精品解析：新疆生产建设兵团第二师八一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

八一中学2025—2026学年第二学期高一年级期中考试试题 数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列几何体为多面体的是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台 2. 已知i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点、，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（ ） A. 8 B. C. D. 4 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则边a的长为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数z在复平面上对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 10. 已知某圆锥的高为2，轴截面面积为4，则（ ） A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 11. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则是锐角三角形 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则实数_______________. 13. 在中，，的面积为________． 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 四、解答题（共5小题，其中15题13分，16、17题各15分，18、19各17分共77分） 15. 计算： （1）； （2）. 16. 根据下列条件解三角形 （1）在中，已知，，，解三角形； （2）在中，已知，，，求a； 17. 如图所示，长方体的底面是边长为2的正方形，其体积为16． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥的表面积． 18. 已知向量，． （1）求； （2）若，求的值； （3）求与的夹角的余弦值． 19. 在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八一中学2025—2026学年第二学期高一年级期中考试试题 数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列几何体为多面体的是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台 【答案】A 【解析】 【分析】由多面体的概念可得结果. 【详解】由多面体的概念可知，长方体为多面体，圆锥、圆柱、圆台都不是多面体. 故选：A. 2. 已知i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，即可得到结果. 【详解】由复数的几何意义可知复数在复平面上对应的点的坐标为. 故选：C. 3. 已知点、，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解. 【详解】因为， 故选：C 4. 已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】． 5. 已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先需要由斜二测画法规则还原平面图形，由条件求出，由勾股定理可求出. 【详解】根据题意，的直观图是直角三角形，且，所以，还原，如图所示， 原图中，，，所以. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则边a的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】， 根据正弦定理，即. 7. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 故选：B. 8. 如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数z在复平面上对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意得，分别求模、共轭复数、化简即可得到结果. 【详解】根据复数z在复平面上对应的点为，则，所以A错； ，所以B错； ，所以C正确； ，所以D正确． 故选：CD． 【点睛】本题主要考查复数的基本概念的理解，属于基础题. 10. 已知某圆锥的高为2，轴截面面积为4，则（ ） A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由轴截面的面积可得底面圆的半径，以及母线，然后结合圆锥的表面积公式以及体积公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】设该圆锥的底面半径为，则，解得， 则该圆锥的母线长为，A正确. 该圆锥的体积为，B错误. 该圆锥的侧面积为，C错误. 与该圆锥同底等高的圆柱的体积为，D正确. 故选：AD 11. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则是锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据大角对大边及正弦定理即可判断A；根据正弦定理及二倍角公式可得到或，即可判断B；结合锐角三角形的性质及正弦函数的单调性即可判断C；根据正弦定理及余弦定理即可判断D. 【详解】对于A：在中，因为，所以，由正弦定理得，A正确； 对于B：在中，由及正弦定理，得， 即，则或，整理得或， 则是等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C：若为锐角三角形，则，，所以. 又在单调递增，所以，即，C正确. 对于D：由及正弦定理，得， 又由余弦定理，得，即角C是钝角，因此是钝角三角形，D错误. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则实数_______________. 【答案】6 【解析】 【分析】由以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】若，则，则， 故答案为：. 13. 在中，，的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理及三角形的内角和定理，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】在中，已知，，， 由正弦定理得，解得 由于，所以为锐角，即，因此， 故的面积为. 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 四、解答题（共5小题，其中15题13分，16、17题各15分，18、19各17分共77分） 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的加、减法计算即可； （2）利用复数的除法计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 根据下列条件解三角形 （1）在中，已知，，，解三角形； （2）在中，已知，，，求a； 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理求出，从而可得，，再由三角函数可得的值； （2）由余弦定理可得的值. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， ∴，∴，∴. 【小问2详解】 由余弦定理可得，∴. 17. 如图所示，长方体的底面是边长为2的正方形，其体积为16． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥的表面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）先由柱体的体积公式求出，再由锥体的体积公式求解即可； （2）由三棱锥的表面积公式求解即可. 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 记三棱锥的表面积为，则， 几何体为长方体， 均为直角三角形，为等腰三角形， ， ， ， ， ． 18. 已知向量，． （1）求； （2）若，求的值； （3）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，根据模长的坐标计算即可求解； （2）利用向量平行的坐标表示即可求解； （3）根据，代入坐标运算即可； 【小问1详解】 由题意得． 故 【小问2详解】 ， ． 因为，所以． 即，解得． 【小问3详解】 ． 又． 故． 19. 在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； 解法二：由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； （3）由结合三角形的面积公式得出，利用基本不等式可得出的最小值，由此可求得面积的最小值. 【小问1详解】 由及正弦定理得： ， 因为、，所以，则，故. 【小问2详解】 解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，， 即， 由余弦定理可得，即， 所以，故的面积为. 【小问3详解】 因为，平分，所以， 又，则由，得， 所以， 由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $