精品解析：广东深圳市龙华区2025—2026学年第二学期九年级调研测试数学试卷

龙华区2025－2026学年第二学期九年级调研测试 数学试卷 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域． 3．考生必须在答题卡上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 （选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一块玻璃破损成三块，通过测量图中哪组角的大小可以判断（ ） A. B. C. D. ° 5. 如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为 ，则菱形 的边长是( ) A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系 中，已知，，点是直线 在第一象限内的图象上一个动点，连接，，记的面积为， 的面积为，则的值为( ) A. B. 1 C. D. 2 8. 在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 （非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 写出不等式 的一个整数解：___________． 10. 老师制作了10个完全相同的香囊（除香料外），其中艾草香囊3个，薰衣草香囊5个，桂花香囊2个．小明将它们混合放在一个不透明的袋子里，从中随机拿出1个香囊，则他拿到艾草香囊的概率为______． 11. 如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，将向右平移得到，则四边形的周长为______． 12. 排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为，其中c为常数．已知自然大调各音阶的频率与半音数n之间的关系如下表所示，其中，则音阶对应的音管长度是音阶对应的音管长度的______倍． 音阶 la xi do′ 半音数n 0 2 4 5 7 9 11 12 频率 f0·q9 f0·q11 f0·q12 13. 如图，在 中， ，为斜边上的中线，于点．若 ，，则 的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中 ． 16. 某电商在社交媒体投放广告，以促销某商品，已知该商品售价为100元/个．为了评估广告效果，该电商随机抽取了500名看过广告的用户和500名未看过广告的用户，统计了他们一周内的消费金额（单位：元），并将它们分成以下六类：A类0元，B类100元，C类200元，D类300元，E类400元，F类500元，进行了如下分析． （1）【整理数据】 补全条形统计图，扇形统计图中 ______： （2）【分析数据】 下表中 ______，______； 消费金额的平均数 消费金额的中位数 消费金额的众数 看过广告组 186 200 a 未看过广告组 117 b 0 （3）【判断决策】 电商是否有必要继续投放该商品的广告？请你根据上述数据，做出判断并说明理由． 17. 2026年被公认为“智能 元年”， 产品深受欢迎．某销售公司针对市场情况，计划购进一批 产品进行销售．据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元． （1）求每件A型和B型产品的进价分别是多少万元？ （2）若该公司计划购买这两种型号的产品共12件（两种型号的产品均购买），购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品？ 18. 在中， ． （1）如图1，在边上求作一点E，连接，使得最短；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，以为直径的半圆交于点F，G是上一点，连接 ，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形 为矩形，并说明理由． 19. 综合与实践 【问题背景】 如图 是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度 为，数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动． 【问题解决】 请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解． （1）方案1：如图2，第一小组利用测角仪在点 处测得边缘点的仰角为（测角仪高度忽略不计），已知景观灯的边缘与地面平行，求景观灯的半径的长：（用含的代数式表示） （2）方案2：如图 ，某一时刻，在太阳光线的照射下，第二小组测得身高为 的小明的影长为 ，此时景观灯在地面上的影长 为 ，求景观灯的半径的长； （3）方案3：如图 ，第三小组在地面的点处放置一块平面镜．目高为 （即 ）的小亮在点处从平面镜中观测到景观灯边缘点，当他走到点处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点，并测量得到如下三个数据： ， ， ． 已知 ， ，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观奵半径的表达式．（结果可含字母） 我选择数据：______， 求解过程如下： 20. 【定义感知】如图1，对于抛物线，以 轴上的点为中心，将抛物线绕点旋转 得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线关于点的“共轭抛物线”，点为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为的抛物线与 轴交于点， ． （1）如图2，当时，求抛物线关于共轭中心的共轭抛物线的表达式； （2）如图3，当时，若抛物线关于共轭中心的共轭抛物线恰好经过抛物线的顶点，求 的值； （3）【拓展延伸】过点作 轴垂线，分别交抛物线和它关于共轭中心的共轭抛物线于点，，记 的长为 ， 与 的函数关系图象为．当平行于 轴的直线与的公共点个数为 个时，求此时 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙华区2025－2026学年第二学期九年级调研测试 数学试卷 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域． 3．考生必须在答题卡上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 （选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小，根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断求解，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上右边的数总比左边的大， ∴， ∴这四个数中最小的数是， 故选：． 2. 如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：它的主视图是： ． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加 ∵ ∴A错误． 选项B：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘 ∵ ∴B错误． 选项C：根据积的乘方法则，将积的每个因式分别乘方，再将结果相乘 ∵ ∴C错误． 选项D：根据同底数幂相除法则，底数不变，指数相减 ∵，等式成立 ∴D正确． 4. 如图，一块玻璃破损成三块，通过测量图中哪组角的大小可以判断（ ） A. B. C. D. ° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定逐一判断即可． 【详解】解：选项A：和是一组同旁内角，且 ，根据同旁内角互补，两直线平行可判断，选项A正确； 选项B：和是一组同旁内角，但，且不是构成的同旁内角，不能判断平行，故选项B错误； 选项C：和是一组同旁内角，但，且不是构成的同旁内角，不能判断平行，故选项C错误； 选项D：和是一组同旁内角，满足，且不是构成的同旁内角，不能判断平行，故选项D错误； 5. 如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作射线，根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，作射线， ∵，，而， ∴ ． 6. 如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为 ，则菱形 的边长是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接、交于， 四边形 是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， 7. 在平面直角坐标系 中，已知，，点 是直线 在第一象限内的图象上一个动点，连接，，记的面积为， 的面积为，则的值为( ) A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据点、 的坐标求出、的长度，再设出点 的坐标，然后分别表示出和 的面积，最后求出它们面积的比值． 【详解】解：∵，， ∴，， 因为点 是直线 在第一象限内的图象上一个动点， 所以可设， ∵的面积为， 的面积为， ∴，， ∴． 8. 在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据大巴租金比中巴贵180元/辆，可得，根据7200元全部租用中巴比全部租用大巴多2辆，即可得出分式方程． 【详解】解：∵大巴租金比中巴贵180元/辆， ∴， ∵7200元全部租用中巴比全部租用大巴多2辆， ∴． 第二部分 （非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 写出不等式 的一个整数解：___________． 【答案】 4 （答案不唯一） 【解析】 【详解】解： 移项得 所以不等式的整数解为所有大于的整数，任写一个即可，例如． 10. 老师制作了10个完全相同的香囊（除香料外），其中艾草香囊3个，薰衣草香囊5个，桂花香囊2个．小明将它们混合放在一个不透明的袋子里，从中随机拿出1个香囊，则他拿到艾草香囊的概率为______． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据概率公式，用艾草香囊的数量除以香囊的总数量即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得，袋子中共有香囊个，其中艾草香囊有个，所有等可能的结果数为，拿到艾草香囊的结果数为，根据等可能事件的概率公式，得 ∴拿到艾草香囊的概率为． 11. 如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，将向右平移得到，则四边形的周长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到， ，， ，根据勾股定理求出 ，根据平移的性质得到，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ，， ， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∵将向右平移得到， ∴， ∴四边形的周长为4． 12. 排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为，其中c为常数．已知自然大调各音阶的频率与半音数n之间的关系如下表所示，其中，则音阶对应的音管长度是音阶对应的音管长度的______倍． 音阶 la xi do′ 半音数n 0 2 4 5 7 9 11 12 频率 f0·q9 f0·q11 f0·q12 【答案】 【解析】 【分析】根据已知公式变形得到音管长度表达式，分别确定与对应的半音数和频率，计算两者长度的比值，结合已知条件化简得到最终结果. 【详解】 由 ​ 得 ​ 13. 如图，在 中， ，为斜边上的中线，于点 ．若 ，，则 的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出则，进而可得 ，根据代入数据得出，勾股定理求得，进而求得，即可求得，根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵为斜边上的中线， ∴ ∴ ∴ ∵， ， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵为斜边上的中线， ∴ 的面积为 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据，绝对值的性质，算术平方根的性质，特殊角的三角函数值进行化简，然后再进行有理数的加减即可． 【详解】解：原式， ， ． 15. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 【解析】 【分析】先化简原分式，再将 代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ． 当 时， 原式 16. 某电商在社交媒体投放广告，以促销某商品，已知该商品售价为100元/个．为了评估广告效果，该电商随机抽取了500名看过广告的用户和500名未看过广告的用户，统计了他们一周内的消费金额（单位：元），并将它们分成以下六类：A类0元，B类100元，C类200元，D类300元，E类400元，F类500元，进行了如下分析． （1）【整理数据】 补全条形统计图，扇形统计图中 ______： （2）【分析数据】 下表中 ______，______； 消费金额的平均数 消费金额的中位数 消费金额的众数 看过广告组 186 200 a 未看过广告组 117 b 0 （3）【判断决策】 电商是否有必要继续投放该商品的广告？请你根据上述数据，做出判断并说明理由． 【答案】（1）36；补全条形图如下 （2）100，100； （3） 我认为有必要继续投放，因为看过广告组的消费金额平均数、中位数、众数均比未看过广告组的要高，说明广告的投放刺激了消费，为了促进销售额提升，应该继续投放该商品的广告． 【解析】 【分析】（1）因为总人数为500人，所以可通过总人数乘B类人数的占比补全条形统计图；因为扇形统计图各部分占比之和为100%，所以用A类人数除以总人数可求出 的值． （2）因为众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以观察看过广告组的条形统计图可确定； 因为中位数是将数据从小到大排列后中间位置的数，未看过广告组共500人，中位数是第250和251个数据的平均值，所以结合扇形统计图的占比计算可确定． （3）如果看过广告组的消费金额相关统计量（平均数、中位数、众数）优于未看过广告组，那么可以判断有必要继续投放广告；反之则没必要，需结合数据对比分析． 【小问1详解】 解：未看过广告的用户 （名），补全条形统计图如图所示， ， ∴ ； 补全条形图略 【小问2详解】 解：看过广告的用户B类最多， ∴ ， 500名未看过广告的用户A类占180名，B类占160名， ∴第250名和第251名都在B类， ∴中位数为 （元）， ∴ ； 【小问3详解】 略 17. 2026年被公认为“智能 元年”， 产品深受欢迎．某销售公司针对市场情况，计划购进一批 产品进行销售．据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元． （1）求每件A型和B型产品的进价分别是多少万元？ （2）若该公司计划购买这两种型号的产品共12件（两种型号的产品均购买），购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品？ 【答案】（1）每件A型产品的进价为1万元，每件B型产品的进价为3万元 （2）该公司至少需要购进8件A型产品 【解析】 【分析】（1）设每件A型产品的进价为x万元，每件B型产品的进价为y万元，根据“购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元”列方程组求解即可； （2）设该公司购进a件A型产品，根据“购买总费用不超过20万元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A型产品的进价为x万元，每件B型产品的进价为y万元， 依题意得：， 解得：， 答：每件A型产品的进价为1万元，每件B型产品的进价为3万元； 【小问2详解】 解：设该公司购进a件A型产品， 依题意得：， 解得：， 答：该公司至少需要购进8件A型产品． 18. 在中， ． （1）如图1，在边上求作一点E，连接，使得最短；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，以为直径的半圆交于点F，G是上一点，连接 ，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形 为矩形，并说明理由． 【答案】（1） 如图，点E即为所求； （2） ，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∵为直径， ∴， ∴四边形 为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图，作出 的平分线交于点E即可； （2）增加的条件是： ，可以证得四边形 为平行四边形，再根据圆周角定理得到，即可证明四边形 为矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 综合与实践 【问题背景】 如图是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度 为，数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动． 【问题解决】 请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解． （1）方案1：如图2，第一小组利用测角仪在点 处测得边缘点 的仰角为（测角仪高度忽略不计），已知景观灯的边缘与地面平行，求景观灯的半径的长：（用含的代数式表示） （2）方案2：如图，某一时刻，在太阳光线的照射下，第二小组测得身高为 的小明的影长为 ，此时景观灯在地面上的影长 为 ，求景观灯的半径的长； （3）方案3：如图 ，第三小组在地面的点处放置一块平面镜．目高为 （即 ）的小亮在点处从平面镜中观测到景观灯边缘点 ，当他走到点处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点，并测量得到如下三个数据： ， ， ． 已知 ， ，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观奵半径的表达式．（结果可含字母） 我选择数据：______， 求解过程如下： 【答案】（1） （2） ； （3） ； 求解过程：连接 ， 由题意可得 是景观灯的直径， ∵ ， ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵， ， ∴，即， ∴ ， ∴ ． 答案二：选择数据：，； 求解过程：过点 作 于点， 由题意可得 ， ， ∵ ， ， ， ∴ ．四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴ ， ∴ ． 答案三：选择数据：，， ； 求解过程：过点作 于点， 由题意可得 ， ∵ ， ， ， ∴ ．四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质得到相等的角，结合直角三角形的三角函数关系，通过仰角的正切值建立边的关系，从而表示出景观灯的半径． （2）利用平行光线的性质，得到两组相似三角形，先通过小明身高与影长的比例求出相关线段长度，再结合勾股定理和相似三角形的对应边成比例，计算出景观灯的半径． （3）利用镜面反射的等角性质和平行线的性质，构造相似三角形，根据所选的测量数据，通过相似三角形的对应边成比例关系，推导出景观灯半径的表达式． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， 在中， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵太阳光照射， ∴ ， 令光线 与景观灯相切，切点为点， ∴ ， ， ∴ ， ∴，即， ∴ ． ∵ ， ∴． ∵ ， ， ∴ ， ∴． ∵ ， ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 略 20. 【定义感知】如图1，对于抛物线，以 轴上的点为中心，将抛物线 绕点旋转 得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线 关于点的“共轭抛物线”，点为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为的抛物线与 轴交于点， ． （1）如图2，当时，求抛物线 关于共轭中心的共轭抛物线的表达式； （2）如图3，当时，若抛物线 关于共轭中心的共轭抛物线恰好经过抛物线 的顶点，求 的值； （3）【拓展延伸】过点作 轴垂线，分别交抛物线 和它关于共轭中心的共轭抛物线于点，，记 的长为 ， 与 的函数关系图象为．当平行于 轴的直线与的公共点个数为个时，求此时 的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据解析式可得抛物线顶点为．根据“共轭抛物线”的定义可得共轭抛物线的顶点为，开口大小与抛物线 相同且方向相反，即可求解； （2）同（1）得出抛物线表达式为：．将点代入，根据，得出 （3）由（2）可知，抛物线，抛物线，分三种情况讨论，①当 时，点在的左侧，②当时，点在 之间，③当时，点在 的右侧，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解： 抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线 相同且方向相反， 抛物线表达式为：； 【小问2详解】 解： 抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线 相同且方向相反， 抛物线表达式为：． 抛物线经过点， 解得：． 【小问3详解】 解：令得：， ∴， 由（2）可知，抛物线，抛物线， ①当 时，点在的左侧， 点在点上方， ． ②当时，点在 之间， 点在点上方，． ③当时，点在 的右侧， 点在点上方，． 综上， 与 的函数关系图象如下图所示， ∴当平行于 轴的直线与的公共点个数为个时， ， 当 或时， ， 解得：，， 当时，， 解得： ． 方法二：由定义可知抛物线 与共轭抛物线关于点成中心对称， ， 与 的函数关系图象如下图所示， 当平行于 轴的直线与的公共点个数为个时， ， ， ∴ 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $