2026年兰州中考数学押题卷

2025-2026年兰州中考数学押题卷2 参考答案 一、选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．若的相反数是2026，则的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 2．窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 6．如图，是的直径，点C、D在上， ，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 7．京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定、转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 8．反比例函数的图象上有两点，，且，则下列结论正确的是（） A． B． C．或 D． 【答案】C 9．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买醇酒x斗，行酒y斗，据题意可得方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 10．如图，菱形的对角线，交点为，点在上，且，过点作交于点．则的面积为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 11．如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】C 【详解】连接对角线，，交于点，如图：    根据菱形和矩形都是中心对称图形可得： ， ， ，， 是等边三角形， ， 设，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 与满足一次函数关系； ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 与满足二次函数关系； 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ． 13．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【详解】解：依题意，且， 解得：且． 14．如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为_______．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：根据题意得： 第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为； ∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ． 15．如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积． 三、解答题（共11小题，满分75分） 16．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 17．解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 18．先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 19．如图，O为坐标原点，直线与双曲线相交于点和点两点． (1)求的函数表达式； (2)直接写出当，时，x的取值范围； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【详解】（1）解：点和点均在反比例函数图象上， ， ，， ，的函数表达式为， 点和点在直线上， ，解得， 的函数表达式为； （2）解：，是直线和反比例函数的交点， 观察图象可知：或时，； （3）解：在函数中，令，得， 直线交轴于， 设， 的面积是面积的2倍， ， 解得或， 或． 20．如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求∠EFA的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 21．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______ (2)扇形统计图中组对应的圆心角为______度； (3)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． 【答案】(1)85， (2)72 (3) 【详解】（1）解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则， 根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人， 第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数． 故答案为：85，； （2）解：∵乙款扇形统计图可得，A组B组共有人， C组有8人， ∴组有人， ∴扇形统计图中组对应的圆心角为， 故答案为：72； （3）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， ∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． 22．如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米 (2)米 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点A（1，e），B（2，e）。 (1)求的值；(2)已知二次函数的最大值为。①求该二次函数的表达式；②若t，s是一元二次方程的两个实数根，则求的值。 【答案】(1) -3。 (2) ① ；②1。 【详解】（1）因为二次函数图象过A(1,e)，B(2,e)，两点纵坐标相同，所以抛物线对称轴为：。二次函数对称轴公式：，因此=−3。 （2）① 求二次函数的表达式 由=−3，得b=−3a，函数为。因为函数有最大值，所以a<0。顶点纵坐标（最大值）公式：，代入a=a，b=-3a，c=-2，解得a=4或a=−1。因a<0，故a=−1，则b=−3×(−1)=3。因此二次函数表达式为：。 ② 求的值 方程为。由韦达定理：t+s=3；又因为t是方程的根，故，。 代入式子：。 24．如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：连接交于点F． 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 25．如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． (1)求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） (2)求证：． (3)若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 26．定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026年兰州中考数学押题卷2 注意事项： 1.全卷共120分，考试时间120分钟. 2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填涂在答题卡上. 3．请将答案正确填写在答题卡的相应位置上. 一、选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．若的相反数是2026，则的倒数是（ ） A．2026 B． C． D． 2．窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A． B． C． D． 4．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，点C、D在上， ，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定、转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（ ） A． B． C． D． 8．反比例函数的图象上有两点，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．或 D． 9．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买醇酒x斗，行酒y斗，据题意可得方程组为（ ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的对角线，交点为，点在上，且，过点作交于点．则的面积为（ ） A．10 B．8 C．6 D．5 11．如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）    A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．分解因式：___________． 13．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 14．如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为_______．（结果保留π） 15．如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______． 三、解答题（共11小题，满分75分） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解． 18．（5分）先化简，再求值：，其中满足． 19．（7分）如图，O为坐标原点，直线与双曲线相交于点和点两点． (1)求的函数表达式； (2)直接写出当，时，x的取值范围； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 20．（7分）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求∠EFA的度数。 21．（7分）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______ (2)扇形统计图中组对应的圆心角为______度； (3)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． 22．（7分）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 23．（7分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点A（1，e），B（2，e）。 (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为。 ①求该二次函数的表达式； ②若t，s是一元二次方程的两个实数根，则求的值。 24．（8分）如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点F．若，，求的长． 25．（8分）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． (1)求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） (2)求证：． (3)若，直接写出的值（用含的式子表示）． 26．（9分）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $