夯基础 拓思维 育思维—以南宁市三模第15题为例的研题课件-2026届高三数学三轮冲刺复习

夯基础 拓思维 育素养 ——以南宁市2026届三模15题为例 1.7.2013 尊敬的各位评委、老师，大家好！今天我研说的题目是一道解三角形的综合题。解三角形作为高中数学的核心内容，不仅是连接代数与几何的桥梁，更是培养学生逻辑推理和运算求解能力的重要载体。本次研题，我将从试题呈现、溯源、分析、解答、改编及教学启示六个方面，对这道题进行深度剖析，希望能为大家的教学提供一些有益的参考。 ‹#› 目 录 01 命题立意 02 学情痛点 03 解题路径 04 变式拓展 05 教学启示 6 1.7.2013 本次研题说题将围绕这六个部分展开。首先，我们将一同审视题目本身；接着，追溯其在教材和高考中的根源；然后，深入分析其考点、能力要求和易错点；之后，我们将探讨多种解答策略；在此基础上，进行试题改编，拓展思维；最后，总结提炼出对我们日常教学的启示。 ‹#› 01 命题立意 15.（本题 13 分） 在 △ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c， 已知 cosC = ，且 c · sinA = 2。 (1) 求边长 a 的值； (2) 若 △ABC 的面积为 ，CD 为 AB 边上的高，求 CD 的长。 试题呈现 问1 做什么（求什么）？ 命题立意 01命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 首先，我们来看这道题的具体内容。题目给出了三角形一个角的余弦值cosC，以及一个边与角正弦值的乘积c sinA，设置了两小问，分别求边a和AB边上的高CD。题目条件清晰，但形式上并非我们常见的“两边一角”或“两角一边”，这就为解题设置了第一个小小的障碍，需要学生对公式有更深层次的理解。 ‹#› 01命题立意 一、命题来源与依据 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 首先，我们来看这道题的具体内容。题目给出了三角形一个角的余弦值cosC，以及一个边与角正弦值的乘积c sinA，设置了两小问，分别求边a和AB边上的高CD。题目条件清晰，但形式上并非我们常见的“两边一角”或“两角一边”，这就为解题设置了第一个小小的障碍，需要学生对公式有更深层次的理解。 ‹#› 01命题立意 二、核心立意 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 首先，我们来看这道题的具体内容。题目给出了三角形一个角的余弦值cosC，以及一个边与角正弦值的乘积c sinA，设置了两小问，分别求边a和AB边上的高CD。题目条件清晰，但形式上并非我们常见的“两边一角”或“两角一边”，这就为解题设置了第一个小小的障碍，需要学生对公式有更深层次的理解。 ‹#› 01命题立意 三、考查维度 维度 内容 知识 • 正弦定理、余弦定理 • 三角形面积公式 • 三角恒等变换公式 能力 • 逻辑推理能力与数学运算能力 • 数形结合思想的运用 • 数学建模与问题转化能力 素养 • 数学抽象：将实际问题抽象为数学问题 • 逻辑推理与数学运算：严谨推导与求解 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 首先，我们来看这道题的具体内容。题目给出了三角形一个角的余弦值cosC，以及一个边与角正弦值的乘积c sinA，设置了两小问，分别求边a和AB边上的高CD。题目条件清晰，但形式上并非我们常见的“两边一角”或“两角一边”，这就为解题设置了第一个小小的障碍，需要学生对公式有更深层次的理解。 ‹#› 02学情痛点 学生常见障碍 识图与符号混淆 a、b、c 与 A、B、C 对应关系理解不清，导致边、角匹配错位。 公式选择不当 对已知条件的特征判断不准，在正弦定理与余弦定理的选择上出现失误。 运算能力薄弱 在含根号、分数的复杂计算及负数余弦值的处理上容易出错，影响最终结果。 不会灵活变形 公式正向应用熟练，但逆向思维和灵活变形能力不足，例如由cosC求sinC时容易忽略符号判断。 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 首先，我们来看这道题的具体内容。题目给出了三角形一个角的余弦值cosC，以及一个边与角正弦值的乘积c sinA，设置了两小问，分别求边a和AB边上的高CD。题目条件清晰，但形式上并非我们常见的“两边一角”或“两角一边”，这就为解题设置了第一个小小的障碍，需要学生对公式有更深层次的理解。 ‹#› 02学情痛点 教学对策 建模引导 “已知两角一边 → 优先正弦定理” “已知两边夹角 → 优先余弦定理” 错题归因 三角函数符号的正负误判 三角形边角对应关系的混淆 变式训练 基础：给定“边”求“角” 进阶：给定“角”求“边” 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 首先，我们来看这道题的具体内容。题目给出了三角形一个角的余弦值cosC，以及一个边与角正弦值的乘积c sinA，设置了两小问，分别求边a和AB边上的高CD。题目条件清晰，但形式上并非我们常见的“两边一角”或“两角一边”，这就为解题设置了第一个小小的障碍，需要学生对公式有更深层次的理解。 ‹#› 03解题途径 解法一（分步求解）思路直观稳健，是所有学生必须掌握的基础通法。 第一步：求sinC 第二步：求a 问2 怎么做？ 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 对于第二问求高CD，常规解法是步步为营。首先，利用面积公式求出边b；然后，利用余弦定理求出边c；最后，再利用面积公式的另一种形式，即面积等于底乘高除以二，求出高CD。整个过程逻辑严密，步骤清晰，是学生应该掌握的基本方法。 ‹#› 03解题途径 解法一（分步求解）思路直观稳健，是所有学生必须掌握的基础通法。 第一步：求b 第二步：求c 第二步：求高CD 问2 怎么做？ 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 对于第二问求高CD，常规解法是步步为营。首先，利用面积公式求出边b；然后，利用余弦定理求出边c；最后，再利用面积公式的另一种形式，即面积等于底乘高除以二，求出高CD。整个过程逻辑严密，步骤清晰，是学生应该掌握的基本方法。 ‹#› 03解题途径 解法二 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 第一步：求sinC 第二步：求BE 第三步：求a 1.7.2013 对于第二问求高CD，常规解法是步步为营。首先，利用面积公式求出边b；然后，利用余弦定理求出边c；最后，再利用面积公式的另一种形式，即面积等于底乘高除以二，求出高CD。整个过程逻辑严密，步骤清晰，是学生应该掌握的基本方法。 ‹#› 得分点分析 步骤 关键过程 分值 学生常见失分点 第(1)问 1 由 cosC 正确求出 sinC 2分 忽略符号，写成负数 第(1)问 2 结合正弦定理推出 2分 无法建立已知条件与正弦定理的联系，无解题思路 第(1)问 3 正确求出 a 2分 计算时约去错误，或混淆分子分母导致结果错误 03解题途径 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 从难度上看，这道题属于中等难度，具有良好的区分度。它的易错点主要集中在四个方面：一是概念混淆，二是计算失误，三是思路僵化，特别是对`c sinA`这个条件的处理，是解题的关键，也是学生容易卡住的地方。四是方法选择不当，选择最优解法的能力也是本题考查的一个方面。这些易错点为我们的教学指明了方向。 ‹#› 得分点分析 步骤 关键过程 分值 学生常见失分点 第(2)问 1 明确CD是高，想到面积公式 1分 不知道用面积法 第(2)问 2 用面积公式代入数值求出b 1分 面积公式记错或代入计算出错 第(2)问 3 用余弦定理求c 3分 余弦定理公式记错 第(2)问 4 由面积公式求 CD 2分 倒数或约分错误 03解题途径 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 从难度上看，这道题属于中等难度，具有良好的区分度。它的易错点主要集中在四个方面：一是概念混淆，二是计算失误，三是思路僵化，特别是对`c sinA`这个条件的处理，是解题的关键，也是学生容易卡住的地方。四是方法选择不当，选择最优解法的能力也是本题考查的一个方面。这些易错点为我们的教学指明了方向。 ‹#› 优秀 11 - 13 分 所有公式准确无误，计算过程没有差错，逻辑推导步骤完整严密。 良好 8 - 10 分 解题思路正确，能找到核心方法，但在计算过程或符号使用上出现1-2处非关键性失误。 及格 5 - 7 分 能正确写出部分关键公式，但在逻辑链条上有缺失，或者步骤中出现较多错误。 待提高 < 5 分 无法正确运用基本公式，对题意理解不清，不能有效建立三角形边角关系，思路完全不通。 03解题途径 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 从难度上看，这道题属于中等难度，具有良好的区分度。它的易错点主要集中在四个方面：一是概念混淆，二是计算失误，三是思路僵化，特别是对`c sinA`这个条件的处理，是解题的关键，也是学生容易卡住的地方。四是方法选择不当，选择最优解法的能力也是本题考查的一个方面。这些易错点为我们的教学指明了方向。 ‹#› 解题路径小结：三层追问理清思路 做什么？ 任务拆解： 根据题目要求，我们的核心计算目标是： ① 求边长 a 的值 ② 求高 CD 的长度 怎么做？ 路径推演： 第一问：利用正弦定理，先求未知角，再求边长 a。 第二问：利用三角形面积公式 + 余弦定理组合，直接求解高 CD。 为什么这样做？ 原理支撑： • 选择正弦定理：题目给出“两角一边”的条件结构 • 选择余弦定理：在求高时，转化为已知“两边及其夹角”的模型，可直接构建方程求解。 03解题途径 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 接下来，我们来看具体的解答策略。首先是常规解法。对于第一问求a，思路非常清晰：首先利用同角三角函数关系，由cosC求出sinC；然后，关键的一步，利用正弦定理的变形公式a = c * sinA / sinC，将题目给出的c sinA作为一个整体代入，从而巧妙地求出a的值为3。这一步充分体现了对正弦定理变形的灵活运用。 ‹#› 04变式拓展 状态不变 → 条件隐蔽 → 背景迁移 改编一（容易，保持结构，改变数据） ▍ 改编题目 在 △ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，若 a = 3，c·sinA = 2。 (1) 求 sinC 的值； (2) 若 △ABC 的面积为 5/2，且 C 为钝角，求 cosC 的值和边 c 的长。 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 一道题的价值不仅在于会解，更在于能通过它学会一类题。下面我将展示几个改编方向。第一个改编是逆向思维，将条件和结论互换，由a求sinC，并增加了对C为钝角的判断，考查学生的逆向思维和逻辑判断能力。 ‹#› 04变式拓展 状态不变 → 条件隐蔽 → 背景迁移 改编二（中档，增加图形，条件隐含） ▍ 改编题目 在 △ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c。 已知：cosC = -1/3，c·sinA = 2，且 △ABC 的面积为 5/2。 CD 为 AB 边上的高。 求解下列问题： (1) 求边长 a 和 c 的值； (2) 求 △ACD 的周长。 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 一道题的价值不仅在于会解，更在于能通过它学会一类题。下面我将展示几个改编方向。第一个改编是逆向思维，将条件和结论互换，由a求sinC，并增加了对C为钝角的判断，考查学生的逆向思维和逻辑判断能力。 ‹#› 04变式拓展 状态不变 → 条件隐蔽 → 背景迁移 改编三（提升，跨模块综合题） ▍ 改编题目 在 △ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c。已知 cosC = -1/3，且 c·sinA = 2。 (1) 求边长 a 的值； (2) 若向量 m=(a,b)，n=(cosA,cosB) 且 m // n，求 △ABC 的面积。 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 一道题的价值不仅在于会解，更在于能通过它学会一类题。下面我将展示几个改编方向。第一个改编是逆向思维，将条件和结论互换，由a求sinC，并增加了对C为钝角的判断，考查学生的逆向思维和逻辑判断能力。 ‹#› 05 教学启示 日常教学中增加“给定条件，让学生说出选哪个定理、为什么选”的口头训练，引导学生从机械套用公式，转变为基于逻辑判断主动选择方法‘培养自我监控与调节的反思能力，避免“只做题、不总结”。 强化学科思维 教“选公式”而不是“套公式” 固定解题流程：要求学生在解题前明确写下三步：①已知什么 ②求什么 ③首选哪个工具，把抽象的元认知过程变成可落地的操作步骤，帮学生养成规范、有序的思维习惯。 注重元认知反思 把思维过程变成可操作动作 每讲一道中档题，刻意配套一个“容易版”和一个“综合版”变式题，让学生清晰看到思维的进阶路径，实现“做一题、通一类、会一片”，减少无效重复训练。引导学生从“只会解固定题型”，走向综合运用知识解决真实问题，让学习从“刷题”转向“解决问题”。 落实核心素养 “ 立足课堂 · 立足学情 · 立足素养 ” —— 构建以生为本的高质量学科教学体系 —— 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 1.7.2013 最后，谈谈这道题带给我们的教学启示。首先，要深化概念理解，让学生知其然更知其所以然，而不是死记硬背公式。其次，要强化数形结合，帮助学生建立几何直观。第三，要注重一题多解，培养学生的发散思维。 ‹#› 05 教学启示 教学的根本不是教学生“套公式、刷题目”，而是引导他们学会思考、学会反思、学会迁移，真正实现从知识到素养的跨越。 好的数学教学，是给学生一把“钥匙”，而不是一堆“锁”；是教会他们“选工具”，而不是“记题型”。 育人的核心在于看见每一个学生的成长节奏，用分层变式搭建思维阶梯，让学习成为看得见、摸得着的生长过程。 “ 立足课堂 · 立足学情 · 立足素养 ” —— 构建以生为本的高质量学科教学体系 —— 命题立意 解题路径 学情痛点 变式拓展 教学启示 育人价值 1.7.2013 最后，谈谈这道题带给我们的教学启示。首先，要深化概念理解，让学生知其然更知其所以然，而不是死记硬背公式。其次，要强化数形结合，帮助学生建立几何直观。第三，要注重一题多解，培养学生的发散思维。 ‹#› THANKS FOR LISTENING 感谢聆听 —— 敬请批评指正 —— 1.7.2013 我的研题说题到此结束。感谢各位评委和老师的聆听，不当之处，敬请批评指正！ ‹#› $