精品解析：海南省文昌中学2025-2026学年高二下学期期中段考数学试题

2025—2026学年度第二学期高二段考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置． 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写．选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效．写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导公式计算，得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：C 2. 若服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照两点分布的性质计算. 【详解】依题意可得，解得. 故选：C 3. 设等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 18 B. 27 C. 45 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：C 4. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 由题可知，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减. 此时在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减.， 此时在处取得极小值，符合题意. 5. 已知数列中，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知， 则时，， 时，， 时，， 时，， 时，， 时，， 时，， 可见，数列呈周期性，，周期为4， 一个周期内4项和为， ， 数列的前项和为：． 6. 抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设可得，再由点在椭圆上，代入求参数即可. 【详解】由题设，且在第一象限，轴，则， 又在椭圆上，故，而，故. 故选：C 7. 全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种 【答案】B 【解析】 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】依题意，有两类分组方法： ① 5名同学按2人，2人，1人分成三个小组，有种分法， ② 5名同学按3人，1人，1人分成三个小组，有种分法. 再把分好的三个小组安排到三个服务站分别有种方法， 故每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 故选：B. 8. 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增. 因此，是极大值点，是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知事件A，B，若，且，，则 B. 有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 C. 若随机变量服从两点分布，且，则 D. 若随机变量，，则， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据条件概率求解选项A.根据超几何分布的数学期望求解选项B.根据两点分布的方差求解选项C.根据数学期望、方差的性质求解选项D. 【详解】选项A.由， ，且 ， 则 ，正确. 选项B.服从超几何分布，总球数，白球数，抽取数， 超几何分布期望公式为 ，正确. 选项C.两点分布的方差，正确. 选项D.若 ，则，. 由期望、方差性质， ，，错误. 10. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ） A. 的实轴长为2 B. 的离心率为 C. 的面积为 D. 的平分线所在直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出双曲线的解析式，即可求出实轴长和离心率，求出焦点即可得出面积，利用倾斜角即可求出的平分线所在直线的方程. 【详解】由题意， 在中， ∵关于的平分线的对称点恰好在上， ∴，，三点共线，且， ∵，∴. 设，， 根据双曲线定义可得，， 解得，，即，∴. 在中，根据勾股定理可得，，解得， ∴的实轴长为2，所以A正确； 又，，∴的离心率为，所以B不正确； 的面积为，∴C正确； ∵，∴， ∵，易得的平分线的倾斜角为， ∴的平分线所在直线的方程为，即，所以D正确. 故选：ACD. 11. 五人进行丢骰子游戏．已知每人每次丢完后都等可能地随机传向另外4人中的1人．第1次由将骰子传出，记第次传骰子之后骰子在或手上的概率为，记第次传骰子之后骰子在手上的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得，由全概率公式可得，即得到，由等比数列通项公式可得，当时，计算可得，同理化简可得. 【详解】由题意可得，第1次由将骰子传出，传到或手上的概率为，故A正确； 设第次传到或手上的概率为，则第次传到或手上的概率为， 则，即，可变形为， 因为 ，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，故C错误； 当时，，故B错误； 同理第次传到手上的概率为，则第次传到手上的概率为， 则，即，可变形为， 又，同理数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【详解】的展开式通项公式为， 令，则， 所以的展开式中的系数是． 13. 人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 【答案】## 【解析】 【分析】确定两个互斥的完备事件组分类求解概率，再结合全概率公式求解软件生成正确答案的概率. 【详解】第一种情况：输入无语法错误且生成正确答案 已知输入无语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 第二种情况：输入有语法错误且生成正确答案 输入有语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 两种情况互斥，所以软件生成正确答案的总概率为： 14. ，且，不等式恒成立，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，通过分析即，令，则，即在上单调递增，求导分析即可. 【详解】不妨设，则，由可得， 所以，令，则 因为，所以在上单调递增， 所以对于恒成立，可得对于恒成立，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 正项等比数列的前项和为，满足，． （1）求的通项公式； （2）若为的前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值． 【答案】（1） （2）或，的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据求出公比，根据求出首项即可； （2）讨论、、即可求出. 【小问1详解】 设数列公比为，则，解得或， 因等比数列为正项数列，则， 则，解得， 则. 【小问2详解】 当时，；当时，；当时，， 所以当或时，最大，最大值为 . 16. 盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． （1）求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； （2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； （3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）； （3） Y 2 3 4 5 P ； 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）判断随机变量，根据二项分布的期望；方差公式即可求解； （3）确定随机变量Y的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，求得期望. 【小问1详解】 设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐藏款”， 则， 则； 【小问2详解】 每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为​， 因此随机变量， 根据二项分布的期望、方差公式： 得，； 【小问3详解】 当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取， 因此Y的可能取值为2，3，4，5， 隐藏款的位置共有种等可能情况， 计算概率得：（前2个均为隐藏款）, （第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏）, （第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款）， （剩余所有情况）， Y的分布列为： Y 2 3 4 5 P 数学期望：. 17. 如图，P为圆锥的顶点，为圆锥底面的直径，为等边三角形，O是圆锥底面的圆心．为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E为线段中点． （1）求证：平面平面； （2）M为底面圆O的劣弧上一点，且．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 设交于点，因为为圆锥底面的直径， 所以由垂径分线定理可知， 又因为为底面圆O的内接正三角形， 所以，即点是的中点， 又因为点E为线段中点，即是三角形的中位线， 所以， 由题意面， 所以面， 又因为面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 显然可取平面的一个法向量为， 因为，等边的边长为， 所以由正弦定理得圆的半径为，从而，即， 而，所以，即， 因为为等边三角形，是三角形的中位线， 所以，即， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 即可取平面的一个法向量为， 从而. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. （1）求椭圆方程； （2）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）为定值（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）（ⅰ）列出两个斜率，再利用点在椭圆上，将转化为关于的式子，通过化简运算得出定值； （ⅱ）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意短轴长为2，，即，因为椭圆经过点， 所以，则.所以椭圆方程为 【小问2详解】 （ⅰ）证明：由题意可得，因为点关于原点的对称点为，所以,点，点为中点，即，设. 直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以①， 因为在椭圆上，所以，解得②， 同理因为点在椭圆上，所以③， 将②③代入①式，得（为定值）. 综上，为定值. （ⅱ）又因为既在椭圆上又在的延长线上， 所以， 又因为 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， ，， 所以， 则， 当且仅当，即，解得（因为）时等号成立，即此时最大. 所以直线方程为． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为． （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）（ⅰ）方程可化为，令，则在上单调递增且值域为，原方程可进一步化为，构造函数，根据导数与单调性及极值的关系做出简图，结合简图求解判断即可. （ⅱ）结合（ⅰ）设，要证，即证，即证；结合得，即证，即证；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系证明即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为. 所以． 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 （i）方程可化为，即． 令，则，所以函数在上单调递增， 易知函数的值域为. 结合题意，关于的方程①有两个不等的实根． 又因为不是方程①的实根，所以方程①可化为． 令，其中，则． 当或时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，函数在和上单调递减，在上单调递增． 所以，函数的极小值为， 且当时，；当时，则． 作出函数和的图象如图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有两个交点， 所以，实数的取值范围是． （ii）由（i）知，不妨设． 要证，只需证，即证． 因为，所以只需证． 因为，所以，则，作差可得． 所以只需证，即只需证． 令，只需证． 令，其中，则， 所以在上单调递增，故， 即在上恒成立． 所以原不等式得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二段考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置． 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写．选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效．写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 18 B. 27 C. 45 D. 63 4. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知数列中，，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种 8. 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知事件A，B，若，且，，则 B. 有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 C. 若随机变量服从两点分布，且，则 D. 若随机变量，，则， 10. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ） A. 的实轴长为2 B. 的离心率为 C. 的面积为 D. 的平分线所在直线的方程为 11. 五人进行丢骰子游戏．已知每人每次丢完后都等可能地随机传向另外4人中的1人．第1次由将骰子传出，记第次传骰子之后骰子在或手上的概率为，记第次传骰子之后骰子在手上的概率为，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 13. 人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 14. ，且，不等式恒成立，则m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 正项等比数列的前项和为，满足，． （1）求的通项公式； （2）若为的前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值． 16. 盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． （1）求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； （2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； （3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 17. 如图，P为圆锥的顶点，为圆锥底面的直径，为等边三角形，O是圆锥底面的圆心．为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E为线段中点． （1）求证：平面平面； （2）M为底面圆O的劣弧上一点，且．求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. （1）求椭圆方程； （2）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $