第二十章勾股定理单元检测基础卷2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章勾股定理单元检测基础卷 2025-2026学年人教版八年级下册数学 一、单选题 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．8，15，17 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 4．勾股定理在我国有着悠久的历史．三国时期的数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理．后人通常把如图所示的“勾股圆方图”称为“赵爽弦图”．赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理所运用的数学思想是（   ） A．数形结合 B．方程思想 C．转化思想 D．统计思想 5．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 6．如图所示，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧、两点间的距离，工人师傅测得，，则，两点间的距离为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 8．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．，， B．1，2，2 C．4，5，6 D．，， 9．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为，小正方形面积为1，则（    ） A． B． C．4 D． 10．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 11．小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 12．如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 二、填空题 13．如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 14．如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为．想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点B处的食物，那么它至少需要______秒（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 15．如图，阴影部分是八年级某班的班级菜园的示意图，经测量，，，，，则阴影部分面积为_________． 16．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 三、解答题 17．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 18．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 19．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 20．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 21．在正方形网格中，每个小方格的边长都是1，的位置如图所示，回答下列问题： (1)求的面积； (2)求边上的高． 22．如图在正方形网格中，每个小方格的边长为单位1，且每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形； (2)在图②中，画一个面积为10的正方形，并直接写出正方形对角线的长． 23．“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） (1)求BC段的长度（结果保留整数）； (2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 24．如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 25．太原市某学校为了促进学生全面发展，增强学生劳动实践能力，在校园内开辟了一块如图所示的三角形菜园，其中，，． (1)该菜园的边与是否垂直？请判断并说明理由． (2)现要扩大该菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十章勾股定理单元检测基础卷2025-2026学年人教版八年级下册数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A A A A A A C 题号 11 12 答案 D A 1．A 【分析】根据矩形的性质得到、及，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， 、、， 在中，由勾股定理得：， ． 2．A 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：∵原点坐标为，点坐标为， ∴根据勾股定理，点到原点的距离为：． 3．D 【详解】解：由勾股定理得，， 即正方形和正方形的面积和为． 4．A 【详解】解：赵爽弦图是通过几何图形的面积关系来推导代数的勾股定理公式， 把数和形结合起来，这种思想是数形结合思想． 5．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，梯子顶端离地面的距离为米， 故选：A． 6．A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB，再求出答案即可． 【详解】∵公路AC，BC互相垂直， ∴∠ACB=90°， ∵M为AB的中点， ∴CM=AB， ∵AC=3km，BC=4km，∠ACB=90°， ∴AB=5km， ∴CM=2.5（km）， 即M，C两点间的距离为2.5km， 故选：A． 【点睛】考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质掌：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 7．A 【分析】本题考查了勾股定理．电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题． 【详解】解：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形， 由题意知：米，米， （米） 故选：． 8．A 【分析】根据勾股定理的逆定理判断，即可得出结论． 【详解】解：A选项中，最长边为， ， 能作为直角三角形的三边长，本选项符合题意； B选项中，最长边为， ， 不能作为直角三角形的三边长，本选项不符合题意； C选项中，最长边为， ， 不能作为直角三角形的三边长，本选项不符合题意； D选项中，最长边为， ， 不能作为直角三角形的三边长，本选项不符合题意． 9．A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，求正弦值，解直角三角形，解题关键是明确题意，求出三角形的各边的长． 根据题意和题目中的数据，可以求出直角三角形各边的长，然后即可计算出的值． 【详解】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为， 由题意可得：，，， 解得：，，， ， 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 11．D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形面积公式计算面积即可． 【详解】∵ ， ∴ 该三角形是直角三角形，长为和的边为直角边， ∴ 该花坛的面积 ． 12．A 【分析】先用勾股定理的逆定理推出，再结合方位角和平行线的性质求出的度数，即可确定C相对于B的方位角． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 13．20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）． 故答案为：20． 14． 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【详解】解：如图所示： 作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵蚂蚁爬行的速度为， ∴它至少需要s. 故答案为：. 15． 【分析】作，交于点，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，从而求出，再根据等腰三角形的性质和勾股定理，可求，进而求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，作，交于点， ，，，即， ，则是的直角三角形， ， ，，， ， 在中，， ， ， 则阴影部分面积为． 16． 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】（1）解：根据题意，得， ， 则，即； （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为， ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得， ， ∴该飞镖状图案的面积是． 18．(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 19．(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， （4）解：，理由如下： 如图， 与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，， ∴． 20．雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 21．(1)4 (2)边上的高为 【分析】（1）过点A作，交的延长线于点D，再根据求解； （2）根据勾股定理求出，再利用等面积法求高即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作，交的延长线于点D， ∵， ∴的面积； （2）解：在中，， ， ， 设边上的高为，则的面积， ∴， ∴，即边上的高为． 22．(1)见解析 (2)见解析，对角线的长度为： 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，如果斜边长为，那么两条直角边长为2，据此即可画出符合题意的等腰直角三角形； （2）面积为10的正方形边长为，在网格中画出四条长度为的线段，再首尾相连即可． 【详解】（1）解：如图所示，斜边长为的等腰直角三角形即为所求： （2）解：如图所示，面积为10的正方形即为所求． 对角线的长度为： 23．(1)BC段的长度约为140米 (2)小汽车在BC段行驶时没有超速，理由见解析 【分析】（1）分别在和中求出求和，即可求出BC段的长度； （2）根据时间和BC段的长度计算出车速，与限速比较即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：段的长度约为140米； （2）解：小汽车没有超速，理由如下： 小汽车行驶的速度（米/秒）， ∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时， ∴小汽车在段行驶时没有超速． 24．(1)证明见解析 (2)见解析 (3)能完成卸货，理由见解析 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； （3）解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 25．(1)垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理可得，进而求出即可． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； （2）解：由（1）可知，， 在中，，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章勾股定理单元检测基础卷 2025-2026学年人教版八年级下册数学 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．8，15，17 【答案】D 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，，，∴2，3，4不是“勾股数”，不符合题意； B．∵，，，∴4，5，6不是“勾股数”，不符合题意； C．不是正整数，故1，，2不是“勾股数”，不符合题意； D．∵，，∴，∴8，15，17是“勾股数”，符合题意. 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：∵原点坐标为，点坐标为， ∴根据勾股定理，点到原点的距离为：． 3．如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由勾股定理得，， 即正方形和正方形的面积和为． 4．勾股定理在我国有着悠久的历史．三国时期的数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理．后人通常把如图所示的“勾股圆方图”称为“赵爽弦图”．赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理所运用的数学思想是（   ） A．数形结合 B．方程思想 C．转化思想 D．统计思想 【答案】A 【详解】解：赵爽弦图是通过几何图形的面积关系来推导代数的勾股定理公式， 把数和形结合起来，这种思想是数形结合思想． 5．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，梯子顶端离地面的距离为米， 故选：A． 6．如图所示，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧、两点间的距离，工人师傅测得，，则，两点间的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB，再求出答案即可． 【详解】∵公路AC，BC互相垂直， ∴∠ACB=90°， ∵M为AB的中点， ∴CM=AB， ∵AC=3km，BC=4km，∠ACB=90°， ∴AB=5km， ∴CM=2.5（km）， 即M，C两点间的距离为2.5km， 故选：A． 【点睛】考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质掌：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 7．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题． 【详解】解：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形， 由题意知：米，米， （米） 故选：． 8．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．，， B．1，2，2 C．4，5，6 D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理判断，即可得出结论． 【详解】解：A选项中，最长边为， ， 能作为直角三角形的三边长，本选项符合题意； B选项中，最长边为， ， 不能作为直角三角形的三边长，本选项不符合题意； C选项中，最长边为， ， 不能作为直角三角形的三边长，本选项不符合题意； D选项中，最长边为， ， 不能作为直角三角形的三边长，本选项不符合题意． 9．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为，小正方形面积为1，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，求正弦值，解直角三角形，解题关键是明确题意，求出三角形的各边的长． 根据题意和题目中的数据，可以求出直角三角形各边的长，然后即可计算出的值． 【详解】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为， 由题意可得：，，， 解得：，，， ， 故选：A． 10．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 11．小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形面积公式计算面积即可． 【详解】∵ ， ∴ 该三角形是直角三角形，长为和的边为直角边， ∴ 该花坛的面积 ． 12．如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 【答案】A 【分析】先用勾股定理的逆定理推出，再结合方位角和平行线的性质求出的度数，即可确定C相对于B的方位角． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 二、填空题 13．如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）． 故答案为：20． 14．如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为．想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点B处的食物，那么它至少需要______秒（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 【答案】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【详解】解：如图所示： 作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵蚂蚁爬行的速度为， ∴它至少需要s. 故答案为：. 15．如图，阴影部分是八年级某班的班级菜园的示意图，经测量，，，，，则阴影部分面积为_________． 【答案】 【分析】作，交于点，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，从而求出，再根据等腰三角形的性质和勾股定理，可求，进而求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，作，交于点， ，，，即， ，则是的直角三角形， ， ，，， ， 在中，， ， ， 则阴影部分面积为． 16．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 三、解答题 17．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】（1）解：根据题意，得， ， 则，即； （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为， ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得， ， ∴该飞镖状图案的面积是． 18．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 19．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， （4）解：，理由如下： 如图， 与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，， ∴． 20．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 21．在正方形网格中，每个小方格的边长都是1，的位置如图所示，回答下列问题： (1)求的面积； (2)求边上的高． 【答案】(1)4 (2)边上的高为 【分析】（1）过点A作，交的延长线于点D，再根据求解； （2）根据勾股定理求出，再利用等面积法求高即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作，交的延长线于点D， ∵， ∴的面积； （2）解：在中，， ， ， 设边上的高为，则的面积， ∴， ∴，即边上的高为． 22．如图在正方形网格中，每个小方格的边长为单位1，且每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． (1)在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形； (2)在图②中，画一个面积为10的正方形，并直接写出正方形对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，对角线的长度为： 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，如果斜边长为，那么两条直角边长为2，据此即可画出符合题意的等腰直角三角形； （2）面积为10的正方形边长为，在网格中画出四条长度为的线段，再首尾相连即可． 【详解】（1）解：如图所示，斜边长为的等腰直角三角形即为所求： （2）解：如图所示，面积为10的正方形即为所求． 对角线的长度为： 23．“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） (1)求BC段的长度（结果保留整数）； (2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 【答案】(1)BC段的长度约为140米 (2)小汽车在BC段行驶时没有超速，理由见解析 【分析】（1）分别在和中求出求和，即可求出BC段的长度； （2）根据时间和BC段的长度计算出车速，与限速比较即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：段的长度约为140米； （2）解：小汽车没有超速，理由如下： 小汽车行驶的速度（米/秒）， ∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时， ∴小汽车在段行驶时没有超速． 24．如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 (3)能完成卸货，理由见解析 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； （3）解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 25．太原市某学校为了促进学生全面发展，增强学生劳动实践能力，在校园内开辟了一块如图所示的三角形菜园，其中，，． (1)该菜园的边与是否垂直？请判断并说明理由． (2)现要扩大该菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理可得，进而求出即可． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； （2）解：由（1）可知，， 在中，，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $