23.2一次函数的图象与性质（第一课时）课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

一次函数的图象与性质（第二课时） 人教版 · 八年级数学 下册 新授课 1.7.2013 同学们好，今天我们来学习一个非常重要的函数——一次函数。它不仅是我们后续学习更复杂函数的基础，也在我们的日常生活中有着广泛的应用。这节课，我们将一起探索一次函数的图象是什么样的，以及它有哪些有趣的性质。 ‹#› 教学目标 Teaching Objectives 01 知识与技能 Knowledge & Skills • 理解一次函数 y=kx+b (k≠0) 的图象特征，熟练掌握“两点法”作图技巧。 • 掌握一次函数性质：k>0 时 y 随 x 增大而增大；k<0 时 y 随 x 增大而减小。 • 理解参数 k 和 b 对一次函数图象位置和走势的具体影响。 02 过程与方法 Process & Methods • 经历“列表、描点、连线”的作图过程，深刻体会“数”与“形”之间的相互转化。 • 通过观察不同函数图象的异同点，归纳函数性质，逐步提升观察、分析和抽象概括能力。 03 情感态度与价值观 Attitudes & Values • 在小组合作探究活动中，感受数学逻辑的严密性与规律之美，激发数学学习兴趣。 • 结合生活中的实际应用场景，理解一次函数的实用价值，增强用数学解决实际问题的意识。 1.7.2013 本节课我们的目标主要有三个方面。首先，在知识和技能上，我们要学会画一次函数的图象，并掌握它的性质。其次，在过程与方法上，我们要通过动手实践，体会数形结合的思想。最后，在情感态度上，希望大家能感受到数学的魅力，并增强应用数学的意识。 ‹#› 教学重难点 01 教学重点：一次函数的图象画法与性质 02 教学难点：参数意义与数形结合 1.7.2013 本节课的重点是掌握一次函数的图象画法和性质。难点在于深入理解k和b这两个参数对图象的具体影响，并真正建立起数形结合的思维方式，也就是看到函数表达式就能想象出它的图象，看到图象就能分析出它的性质。 ‹#› 复习回顾：正比例函数 01 定义 形如y = kx (k ≠ 0)的函数，叫做正比例函数。 其中，k 称为比例系数，且不能为 0；自变量 x 的次数为 1。 02 图象 正比例函数的图象是一条经过原点 (0, 0)的直线。 只需确定两个点（如原点和点 (1, k)），就能画出它的图象，即“两点确定一条直线”。 03 性质 ● 当 k > 0 时： 图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大（y与x同增同减）。 ● 当 k < 0 时： 图象经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小（y与x变化相反）。 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下已经学过的正比例函数。大家还记得它的定义、图象和性质吗？它的图象是一条过原点的直线，k的正负决定了它经过的象限和增减性。这些知识将为我们今天学习一次函数打下坚实的基础。 ‹#› 思考与引入 我们已经掌握了正比例函数：y = kx 如果在后面加上一个常数 b，变成：y = kx + b 它的图象会是什么样的呢？ 它和正比例函数的图象又有什么关系呢？ 这就是我们今天要研究的——一次函数 1.7.2013 很好，既然我们已经熟悉了正比例函数y=kx，那大家来思考一个问题：如果我们在表达式后面加上一个常数b，变成y=kx+b，它的图象会发生什么变化？它和正比例函数的图象有什么联系和区别呢？带着这个问题，我们正式进入今天的学习——一次函数的图象与性质。 ‹#› 一次函数的定义 ▍ 一般形式 一般地，形如y = kx + b（其中 k、b 是常数，且k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。 ▍ 特别地 当b = 0时，函数表达式变为y = kx，也就是我们熟悉的正比例函数。 因此：正比例函数是一种特殊的一次函数。 1.7.2013 首先，我们来看一次函数的定义。它的标准形式是y=kx+b，其中k和b是常数，并且k不能等于0。大家注意看这个定义，当b等于0的时候，它就变成了我们熟悉的正比例函数y=kx。所以，我们可以说，正比例函数是一次函数的一种特殊情况。 ‹#› 探究活动一：画一次函数的图象 我们来画两个函数的图象： 函数一 y = -3x 函数二 y = -3x + 1 请同学们拿出坐标纸和直尺，我们一起动手画一画。 1. 列表 2. 描点 3. 连线 1.7.2013 接下来，我们进入第一个探究活动。请大家拿出坐标纸和直尺，我们一起来画两个函数的图象：y=-3x 和 y=-3x+1。我们将按照“列表、描点、连线”这三个步骤来完成。 ‹#› 步骤一：列表 请根据函数表达式，计算并填写下表： x … -1 -0.5 0 0.5 1 … y = -3x … 3 1.5 0 -1.5 -3 … y = -3x + 1 … 4 2.5 1 -0.5 -2 … 思考：观察表格中 y 的值，你发现了什么规律？ 1.7.2013 第一步是列表。我们选取一些x的值，然后分别代入两个函数表达式，计算出对应的y值。大家可以看到，对于相同的x，y=-3x+1的函数值总是比y=-3x的函数值大1。这个发现很重要，我们先记下来。 ‹#› 步骤二：描点 在平面直角坐标系中，根据表格中的数据，分别描出各组对应值为坐标的点： 函数 y = -3x (-1, 3) • (-0.5, 1.5) • (0, 0) • (0.5, -1.5) • (1, -3) 函数 y = -3x + 1 (-1, 4) • (-0.5, 2.5) • (0, 1) • (0.5, -0.5) • (1, -2) 平面直角坐标系示意 请根据左侧两组坐标值，在坐标系中 准确找到并标记出对应的位置 1.7.2013 第二步是描点。我们根据刚才表格里的数据，在坐标系中找到对应的点，并把它们标记出来。大家看，左边列出了我们需要描出的两组点，一组对应一次函数y=-3x，另一组对应y=-3x+1。我们在坐标系中，找到每一对(x,y)对应的位置，然后用实心的小圆点标记出来，就完成了这一步。 ‹#› 步骤三：连线 操作指引 将表格中所描出的点，用直尺辅助，画一条平滑的直线将它们连接起来，即可得到一次函数的图象。 观察发现 • 函数 y = -3x 的图象是一条经过原点 (0,0)的直线。 • 函数 y = -3x + 1 的图象也是一条直线，但不经过原点。 函数图象示意 结论： 所有形如 y = kx + b 的一次函数，其图象都是一条直线。因此，在画一次函数图象时，只需确定两个点即可画出。 1.7.2013 第三步，也是最后一步，就是连线。我们把描出的点用直线连接起来。大家看，我们得到了两条直线。一条是y=-3x，它经过原点；另一条是y=-3x+1，它不经过原点。这告诉我们，一次函数的图象都是一条直线，所以我们画一次函数时，只需要找到两个点，连线即可。 ‹#› 观察与思考：对比 y=-3x 和 y=-3x+1 的图象 01. 形状相同 无论是 y=-3x 还是 y=-3x+1 ，它们的图象类型完全一致，都是一条笔直的直线，没有曲线或断点。 02. 倾斜程度相同 两条直线的“陡峭”程度看起来完全一样，仿佛是互相平行的。这说明它们与 x 轴正方向的夹角是相等的。 03. 位置关系：上下平移 y=-3x+1 的图象可看作是由 y=-3x 的图象向上平移1个单位长度得到。它与 y 轴的交点坐标也随之变为(0, 1)。 1.7.2013 现在，我们来仔细观察这两条直线。首先，它们的形状都是直线。其次，它们的倾斜程度看起来是完全一样的。最关键的是，大家有没有发现，y=-3x+1的图象，就像是把y=-3x的图象整个向上移动了1个单位。它和y轴的交点正好是(0,1)。 ‹#› 结论一：一次函数的图象 一次函数 y = kx + b (k≠0) 的图象是一条直线。 因此，我们也把一次函数 y = kx + b 的图象称为“直线 y = kx + b ” 画一次函数图象的简便方法：两点法 依据：两点确定一条直线。 操作：画一次函数图象时，只需确定两个点的位置，连线即可。通常我们选取直线与x轴和y轴的交点（截距）进行绘制，计算简单且易于操作。 1.7.2013 通过刚才的探究，我们得出了第一个重要结论：一次函数的图象是一条直线。所以，我们以后提到一次函数的图象，就可以直接说“直线y=kx+b”。既然是直线，那我们画它的时候就不需要描很多点了，只需要找到两个点，就能确定这条直线。这种方法我们称之为“两点法”。 ‹#› 探究活动二：探究一次函数的性质 请使用“两点法”在坐标纸上画出下列两个函数的图象： y = 2x - 1 y = -0.5x + 1 思考：对比这两个函数的图象，它们的倾斜方向一样吗？y随x的变化规律一样吗？ 1.7.2013 接下来，我们进行第二个探究活动。这次我们用更快捷的“两点法”来画两个新的函数：y=2x-1 和 y=-0.5x+1。请大家在自己的坐标纸上画出来，并思考这两个函数的图象有什么不同，特别是它们的倾斜方向和y随x的变化规律。 ‹#› 用两点法画图 函数一： y = 2x - 1 • 令 x=0 ，代入得 y=-1 ，确定点：(0, -1) • 令 y=0 ，代入得 x=0.5 ，确定点：(0.5, 0) • 连接两点，即为该一次函数的图像。 函数二： y = -0.5x + 1 • 令 x=0 ，代入得 y=1 ，确定点：(0, 1) • 令 y=0 ，代入得 x=2 ，确定点：(2, 0) • 连接两点，即为该一次函数的图像。 x y O \( y=2x-1 \) (蓝色直线) \( y=-0.5x+1 \) (红色直线) 取与坐标轴的两个交点即可确定一条直线 1.7.2013 我们来演示一下两点法。对于y=2x-1，我们通常取它与y轴和x轴的交点，也就是x=0和y=0时的点，得到(0,-1)和(0.5,0)。同样，对于y=-0.5x+1，我们得到(0,1)和(2,0)。然后分别连接这两组点，就得到了两条直线。 ‹#› 观察与归纳：一次函数的图象性质 观察图象：趋势判断 • 直线y = 2x - 1：图象从左到右呈上升趋势 • 直线y = -0.5x + 1：图象从左到右呈下降趋势 归纳性质：k值决定增减 • 若 k > 0 (如k=2)：y 随 x 的增大而增大(图象上升) • 若 k < 0 (如k=-0.5)：y 随 x 的增大而减小(图象下降) y x O y = 2x - 1 (k>0) 上升趋势 / y随x增大而增大 y = -0.5x + 1 (k<0) 下降趋势 / y随x增大而减小 1.7.2013 画好了图象，我们来对比观察。大家看，直线y=2x-1是从左往右上升的，而直线y=-0.5x+1是从左往右下降的。这说明它们的增减性是不同的。 我们可以总结出一个重要规律：对于一次函数y=kx+b，斜率k的正负决定了函数图象的增减性。 y=2x-1中，k=2是正数，y随x的增大而增大；y=-0.5x+1中，k=-0.5是负数，y随x的增大而减小。这是一个在解题中非常实用的结论。 ‹#› 结论二：一次函数的性质 k 的符号决定增减性 当k > 0时： 直线从左到右呈上升趋势，y 随 x 的增大而增大。 当k < 0时： 直线从左到右呈下降趋势，y 随 x 的增大而减小。 b 的值决定与 y 轴交点 交点坐标恒为：( 0 , b ) 位置判断： • 若 b > 0：交点在 y 轴正半轴 • 若 b < 0：交点在 y 轴负半轴 • 若 b = 0：直线经过坐标原点 1.7.2013 现在我们可以总结出一次函数的第二个重要结论，也就是它的性质。k的符号决定了函数的增减性：k大于0，y随x增大而增大；k小于0，y随x增大而减小。而b的值，则决定了直线与y轴的交点位置，交点坐标就是(0, b)。 ‹#› k、b 对一次函数图象的影响总结 k (斜率) • 决定直线的倾斜方向和增减性 • 当k越大，直线越陡峭 （注：k 为正数时 y 随 x 增大而增大；k 为负数时 y 随 x 增大而减小） b (截距) • 决定直线与y 轴的交点位置 • 决定直线的上下平移距离 （注：交点坐标为 (0, b)，直线上下平移时，斜率 k 保持不变） 记忆口诀 1. k 正右上斜， k 负右下斜。 2. b 正交 y 轴正半轴， b 负交 y 轴负半轴。 1.7.2013 我们来总结一下k和b对一次函数图象的影响。 左边是关于参数k，也就是斜率的内容：它主要决定了直线的“长相”。具体来说，它决定了直线的倾斜方向和函数的增减性。大家只要记住“k正向上，k负向下”就行。同时，k的绝对值大小决定了倾斜的程度，也就是陡峭度，|k|越大，直线越陡。 中间是关于参数b，也就是截距的内容：它主要决定了直线的“位置”。它决定了直线和y轴交于何处，坐标就是(0,b)。同时，在图像变换中，它控制了直线的上下平移，b越大，直线越往上平移。 右边我为大家准备了一个简短的口诀，方便大家记忆：“k正右上斜，k负右下斜；b正交y轴正半轴，b负交y轴负半轴。”大家可以多读几遍，加深印象。 ‹#› 巩固练习 PRACTICE & REVIEW 检验学习成果 · 强化知识记忆 1.7.2013 好了，理论学习结束，现在是检验我们学习成果的时候了。我们来做几道练习题，巩固一下今天所学的知识。 ‹#› 练习一：一次函数基础应用 已知直线解析式：y = 2x - 3 1. 直线与 x 轴的交点坐标为：______________ 2. 直线与 y 轴的交点坐标为：______________ 3. 该直线的图象经过 ________________ 象限 4. 当 x 的值增大时，y 的值随之 ____________ 💡 关键思路：由 k=2 > 0，可知图象呈上升趋势，y 随 x 的增大而增大；由 b=-3 < 0，可知图象与 y 轴交于负半轴。综合两者可判断直线经过一、三、四象限。求与坐标轴交点时，可分别令 x=0 或 y=0 计算。 1.7.2013 这一页我们来做一个简单的基础练习。请大家看这道题，对于直线 y=2x-3，我们需要解决四个问题。 大家可以先思考一下。我们可以通过观察解析式中的 k 和 b 的符号来快速判断一些性质。这里的 k 是 2，大于 0，这意味着直线是上升的，所以 y 随 x 的增大而增大。这里的 b 是 -3，小于 0，说明直线与 y 轴交于负半轴。结合这两点，我们可以直接判断出直线经过一、三、四象限。 求与坐标轴的交点坐标，是非常基础的考点。求与 x 轴交点时，我们让 y 等于 0，求出 x 的值；求与 y 轴交点时，让 x 等于 0，求出 y 的值。大家可以算一算，答案分别是 (1.5, 0) 和 (0, -3)。 ‹#› 练习一：答案解析 直线方程： y = 2x - 3 1. 直线与 x 轴的交点坐标（令 y = 0）： 答案： ( 3/2 , 0 ) 2. 直线与 y 轴的交点坐标（令 x = 0）： 答案： ( 0 , -3 ) 3. 根据 k=2 > 0, b=-3 < 0，直线经过的象限： 答案： 第一、三、四象限 4. 根据斜率 k 的正负判断 y 随 x 的变化趋势： 答案： y 随 x 的增大而 增大 1.7.2013 我们来核对一下答案。与x轴交点，令y=0，解得x=3/2，所以是(3/2, 0)。与y轴交点，令x=0，解得y=-3，所以是(0, -3)。因为k>0，b<0，所以图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。大家都做对了吗？ ‹#› 练习二：对比观察 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并观察说明它们的位置关系： 1. y = x - 1 2. y = x 3. y = x + 1 🤔 观察思考： • 这三个函数的斜率 k 值有什么共同点？ • 画出的三条直线在坐标系中有什么位置关系？ 1.7.2013 第二题，我们来画三个函数的图象：y=x-1, y=x, y=x+1。请大家在同一坐标系中画出它们，并观察它们的位置关系。特别注意这三个函数的k值有什么共同点。 ‹#› 练习二：结论 倾斜程度一致，图象平行 三个函数的 k 值均为 1，倾斜程度相同，因此它们的图象互相平行。 确定平移的“基准” 一次函数y = x的图象是这一组函数平移变换的基础参考对象。 图象向上平移 函数y = x + 1的图象，可以看作由 y = x 的图象向上平移 1 个单位长度得到。 图象向下平移 函数y = x - 1的图象，可以看作由 y = x 的图象向下平移 1 个单位长度得到。 💡 核心规律：当两个一次函数的 k 值相同时，它们的图象互相平行。 1.7.2013 画好之后我们发现，这三条直线是互相平行的！因为它们的k值都等于1。y=x+1可以看作是y=x向上平移1个单位，而y=x-1是y=x向下平移1个单位。这告诉我们一个重要规律：k值相同的一次函数，图象是平行的。 ‹#› 练习三：性质应用 题目：已知一次函数 y = 4x + 7 ，当自变量 x > 2 时，求函数值 y 的取值范围。 Step 1. 判断增减性 在一次函数 y=kx+b 中，因为 k=4>0，所以 y 随 x的增大而增大。 Step 2. 寻找临界点 将边界值 x=2代入解析式： y = 15。 Step 3. 确定取值范围 因为函数随 x增大而增大，且 x > 2，所以对应的函数值 y 必然大于 15。 最终结论：当 x > 2时，y > 15 1.7.2013 最后一题，这是一个利用函数性质解决的问题。已知y=4x+7，当x大于2时，求y的范围。我们第一步要判断增减性，k=4>0，所以y随x增大而增大。第二步，找到x=2时对应的y值，是15。因为x要大于2，所以y就必须大于15。 ‹#› 课堂小结 01 一次函数的图象 • 形状：一次函数的图象是一条直线。 • 画法：推荐使用两点法绘制。 （通常选取函数图象与x轴、y轴的两个交点，连线即可） 02 一次函数的性质 • 系数 k：决定增减性 k > 0：y 随 x 的增大而增大（图象上升） k < 0：y 随 x 的增大而减小（图象下降） • 常数 b：决定截距 决定图象与 y 轴的交点坐标：(0, b)。 03 核心数学思想 1. 数形结合思想 将抽象的“数”（函数表达式）与直观的“形”（函数图象）结合起来，利用图象解决代数问题。 2. 平移变换思想 理解函数图象的几何变换规律，掌握由基本函数平移得到复杂函数图象的方法。 1.7.2013 好了，一节课的时间很快就过去了。我们来一起回顾一下今天学习的主要内容。我们学习了一次函数的图象是一条直线，掌握了两点法画图。我们还重点学习了它的性质，知道了k决定增减性，b决定与y轴的交点。最重要的是，我们体会了数形结合和转化的数学思想。希望大家课后多加练习，熟练掌握。 ‹#› 布置作业 必做题 Required Tasks 01. 画图练习 在同一平面直角坐标系中，准确画出一次函数y = -x - 1和y = -2x - 1的图象。 02. 规律探究 仔细观察并比较两个图象的倾斜程度，尝试总结并回答：一次函数中|k|（k的绝对值）的大小与直线倾斜程度有什么内在联系？ 选做题 Challenge Task 思考与推理： 请结合本节课所学的一次函数性质进行逻辑推理：当一次函数y = kx + b的图象经过平面直角坐标系中的第一、二、四象限时，系数k和常数项b的符号分别是什么？并简要说明你的理由。 1.7.2013 课后请大家完成作业。必做题是画图并比较，帮助大家进一步理解k的绝对值对倾斜程度的影响。选做题需要大家综合运用今天所学的知识进行推理，希望大家都能挑战一下。 ‹#› 谢谢观看 THANKS FOR WATCHING 期待与您再次相遇 1.7.2013 今天的课就到这里，感谢同学们的积极参与和认真思考。下课！ ‹#› $