题号猜押03 江苏苏州中考数学8题（选择题）+15-16题（填空题）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押01 江苏苏州中考数学8题（选择题）+15-16题（填空题） 考点1 二次函数综合 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③三角形ACD是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有(    ) A．①③④ B．②④ C．②③ D．②③④ 2．（2026·江苏苏州·一模）定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数是勾股二次函数，且其图像与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．下列结论：①②③若，则，④若该函数图像的对称轴为直线，则，其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 3．（2026·江苏徐州·一模）函数图像的大致位置如图所示，则，，，，，等代数式的值中，正数有（   ） A．4个 B．3个 C．1个 D．2个 4．（2026·江苏无锡·二模）规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 5．（2026·江苏南通·一模）已知抛物线和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是 考点2 相似综合运用 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在三角新那个ABC中，，，的顶点在边上运动（点不与点重合），且，，直线与直线相交于点，连接，则下列结论：①；②的面积等于的面积；③线段的最大值为；④周长的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 2．（2026·江苏宿迁·一模）如图所示，已知双曲线（）和（），直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在三角形ABC中，为边上一点，连接．点为中点，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏宿迁·一模）如图，点A在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，则三角形ABC的面积为 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为 考点3 四边形综合 1．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，F．当点的位置变化时，长的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作平行四边形APCQ，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，，，P是上一点，将绕点C逆时针旋转时，点P的对应点恰好落在上，则的长为 5．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在三角形ABC的边上，下列说法正确的是（   ） A． B．点F在的平分线上 C． D． 考点4 旋转综合 1．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，．点是上的一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．点在从向运动的过程中，线段的最小值为(   ) A．4 B． C．2 D． 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在三角形ABC中，，．将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转后得三角形ADE，与相交于点F．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，，，，将三角形ABC绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·一模）如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东济南·二模）如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点，若，，则的长为（   ） A．12 B．20 C．30 D．40 6．（2026·福建南平·一模）在矩形中，点E在边上，，将沿着翻折，点C的对应点F恰好落在线段上，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山东泰安·一模）如图，已知正方形，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，，，E为边中点，G为边上一点，P为对角线上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，，下列说法错误的是（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．连接，若，则的最小值为 D．的最小值为 9．（2026·四川眉山·一模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，于点，交于点，于点，交的延长线于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，则．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（2026·重庆·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点E在边上，连接，作交的角平分线于点F，交于点H，连接交于点M．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·山东淄博·一模）如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·重庆·一模）如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏南京·一模）如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为，则 14．（2026·广东东莞·一模）如图，在矩形中，是矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，使点在线段上，交于点，交于点，则的值为 15．（2026·北京石景山·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形．给出下面四个结论： 当时，点的纵坐标是； 点与原点距离的最小值是； 若点在轴正半轴上，则点的横坐标是； 若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是． 上述结论中，所有正确的结论的序号是 16．（2026·天津和平·二模）如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为 17．（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为 18．（2026·山东枣庄·一模）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，对于任意两点（且），若（是常数），则称线段是一条“倍率线段”．下列说法中正确的有（   ） ①若，则线段是一条3倍率线段； ②若，在函数的图像上，则有且只有一条2倍率线段； ③若，在函数图像上，且是1倍率线段，则长为或； ④二次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在该二次函数位于第一象限内的图像上，且线段是倍率线段，当的长度最大时，点的坐标为． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①③④ 20．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接． ①点E在的内部； ②的长为； ③若P与C重合，则； ④在P的运动过程中，若，则； ⑤N是的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是． 则正确的选项为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押01江苏苏州中考数学8题（选择题）+ 15-16题（填空题） 押题预测 ·考点1二次函数综合 1. (2026江苏无锡.一模)如图，0是坐标原点，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于 A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D,对称轴为直线x=-2,其中A(2,0),B(0,C,且-3<c<-2.以下 结论：①a6c>0:②。a<好：@三角形ACD是纯角三角形：④若方程ar+b-2x+G=0的两根为X、 6 xx,<x,),则-2<x<4-2√7,6<x2<4+2V7.其中正确结论有() D A.①③④ B.②④ C.②③ D.②③④ 【答案】D 【分析】首先由抛物线开口向上得到α>0，然后由对称轴得到b>0,然后由抛物线与y轴交于负半轴得到 c<0,即可判断①；②由对称轴为直线x=-2,根据A2,0)在抛物线上，得出c=-12a,根据-3<c<-2, 即可得出a<根据4CD是直角三角形时，∠4DC=90,DEE:4,结合②的结论出 令DB<4,进而可得△A0D是韩猪三角形，即别断®，根摇<d<分别将a和。解方程需 6 出方程的解，进而判断④ 【详解】解：抛物线开口向上， a>0, :对称轴为直线x=-6=-2 2a b>0, :抛物线与y轴交于负半轴， 1/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .c<0, .abc<0, 故①不正确； :对称轴为直线x=-2, .b=4a, :A2,0)在抛物线上， .4a+2b+c=0, :4a+8a+c=0, c=-12a, “-3<c<-2, :-3<-12a<-2, 名a行放②正， 1 如图，设直线x=-2与x轴交于点E, YA E B 依题意，AE=EC, 当△ACD是直角三角形时，∠ADC=90°， DE=AE =4 对称轴为直线x=-2, 点D的纵坐标为：4a-2b+c=4a-2×4a+c=c-4a=-12a-4a=-16a 1 4 8 -4<-16a< 3 即8<DE<4 ∴△ACD是钝角三角形，故③正确： 1 <a< 6 4 a=2时，b-2 3c=-12a=-2, 2/63 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,124 访程ar2+(6-2x+c=0为后2-行-2=0， 6 解得：x=4±2√7 当a=4时，b=4a=lc=-12a=-3 方程ax2+(b-2)x+c=0为二x2-x-3=0, 4 解得：x=-2或6 若方程ax2+(b-2)x+c=0的两根为x1、x,x,<x2),则-2<x<4-27,，6<x,<4+2√万.故④正确 2.(2026江苏苏州一模)定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的 三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数.如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠O)是勾 股二次函数，且其图像与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,下列结论：① 0C=01:0B,②ac=-山③若0B=401,则6=}，④若该函数图像的对称轴为直线r=1,则bc=2,其 中正确的是() A.①② B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】D 【分析】连接AC、BC,如图，利用新定义得到LACB=90°，先证明RtaAC0∽RtaCBO,则利用相似三角 形的性质得到0C:0B=0A:0C,从而可对①进行判断；设A(m,0),B(n,0),则0A=-m,0B=n,利 用根与系数的关系得到m=C,由于0C=c,0C2=0A:0B,所以c2=-mm,即c2=-C,所以ac=-1, 当08=40A,则n一4m,利用根与系数的关系得到m+n三 a 去m、n得到6=-9ac,则利用62=-94 ac可对③进行判断；若该函数图象的对称轴为直线x=1,根据对 A 4 称轴方程得到b=-2a,所以bc=-2ac,则利用ac=-1可对④进行判断. 【详解】解：连接AC、BC,如图， 3/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ~二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是勾股二次函数， .∠ACB=90°， ∠AC0+∠BC0=90°，LBC0+∠CB0=90°， LAC0=∠CB0, ∴.RtAACO∽RtACBO, 0C:0B=0A:0C, ∴OC2=OAOB,所以①正确： 设A(m,0),Bn,0),则0A=-m,0B=n, m、n为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根， i.mm=c, a 当x=0时，y=ax2+bx+c=c, C0,c, 0C=c, OC2=0A.OB, c2=-mn, ∴c2=-C a ac=-1,所以②正确； 当0B=40A,则n=-4m, “m+n=-b,mn=C, b a a 六m-4m=-b -4m2=C a a 解得m= b 3a .-4× 9aa1 4/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4ac, 而ac=-1, b=9 所以③正确： 若该函数图象的对称轴为直线x=1, 6 2a =1, b=-2a, ∴bc=-2ac, ac=-1, ∴bc=2,所以④正确 综上，正确的结论有①②③④，共4个. 3.(2026江苏徐州一模)函数y=ax2+bx+c图像的大致位置如图所示，则ab,bc,2a+b, (a+c2-b2,(a+b2-c2,等代数式的值中，正数有() A.4个 B.3个 C.1个 D.2个 【答案】C 【分析】根据函数的开口方向以及与坐标轴交点位置、对称轴位置判断函数值符号，确定a,b,C及相关代数 式的符号 【详解】解：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴， .a<0,c<0:, 对称轴x=一力在y轴右侧。 2a -b>0,即b>0: ：2a .ab<0,bc<0; 5/63 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由图可知对称轴x:-力<1，且a<0, 2a -b>2a,即2a+b<0: 当x=1时，y=a+b+c>0,当x=-1时，y=a-b+c<0; ∴.(a+c)2-b2=(a+c+b)(a+c-b)=(a+b+c(a-b+c<0: :a+b+c>0,c<0, ∴.a+b-c=(a+b+c-2c>0, ∴.(a+b)2-c2=(a+b+ca+b-c>0; 综上所述，正数只有(a+b)2-2这1个. 4.(2026江苏无锡二模)规定：对于某个函数，若在自变量x的取值范围为a≤x≤b时，对应的函数值y 全部满足a+乃≤y≤b+y2,其中y是x=a时对应的函数值，其中2是x=b时对应的函数值，则称 a≤x≤b为该函数的融值区间.下列结论正确的是() ①1≤x≤3是函数y=2x-1的融值区间； ②函数y=4(x<0)不存在融值区间； ③0≤x≤4是函数y=x2+6x的融值区间； ④若t≤x≤3是函数y=x2的融值区间，则-4≤1≤0. A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 【答案】B 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数性质求出给定区间内y的取值范围，对比定 义要求的范围即可判断正误 【详解】解：对于①，a=1,b=3,函数y=2x-1, ×4=2×1-1=1,y2=2×3-1=5, 要求y满足1+1≤y≤3+5，即2≤y≤8， ~y=2x-1在1≤x≤3上单调递增， y的范围是1≤y≤5，存在y<2,不满足定义，故①错误 6/63 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 对于②，假设存在融值区间a≤x≤b<0,y=二， %少在<0单调减， 44 y的范围是4≤y≤4，要求满足4≤b+ 4 b a a 整理得4b-≤b,左边分子分母都为正，故左边为正数，右边b<0,正数不可能小于等于负数，假设 ab 不成立， 若a=b,上式得0≤b,与假设b<0矛盾： 故不存在融值区间，②正确； 对于③，a=0,b=4,函数y=x2+6x, y1=02+6×0=0,y2=42+6×4=40, ∴要求y满足0+0≤y≤4+40，即0≤y≤44， ~y=x2+6x开口向上，对称轴为x=-3,在0≤x≤4上单调递增，y的范围是0≤y≤40，全部满足 0≤y≤44，符合定义，故③正确： 对于④，a=t,b=3,函数y=x2,y1=t,y2=9，要求满足1+≤y≤12， y=x2开口向上，顶点在(0,0)， 当1≤0≤3时，y最小值为0，可得0≥t+t2,解得-1≤t≤0， 当0<1≤3时，y最小值为2，要求t2≥t+t2得1≤0，矛盾无解， t的范围是-1≤t≤0，不是-4≤1≤0，故④错误； 综上，正确结论为②③。 5.(2026江苏南通一模)已知抛物线y=ax2-3a2x+c(a>0),A(x,以)和B(4a,y2)是抛物线上的两点，对 于3≤x≤4都有y<2,则a的取值范围是 【答案】a>1 【分析】通过作差法分解因式，判断因式符号后，根据恒成立条件即可求出α的取值范围 【详解】解：Ax,y),B(4a,y2)在抛物线y=ax2-3a2x+c(a>0)上， 7/63 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .y=axi-3a'x+c,y2=af4a)-3a2.4a+c=4a+c, y-y2=ax2-3a2x+c-4a3+c=ax2-3ax1-4a2)）=a(x-4a)(x+a）, 对任意3≤x≤4，都有片<y2,即-y2<0, a>0,x23>0, .x+a>0, “要满足y,-y2<0,需x-4a<0对所有3≤x,≤4恒成立， ∴.4-4a<0, 4<4a,解得a>1 考点2相综合运用 1.(2026江苏无锡一模)如图，在三角新那个ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,△AED的顶点D在 边BC上运动（点D不与点B,C重合），且∠ADE=90°，AD=DE,直线AE与直线BC相交于点F,连接 BE,则下列结论：①△ACF∽△DEF;②△ABE的面积等于ABC的面积；③线段BE的最大值为4V;④ △ABE周长的最小值为4+2√5.其中正确的为() D A.①② B.②④ C.①②③ D.①②④ 【答案】A 【分析】①根据题意得到∠AED=LACB=45°，然后得到∠FAC=LFDE,即可证明△ACF∽△DEF,即可判 断①；②如图，连接CE,证明出点A,D,C,E四点共圆，得到AB‖CE,即可判断②；③得到点E在直 线CE上运动，然后结合点D在边BC上运动，点D不与点B,C重合即可判断③；如图，作点A关于CE的 对称点A,连接A'C,AE,当点B,E,三点共线时，△ABE的周长最小，即4+AB的值，然后利用勾 股定理求解即可判断④. 8/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：①设DE、AC交于M, B D ∠BAC=90°，AB=AC=4, ∠ABC=∠ACB=45°， ∠ADE=90°，AD=DE, 六∠DAE=∠DEA=45°， ·LAED=∠ACB=45o '∠DMC=∠AME, ·LFAC=LFDE, ∠F=∠F, △ACF∽△DEF,故①正确： ②如图，连接CE Y∠FAC=∠FDE 点A,D,C,E四点共圆 ∴.∠ACE=∠ADE=90°=∠BAC AB‖CE ∴AABE的面积等于ABC的面积，故②正确： ③：ABII CE 点E在直线CE上运动 ~点D在边BC上运动，点D不与点B,C重合 ·BE不存在最大值，故③错误： ④如图，作点A关于CE的对称点A,连接A'C,A'E 9/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABE的周长=AB+AE+BE=4+A'E+BE≥4+A'B 当点B,E,A三点共线时，△ABE的周长最小，即4+A'B的值 由对称得，A'C=AC=4 ·A'A=8 ∠BAC=90° A'B=AB2+A'A2=45 “aABE周长的最小值为4+4√5，故④错误. 综上所述，其中正确的为①② 2.(2026江苏宿迁一模)如图所示，已知双曲线y=三(x<0)和y=《(x>0),直线0A与双曲线 y=三交于点4，将直线OA向下平移与双曲线y=5交于点B,与y轴交于点P,与双曲线y=交于点C, S。Bc=6, 则k=() B A.-3 B.-4 C.-5 D.-6 【答案】B 【分析】连接OB,OC,作BE⊥OP于E,CF⊥OP于F,由题意易得S△oc=S△Bc=6,则有 S,oPB=2,S.oPC=4，然后可得△PFC∽△PEB,进而根据相似三角形的性质及反比例函数k的几何意义进行 10/63 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 求解即可。 【详解】解：如图，连接OB,OC,作BE⊥OP于E,CF⊥OP于F. A F B\E 由题意得：OA∥BC, S△O8c=S△MBc=6, .BP 1 CP2' S.OPB =2,S.oPC=4, SAOBE 2 .SAPBE2 1 BE⊥OP,CF⊥OP, LPFC=∠PEB=90°， LFPC=∠EPB, ∴.△PFCAPEB, CP)2 =4, SPEB BP S.PFC=2, 六So=Sac-S0m-5m=2-,且函数y=车(x>0)的图像在第四象限， ∴k=-4 3.(2026江苏南京模拟预测)如图，在三角形ABC中，D为边AB上一点，连接CD,点E为CD中点， 连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD,AC=V6,则BE的长是() 11/63 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B D 3V2 A. B.33 C.6 2 D.22 2 【答案】A 【分析】过点B作BF⊥DC交DC的延长线于点F,过点C作CH‖BE交AB的延长线于点H,设CE=n, 通过论证DEBD0H可列能25-进而得到CH=27m,DH=4n,又通过 △ACD∽△AHC,可得4D=AC=CD 进而可得AD及n,最后求解BE即可 AC AH CH 【详解】解：过点B作BF⊥DC交DC的延长线于点F,过点C作CH‖BE交AB的延长线于点H, ∴LDBE=∠DHC, '∠ACD=∠DBE, .∠ACD=∠DHC, ∠A=∠A, ∴△ACDn△AHC, AD AC CD AC AH CH' 设CE=n, ~点E为CD中点， .CD =2CE =2DE =2n, ∠CDB=∠CBD=30°， ÷BC=CD=2n, ∠FCB=∠CDB+∠CBD=60°， ∠FBC=90°-∠BCF=90°-60°=30°， CF=IBC=n, 2 ÷BF=VBC2-CF2=√3n, ∠CDB=30°，∠F=90°， BD =2BF =23n, '∠F=90°，BF=V3n,EF=EC+CF=2n, 12/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴BE=VBF2+EF2=V7n, BE CH,CD=2CE, ∴ADEB∽△DCH, BE BD DE 1 “CH DH-CD=2, ∴CH=2V7n,DH=4V3n, AD_CD AC CH AD 2n 62W7m' 解得：D=√ 7 AD AC AC AH √42 5 6 解得：n=34 14 *BE-Vin= 2 故选：A E D H 4.(2026江苏宿迁一模)如图，点A在双曲线片=4(x>0)上，连接40并延长，交双曲线片=x<0) 于点B,点C为x轴上一点，且AO=AC,连接BC,则三角形ABC的面积为 13/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】6 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,根据反比例函数系数k的几何含义，得到 S。AOE= =2,Sm-再结合等题三角形三线合销性质，指山Sm=25m=4,正明 4B0F,得出BF=AE,进而得到S,0c三，S0c=2, 【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F, 点A在双曲线片=4x>0)上， 54×4=2, :A0=AC,AE⊥x轴， :0E CE S40c=2S.40E=4, :点B在双曲线y2=-(x<0)上， .SB0F= 1 k=2 :AE∥BF, △AOEn△B0F, S40E= SBOF BF 2 AE :BF =2, 14/63 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BF=1 E, .S.4Bc=S.40c+S.Boc=4+2=6. 5.(2026江苏无锡一模)如图，A是反比例函数y=《(k≠0)的图象上一点，延长0A至点B,使 AB=2OA,过点B作BC∥x轴，交该反比例函数图象于点C,过点A作AD∥OC,交BC于点D,若四 边形OADC的面积为4，则k的值为 YA B 【答案】k=9 【分析】根据AD∥OC可得△OBC∽△ABD,进而可得 S. S.OBC =g,根据面积的和差求出SAoc= 点A坐标为a,), 3k 则B3a, 由BC∥x轴，结合反比例函数性质可得C a a 4个=即可求解 183k 25a 【详解】解：~AD∥OC, ∴△OBCn△ABD, AB AD BC 三 OB OC BD AB =20A, 0B=30A, AB_2 OB 3 S2= 2)2 4 =91 ~S0Bc=S西边形04Dc+S.4BD，S西边形0HDc=4, S.=S.ABD= 4 S.OBC 4+S.4BD 9 16 36 S.-= 15/63 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 k 设点A坐标为a,二， 则83a,3弘] a a BC∥x轴， c》 18 ..BC =3a-a=a, 33" 183k 2*5a 摩考点3四边形综合 1.(2026江苏苏州一模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=12,折叠该菱形，使点A落在边BC上 的点M处，折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M的位置变化时，DF长的最大值为() A FD B A.12-3V6 B.12-6√5 C.12-3V5 D.12-62 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得到AD=CD=AB=12,∠C=∠A=60°，可知当AF的长最小时，DF的长最大， 由折叠性质得AF=FM,故当FM⊥BC时，FM的长最小，即AF的长最小，如图，过点D作DG⊥BC于 G,证明四边形DGMF是矩形得到FM=DG,然后解直角三角形求得DG即可求解. 【详解】解：~四边形ABCD是菱形， ∴.AD=CD=AB=12,∠C=∠A=60°， 当AF的长最小时，DF的长最大， 由折叠性质得AF=FM,故当FM⊥BC时，FM的长最小，即AF的长最小， 如图，过点D作DG⊥BC于G, 16/63 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则∠FMG=∠DGM=∠DGC=∠GDF=90°， 四边形DGMF是矩形， ..FM=DG, 在Rt△DGC中，∠C=60°，CD=12, ∴DG=CDsin60°=6V5, AF长的最小值为6√3，此时DF长的最大值为12-6√3 MG 2.(2026江苏连云港一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的边0C在x轴正半轴上，D为OA边 上一点，连接CD,将菱形OABC沿CD折叠，点O落在点E处，CE⊥AB于点F.若点F的坐标为5,4)， 则点D的坐标为() A A. 1520 B. 9》 C. 2025 D. 1525 7’7 77 77 【答案】A 【分析】由点F的坐标得OA=AB=BC=5,求出点A(3,4),运用待定系数法求出直线的解析式为y= 4 求得E(5,5),设Da,a, 3 则00--0E,两点同距商公式-a--号-（八 气，进而可得点D的坐标。 【详解】解：~四边形OABC为菱形，边OC在x轴正半轴上， AB‖x轴， 17/63 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~CE⊥AB于点F,且点F的坐标为5,4)， CF⊥x轴， ∴.0C=5,CF=4, ∴OA=AB=BC=5, 过点A作AH⊥x轴于点H,则AH=CF=4, 六0H=V0A2-AH2=3, .A3,4), 设直线OA的解析式为y=mx, 把A(3,4)代入得3m=4, 4 m=3' 直线0A的解析式为y=3, 4 由折叠可得CE=OC=5,OD=OE, E5,5, 5 .DE 30, 解得a=与 4415_20 3a=3x7 7 9》 18/63 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B,2026江苏扬州一模)如图，R△ABC中，∠4CB=90,AC=6,nB三，点P为边4B上异于A的 一点，以PA、PC为邻边作平行四边形APCQ,则P2的最小值是() B C 12 A. B. 24 C.5 D.6 5 5 【答案】B 【分析】设4C与PQ相交于点0，由平行四边形的对角线互相平分可得00=OP=2P0,所以要求2的 最小值，即求OP的最小值，由垂线段最短可得，当OP⊥AC时，取最小值，则过点O作OP⊥AC于点， 通过解直角三角形和勾股定理求解即可。 【详解】解：在R△ABC中，∠4CB=90,AC=6,anB=4C=3 BC4' :BC=44C=8,AB=NAC+BC=V6+8=10, 如图，设AC与PQ相交于点O,过点O作OP⊥AC于点P, C ∠AP0=90°， :四边形APCQ是平行四边形， 0A=0C=4C=3,00=0P=P0, 2 :当OP的长取最小值，PQ的长取最小值， 由垂线段最短可得，当OP⊥AC时，即P与P重合时，OP取最小值， 此时，OP-OP1=Oasin.∠BAC=3×0.8=2.4, ∴.P9的最小值是2OP=2× 12-24 55 19/63 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2026江苏南京·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=4√2，BC=5,P是AD上一点，将△CDP绕 点C逆时针旋转45°时，点P的对应点P恰好落在AB上，则PD的长为 【答案】√2 【分析】过点D作CD的垂线分别交AB、CD于点M、N,可得△CND'是等腰直角三角形，则CN=D'W, 根据旋转的性质，得CD'=CD=4√2，设MP'=x,则BP'=AB-AM-MP'=4-x, PD2=MP2+MD2=x2+1,利用勾股定理得52+(4-x)2=(42+x2+1,解得x=1,则PD2=12+1=2 ， 从而得出答案。 【详解】解：过点D作CD的垂线分别交AB、CD于点M、N,如图， P'M D 则∠CND'=∠P'MD'=90°， ~四边形ABCD是矩形， 四边形BCNM、四边形ADNM都是矩形， ..MN BC=AD=5,BM CN,AM DN, ∠DCD'=45°， “△CND'是等腰直角三角形， ..CN =D'N 根据旋转的性质，得CD'=CD=4√2， CN2+ND2 CD2, ∴Cw2+Cw2=(42), ..D'N =CN =4 AM =DN CD-CN=42-4,D'M MN ND'=1, 20/63 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设MP'=x, BP'=AB-AM MP'=4-x,P'D'2=MP2+MD2=x2+1, BC2+BP2 CP2,CD2+P'D2 CP2, BC2+BP2 CD2+P'D2, 52+(4-x)2=(42+x2+1, 解得：x=1, P'D2=12+1=2, PD=P'D'=√2 5.(2026江苏南京·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5.正方形DEFG的边长 为√5，它的顶点D,E,G分别在三角形ABC的边上，下列说法正确的是() A. CD AG AD BG B.点F在∠B的平分线上 C.AD=AG D.S△ADG=S图边形BEFG 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、一元二次方程的解法 逐项分析即可. 【详解】解：A:如图，过点G作GH⊥AC交AC于点H,则有GH‖CB, H- B E 21/63 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AH、AG HC-GB ∠ACB=90°，AC=BC, ∠A=∠B=45°， ∠AGH=90°-45°=45°， ∴△AHG为等腰直角三角形， AH=HG,AG=√2AH; ~四边形DEFG为正方形， ∠GDE=90°，DG=DE, ∠GDH+∠CDE=180°-90°=90°， 又~∠GDH+∠HGD=90°， ∴LCDE=∠HGD, 在△GHD和△DCE中， ∠GHD=∠DCE=90° ∠HGD=∠CDE DG=ED AGHD兰△DCE(AAS), ∴GH=CD, .AH CD, :.AH +DH=CD+DH, 即AD=CH: AH AG AH=HG=CD, HC GB CD AG 4D-BG 故该选项符合题意； C:设CE=x,CD=y, 则AH=CD=y,DH=CE=x, ..AC=AH+HD+CD=x+2y=5, x=5-2y, 又DE=V5, CD2+CE2=DE2=5, 22/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即x2+y2=5, 则有(5-2y)2+y2=5, 解得y=2, x=1, AD=x+y=3,AG=2AH=22, AD≠AG,故该选项不合题意； B:如图，过点F作FM⊥BE交BE于点M,连接FB, H G D ch E M 四边形DEFG为正方形， ∠DEF=90°，DE=EF, ∴∠DEC+∠FEM=180°-90°=90°， 又~LDEC+∠CDE=90°， ·∠CDE=∠FEM, 在△EMF和△DCE中， [∠C=∠EMF=90° ∠FEM=∠CDE EF=DE ∴△EMF兰△DCE(AAS), ..EM =CD=2,FM=CE=1, .MB=CB-CE-EM =5-1-2=2, 即MB=EM,FM垂直平分EB; FB平分∠B,则∠FBE=片∠ABC=22,5 LFEM=∠FBM=22.5°， ,△EMF兰△DCE兰△GHD, 23/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DGH=∠FEM=22.5°， ∠AGD=45°+22.5°=67.5°， 则∠ADG=180°-45°-67.5°=67.5°， .∠AGD=∠ADG, AD=AG,这与AD≠AG矛盾， 故FB不平分∠B,故该选项不合题意； D:5.woDG3x23 1 SBEFG=S.ABc-S.ADG-S.cDE-SE方形DEFG 24CBC-3-CECD-(5) 2 x5x5-3-)x1x2-5 2 2 =2’ 故该选项不合题意。 考点4旋转综合 1.(2026江苏苏州一模)如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴 上，AB⊥x轴，AB=1,∠A0B=30°，将△0AB绕点0顺时针旋转，每次旋转90°，则第2027次旋转结束 时，点B的坐标为() 0 A.(1,5 B.(1,-5 c.(5,- D.(-l,5 【答案】D 【分析】先利用题目中的条件，找出B点的坐标，然后按照题目要求多次绕点O顺时针旋转90°，找出点B 旋转后的坐标，四次后，旋转后的点B,与原来的点B重合，用2027÷4=5063得出B227与B重合，求 出答案 【详解】解：在R1△AOB中， 24/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=1,∠AOB=30°， 0B=2,OA=VOB2-AB2=√5， B5,, 如图所示， △A0B绕点0顺时针旋转90°第1次，点B(1,-V5) △A0B绕点0顺时针旋转90°第2次，点B,-V5,-1: △A0B绕点0顺时针旋转90°第3次，点B,-1,V3): △A0B绕点0顺时针旋转90°第4次，点B,与点B重合； ∴点B绕点0旋转4次一循环，2027÷4=506…3； ∴点B绕点0顺时针旋转90°第2027次，与第3次重合， 故点B2（-1,V5). 2.(2026江苏扬州一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3V5.点D是AC上的一点， 且CD=√5，P为边AB上的一个动点，连接PD,将PD绕点D顺时针旋转60°得到线段DQ,连接BQ.点 P在从A向B运动的过程中，线段BQ的最小值为() D A.4 B.2V5 C.2 D.5 【答案】D 25/63 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】过点D作DE⊥AB于点E,连接DB,过点Q作QF⊥DB于点F,则∠PED=∠QFD=90°，求得 BC,DB,进而求得DB的长得出DB=AD,证明△PDE≌△QDF(AAS,进而得出QF垂直平分DB, B=PD,当DP⊥AB时，DP取得最小值，DP=√3，即可求解 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E,连接DB,过点Q作QF⊥DB于点F,则 ∠PED=∠OFD=90° A D B ~Rt△ABC中，∠C=90°，LA=30°，AC=35.CD=V5 BC=AC.tan 4=3x 2=3,AD=AC-CD=2N5,∠ABC=60° 3 在R△BCD中，DB=VDC2+BC2=VV5+32=25 ∴.DB=AD ∠DBA=∠A=30° LDBC=∠ABC-∠DBA=30°，LEDB=60 DE⊥AB ÷DE=)AD=5, ~将PD绕点D顺时针旋转60°得到线段DQ, ∠PDQ=60°=∠EDF,PD=QD, ∠PDE=∠QDF=60°-∠EDQ ·△PDE≌△DDF(AAS ∴DF=DE BF=DB-DF=23-3=3 DF BF QF垂直平分DB 26/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .OB=OD, 而PD=QD ..OB=PD, 当DP⊥AB时，DP取得最小值，DP=√5，即线段BQ的最小值为√ 3.(2026江苏苏州模拟预测)如图，在三角形ABC中，∠BAC=64°，∠C=36°.将三角形ABC绕点A 按逆时针方向旋转后得三角形ADE,AE与BD相交于点F.当DE∥AB时，∠AFD=() A.76° B.14° C.76°或14° D.74°或16° 【答案】C 【分析】分情况讨论，当DE在AB的上方时，由三角形内角和定理得LABC=80°，由旋转的性质得 ∠ADE=∠ABC=80°，∠EAD=∠BAC=64°，进而根据平行线的性质可得∠BAD=100°，即得∠ADF=40°， 再根据三角形内角和定理即可求解，当DE在AB的下方时，同理可求得∠AFD, 【详解】解：如图1，在ABC中，∠BAC=64°，∠C=36°， ∠ABC=180°-64°-36°=80°， A 图1 .∠ADE=∠ABC=80°， .ABI DE, .∠BAD+∠ADE=180°， ∠BAD=100°， AD AB, ∠ADF=40°， LEAD=∠CAB=64°， .∠AFD=180°-40°-64°=76°： 27/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图2， B ABI DE, D E 图2 ∠BAD=∠ADE=80°， :AD AB, ∠ADF=∠ABD=50°， :∠EDF=∠ADE+∠ADF=80°+50°=130°， ∠E=∠C=36°， ∠AFD=180°-36°-130°=14°， 综上所述，∠AFD=76°或14°， 4.(2026江苏无锡一模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AB=√15，CD=3√2， 将三角形ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A'B'C,当A'B恰好经过点D时，△B'CD为等腰三角形，若 BB=1,则AA= 【答案】AM'= 2W6 3 【分析】由旋转的性质和△B'CD为等腰三角形可得，△B'CD为等腰直角三角形，则 BC=B℃=5CD=3,使用勾股定理计算出4C=26.容易证明△4C40△BCB”,则然=C,代 2 BB=BC 入数值计算即可. 28/63 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：由旋转的性质可得，LA'B'C=LABC=90°，B'C=BC,，AC=A'C,LBCB'=LACA', △B'CD为等腰三角形，∠A'B'C=90°， “△B'CD为等腰直角三角形， B'C=B'D,∠B'DC=45°， 在直角△B'CD中，B℃=CD·sin∠BDC=3V2×sin45°=3， .B'C=BC=3, 在直角4BC中，4C=VAB2+BC=+32=26, B'C=BC,AC=A'C, BC B'C ACAC 又LBCB'=∠ACA', △ACA'∽△BCB', -C,即=26 BB= BC 1 3 AM'= v6 3 5.(2026江苏扬州一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4,线段CD绕点C在平面内旋 转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=2,则AE长的最大值是 B 【答案】2√5+2 【分析】先确定点C与点E的运动轨迹，继而得到AB=√2AC=4√2，当cos /BAE最大时，AE最大，当 ∠BAE最小，AE最大，再进行计算最大值即可. 【详解】解：BE⊥AE, ∠BEA=90°， ·点E是在以AB为直径的圆上运动. :CD=2,且CD是绕点C旋转， 29/63 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点D是以点C为圆心，以2为半径的圆上运动. AB=√2AC=4V2, :当cOs∠BAE最大时，AE最大，即∠BAE最小，AE最大. 如图，当AE与OC相切于点D,且点D在ABC内部时，∠BAE最小，AE最大， :∠ADC=∠CDE=90°， B AD=VAC2-CD2=V42-22=2V3, AC=BC, :LCEA=LCBA=45°， :DE =CD=2, 此时AE=25+2,，即AE的最大值为25+2. 通关特训 一、单选题 1.(2026江苏苏州模拟预测)矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E为矩形ABCD内一点，使得 ∠AEB=90°.将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得到△AFG,则CG的最小值为() D E B A.2√29-2 B.227-4 C.4W10-4 D.2V26-2 30/63 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质.取AF的中点O,连接CO,先判 断出点G在⊙0上运动，当C、G、0共线时，CG有最小值CG=OC-0G,据此求解即可. 【详解】解：取AF的中点O,连接CO, D B 由旋转的性质知：∠AGF=∠AEB=90°， ∴点G在00上运动， 当C、G、0共线时，CG有最小值CG=0C-0G, 由旋转的性质知：∠BAF=90°，AF=AB=4, .0A=2,0D=2+8=10, ·0C=√42+102=2W29, ∴CG的最小值为2V29-2, 故选：A. 2.（2026江苏盐城一模)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象过点(-1,0)，顶点为1,2)，下 列结论：①abc>0;②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤2c<3b.其中正确的 结论有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位 置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过(3,0)，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④：由图象 31/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b 过点-1,0)可得a-b+c=0,由对称轴可知a=2,可判新⑤，从而可得答案 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则a<0,c>0, 抛物线的对称轴为直线x=力 =1, 2a ÷b=-2a>0, 故abc<0,所以①不符合题意； 由图象知x=1时，函数最大值是2，故②符合题意： 图象过点-1,0)，对称轴为直线x=1, 图象过点3,0)， 当x=2时，4a+2b+c>0,故③符合题意； b=-2a, ∴2a+b=0,故④符合题意： 由图象过点(-1,0)可得a-b+c=0, b=-2a, b .a=-2 b -b+c=0, 2 ∴2c=3b,故⑤不符合题意， 故正确的有②③④共3个. 3.（2026江苏宿迁.一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,其中抛物线图像与x轴负半 轴交点横坐标-1<x<0,则以下五个结论中，正确的有() ①abc>0;②2a+b=0;③b2>4ac;④4a+2b+c>0;⑤3a+c>0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 32/63 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由图象可知：抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a<0,与y轴交于正半轴，即c>0,对称轴 为直线x=-6=1,则有b=-2a>0,然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可. 2a 【详解】解：由图象可知：抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a<0,与y轴交于正半轴，即c>0,对 称轴为直线x=-b=1,则有6=-2a>0, 2a ∴abc<0,故①错误；2a+b=0,故②正确； ~抛物线与x轴有2个交点， b2-4ac>0,即b2>4ac,故③正确； 由图象可知当x=0时，则有y=c>0；当x=-1时，则y=a-b+c<0,由b=-2a可得 y=a-(-2a+c=3a+c<0,故⑤错误； ∴根据二次函数的对称性可知：当x=0和x=2时，其对应的函数值相等， 当x=2时，y=4a+2b+c>0,故④正确： 综上所述：正确的结论有②③④共3个. 4.(2026江苏南通一模)二次函数y=ax2-4ax+2(a<0)的图象过点A(-1,y)，B(2,2),C(6,y.若 y23<0,则a的取值范围是() 2 2 B.- C.3 2 a<- 1 A.- D. 6 3a<- 6 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得y2>y>y,结合y2<0,分两种情况讨论： 当2<0时和当y2>0时： 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为x=2,且开口向下，所以2>>y (I)当y,<0时，可得 4a-8a+2<0 解不等式，得 1 a>(不符合题意，舍去) 2 (Ⅱ)当y2>0时，可知y,>0且3<0，可得 33/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a+4a+2>0 36a-24a+2<0 解不等式组，得 ca<- 2 1 6 5.(2026山东济南·二模)如图，在口ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于点F;以点 A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AD于M，N两点：分别以点M，N为圆心，大于MN的长 为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点G,连接AG并延长交BC于点E,连接EF,BD,BD分别交 AE,EF于P,Q两点，若AB=2DF,PQ=8,则BD的长为() B A.12 B.20 C.30 D.40 【答案】C 【分析】由作图可得，AB=AF，AE平分∠BAD,由角平分线的定义结合平行线的性质得出 ∠48=∠4，雀=E=4P,结合4P-20F,得%-行则5%-子再证明 FOD∽aABD,得出QDBD,再证明△ADP∽△EBP,得出PD=BD,然后根据线段和差列方程求船 【详解】解：由作图可得，AB=AF,，AE平分∠BAD; 四边形ABCD为平行四边形， AF∥BE, ·∠FAE=∠AEB, AE平分∠BAD, ∴.∠FAE=∠BAE, ·∠AEB=∠BAE, 六AB=BE=AF, AF∥BE, 四边形ABEF是菱形； AF =2DF, 34/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D3,则状E2 DF 1 AD AD3' ~四边形ABEF是菱形， ∴∠BEA=∠QEA,AB∥EF, ∴△FQD∽△ABD, DF OD FO 1 AD BD AB3' 0D-80, AD∥BE, ∴△ADP∽△EBP, AD PD 3 BE BP2' APD-RD. PO=PD-OD, .3BD--BD=8 3 5 3 解得BD=30 6.(2026福建南平.一模)在矩形ABCD中，点E在边BC上，∠AEB=60°，将△DCE沿着DE翻折，点 C的对应点F恰好落在线段A北上，则的值为(） A B C E A B. 3 C.1 25 2 D. 【答案】B 【分折】先证明E:D:8C,可得是招在R△85中即可求解。 【详解】解：~四边形ABCD是矩形， .BC=AD,BC∥AD, ·LADE=LDEC, 由折叠可知，∠DEF=∠DEC, 35/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠ADE=∠DEF, ·AE=AD=BC, ABAB BC=AE' R1AABE中，sin ZAEB=-纪，取从 AE =sin60°= 2 ·AB=ABV5 BC AE 2 7.(2026山东泰安一模)如图，已知正方形ABCD,点E为BC边上一点，连接AE,作AE的垂直平分 线交AB于点G,交CD于点F,若DF=2,BG=4,则△ABE的周长为() D A.10+36 B.12-2√6 C.12+3V10 D.8+3V10 【答案】C 【分析】设正方形ABCD的边长为a,BE=x,则AB=a,AG=a-4,EC=a-x,CF=a-2;由GF是 AE的垂直平分线得GA=GE,FA=FE,可得a2-8a=x①，x=a-6②，消去x可求出a=9得BE=3, AB=9,由勾股定理得AE=30,从而可求出△ABE的周长. 【详解】解：设正方形ABCD的边长为a,BE=x, .AB=a,AG=a-4,EC=a-x,CF=a-2; ~GF是AE的垂直平分线， ∴.GA=GE,FA=FE, D E 由GA=GE得（a-4)2=42+x2, 整理得a2-8a=x2 ①； 由FA=FE得a2+22=(a-x2+(a-2)2, 36/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 整理得-2ax+x2+a2-4a=0, 代入x2=a2-8a,得：-2ax+a2-8a+a2-4a=0, 整理得x=a-6②， ②代入①得：a2-8a=(a-6)2, 解得：a=9, x=a-6=3, 即BE=3,AB=9, 在Rt△ABE中，AE=VAB2+BE2=V92+32=√81+9=√90=3√10， 所以，△ABE的周长为AB+BE+AE=9+3+3V10=12+3V10。 8.(2026安徽合肥二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E为边CD中点，G为边AD上一点， P为对角线BD上一点，连接PC,将△DPC沿PC翻折，得到△FPC,连接PE,AF,BF,下列说法错 误的是() G P B A.BF的最小值为2 B.AF的最小值为2V5-2 C.连接PG,若PG1PC,则PG的最小值为25 D.PE+PC的最小值为5 【答案】D 【分析】根据翻折性质可知CF=CD=2,点F在以C为圆心，2为半径的圆上，利用点圆距离模型判断A、 B;利用轴对称性质求最短路径判断D;利用垂线段最短及相似三角形判断C. 【详解】解：由翻折可知CF=CD=AB=2, 即点F在以C为圆心，2为半径的圆上， A选项，当点F在线段BC上时，BF取得最小值， 37/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则BFmn=BC-CF=4-2=2,故A正确； B选项，连接AC,当点F在线段AC上时，AF取得最小值， 则AC=√AB2+BC2=2√5，AFmn=AC-CF=2V5-2,故B正确； D选项，作点C关于直线BD的对称点C,连接C'E交BD于点P, A下 D P 此时PE+PC=PE+PC'=C'E为最小值， 以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， C G 则B(0,0),C(4,0),D(4,2),E(4,1), E B C F 设直线BD的解析式为y=, 代入点D(4,2),则2=4k,可得k=1 1 则直线BD的解析式为y=。x, 2 1 设Cm,W),则线段CC'的中点在直线y=2r上， 则中点坐标为Hm+4,n+0) (2,2 n+0=1xm+4 222，即n”+ 2 则Hm+4m+4) m+4 2,4cm,2 38/63 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在RtABCD中，sin∠CBD CD 2 5 BDV2+4=5' /m+4-4 2 m+4)2 在Rt△BCH中， CH 2 4 sin∠CBH= 5, BC 4 5 解得m=2.4，n=3.2, 即C'(2.4,3.2), 则CE=4-2.4+1-3.2y-f.62+(-2.2y=V2.56+4.84=4=185 5 PE+PC的最小值为YM85,故D错误； 5 C选项，：PG⊥PC, :∠GPC=90°， 当点G与点D重合，且CP⊥BD时，PG取得最小值， 此时PG=PD, 在R1aBCD中，BD=V22+42=25, S.BCD= xBC.CD 1 -cPx8D. 即CP=BCCD-4x24V5 BD 255 在RISPCD中，PD=VCD2-CP2=22- 45_25 即PG的最小值为25，故C正确 9.(2026四川眉山一模)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE⊥AF于点G, 交AC于点O,FH⊥AC于点H,交AB的延长线于点M,连接BH,下列四个结论：①∠ACB=∠AMH; ②-5，③CH=40:④若BH∥DE,则40-V2-1.正确的是() DE 2 Oc G A E B M A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 39163 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】由正方形的性质可得∠ACB=∠CAB=45°，由题意可得∠AHM=90°，再求出∠AMH=45°，即可 判断①正确；先证明aADE≌△BAF(ASA),得出DE=AF,连接CM,则aCHF为等腰直角三角形，从而 可得CH=HF-2CF,∠HFC=45,证明AAHr≌MHC(SAS),得出AP=CM=DE,证明 CHF&MF8,得出C=5,再证明BFHMFC,得出明-2，即可判斯②正确：利用已知条 MF 2 CM2 件无法男出0=CH.即可所商8精类：证明△10E△C00,得出祀告柜再由半行线分线 段成比例定理可得4C-4g,进而得出A0=CH,证明点A、H、F、B在以AF为直径的圆上， AH AB BH⊥AF,得出AF垂直平分BH,由线段垂直平分线的性质可得AH=AB=OC,求出AC=√2AB,从而 可得CH=AO=V2-1AB,即可判断④正确 【详解】解：①~四边形ABCD为正方形， .∠ACB=∠CAB=45°，AD=BC=AB,∠DAB=∠ABC=90°，AB∥CD, ~FH⊥AC于点H,交AB的延长线于点M, ∠AHM=90°， ∠AMH=90°-∠CAB=45°， ∠ACB=∠AMH,△AHM为等腰直角三角形，故①正确，符合题意； ∴AH=HM, ②~DE⊥AF, ∴∠DAF+∠ADE=90°， ∠DAF+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF, △ADE≌△BAF(ASA), DE AF, 连接CM,如图： H 40/63 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LACB=∠CAB=45°，FH⊥AC, ·△CHF为等腰直角三角形， aCH=HF-5cF,∠HFC=45, ~AH=MH,∠AHF=∠MHC=90°， △AHF≌MHC(SAS), .AF =CM DE, ∠BFM=∠HFC=45°，∠CBM=180°-∠ABC=90°=∠CHF, ACHF△MBF, BF MF HF CF BF MF CF CF, .BF MF 2 :HF_BF-5,∠HFB=∠CFM, CF MF 2 aBFH∽△MFC, BH 2 CM2 .BH ,故②正确，符合题意 DE 2 ③利用已知条件无法证明出AO=CH,故③错误，不符合题意； ④~AB∥CD, ∴.△AOE∽△COD, AO AE OC CD AB=CD, AO AEAE OC CD AB BH∥DE, AOAE AH AB AOAO AH OC ..AH=0C, 41/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AH-0H=0C-0H, ÷A0=CH, ∠AHF=∠ABF=90°， 点A、H、F、B在以AF为直径的圆上， BH∥DE,DE⊥AF, BH⊥AF, ·AF垂直平分BH, .AH=AB=0C, 在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=√2AB, .CH AC-AH AC-AB=(-1AB, CH=A0=(2-1AB, ..A0 （N2-1AB =√5-1，故④正确，符合题意； OC AB 综上所述，正确的有①②④. 10.(2026重庆模拟预测)如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AD上，连接BE,作EF⊥BE交 ∠CBE的角平分线于点F,交CD于点H,连接CE交BF于点M.若BE=4EH,则CM的长度为() M B A.217 B.317 c.5v17 D.6v17 3 4 6 【答案】A 【分析】延长BF交AD的延长线于点N,根据正方形的性质和同角的余角相等，可证明△ABE∽△DEH, 从而利用相似三角形对应边相等得出DE,进而求得AE,然后由勾股定理求得BE和EC,接着根据角平分 线的定义以及平行线的性质，利用等角对等边可得EB=EN,易证aCMB∽6BMN,进而得出G-。,即 可求解. 【详解】解：如图，延长BF交AD的延长线于点N, 42/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D H 22W M ~正方形ABCD的边长为6， ∠A=∠ADC=90°，AD‖BC,AB=AD=CD=BC=6, ∠ABE+∠AEB=90°， EF⊥BE, ∠BEH=90, ∴.∠AEB+∠DEH=90°， .∠ABE=∠DEH, △ABEn△DEH, AB BE DE EH BE =4EH, AB_BE=4,即 6 DEEH =4, E 39 :.AE AD-DE=6- 22’ 在RtADEC中，EC=VDE2+DC2 ) 2 +6237 在Rt△ABE中，BE=VAB?+AE BF是∠EBC的角平分线， LEBN=∠CBN, 又ADI BC, .∠N=∠NBC, ÷.LN=∠EBN, EB-EN=15 , 43/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .EN BC, ÷aCMB∽△EMN, MC BC64 ·EMEN15=5, 2 .CM 4 EC 9 4317_217 92 3 11.(2026山东淄博.一模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=√5，E是BC延长线上一点， AE交CD于点F,连接BF并延长交DE于点G,则线段BG长度的取值范围是() B C A.5<BG≤2 B. 3 <BG≤2 C.1<BG≤2 D. V3 <BG≤1 2 【答案】A 【分析】延长AD,BG交于点M,连接BD,过点D作DH⊥BC于点H,过点B作BN⊥CD于点N, DH、BN交于点O,证明△BCF∽aMDF,△ADF∽△ECF,得出 品保品票正明 △BDM∽△ECD,得出∠EDC=∠M,证明∠CBF=LEDC,说明B、C、G、D四点共圆，求出△BCD外接 圆的直径为2，即可得出答案。 【详解】解：延长AD,BG交于点M,连接BD,过点D作DH⊥BC于点H,过点B作BN⊥CD于点N, DH、BN交于点O,如图所示： G B H ~四边形ABCD为菱形， AD=CD=BC=AB=3,AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=120°， ÷∠BCD=180°-LABC=60°， ∴△BCD为等边三角形， 44/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD=BC=CD,LDBC=LBCD=60°， AD∥BC, ∴.△BCF∽AMDF,△ADF∽△ECF, BC CFCF CE DM DF'DFAD BC CE DM AD AD=BC=CD, BD CE DM CD BD DM 即 CE DC ×AD∥BC, ∴∠BDM=180°-∠DBC=120°， ∠ECD=180°-∠BCD=120°， ∴∠BDM=∠ECD, ∴△BDM∽AECD, ·LEDC=∠M, AD∥BC, LCBF=∠M, LCBF=∠EDC, B、C、G、D四点共圆， ~△BCD为等边三角形，DH⊥BC,BN⊥CD, HB0x60°=30°，BHC:日 2 2 § ..BO= BH 2 cos30 =1, 2 ·△BCD外接圆的直径为2， B、C、G、D四点所在圆的直径为2， ∴BG的最大值为2， E是BC延长线上一点， ∴.∠BDE>∠BDC, 45/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即∠BDG>∠BDC, .BGx BC, BG>3, V5<BG≤2. 12.(2026重庆一模)如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，且DE=}BE,点F在BC上，连 结EF,EC,且EF=CE,连结AF交BD于G,则 的值为() EG D E B A. 4v5 B. C.45 D.5 15 3 3 5 【答案】B 【分析】考查正方形性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理；用几何推理+相似+勾 股解题，关键是先证F为BC中点，再用相似得线段比，易错点是比例关系看错、勾股计算错误 先由正方形对角线得45°角，结合EF=CE证F是BC中点；再由AD‖BC得△AGD∽△FGB,推出 BG:GD=1:2,算出EG;最后用勾股定理求EF,化简得出比值. 【详解】 D B FM 过E作EM⊥BC于M. 正方形中BD是对角线，∠DBC=45°， 设BE=3a,则DE=a,BD=4a, 正方形边长AB=BC=2√2a. 由△BEM是等腰直角三角形， .BM EM a vc Bc-Bu2 3v2 a. 2 2 46/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由EF=CE, 、FW=MC= a, 2 BF=BM-FM=√2a=BC,即F是BC中点. 正方形中AD∥BC, 故△AGDn△FGB,相似比AD:BF=2:1, BG:GD=1:2. 由BD=4a, 4 BG=3BD=3a 3 又BE=3a, EG BE BG 3a- 4.5 3 3. 在Rt△EFM中，EM= 3v2 ,FM 2 9 由勾股定理：EF=√EM+FM2 3 2 2 58 EF√5a 3 故选：B. 13.(2025江苏南京一模)如图①，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF;如图②，展开纸片，连接 BD,EC交于点G:如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为AH,则4D- AB=一 E H ② ③ 【答案】√2 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据折叠得到AE=DE=】AD, 2 证明△DEG∽△BCG,得到BG=2DG,折叠推出AH垂直平分BG,设BP=PG=DG=m,同角的余角相 等，得到an∠ABD=tan ZPAD,进而得到P-DP-4D BP AP AB 进行求解即可 47/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解]解：折叠可知：AE=DE=方4D,设4交BD于点P, E B 矩形ABCD, AD=BC,AD‖BC,∠BAD=90°， ∴.△DEG∽△BCG, DG DEDE 1 BG BC AD2' ∴.BG=2DG, 翻折， ·AH垂直平分BG, BP=PG=BG=DG,LAPB=∠APD=90°， 2 设BP=PG=DG=m,则：DP=PG+DG=2m, ∠ABD=∠PAD=90°-∠ADB, .tan∠ABD=tan∠PAD, :AP=DP=AD BP AP AB :AP2 BP.DP 2m2, 六AP=√2m(负值舍去)， AD DP 2m ABAP√2m =√2： 14.(2026广东东莞一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,AC是矩形ABCD的对角线，将ABC 绕点A逆时针旋转得到△AEF,使点E在线段AC上，EF交CD于点G,AF交CD于点H,则tan ZFGH 的值为 48/63 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【络案】 【分析】由题意可得，∠FGH=∠CGE,∠AEF=∠B=90,根据∠CGE+∠GCE=90°， ∠ACB+LGCE=90°，利用同角的余角相等，得到LCGE=∠ACB,从而推出LFGH=∠ACB,在 Rt△ABC中，即可求解。 【详解】解：由题意可得，∠FGH=∠CGE, 由旋转可知，LAEF=LB=909, ∠CGE+LGCE=90°， ∠ACB+∠GCE=90°， ∠CGE=LACB, ·.∠FGH=∠ACB, ∴在Rt△ABC中，AB=4,AD=BC=3, tan∠FGH=tan∠ACB=4B_4 BC 3 15.(2026北京石景山一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A1,0),B5√2+1,0，四边形ABCD为 正方形，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转a(0°<a<180),得到正方形ABCD.给出下面四个结论： YA C ⊙ B主 ①当a=45°时，点C的纵坐标是10； ②点C与原点距离的最小值是8√2； ③若点D在y轴正半轴上，则点C的横坐标是6： ④若直线y=x将正方形ABCD分为面积相等的两部分，则点B的纵坐标是1. 上述结论中，所有正确的结论的序号是 【答案】①④ 【分析】连接AC,AC',由四边形ABCD是正方形，得LADC=90°，AB=AD=CD=BC=5V2, LCAD=∠CAB=45°，通过勾股定理得AC=10,根据旋转性质可知LC'AD'=∠B'AB=a,当=45°时， ∠C'AD'=∠B'AB=45°，则∠CAC'=45°，此时C'、D、A三点共线，C、B'、A三点共线，从而可判断①： 由AC'=AC=10,则点C在以A1,0)为圆心，10为半径的圆上运动，故当A、O、C'三点共线时，即可判断 49/63 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②；若D在y轴正半轴上，先求出OD'=7,过C作CK⊥y轴于点K,则∠CKD'=90°，证明 △AOD'≌aDKC(AAS),则OD'=C'K=7,所以点C的横坐标是7，即可判断③；过D作D'M⊥x轴于点 M,过B作B'N⊥x轴于点N,连接B'D',AC',交点为Q,则LD'MA=∠ANB'=90°，同理可得 △DMA≌△ANB'(AAS),所以AM=B'N,D'M=AN,设D'M=AN=a,AM=B'N=b,则B(a+l,b), D'1-6,a,通过中点坐标得e1-h+a+1,a+b 2,2 根据题意得-b+a+1-a+b 2 =2，解得：b=1,故B纵 坐标为1，从而判断④. 【详解】解：如图，连接AC,AC', OA Bx 由A1,0),B5V2+1,0, AB=52, ~四边形ABCD是正方形， LADC=90°，AB=AD=CD=BC=5V2,LCAD=LCAB=45°， 4C=VAD'+CD=52+52=10, 由旋转性质可知：∠C'AD'=LB'AB=a, ①当a=45°时，∠C'AD'=∠B'AB=45°， ∠CAC'=45°，此时C'、D、A三点共线，C、B'、A三点共线，如图， YA C D OA B花 ÷∠C'AB=∠CAC'+∠CAB=90°， AC'⊥x轴， 50/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由旋转性质可知AC'=AC=10, A1,0）, C'1,10), ∴C纵坐标为10，故①正确： ②AC'=AC=10, ∴点C在以A(1,0)为圆心，10为半径的圆上运动， ∴当A、0、C'三点共线时，如图，0C有最小值，为10-1=9≠8√2，故②错误； y个 D ③若D在y轴正半轴上， 在RtAAOD'中，AD'=5√2，OA=1, ∴0D'=V5V2)2-1P=7, 如图，过C作CK⊥y轴于点K,则∠CKD'=90, Kh B Bx ∠A0D'=90°， ∠D'A0+∠0D'A=90°， 又~∠CD'K+∠AD'0=90°， ∠D'AO=∠CD'K, 在△AOD'和△D'KC中， 51/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AOD'=∠C'KD'=90° ∠D'AO=∠C'DK AD'=C'D' ·△AOD'2aD'KC'(AAS), ∴0D'=CK=7, ∴点C的横坐标是7，故③错误； ④如图，过D作D'M⊥x轴于点M,过B作B'N⊥x轴于点N,连接B'D',AC,交点为Q,则 ∠D'MA=∠ANB'=90°， M A WB元 同理可得：△DMA≌△ANB'(AAS), ÷AM=B'N,D'M=AN, 设D'M=AN=a,AM=B'W=b, B'a+1,b,D'1-b,a “g-b+a+1a+b) (2一2 ~直线y=x将正方形分为面积相等的两部分， 直线过正方形ABCD中心Q,即点Q在y=x上， 1一b+a+1=ab解寻：b=1。 2 ∴B纵坐标为1，故④正确， 综上所述，正确的结论是①④. 16.(2026天津和平，二模)如图，在直角ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕着点C顺时针旋转一定角 度得到△A'B'C,点A,B的对应点分别为A,B,点A恰好落在边AB上，连接BB'.若AA'=1,AB=2 ,则线段BB'的长为」 52/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】√5 【分析】先由旋转性质得到相关边与角的等量关系，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得出△ABB'是 直角三角形，最后由勾股定理求解即可. 【详解】解：由旋转性质可得CA=CA',CB=CB',A'B′=AB=1+2=3,∠A'CB'=∠ACB=90°， ∠ACA'+∠A'CB=90°=∠BCB'+∠A'CB, 则∠ACA'=∠BCB', ∠4=80-∠AC0,∠cB=180-∠BC8叫， .∠A=∠CBB', :∠A+∠ABC=90°， LCBB'+∠ABC=90°， 在Rt△A'BB'中，A'B=2,A'B'=3,则由勾股定理可得BB=√AB2-AB2=√5 17.(2026广东深圳一模)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE,以点E 旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE,连接AF,FE交边CD于点G,H,则GH的长为 F H B E 【月 【分析】过点F分别作BC、CD的垂线，交BC的延长线于点I,交CD于点J,容易证明 △ABE≌△EIF(AAS),则EI=AB=6,FI=BE=3.容易证明四边形CIFJ是正方形，则 三U3:BC，FIC通过证明△CEH≌JFH(AAS)可得，H=0 2 行可证明△ADG∽△FG,则C以-以=，计算得GJ=1,最后相加即可。 GD AD 2 【详解】解：如图，过点F分别作BC、CD的垂线，交BC的延长线于点I,交CD于点J, 53/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G J->F H E 由旋转的性质可知，AE=EF,LAEF=90°， ∠AEB+∠CEH=180°-∠AEF=90°， 四边形ABCD是正方形， LABC=∠BCD=LADC=90°，AB=BC=CD=AD=6,AD∥BC, ÷∠AEB+∠BAE=180°-∠ABE=90°， ∠BAE=LCEH, ~点E是边BC的中点， .BE=CE=1BC=3, 2 FI⊥BI, ∠EIF=∠ABC=90°， 在△ABE和△EIF中， ∠BAE=∠CEH ∠ABC=∠EIF, AE=EF △ABE≌△EIF(AAS), .EI AB=6,FI BE =3, CI EI -EC =3, FJ⊥CD, ∴LFJC=∠EIF=∠DCI=90°， 四边形CIFJ是矩形， CI =3=FI, 四边形CIFJ是正方形， ..CJ FI CI FJ 3=EC,FJ//IC, ÷∠CEH=∠JFH, 在△CEH和△JFH中， 54/63 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 [∠CEH=∠JFH ∠CHE=∠JHF, EC=FJ ·△CEH≌△JFH(AAS), m-cH =cj 3 2 ×CD=6,CJ=3, .DJ CD -CJ =3, AD∥BC,FJ∥BC, sAD∥FJ, ·△ADG∽△FJG, GJ FJ 3 1 GD AD =6= G.G.J=DJ=1, 5 GH =GJ+JH= 18.(2026山东枣庄一模)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图象与x轴交于 点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1,下列四个结论：①abc>0;②2a+c>0;③ am+m≤-a(m为任意实数)；④若-号<g c<,则-2<+b+c<-,其中正确结论有( ○ B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】①由图象得a>0,c<0,由对称轴可判断b的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另 0,山，可得3a+c=0,将3a+c化为a+2a+c,即可判析：③三次函数 +b+c,可得ubm+C2a+b+c即可判折：@由2可求a3c,6-子，代入a+h+c,m 55/63 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可判断. 【详解】解：①由图象得：a>0,c<0, 对称轴为直线x=- b=1, 2a b=-2a, b<0, ∴abc>0,故①正确； ②：对称轴为直线x=1,图象与x轴交于点A(3,0), 图象与x轴交于另一点(-1,0)， ∴.a-b+c=0, .a-（-2a+c=0, 3a+c=0, ∴.-=2a+c, a>0, .-a=2a+c<0,故②错误； ③a<0,对称轴为直线x=1, 当x=1时，y摄水=a+b+C, ax2+bx+c≥a+b+c,即am2+bm+c≥a+b+c(m为任意实数)， am2+bm≥a+b, b=-2a, ∴am2+bm≥-a,故③错误： ④由②得，3a+c=0,b=-2a, 1 2 a=-30,b=-2a=5c, 3 4 ∴a+b+c=2c, 3 3 3 c- 4 .-2<2c<-1, 3 -2<a+b+c<-1,故④正确： 故正确的结论有2个， 56/63 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.(2026江苏无锡一模)在平面直角坐标系中，对于任意两点P(x,y),Q(x2,y2)(x≠x2且》≠y2), 若x,-x,=my,-y2(m是常数)，则称线段PQ是一条“m倍率线段”.下列说法中正确的有() ①若AL,),B(4,2),则线段AB是一条3倍率线段： ②若C(-1,2),D在函数y=一x的图像上，则有且只有一条2倍率线段CD; 2 9 ③若A(5,5),B在函数y=二(x>0)图像上，且AB是1倍率线段，则AB长为2√2或3√2； ④二次函数y=-x2+2x+3的图像与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,点P在线段AB上，点Q在该二 次函数位于第一象限内的图像上，且线段P巴是)倍率线段，当PQ的长度最大时，点Q的坐标为24) 315 A.①② B.②③④ C.①②④ D.①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了“m倍率线段”新定义、两点间距离公式、一次函数与反比例函数的性质、二次函数的 性质，逐个验证四个结论的正误，即可得到答案， 【详解】①对于A1,1),B(4,2), x-1-4=3,y-y2=1-2=1, x-x2=3y-y2, 故正确； 1 ②设Dx,2 由CD是2倍率线段符：1-=22-： 化简得x+1x-4, 即x+1=x-4或x+1=-(x-4), 当x+1=x-4时， 方程无解： 当x+1=-(x-4)时， 解得x=3 “只有一个解。 :只有一条CD, 57/63 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故正确： 9 ③设Bx,2(x>0), 由AB是1倍率线段得： 5-5到 即5=55-=5 当5-x=5-9时， 解得：x=3; 当5--5-时 解得：x=1或x=9; B1,9,B(3,3),B9,1, 当B(1,9)时，AB=V5-12+(5-9)2=4V2, 当B(3,3)时，AB=V5-32+5-32-22, 当B9,1时，AB=V5-9)2+(5-12=42, 则AB长度为22或42， 故错误； ④令x=0, 得y=-x2+2x+3=3, 即B(0,3), 令y=0, 得-x2+2x+3=0, 解得：x=3或x=-1, 由于图像与x轴正半轴交于点A, 则A3,0), 设线段AB表达式为：y=+b, 3k+b=0 将A3,0),B(0,3)代入得： b=3 58/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k=-1 解得： b=3’ 故线段AB表达式为：y=-x+3, 设P(p,-p+3),Q9-92+2g+3),则0≤p≤3 P2=p-g+[-p+3)-(-g2+2g+3]=5p-g, 由P0是号倍率线段得：p-g=p+3)-(g2+2g+3训=)g2-2g-p, 化简得：p=g或p=4g-g2, 3 当p=号时， 3 令y1=q2-3q, 对称铺g时，⅓取最小值y=g-39三3 故此时PO的最大值为P0=5Xg_35 -× 344 t时》： 当p=4g-g2时， 0≤p≤3 0<q≤1 P0=v54-g2-g=53g-g25g2-3g, ~PQ=5g2-3g在0<q≤1上PQ的长度随着9的增大而增大， ∴9=1时，P9的最大值为P9=V5×1-3=2√5， 此时2(1,4)， 而25>35，故P0最大时，Q1,4: 故④错误； 59/63 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上，①②正确. 20.(2026江苏南通模拟预测)如图，抛物线y=-1x+x+3的图象与坐标轴交于点4，B,D,顶点为E, 3 2 以AB为直径画半圆交y轴负半轴交于点C,圆心为M,P是半圆上的一动点，连接EP, ①点E在⊙M的内部； ②CD的长为5-3 ③若P与C重合，则∠DPE=15°； ④在P的运动过程中，若AP=2√3，则PE=√2+√6； ⑤W是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是π. 则正确的选项为」 D A 0 M 【答案】③④⑤ 【分析】①ME=2=4M,可知点E在OM上，答案可求：②由题意，0D多，利用购股定理0C可求。 故CD=OC+0D,结论可得；③由锐角三角函数可求∠OCM=30°，利用平行线和等腰三角形的性质可求 ∠ECD=)∠OCM=15°，结论可得；④连接EA,EB,过点A作AK1PE于K,利用圆周角定理和锐角三 2 角函数求得AK,EK,KP,则PE=EK+PK,结论可得；⑤连接MN,则MN⊥PE,可得点N的运动轨迹， 根据圆的周长公式，可得点N运动的路径长， 1 31 【详解】解：y=-。x2+x+三=-(x-1)2+2, 22 顶点E(1,2. .OM=1,ME=2, 3 令x=0,则y= 2 D0 3 60/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0D-3 令y=0,则x2+x+号=0 解得：x=-1或x=3. A-1,0,B(3,0). OA=1,OB=3,M1,0) AB=4. …⊙M的半径为2. ①M(1,0),E(1,2), ME=2,⊙M的半径为2， E点在⊙M上.故①不正确： ②连接MC,则MC=2,如图： D A O M 在R1a0CM中，sin∠0CM= ÷∠0CM=30°. 0C=MCx cos30°=√5， :CD=0C+0D=5+号，故②不正确： ③连接MC,ME,CE,如图： 61/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 由②知：∠0CM=30°， ME∥OC, ∠MEC=∠DCE, :ME=MC=2, .∠MCE=∠MEC, ∴.∠MCE=∠DCE=∠OCM=15°. P与C重合， ∠DPE=∠DCE=I5°，故③正确： ④如图，连接PB,AE,ME,过点A作AK⊥PE于K, B ME=2, E点在OM上， ∠AEP=∠ABP. AB是圆的直径， ∠APB=90°. sin∠ABp=4P-2V5V5 ∠ABP=60°， ∠AEP=60° 62/63 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AE=VMA2+ME2=2√2， EK=AE∠AEP=2×5, 4K=AESinLAEP-2x=6 ×∠AME=90°， ∠APE-7ZAME=45O ·△AKP为等腰直角三角形. PK=AK=√6 PE=EK+PK=√2+√6.故④正确： ⑤如图，连接AE,BE,设AE,BE的中点分别为G,F,连接GF交ME于点R. R G,F为AE,BE的中点， ∴FG为△EAB的中位线. c-0=2 连接MN, W为PE的中点，M为圆心， MN⊥PE. “点N的运动轨迹为以ME为直径的半圆 即点N的运动轨迹是以点G,F为端点的半圆. 点N运动的路径长是×2x×1=. 故⑤正确： 综上，正确的选项为③④⑤. 63/63 题号猜押03 江苏苏州中考数学8题（选择题）+15-16题（填空题） 考点1 二次函数综合 1.D 2.D 3.C 4.B 5. 考点2 相似综合运用 1.A 2.B 3.A 4.6 5. 考点3 四边形综合 1.B 2.A 3.B 4. 5.A 考点4 旋转综合 1.D 2.D 3.C 4. 5. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C B C D B A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A B B A ③④⑤ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $