面于，求的值． 19．（17分）已知函数定义域为，，若对任意，存在，当时，都有．则称为在上的“点”． （1）设函数求在上的最大“点”； （2）判断函数，在上是否存在“点”，并说明理由； （3）若函数在上不存在“点”，求的取值范围. 答案第1页，共2页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B D B ABD BD ACD √万 12. 13.2 14. 15.解：(1)保有量大于3万辆的年份有第4,5,6年，共3年， 保有量不大于3万辆的年份有第1,2,3年，共3年， 设至少有1年保有量大于3万辆为事件A,2年保有量全都大于3万辆为事件B, 事件A的对立事件为2年都不大于3万辆，总选法有C=15 两年都不大于3万辆的选法为CG-3,所以A-1:品号者 -2分 两年都大于3万辆的选法为C=3, 所以PAB)-3} 155 4分 则P(Bi, -6分 (2)己知模 y=ce|c>0 两边取对数得lny=lnc+dx' 令t=lmy,则t=lnc+dX,即转化为线性回归方程=众+Bu, -7分 其中众=lnc,=d,v=t,由题意得n=6, Xiti-nxt 则 d-B= 31.89-6×3.5×1.16_7.53 ≈0.43 91-6×3.52 17.5 9分 a=v-Bū=f-px=1.16-0.43×3.5≈-0.345≈-0.35 -11分 因为c=lnc,所以c=e035,则y=e035e043×=e43x-035 -13分 16.解：(1)在△ADC中，∠ACD=30°，∠BAC=45°， AD 1 由正弦定理可得，sin30。sin180°-75' 分 ..AD=sin 30 1-2 1-2 6-V2 sin75°sin30°+45° 1V22V3 2 X 2222 -5分 (2)不妨设∠ACD=Q,则∠CBE=,∠ADC-3T-a,BE=cosa, 4 sin CD AC 4 在△ACD中，由正弦定理得 →CD= sina sin∠ADC 3 sin(4 - -8分 SAACD=AC·CD·sinm·∠ACD=CD Sin 4 2 则ScE BC·BE·sin·∠CBE BE sin(a)cosa 1+sim(2a+) -11分 由于2a&∈0 a+导e4in2a+e要 1+5in2a+ ∈2,1+V2 -13分 .S△cD∈2V2-2,1 15 SABCE 分 17.解：(1)设 ，，则 由题意知 ,所以 ,得 ，，所以 因为 ，得 ,故曲线的方程为 分 (2)设直线 ,联立方程组 消去得 ，所以 ①， --------7 分 由 得 ③， 由①③可得， 10 分 代入②化简得， 即 -12分 3 由 ,得 ,即 -13分 解得 ,即 -14分 从而直线在轴上的截距为 -15分 18.解：(1)在△ACD中，：AD=6,AC=3,CD=35,∴.AD2+AC2=CD2 .∴.AD⊥AC. 1分 ,PA⊥平 面 ABCD, ACC平 面 ABCD.∴.PA⊥AC -2分 .AD0 PA=A,ADC平面ADP,PAC平面ADP∴.AC⊥平面ADP --4分 ,PDC平面ADP.AC⊥PD -5分 (2)(1)以A为原点，AC,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角 坐标系，如图所示，，AD/IBC,AD=AP=2BC=2AC=6, CD=35. A0,0,0,C3,0,0,B3,-3,0,D0,6,0,P0,0,6, D PB=3,-3,-61,PD=0,6,-6, -6分 G为△PCD的重心，G1,22G元=2，-2，-2—-7分 设平面PBD的法向量为元=X1,y,24} 则心，，d, 取y1=1则21=1，x=3即元=3,11 -9分 ∴.GC·i=6-2-2=2'=11,|GO=23 设 GC与 平 面 PBD所 成 的角为， 则 sin0=|cos<n,GC>= n.GC 2 V33 cc V11×2333 V33 故GC与平面PBD所成角的正弦值为33： -11 分 (红）由(1)知，市=006a=122。设船=。则 A正=λAG=1,2λ，2入' P2=AF-AP=1,2λ，2-0,0,6=入，2入，21-6， -13分 由(i)知，平面PBD的法向量为元=31,1则P市⊥元：即P,元=0' 那+2i+2-6=0解闲A9C9 -17分 19.解：1fX=x+是xe2026,0. 由对勾函数性质，当x∈-2026，-1时，fx严格单调递增，在-1,0上严格单调递减， 当x∈-2026，-1时，若x<x,恒有fx<fxo, 所以fx在x∈-2026,0上的最大“2点”为-1； 分 (2)不存在“2点”，理由如下： fx-=30osx+1,令fx=0附ems名号 -5分 5 当∈3，x,fx=3sinx+单调递减，当x∈X, fx=3sinx+x单调递 增， 33+5m 23 23号 所以 f 33+2 2 3是 fx=3sinx+x在 5π 3 3 的最大 值， -7分 对任意 点” -9分 (3)由函数g(x)=(2+ax)ln(1+x)-2x在0,1上不存在"T点"， 得 g(x)≤g(0)在 [0,1]上 恒 成 立， -10分 求导得gx=aln(1+x]+2+ox-2,令u(x=an(1+x+2+-2,xe0,1. x+1 x+1 来wwwj57品a1t2**2a.2 (x+1)月 (x+1)2 当a≤0时，u(x)<0恒成立，函数ux)在[0,1]上单调递减， 则g(x)=ux]sg0)=an1+2±0-2=0. 0+1 因此函数g(x)在[0,1]上单调递减，g(x)≤g0),符合要 求； -12分 当a>0时，令0x+2a-2=0,则x=2-20=2-2, aa 0当名-2s0,即a≥1时，ux20,即ux在[0,11上单调递增，则 6 g(x)=u(x)≥g(0)=0,函数gx)在[0,1]上单调递增，gx)≥g(0),不符合要 求： -13分 2 L,即0<a≤时，ux<0恒成立，函数uX在01上 g(x)=u(x)≤g(0)=0,函数gx)在[0,1]上单调递减，此时g(x)≤g(0),符合要求； 14分 ®当 2∈01.号g<1时，若xe0,2-2ux刘0，若 a xe2-21.ux0, 西数ux在(0，子2止单调递减，在（名-21止单调递增，而 u0j=0,u(1)=aln2+a-2 若u(1)≤0，则u(x)≤0在[0,1]上恒成立，g(x)在[0,1]上单调递减，此时gx)≤g0), 若u(1)>0,则存在x∈(0,1)，使得u(x)=0,当x<x≤1时，u(x)>0, 函数g(x)在0，x]上单调递减，在x,1]上单调递增， 2 则要9(x)sg(0)恒成立，只91)≤g(0),解得a≤n22, 15 分 由22-1=2-3n2=lneh22he 2 -2<1, In2 In2 =1n2<0得n2 22、 由2 2_2(3-4ln2_2lne3-ln2) 2Q3 2 22 6>0得n2 3 33ln2 3ln2 3ln2 即当3 2 ≤n22时，符合要求，所以a的取值范围是a≤ In 2-2=210g22--17 分 7