21 微专题6 平行四边形中的最值问题-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·八年级·下册(R) 微专题6平行四边形中的最值问题 新课学 模型1：利用几何基本事实确定最值 基本事实1垂线段最短：如图1，直线l外有一定点A,点B是l上一动点，当AB ⊥L时，线段AB最短. B 图1 基本事实2两点之间，线段最短： 如图2，根据线段的基本事实可知：AB≤AC+BC, 图2 当A,C,B三点在一条直线上时，AB最大=AC+BC 模型2利用轴对称变换确定最值 如图3，A,B是直线l同侧的两个定点，点P是直线l上一动点，作点B关于直线1的 对称点B',连接AB交直线L于点P,此时PA十PB=AB'的值最小. 图3 核 心讲练 类型1：利用“垂线段最短”求最值 1.例如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,且2.如图，在边长为2的等边△ABC中，D是AC上 有一点P从点B沿着BD往点D移动，若过点P 动点，连接BD,以BD,AD为邻边作平行四 作AB的垂线交AB于点E,过点P作AD的垂 边形BDAE,则对角线DE的最小值为 线交AD于点F,则EF的长度最小为 A号 B24 5 C.5 D.7 类型2：利用“两点之间，线段最短”求最值 类型3：利用轴对称求最值 3.例有一架竖直靠在直角墙面 4.例 如图，菱形ABCD的 的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯 边长为2√3，∠DAB=60°， 住位于梯子正中间的老鼠，等待 点E为BC边的中点，点P 与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老 为对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值 鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如 为 图，∠ABC=90°，点M,N分别在射线BA,BC 5.如图，正方形ABCD的边长为3， A 上，MN长度始终保持不变，MN=4米，E为 点E在BC上，且BE=2,点P在 MN的中点，点D到BA,BC的距离分别为4 对角线BD上，则PE+PC的最 米和2米.在此滑动过程中，则BE+DE的最 小值为 小值为 ●>40● 第二十一章 四边形 过关检测 -● 基础训练 D 7.如图，∠MON=90°，长方形 M 6.如图，正方形ABCD的边长为3， 点E在边AB上，且BE=1,若点 ABCD的顶点B,C分别在边 P在对角线BD上移动，则PA十 OM,ON上，当B在边OM上 PE的最小值是 运动时，C随之在边ON上运动，若CD=5, BC=24,运动过程中，点D到点O的最大距离 为 能力训练 8.如图，菱形ABCD的两条对 9.如图，以边长为4的正方形的中 角线的长分别为6和8，点P 心O为端点，引两条相互垂直的 是对角线AC上的一个动点， 射线，分别与正方形的边交于A, 点M,N分别是边AB,BC B两点，则线段AB的最小值为 的中点，则△PMN周长的最小值是 拓展训练 10.如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE,△CBF分别沿DE,BF翻折， 点A,点C都恰好落在点O处， (1)求证：∠EDO=∠FBO; (2)求证：四边形DEBF是菱形； (3)如图2，若AD=2,点P是线段ED上的动点，则2AP+DP的最小值为 ●>41●数学八年级下册(RJ) .四边形EFGH是菱形， ,BD⊥AC,.EF⊥FG, .四边形EFGH是正方形， 过关检测 5.AC=BD6.1:2 7.(1)证明：，'CE,CF分别是△ABC的内外角平分线， ∠ACE+∠ACF=Z×180=90, AE⊥CE,AF⊥CF, .∠AEC=∠AFC=90°，∴.四边形AECF是矩形： (2)解：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方 形，理由是：“∠ACE=号∠ACB=45,∠AEC=90°， .∠EAC=45°=∠ACE,∴.AE=CE, .四边形AECF是矩形，.四边形AECF是正方形. 8.(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF, .∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC, 又∠BAC=45°， ∴∠EAF=2∠BAD+2∠DAC=2∠BAC=90°， 又AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°， ∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， .四边形AEGF是矩形.又，AE=AD,AF=AD, .AE=AF,.矩形AEGF是正方形. (2)6 微专题5中点四边形 核心讲练 1.(1)平行四边形(2)菱形(3)矩形(4)正方形 2.解：四边形EFGH是菱形.证明如下： :点E,H是中点，∴EHL号BD, 同理FGL合BD,∴CHLFG,. .四边形EFGH是平行四边形， 又：点E,F是中点，∴EF=分AC, 又，AC=BD,∴.EH=EF,.□EFGH是菱形 3.证明：点H,G是中点，HGL2AC, 同理EFLTAC,∴HGLEF, .四边形EFGH是平行四边形， 又点G,F是中点，GF∥DB, .GF∥DB,HG∥AC,∠COD=90°， ∴.四边形MONG是矩形，.∠HGF=90°， ∴.四边形EFGH是矩形， 4.正方 过关检测 5.c6.824x() 8.解：(1)当矩形的长AD=2AB时，四边形PEMF为矩形； 证明如下：，四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,AB=CD,∠A=∠D=90°， .AD=2AB,M是AD的中点，∴.AB=AM=DM=CD, ∴.△ABM和△DCM是等腰直角三角形，且BM=CM, ∴∠AMB=∠DMC=45°，∴.∠BMC=90°， PE⊥CM,PF⊥BM,∠PFM=∠PEM=90°， .四边形PEMF为矩形； (2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形； 证明如下：.P为BC的中点，PF∥MC, .F为MB的中点，.PF为△BCM的中位线， ·PF=2CM=令BM=MF, ∴矩形PEMF为正方形. 第31课时特殊的平行四边形习题课 新课学习 (1)直角(2)相等 (1)有一个角是直角(2)对角线相等 (3)有三个角是直角 (1)相等(2)互相垂直 (1)一组邻边相等(2)对角线互相垂直(3)四条边相等 (1)相等(2)直角(3)相等且互相垂直 (1)一组邻边相等(2)有一个角是直角 核心讲练 1.422√32.6022√3823 3.(1)证明：在矩形ABCD中AC=BD,OC=2AC, OD-BD,:.0C=OD, ,DE∥AC,CE∥BD,∴.四边形OCED是平行四边形， ∴.四边形OCED是菱形. (2)24 过关检测 4.B5.①②⑤ 6.证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点， .AD∥BC,AO=CO, ∴.∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC, .△AOM≌△CON(AAS),.AM=CN, ∴.四边形ANCM为平行四边形. 2号 7.解：(1)当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP, 即：t=8-t,解得t=4, ∴当t=4时，四边形ABQP是矩形； (2)设t秒后，四边形AQCP是菱形，当AQ=CQ时， 即√4+平=8-t时，四边形AQCP为菱形， 解得t=3,∴当t=3时，四边形AQCP是菱形； (3)当t=3时，CQ=5,则周长为4CQ=20(cm), 面积为4×8-2×号×3×4=20(cm2)。 微专题6平行四边形中的最值问题 核心讲练 1.B2.√33.2√5米4.35.√13 过关检测 6.107.258.99.22 10.证明：(1)，四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD, :将△ADE,△CBF分别沿DE,BF翻折，点A,点C都恰 好落在点O处，.△ADE≌△ODE,△CFB2△OFB, ·∠ADE=∠ODE=号∠ADB, ∠CBF=∠OBF=z∠CBD,∠EDO=∠FBO: (2).∠EDO=∠FBO,.DE∥BF, 四边形ABCD是矩形，.AB∥CD,AD=BC,∠A=90°， DE∥BF,AB∥CD,.四边形DEBF是平行四边形， 又.△ADE△≌△ODE,.∠A=∠DOE=90°， .EF⊥BD,∴.四边形DEBF是菱形. (3)23 12