精品解析：山东烟台市福山区2025-2026学年度第二学期期中学业水平考试初二数学试题

2025-2026学年度第二学期期中学业水平考试初二数学试题 温馨提示： 1．考试时间：120分钟 试卷满分：120分 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分．）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给诗词描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 锄禾日当午，汗滴禾下土 B. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟 C. 白日依山尽，黄河入海流 D. 离离原上草，一岁一枯荣 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A. 锄禾日当午，汗滴禾下土，是必然事件，故选项不符合题意； B. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件，故选项符合题意； C. 白日依山尽，黄河入海流，是必然事件， 故选项不符合题意； D. 离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件， 故选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 互余的两个角不一定相等 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据内错角、对顶角、余角及线段之间的关系即可求解． 此题主要考查命题的真假，解题的关键是熟知内错角、对顶角、余角及线段之间的关系． 【详解】解：A. 内错角不一定相等，故是假命题，符合题意； B. 对顶角相等，故是真命题，不符合题意； C. 互余的两个角不一定相等，故是真命题，不符合题意； D..两点之间，线段最短，故是真命题，不符合题意． 故选：A 3. 如图，在下列的条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、∵，，不符合题意； B、∵，∴，符合题意； C、 ∵，∴，不符合题意； D、，∴，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 4. （抽屉原理）一个盒子里有5个红球，3个白球和4个蓝球，至少需要摸（ ）个球才能保证有2个不同颜色的球． A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽屉原理，抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，本题的难点是理解要求“至少数”必须先取尽同色的一种5个．从最不利情况考虑，红色的5个球取尽，然后再取其它颜色，所以再取1个，就能保证有两种颜色不相同的球，据此解答． 【详解】解：（个） 答：至少需要摸6个球才能保证有2个不同颜色的球． 故选：C． 5. 关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 6. 现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解． 【详解】∵有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数， ∴摆出的三位数有405，450，504，540， ∴共4种可能，其中不是5的倍数是504，有1个， ∴摆出的三位数不是5的倍数的概率是． 故选：C． 7. 如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 某车间有60名工人生产A、B两种零件，1名工人每天生产A零件200个或B零件50个．2个A零件和1个B零件配成一套，应如何分配工人生产，才能使产品配套？设安排x名工人生产A零件，y名工人生产B零件，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等量关系为：生产A零件工人数量+生产B零件工人数量=60，A零件数量=2×B零件数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设安排x名工人生产A零件，y名工人生产B零件， 由题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 当时， D. 关于，的方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 10. 如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝∠CGE．其中正确的结论是( ) A. ②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【详解】①∵EG∥BC， ∴∠CEG=∠ACB， 又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确； ②∵∠A=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD=90°． ∵EG∥BC，且CG⊥EG， ∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠GCD，故正确； ③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误； ④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC， ∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°， ∴∠DFE=360°-135°-90°=135°， ∴∠DFB=45°=∠CGE，故正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知是方程的一个解，则a的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将代入方程，得到关于a的一元一次方程求解即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：． 12. 下列命题是真命题的是______．（填序号） ①四边形内角和为；②对顶角相等；③如果，那么；④两个锐角之和一定是锐角；⑤如果，那么． 【答案】①②##②① 【解析】 【详解】解：①根据多边形内角和定理，四边形内角和为，正确，是真命题； ②对顶角相等，是对顶角的性质，正确，是真命题； ③解方程， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得，错误，是假命题； ④两个锐角之和不一定是锐角，例如，是钝角，错误，是假命题； ⑤如果，那么，可以为负数，错误，是假命题； 综上所述，是真命题的是①②． 13. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为______． 【答案】##30度 【解析】 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴ 由折叠得，． 14. 从，，三个数中任取一个，作为一次函数的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定总共有3种等可能的k的取值结果，再根据一次函数的性质得到y随x增大而增大的条件，找出符合条件的结果数，结合概率公式计算即可． 【详解】解：根据一次函数的性质，当时，一次函数的随的增大而增大， 从，，三个数中任取一个， 共有种等可能的结果，其中满足的结果只有种． 由概率公式可得，所得一次函数中随的增大而增大的概率是． 15. 关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 16. 如图，已知，，，则的度数为______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】过C作，过D作，根据平行线的判定与性质可得出，，，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：过C作，过D作， ∵， ∴， ∴，，， ∴ ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 18. 我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，，，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程______“幸福”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； （3）若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值． 【答案】（1）不是 （2）2 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，列出关于的方程组，求出的值，再解关于的方程组，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【小问1详解】 解：∵方程中，， ∴方程不是“幸福”方程； 【小问2详解】 解：∵关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵关于x，y的“幸福”方程组是“幸福”方程组， ∴ ∴， ∴原方程组为，解得， ∴， ∴． 19. 在一个不透明的袋中装有3个白球、4个黑球和7个红球，每个球除颜色外其余都相同． （1）任意摸出1个球，摸到红球是______事件，摸到黄球是______事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） （2）从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ （3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的14个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是，求后来放入袋中的黑球的个数． 【答案】（1）随机，不可能 （2） （3）后来放入袋中的黑球的个数是2 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类求解； （2）根据概率公式求解； （3）设后来放入袋中的黑球的个数是x，根据“从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是”列方程求解． 【小问1详解】 解：∵在一个不透明的袋中装有3个白球、4个黑球和7个红球， ∴任意摸出1个球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件； 【小问2详解】 解：， ∴摸到白球的概率是； 【小问3详解】 解：设后来放入袋中的黑球的个数是x． 依题意得：， 解得． 答：后来放入袋中的黑球的个数是2． 20. 如图，在中，点D、F在边上，点E在边上，点G在上，与的延长线交于点H，，． （1）判定和的位置关系，并说明理由． （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明出，得到，等量代换得到，即可得到； （2）由 得到，，然后推出，得到，然后结合求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b （1）完成上述表格：______，______； （2）这种树苗成活的概率估计值为______（精确到0.1）． （3）如果想要有500棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】（1）117，0.80 （2）0.8 （3）在相同条件下至少需要买625棵树苗 【解析】 【分析】（1）利用频率成活的棵数每批棵数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用500除以成活概率进行估算即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是； 【小问3详解】 解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买625棵树苗． 22. 如图，直线与直线相交于点． （1）求b的值； （2）直接写出方程组的解； （3）若交x轴于点A，交x轴于点B，且，求直线对应的函数表达式． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数与方程组之间的关系是解题的关键． （1）已知点在上，故将点坐标代入函数解析式，即可求得的值； （2）二元一次方程组的解为与的交点坐标，根据上问求解即可直接得到方程组的解； （3）在上，求出当时，对应点的坐标，设出点坐标，利用三角形面积公式，即可求得点坐标，分别将点与点坐标代入函数式，即可求得对应函数表达式． 【小问1详解】 解：根据题意可知：点在直线上， 则， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴交点坐标是， ∴方程组的解是； 【小问3详解】 解：直线中，当时，， 故点坐标为，设点坐标为， 故， 解得：， 故点坐标为， 将点、点坐标代入方程，可得：， 解得：， 故直线对应函数表达式为：． 23. 综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 为建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，某区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发＋智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从该区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 （1）任务1：计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ （2）任务2：若该销售企业计划正好用130万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少2台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． （3）任务3：结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1）H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元 （2）方案一：购买2辆H型新能源汽车，10辆Q型新能源汽车； 方案二：购买4辆H型新能源汽车，7辆Q型新能源汽车； 方案三：购买6辆H型新能源汽车，4辆Q型新能源汽车 （3）购买2辆H型新能源汽车，10辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.5万元 【解析】 【分析】（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆，根据题意列出二元一次方程，然后根据m，n均为正整数且大于等于2求解； （3）根据（2）中的方案分别求解判断即可． 【小问1详解】 解：设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元， 由题意得：， 解得， ∴H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元． 【小问2详解】 解：设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆， 由题意得：， ∵m，n均为正整数且大于等于2， ∴解得①②③， 即方案一：购买2辆H型新能源汽车，10辆Q型新能源汽车； 方案二：购买4辆H型新能源汽车，7辆Q型新能源汽车； 方案三：购买6辆H型新能源汽车，4辆Q型新能源汽车； 【小问3详解】 解：方案一：（万元）， 方案二：（万元）， 方案三：（万元）． ∵， ∴购买2辆H型新能源汽车，10辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.5万元 24. 问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作， ∴______， ∵，， ∴____________， ∴， ∴， 即． （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，求的度数． 【答案】（1）；； （2） 解：如图③，过点B作交的延长线于点G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）如图②中，过点E作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可； （2）如图③中，过点B作交的延长线于点G，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可； （3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中学业水平考试初二数学试题 温馨提示： 1．考试时间：120分钟 试卷满分：120分 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分．）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给诗词描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 锄禾日当午，汗滴禾下土 B. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟 C. 白日依山尽，黄河入海流 D. 离离原上草，一岁一枯荣 2. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 互余的两个角不一定相等 D. 两点之间，线段最短 3. 如图，在下列的条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. （抽屉原理）一个盒子里有5个红球，3个白球和4个蓝球，至少需要摸（ ）个球才能保证有2个不同颜色的球． A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某车间有60名工人生产A、B两种零件，1名工人每天生产A零件200个或B零件50个．2个A零件和1个B零件配成一套，应如何分配工人生产，才能使产品配套？设安排x名工人生产A零件，y名工人生产B零件，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 当时， D. 关于，的方程组的解为 10. 如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝∠CGE．其中正确的结论是( ) A. ②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知是方程的一个解，则a的值为________． 12. 下列命题是真命题的是______．（填序号） ①四边形内角和为；②对顶角相等；③如果，那么；④两个锐角之和一定是锐角；⑤如果，那么． 13. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为______． 14. 从，，三个数中任取一个，作为一次函数的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是______． 15. 关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 16. 如图，已知，，，则的度数为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程组： （1）； （2）． 18. 我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，，，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程______“幸福”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； （3）若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值． 19. 在一个不透明的袋中装有3个白球、4个黑球和7个红球，每个球除颜色外其余都相同． （1）任意摸出1个球，摸到红球是______事件，摸到黄球是______事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） （2）从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ （3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的14个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是，求后来放入袋中的黑球的个数． 20. 如图，在中，点D、F在边上，点E在边上，点G在上，与的延长线交于点H，，． （1）判定和的位置关系，并说明理由． （2）若，且，求的度数． 21. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b （1）完成上述表格：______，______； （2）这种树苗成活的概率估计值为______（精确到0.1）． （3）如果想要有500棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 22. 如图，直线与直线相交于点． （1）求b的值； （2）直接写出方程组的解； （3）若交x轴于点A，交x轴于点B，且，求直线对应的函数表达式． 23. 综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 为建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，某区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发＋智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从该区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 （1）任务1：计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ （2）任务2：若该销售企业计划正好用130万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少2台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． （3）任务3：结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 24. 问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作， ∴______， ∵，， ∴____________， ∴， ∴， 即． （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $