专项03 锐角三角函数及其应用 6大题型（大题专练）（辽宁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以“建模-技法-实战”为主线，系统构建锐角三角函数应用的问题转化模型与解题步骤，强化数学建模与几何推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坡度坡角问题|1典例+3变式|坡度转化直角三角形，分步求公共边|坡度定义→直角三角形构造→边角关系应用| |仰俯角问题|1典例+3变式|双直角三角形公共边关联，正切优先|仰俯角概念→模型抽象→三角函数选择| |方向角问题|1典例+3变式|方向坐标系转化内角，分步解三角形|方位角标注→直角三角形拆分→公共边求解| |生活实际问题|1典例+4变式|复杂场景辅助线构造，多模型综合|实际场景→模型拆解→多步骤推导| |跨学科问题|1典例+3变式|学科原理转化几何模型，方程求解|跨学科信息→直角三角形抽象→边角关系建立| |古代文化问题|1典例+2变式|传统文化场景建模，三角函数应用|古代工具抽象→直角三角形构建→实际测量计算|

专项03 锐角三角函数及其应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，锐角三角函数的实际应用是必考内容，也是解答题中出现的高频考点，分值约8分左右． 命题趋势：解答题：锐角三角函数作为解答题中的高频题型，大致稳定在第20题左右的位置，难度中等，侧重数学建模与实际问题解决能力，以传统的坡度问题、仰俯角问题、方向角问题为基础，附加近两年火热的新情境、新场景中的应用，情境常结合建筑测量、航海定位、工程坡度、物理力学等贴近生活与社会热点的素材，同时重视解题过程的规范书写． 2026年预测：锐角三角函数的实际应用将继续作为解答题中的热点问题进行考察，分值与核心考点保持稳定，情境设计会更贴近真实生产生活，设问更注重开放性与探究性，进一步强化数学建模素养、几何推理能力与规范表达能力． 备考核心：熟记三角函数中的边角对应关系，掌握特殊角的三角函数值，明确坡度、坡角、仰俯角、方向角等基础定义，提高计算准确性，估算时按照题目要求保留近似值，规范书写步骤． 题型01 坡度坡角问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）申伯楼是信阳狮河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是狮河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色景点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图    测量说明 申伯楼前有一座高为的观景台，已知观景台的倾斜步道的坡度为．该小组在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为，在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为． 测量数据 ，，， 备注 点，，在同一条水平直线上．参考数据：， 根据以上信息，解决下列问题： (1)分别求和的长． (2)求申伯楼的高度．（此问结果精确到） 研考点·通技法 此类题型常考察利用坡度（坡比）构造直角三角形，结合锐角三角函数求解坡面高度、水平宽度、坡长等实际问题，常见于道路、堤坝、坡面改造类应用题。 1.明确概念，转化为直角三角形模型： 坡度（坡比）：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，记作i，即 i=lh​=tanα（α为坡角），常写成1:m的形式。 关键：将坡面抽象为直角三角形的斜边，垂直高度为对边，水平宽度为邻边，坡角为两线的夹角，标注已知条件与待求量。 2.结合图形分步作答，注意细节： 多个坡面时，先分析各部分的水平宽度、垂直高度关系，再结合勾股定理或三角函数求解。 注意单位统一，结果要结合实际场景判断合理性（如高度、长度为正数，坡度不能大于 1）。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． (1)求的度数； (2)求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）． 2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． (1)求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号） (2)求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 题型02 仰俯角问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁铁岭·三模）在学习完“利用三角函数测高”知识后，某综合实践活动小组，尝试通过利用三角函数的知识测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案，请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长），（精确到米） 【方案一】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为，与山脚处的俯角为．（参考数据：，） 【方案二】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为；利用无人机垂直上升到海拔高度为米的处时（米），测得与山顶处的仰角为．（参考数据：）    研考点·通技法 此类题型常考察利用仰角、俯角构造直角三角形，结合锐角三角函数（正弦、余弦、正切）求解物体的高度、距离；也常结合双直角三角形（不同观测点）进行综合计算。 1.明确概念，转化模型： 仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角。 关键：把实际场景抽象成直角三角形，标注已知的角度、边长，确定要求的边。 2. 选择合适的三角函数公式：在直角三角形中，设角为α，对边为a，邻边为b，斜边为c：sinα=斜边∶对边​,cosα=斜边∶邻边​,tanα=邻边∶对边​优先使用已知边和未知边的关系，选择合适的函数（求高 / 高的差常用正切）。 3.分步计算，注意细节： 有多个直角三角形时，先在已知条件多的三角形中求出公共边（如水平距离），再代入另一个三角形求解。 注意单位统一，结果要结合实际场景判断合理性（如高度不能为负） 破类题·提能力 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，并画了测量示意图．已知，风力发电机垂直于地平面，斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为． (1)填空：______度； (2)求点到地面的距离； (3)求该风力发电机塔杆的高度． （参考数据：，，） 2．（2025·辽宁铁岭·二模）某兴趣小组想利用无人机测量一座塔的高度．如图1，无人机沿着水平线飞行，飞至P点时，测得塔底A的俯角为，此时无人机位于固定点Q 的正上方，Q点到塔底A的距离为150米．如图2，当无人机飞到C点时，测得塔尖B的俯角为，无人机继续向前飞行了52米到达D点，此时测得塔底A的俯角为(已知上述所有点均在同一平面内)． (1)求无人机飞行的高度．(结果保留根号) (2)求塔高．(结果精确到0.1米，参考数据： ， 3．（2025·辽宁丹东·一模）抗美援朝纪念塔坐落在辽宁省丹东市北部的英华山上，此塔铭记着抗美援朝志愿军将士的英勇事迹．抗美援朝纪念塔分为塔身和基座两部分，如图1，小李同学想用测量仪和无人机测量抗美援朝纪念塔的总高度．如图2，小李同学先用测量仪测量基座的高度，在点C测得基座的顶部B的仰角为，，长为，点A，B，C均在同一竖直平面内． (1)求基座的高度； (2)如图3，小李同学想测量塔身的高度，他将无人机升到距地面（所在水平面）的点F处，测得抗美援朝纪念塔塔身的底部B处的俯角为，再将无人机沿纪念塔方向水平飞行至点H处，测得纪念塔的顶部G的俯角为，点A，B，F，G，H均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一直线上．求抗美援朝纪念塔的总高度（结果精确到）（参考数据：，，）． 题型03 方向角问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 研考点·通技法 此类题型常考察利用方位角（如北偏东、南偏西等）构造直角三角形，结合锐角三角函数求解航行、测量中的距离与位置问题；也常结合双方位角、双直角三角形进行综合计算。 1.明确概念，建立方向坐标系： 方位角：以正北或正南方向为基准，描述物体运动方向的角，如 “北偏东30∘”，表示从正北方向向东偏转30∘。 关键：以观测点为原点，画出 “上北下南、左西右东” 的十字方向线，将方位角转化为直角三角形的内角，标注已知边和待求边。 2.分步计算，注意细节： 多个方位角时，先分析图形，找出所有直角三角形的公共边，分步求解。 注意单位统一，结果要结合实际场景判断合理性（如距离为正数，方位描述需准确） 破类题·提能力 1．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，某轮船以的速度由东向西航行至处，测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行后到达处，测得灯塔在它的西北方向上． (1)求轮船在处时与灯塔的距离(精确到)； (2)若灯塔周围内有暗礁，且轮船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (参考数据，，，，，，) 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，一艘轮船航行到海上点处时，观察到岸边灯塔在南偏西方向的海里处，岸边另一座灯塔在北偏西70度方向，且直线与直线的夹角，求两座灯塔，之间的距离．（精确到1海里，参考数据：） 3．（2025·辽宁朝阳·一模）在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上． (1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）； (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，） 题型04 生活实际物体问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁盘锦·一模）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． (1)求的长度（结果保留整数）： (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 研考点·通技法 此类题型常考察以实际测量、方案设计及生活场景化为背景，结合仰角俯角、方位角、坡度坡比等模型，运用锐角三角函数解决多步骤、多场景的综合实践问题，常见于测量高度、距离、方案优化等探究类题目。 1.转化建模，拆解实际场景： 先将实际问题抽象为直角三角形模型，明确观测点、测量对象、辅助线构造方法，区分已知量与待求量。 关键：若场景复杂（如存在多个观测点、障碍物），可通过添加辅助线构造双直角三角形，利用公共边建立等量关系。 2.分步推导，规范作答： 优先利用已知条件求解公共边（如水平距离、垂直高度），再结合三角函数或勾股定理求解目标量。 注意：需结合实际场景判断结果的合理性，必要时进行误差分析或方案优化说明 破类题·提能力 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）学校大扫除，为保证学生安全，要求学生只能站在地面，用长杆擦玻璃器对玻璃进行清洁，小明负责擦教室玻璃．擦玻璃器长米．且此时点，，，，，，均在同一平面．（参考数据：，，） (1)如图，当擦玻璃器端，位于玻璃上沿时，擦玻璃器与玻璃夹角为，此时端距地面的距离为米（即米）．求玻璃上沿到地面的距离；（结果精确到米） (2)如图，已知玻璃上沿和下沿的距离米，当擦玻璃器端位于玻璃下沿时，端距地面的距离为米（即米），求此时擦玻璃器与玻璃夹角的度数约为多少度． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） (1)如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离． 图1 (2)为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 图2 3．（2025·辽宁盘锦·二模）如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞩间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，，已知，，，是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： (1)的度数． (2)点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在墙面上，手柄与固定器的连接处记为点A（点A与墙之间的距离忽略不计）．如图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角可以改变角度．已知长为． (1)已知小明身高为，站在淋浴喷头正前方与墙面相距的点D处，当为，此时水流刚好经过小明的头顶点C，求固定器A与地面的距离； (2)为了遮挡水流，防止水花喷溅过远，方便清理，准备在墙面正前方处安装浴帘，手柄与墙的夹角的范围为，固定器A与地面的距离保持不变，如图3，水流在碰到浴帘之前近似看作沿射线运动，．求浴帘的长度至少为多少时可以有效遮挡住水流？ （精确到，参考数据：，，，．） 题型05 跨学科问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 研考点·通技法 1. 抽象几何图形 将实物抽象为直角三角形，标注已知边长和角度，将其他学科中的内容对应到三角函数模型中。 2. 建立边角关系 根据已知条件选择三角函数（sin、cos、tan）。若涉及多个直角三角形，设公共边为未知数，列方程组求解。 3. 结果实际检验 所求边长应满足实物尺寸合理性。注意单位换算，结果按要求取近似值。最后作答时需明确所求量。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁锦州·三模）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图．已知试管，试管倾斜角为；实验时，导管紧贴水槽，延长交于点，且（点在同一直线上），经测得，求的长．（结果保留整数）（参考数据：，，） 2．（2025·辽宁沈阳·一模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表． 实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 题型06 古代文化相关问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁营口·一模）土圭是中国古代用于测量日影长度的天文仪器，它的构造简单如图1，就是垂直于地面立的一根杆，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节的变化，古代的人们发现，夏至日影子最短，冬至日影子最长，这样通过测量日影的长度得到夏至和冬至，从而确定了四季．如图2，若某地太阳光线冬至时和地面的夹角，夏至时夹角，且点A，B，C，D都在同一平面内，某数学兴趣小组测得土圭夏至日和冬至日影长的差为尺．（参考数据，，，，，，，，） (1)求土圭的高度为多少尺； (2)若春分时太阳光线和地面的夹角是，求春分时土圭的影长为多尺？ 研考点·通技法 1. 抽象几何图形 将实物抽象为直角三角形，标注已知边长和角度，将古代文化中的内容对应到三角函数模型中。 2. 建立边角关系 根据已知条件选择三角函数（sin、cos、tan）。若涉及多个直角三角形，设公共边为未知数，列方程组求解。 3. 结果实际检验 所求边长应满足实物尺寸合理性。注意单位换算，结果按要求取近似值。最后作答时需明确所求量。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是． (1)当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度． (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，，，精确到0.1米） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 锐角三角函数及其应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，锐角三角函数的实际应用是必考内容，也是解答题中出现的高频考点，分值约8分左右． 命题趋势：解答题：锐角三角函数作为解答题中的高频题型，大致稳定在第20题左右的位置，难度中等，侧重数学建模与实际问题解决能力，以传统的坡度问题、仰俯角问题、方向角问题为基础，附加近两年火热的新情境、新场景中的应用，情境常结合建筑测量、航海定位、工程坡度、物理力学等贴近生活与社会热点的素材，同时重视解题过程的规范书写． 2026年预测：锐角三角函数的实际应用将继续作为解答题中的热点问题进行考察，分值与核心考点保持稳定，情境设计会更贴近真实生产生活，设问更注重开放性与探究性，进一步强化数学建模素养、几何推理能力与规范表达能力． 备考核心：熟记三角函数中的边角对应关系，掌握特殊角的三角函数值，明确坡度、坡角、仰俯角、方向角等基础定义，提高计算准确性，估算时按照题目要求保留近似值，规范书写步骤． 题型01 坡度坡角问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）申伯楼是信阳狮河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是狮河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色景点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图    测量说明 申伯楼前有一座高为的观景台，已知观景台的倾斜步道的坡度为．该小组在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为，在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为． 测量数据 ，，， 备注 点，，在同一条水平直线上．参考数据：， 根据以上信息，解决下列问题： (1)分别求和的长． (2)求申伯楼的高度．（此问结果精确到） 【思路分析】（1）根据坡度的定义可得，结合勾股定理得，列出方程，可求出和的长； （2）过点作于点，令，可用表示、的长度，再结合，即可得出的高度． 【规范答题】（1）解：∵倾斜步道的坡度为，， 故， ∴， 由，得， 解得，． （2）解：过点作于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 令， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 即， 解得， 故的高度约为． 研考点·通技法 此类题型常考察利用坡度（坡比）构造直角三角形，结合锐角三角函数求解坡面高度、水平宽度、坡长等实际问题，常见于道路、堤坝、坡面改造类应用题。 1.明确概念，转化为直角三角形模型： 坡度（坡比）：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，记作i，即 i=lh​=tanα（α为坡角），常写成1:m的形式。 关键：将坡面抽象为直角三角形的斜边，垂直高度为对边，水平宽度为邻边，坡角为两线的夹角，标注已知条件与待求量。 2.结合图形分步作答，注意细节： 多个坡面时，先分析各部分的水平宽度、垂直高度关系，再结合勾股定理或三角函数求解。 注意单位统一，结果要结合实际场景判断合理性（如高度、长度为正数，坡度不能大于 1）。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． (1)求的度数； (2)求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）． 【答案】(1)的度数为 (2)这棵大树折断前的高度约为9米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键； （1）将延长交于点，根据三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解； （2）过点作于点，得出，，分别求得，进而求出即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，将延长交于点， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作于点，， ， ，， 在中，，， 在中，， 答：这棵大树折断前的高度约为9米． 2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． (1)求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号） (2)求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1)一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为； (2)日光灯C到一楼地面的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理． （1）过点B作于点E，设，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案； （2）过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，根据矩形性质得四边形，是矩形，结合（1）的结论，根据三角函数的性质，得，从而完成求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E． 设， ∵的坡度为， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得：（舍去）或， ∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为； （2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H， ∴四边形，是矩形， 根据题意，得：，， ∴，，， 由（1）可知，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴日光灯C到一楼地面的高度约为． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 题型02 仰俯角问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁铁岭·三模）在学习完“利用三角函数测高”知识后，某综合实践活动小组，尝试通过利用三角函数的知识测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案，请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长），（精确到米） 【方案一】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为，与山脚处的俯角为．（参考数据：，） 【方案二】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为；利用无人机垂直上升到海拔高度为米的处时（米），测得与山顶处的仰角为．（参考数据：）    【思路分析】过点作于点，过点作于点，构造两个矩形得到， ，，利用角得，设米，再结合角的正切值列方程求解，最后加上得出山体总海拔． 【规范答题】解：选择方案二进行问题解决： 过点作于点，过点作于点， 依题意知，矩形，矩形，    ∴米，米，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 设米，则米， 在Rt中，，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：山体高度约为米． 研考点·通技法 此类题型常考察利用仰角、俯角构造直角三角形，结合锐角三角函数（正弦、余弦、正切）求解物体的高度、距离；也常结合双直角三角形（不同观测点）进行综合计算。 1.明确概念，转化模型： 仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角。 关键：把实际场景抽象成直角三角形，标注已知的角度、边长，确定要求的边。 2. 选择合适的三角函数公式：在直角三角形中，设角为α，对边为a，邻边为b，斜边为c：sinα=斜边∶对边​,cosα=斜边∶邻边​,tanα=邻边∶对边​优先使用已知边和未知边的关系，选择合适的函数（求高 / 高的差常用正切）。 3.分步计算，注意细节： 有多个直角三角形时，先在已知条件多的三角形中求出公共边（如水平距离），再代入另一个三角形求解。 注意单位统一，结果要结合实际场景判断合理性（如高度不能为负） 破类题·提能力 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，并画了测量示意图．已知，风力发电机垂直于地平面，斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为． (1)填空：______度； (2)求点到地面的距离； (3)求该风力发电机塔杆的高度． （参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)点到地面的距离为米； (3)该风力发电机塔杆的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，含度角的直角三角形的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作垂足为，根据题意可得，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，即可解答； （3）根据题意可得米， ，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为， 由题意得： ， 故答案为：； （2）解：如图，延长交于点， 由题意得：， 在中，米， (米)， ∴点到地面的距离为米； （3）解：由题意得：米， ， 设米， 在中， ， ∴ (米)， 在中， ， (米)， 解得： 米， 米， (米)， ∴该风力发电机塔杆的高度约为米． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）某兴趣小组想利用无人机测量一座塔的高度．如图1，无人机沿着水平线飞行，飞至P点时，测得塔底A的俯角为，此时无人机位于固定点Q 的正上方，Q点到塔底A的距离为150米．如图2，当无人机飞到C点时，测得塔尖B的俯角为，无人机继续向前飞行了52米到达D点，此时测得塔底A的俯角为(已知上述所有点均在同一平面内)． (1)求无人机飞行的高度．(结果保留根号) (2)求塔高．(结果精确到0.1米，参考数据： ， 【答案】(1)米 (2)约35.5米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． （1）直接利用正切定义求解即可； （2）延长交直线于H，则米，分别在和中，利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，米， ∴（米）， 答：无人机飞行的高度是米； （2）解：延长交直线于H，则米， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：塔高约为35.5米． 3．（2025·辽宁丹东·一模）抗美援朝纪念塔坐落在辽宁省丹东市北部的英华山上，此塔铭记着抗美援朝志愿军将士的英勇事迹．抗美援朝纪念塔分为塔身和基座两部分，如图1，小李同学想用测量仪和无人机测量抗美援朝纪念塔的总高度．如图2，小李同学先用测量仪测量基座的高度，在点C测得基座的顶部B的仰角为，，长为，点A，B，C均在同一竖直平面内． (1)求基座的高度； (2)如图3，小李同学想测量塔身的高度，他将无人机升到距地面（所在水平面）的点F处，测得抗美援朝纪念塔塔身的底部B处的俯角为，再将无人机沿纪念塔方向水平飞行至点H处，测得纪念塔的顶部G的俯角为，点A，B，F，G，H均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一直线上．求抗美援朝纪念塔的总高度（结果精确到）（参考数据：，，）． 【答案】(1) (2)约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）解求出的长即可； （2）延长交于点I，先解，求出，从而求得，再解中，求得，即可由求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 在中，，， ， 基座的高度为． （2）解：延长交于点I， 由题意得：，， 由（1）可得， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 抗美援朝纪念塔总高度约为． 题型03 方向角问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【思路分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答； （2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答． 【规范答题】（1）解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里．    （2）解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时． 研考点·通技法 此类题型常考察利用方位角（如北偏东、南偏西等）构造直角三角形，结合锐角三角函数求解航行、测量中的距离与位置问题；也常结合双方位角、双直角三角形进行综合计算。 1.明确概念，建立方向坐标系： 方位角：以正北或正南方向为基准，描述物体运动方向的角，如 “北偏东30∘”，表示从正北方向向东偏转30∘。 关键：以观测点为原点，画出 “上北下南、左西右东” 的十字方向线，将方位角转化为直角三角形的内角，标注已知边和待求边。 2.分步计算，注意细节： 多个方位角时，先分析图形，找出所有直角三角形的公共边，分步求解。 注意单位统一，结果要结合实际场景判断合理性（如距离为正数，方位描述需准确） 破类题·提能力 1．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，某轮船以的速度由东向西航行至处，测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行后到达处，测得灯塔在它的西北方向上． (1)求轮船在处时与灯塔的距离(精确到)； (2)若灯塔周围内有暗礁，且轮船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (参考数据，，，，，，) 【答案】(1)约； (2)有触礁的危险． 【分析】（1）先计算的长度，过作的延长线于，由“西北方向”得出是等腰直角三角形，设，在中解三角函数建立方程求出，再利用等腰直角三角形的边长关系求出． （2）比较与的大小关系，若，则轮船继续航行有触礁危险，反之则没有． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， 根据题意，，，． 在中，，， ∴，设，则， ∴． 在中，，， ∴，解得． 在中，． 答：轮船在处时与灯塔的距离约为． （2）解：由（1）知， ∵， ∴轮船不改变航线继续向西航行，有触礁的危险． 答：轮船不改变航线继续向西航行，有触礁的危险． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，一艘轮船航行到海上点处时，观察到岸边灯塔在南偏西方向的海里处，岸边另一座灯塔在北偏西70度方向，且直线与直线的夹角，求两座灯塔，之间的距离．（精确到1海里，参考数据：） 【答案】两座灯塔，之间离约为71海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．过点作于点H，根据题意求出，分别解直角三角形，求出，即可解答． 【详解】解：过点作于点H， ∵，， ∴， ∴， 在中，海里， ∴海里，海里， 在中，海里， ∴海里， 答：两座灯塔，之间的距离约为71海里． 3．（2025·辽宁朝阳·一模）在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上． (1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）； (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，） 【答案】(1)AC=200海里，AD=200(-1)海里 (2)无触礁的危险 【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE=x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长； （2）过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，求出DF的长，再与100比较即可得到答案． 【详解】（1）如图，作CE⊥AB于E， 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°， 设AE＝x海里， 在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°=x， 在Rt△BCE中，BE＝CE＝x， ∴AE＋BE＝x＋x＝100（+1），解得：x＝100． ∴AC＝2x＝200海里． ∵∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC）=75°， ∴∠ACB=∠ADC=75°， ∵∠BAC=∠CAD， ∴△ABC∽△ACD ∴， ∴， ∴AD=200(-1) （2）在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y， ∴AC＝y＋y＝200，解得：y＝100（−1）， ∴DF＝y=×100（−1）≈126.8（海里）， ∵126.8＞100， ∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 题型04 生活实际物体问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁盘锦·一模）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． (1)求的长度（结果保留整数）： (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【思路分析】（1）在中，利用余弦的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦的定义求的长度，再进一步求解即可． 【规范答题】（1）解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 研考点·通技法 此类题型常考察以实际测量、方案设计及生活场景化为背景，结合仰角俯角、方位角、坡度坡比等模型，运用锐角三角函数解决多步骤、多场景的综合实践问题，常见于测量高度、距离、方案优化等探究类题目。 1.转化建模，拆解实际场景： 先将实际问题抽象为直角三角形模型，明确观测点、测量对象、辅助线构造方法，区分已知量与待求量。 关键：若场景复杂（如存在多个观测点、障碍物），可通过添加辅助线构造双直角三角形，利用公共边建立等量关系。 2.分步推导，规范作答： 优先利用已知条件求解公共边（如水平距离、垂直高度），再结合三角函数或勾股定理求解目标量。 注意：需结合实际场景判断结果的合理性，必要时进行误差分析或方案优化说明 破类题·提能力 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）学校大扫除，为保证学生安全，要求学生只能站在地面，用长杆擦玻璃器对玻璃进行清洁，小明负责擦教室玻璃．擦玻璃器长米．且此时点，，，，，，均在同一平面．（参考数据：，，） (1)如图，当擦玻璃器端，位于玻璃上沿时，擦玻璃器与玻璃夹角为，此时端距地面的距离为米（即米）．求玻璃上沿到地面的距离；（结果精确到米） (2)如图，已知玻璃上沿和下沿的距离米，当擦玻璃器端位于玻璃下沿时，端距地面的距离为米（即米），求此时擦玻璃器与玻璃夹角的度数约为多少度． 【答案】(1)米 (2) 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、根据特殊角三角函数值求角的度数，解题关键是熟练掌握解直角三角形的应用． （1）过点作，垂足为，推出是直角三角形，结合解直角三角形的相关运算即可求出，证明四边形是矩形后可得，则； （2）过点作，垂足为，证明四边形是矩形可得，求出后，结合特殊角的三角函数值可得此时擦玻璃器与玻璃夹角的度数． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ， ， 是直角三角形， 在中，，， ， （米）， 在四边形中，， 四边形是矩形， ， （米）； （2）解：过点作，垂足为， ， ， 在四边形中，， 四边形是矩形， ， ， （米）， 在中，， ， 约为． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） (1)如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离． 图1 (2)为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 图2 【答案】(1)此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为 (2)点距离桌面的高度差约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，先利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，从而可得，然后分别求出当时，当时，的长，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 图1． ， 在中，， ， 此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为； （2）延长交于点， 由题意得：， ， 当时， ， 在中，， ， 当时， ， 在中，， 图2， 点距离桌面的高度差， 点距离桌面的高度差约为． 3．（2025·辽宁盘锦·二模）如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞩间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，，已知，，，是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： (1)的度数． (2)点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键； （1）过点作，根据题意得出，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ （2）解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形， ∴， 在中， ∵， ∴ ∴ ∴ 答：点距离地面的高度约为． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在墙面上，手柄与固定器的连接处记为点A（点A与墙之间的距离忽略不计）．如图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角可以改变角度．已知长为． (1)已知小明身高为，站在淋浴喷头正前方与墙面相距的点D处，当为，此时水流刚好经过小明的头顶点C，求固定器A与地面的距离； (2)为了遮挡水流，防止水花喷溅过远，方便清理，准备在墙面正前方处安装浴帘，手柄与墙的夹角的范围为，固定器A与地面的距离保持不变，如图3，水流在碰到浴帘之前近似看作沿射线运动，．求浴帘的长度至少为多少时可以有效遮挡住水流？ （精确到，参考数据：，，，．） 【答案】(1)固定器与地面的距离约为 (2)浴帘的长度至少为时可以有效遮挡住水流 【分析】本题考查了解直角三角形，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作于点，延长交于点，则，解直角三角形得，，，进而求得，，所以，最后根据即可得解； （2）由题意可知，当需要浴帘长度最大，此时，再结合，得，，进而求得，，再根据解直角三角形知识求得，最后根据即可得解． 【详解】（1）解：作于点，延长交于点，则， ∵小明身高是，即：， ∵，， 在中，， ∴，， ∴， ， ， 由题意可知，，， ，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：固定器与地面的距离约为； （2）解：由题意可知，当需要浴帘长度最大， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 答：浴帘的长度至少为时可以有效遮挡住水流． 题型05 跨学科问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 【思路分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 任务一：根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； 任务二：根据任务一中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【规范答题】解：任务一：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； 任务二：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为2.44米． 研考点·通技法 1. 抽象几何图形 将实物抽象为直角三角形，标注已知边长和角度，将其他学科中的内容对应到三角函数模型中。 2. 建立边角关系 根据已知条件选择三角函数（sin、cos、tan）。若涉及多个直角三角形，设公共边为未知数，列方程组求解。 3. 结果实际检验 所求边长应满足实物尺寸合理性。注意单位换算，结果按要求取近似值。最后作答时需明确所求量。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁锦州·三模）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图．已知试管，试管倾斜角为；实验时，导管紧贴水槽，延长交于点，且（点在同一直线上），经测得，求的长．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】线段的长度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用根据余弦的定义得出的长度；延长交于点，得出四边形是矩形，通过计算得出的长度，从而得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ， 延长交于点，则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， 答：线段的长度约为． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表． 实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】的长约4cm 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，根据的长，由、，求出、的长，在中，根据，利用，求出的长，再根据，由求出的长即可． 【详解】解：在中，，，， ，， ，， ，， 在中，，，， ，即， ， ， ， 则的长约4cm． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， （2）解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型06 古代文化相关问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁营口·一模）土圭是中国古代用于测量日影长度的天文仪器，它的构造简单如图1，就是垂直于地面立的一根杆，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节的变化，古代的人们发现，夏至日影子最短，冬至日影子最长，这样通过测量日影的长度得到夏至和冬至，从而确定了四季．如图2，若某地太阳光线冬至时和地面的夹角，夏至时夹角，且点A，B，C，D都在同一平面内，某数学兴趣小组测得土圭夏至日和冬至日影长的差为尺．（参考数据，，，，，，，，） (1)求土圭的高度为多少尺； (2)若春分时太阳光线和地面的夹角是，求春分时土圭的影长为多尺？ 【思路分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）在中，利用正切函数的定义求得，在中，利用正切函数的定义求得，再根据为尺列式计算即可求解； （2）在中，利用正切函数的定义即可求解． 【规范答题】（1）解：由题意可知：，，，设尺， ∴在中，， 在中，， ， 解得：， （尺） 答：土圭的高度约尺； （2）解：在中，，， （尺） 答：春分时土圭的影长约为尺． 研考点·通技法 1. 抽象几何图形 将实物抽象为直角三角形，标注已知边长和角度，将古代文化中的内容对应到三角函数模型中。 2. 建立边角关系 根据已知条件选择三角函数（sin、cos、tan）。若涉及多个直角三角形，设公共边为未知数，列方程组求解。 3. 结果实际检验 所求边长应满足实物尺寸合理性。注意单位换算，结果按要求取近似值。最后作答时需明确所求量。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 【答案】(1)点A位于最高点时到地面的距离为米 (2)此时水桶B上升的高度为米 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过O作于O，过A作于G，在中即可求解； （2）过O作，过B作于C，过作于D，在中求出，在求出即可求解； 【详解】（1）解：过O作于O，过A作于G， ∵米，， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，（米）， 点A位于最高点时到地面的距离为（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为米； （2）解：过O作，过B作于C，过作于D， ∵， ∴，， ∵（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度为米． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是． (1)当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度． (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，，，精确到0.1米） 【答案】(1)此人离地面的高度约 (2)与地面的距离范围为 【分析】（1）过作，由题意易得，然后问题可求解； （2）过点作，然后分当时和当时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：过作， ∵，， ∴， ∵点为的中点，米， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解：过点作， 当时，∵， ∴， ∴，即； 当时，； ∴，即； ∴与地面的距离范围为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $