数学（江苏淮安卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】逆用幂的乘方与积的乘方法则计算即可． 【解答】解： ＝﹣1 ， 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．不等式2x﹣4≤0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先解出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可． 【解答】解：2x﹣4≤0， 2x≤4， x≤2， 在数轴上表示为：． 故选：B． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是正确计算出不等式的解集． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误； C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故C正确； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 4．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠D＝（　　） A．60° B．30° C．40° D．50° 【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，再根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵∠CAB＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠D＝∠B＝50°， 故选：D． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 5．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝100°，∠A＝3∠B，则∠B的度数为（　　） A．20° B．25° C．50° D．75° 【分析】根据三角形的外角的性质得出∠ACD＝∠A+∠B，再根据题意得出4∠B＝100°，求解即可得出答案． 【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴根据三角形外角的性质得，∠ACD＝∠A+∠B， ∵∠ACD＝100°，∠A＝3∠B， ∴∠ACD＝3∠B+∠B，即4∠B＝100°， 解得∠B＝25°， 则∠B的度数为25°， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的外角的性质，关键是三角形外角性质的熟练掌握． 6．斜坡长为100m，它的垂直高度为60m，则坡度i等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据坡度的定义，竖直距离与水平距离的比求解即可． 【解答】解：由勾股定理得： 坡面的水平宽度为：， ∴坡度． 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形应用—坡度问题，掌握坡度是破面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 7．我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；木长绳子＝1”分别得出等式求出答案． 【解答】解：设木长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：． 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 8．如图，已知平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣2，3），点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】设AC与y轴交于点H，根据平行四边形性质得AC⊥y轴，AC∥OB，再根据A（﹣2，3）得AH＝2，HO＝3，则AO，由作图可知OF平分∠AOB，再根据AC∥OB可得∠AGO＝∠AOG，则AG＝AO，进而得HG，由此可得点G的坐标． 【解答】解：设AC与y轴交于点H，如图所示： ∵四边形AOBC是平行四边形， ∴AC∥OB，即AC∥x轴， ∴AC⊥y轴， 又∵A（﹣2，3）， ∴AH＝2，HO＝3， 在Rt△AOH中，由勾股定理得：AO， 由作图可知：OF平分∠AOB， ∴∠AOG＝∠EOG， 又∵AC∥OB， ∴∠AGO＝∠EOG， ∴∠AGO＝∠AOG， ∴AG＝AO， ∴HG＝AG﹣AH， ∴点G的坐标为：． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，基本尺规作图，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，基本尺规作图，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．如果，那么　　 ． 【分析】根据比例的性质得ab，再代入所求的式子计算即可． 【解答】解：∵， ∴ab， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键． 10．比较大小　＜　 3（填“＞”、“＜”或“＝”）； 【分析】根据3，，即可得到结论． 【解答】解：∵3，， ∴3， 故答案为：＜． 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较时绝对值大的反而小． 11．如图，将一个圆心角为120°，半径为18的扇形围成圆锥，则该圆锥的底面直径为　12　 ． 【分析】根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长关系，结合弧长公式和圆周长公式计算即可． 【解答】解：设圆锥的底面圆的直径为d， 根据题意可得：， 解得d＝12． ∴该圆锥的底面直径为12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12．在平面直角坐标系中，点A（a，﹣5）与点B（2，b）关于原点成中心对称，则ab的值为　﹣10　 ． 【分析】根据关于原点成中心对称的两个点：横纵坐标互为相反数，可得：a＝﹣2，b＝5，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵点A（a，﹣5）与点B（2，b）关于原点成中心对称， ∴a＝﹣2，b＝5， ∴ab＝﹣2×5＝﹣10， 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果S△ABO：S△CBO＝5：7，那么S△ADO：S△CBO的值是　　 ． 【分析】先由S△ABO：S△CBO＝5：7得到，再由AD∥BC得到△ADO∽△CBO，由相似三角形的性质可得，即可得到答案． 【解答】解：设点B到AC的距离为h， ∵S△ABO：S△CBO＝5：7， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴△ADO∽△CBO， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据S△ABO：S△CBO＝5：7得到，并证明△ADO∽△CBO是解此题的关键． 14．二次函数y＝x2+x+b的图象总是在x轴的上方，则b的取值范围为 b　 ． 【分析】由题意可得Δ＝12﹣4×1×b＜0，进而可得答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+x+b的图象总是在x轴的上方，二次函数y＝x2+x+b的图象的开口向上， ∴Δ＝12﹣4×1×b＜0， 解得b． 故答案为：b． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．如图，直线y＝2x+6与直线l：y＝kx+b交于点P（﹣1，m），则方程组的解为 　　 ． 【分析】将点P（﹣1，m）代入y＝2x+6，求出m的值，即可得点P的坐标，根据两函数图象交点的横纵坐标的值为两函数解析式组成的方程组的解可得答案． 【解答】解：将点P（﹣1，m）代入y＝2x+6， 得m＝﹣2+6＝4， ∴点P坐标为（﹣1，4）， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数与二元一次方程（组），熟知两函数图象交点的横纵坐标的值为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E在边CD上（DE＞CE），连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF，连接BE并延长交DF于点G．若BE：EG＝49：15，CF＝6，则线段DN的长为　　 ． 【分析】过点G作GH∥CD交BF于H，如图，利用CE∥GH得到BC：CH＝BE：EG＝49：15，则设BC＝49x，CH＝15x，则FH＝CF﹣CH＝6﹣15x，再证明△BCE∽△BHG，利用相似比得到GHEC，接着证明△FGH∽△FDC，利用相似比得到GH＝49x•，则EC，然后利用AD∥CF，根据平行线分线段成比例定理得到CE，于是可建立方程，整理得5×（49x）2﹣68×49x+180＝0，设t＝49x，则5t2﹣68t+180＝0，解得t1，t2＝10，接着利用DE＞CE得到t＝10，最后利用AD∥BF，根据平行线分线段长比例定理可求出DN的长． 【解答】解：过点G作GH∥CD交BF于H，如图， ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝BD， ∵CE∥GH， ∴BC：CH＝BE：EG＝49：15， 设BC＝49x，CH＝15x，则FH＝CF﹣CH＝6﹣15x， ∵CE∥GH， ∴△BCE∽△BHG， ∴，即GHEC， ∵GH∥CD， ∴△FGH∽△FDC， ∴，即， ∴GH＝49x•， ∴x•EC＝49x•， ∴EC， ∵AD∥CF， ∴，即，解得CE， ∴， 整理得5×（49x）2﹣68×49x+180＝0， 设t＝49x， 则5t2﹣68t+180＝0， 解得t1，t2＝10， ∵DE＞CE， ∴AD＞CF， ∴t＝10， 即AD＝BD＝BC＝10， ∵AD∥BF， ∴， ∴DNBD． 故答案为． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了菱形的性质．解决本题的关键是求出菱形的边长． 三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1）计算：2sin45°﹣（π﹣3）0+|2|． （2）解不等式组：． 【分析】（1）分别根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可； （2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【解答】解：（1）原式＝2+21+2 ＝21+2 ＝3； （2）， 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x＞﹣4， 所以原不等式组的解集为﹣4＜x≤1． 【点评】本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键． 18．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1． 【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • • • ， 当a＝1时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 19．（8分）某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 s2 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： （1）a＝　86　 ，b＝　85　 ，c＝　85　 ． （2）求该校八（1）班前5名学生成绩的方差s2． （3）两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可； （2）根据方差公式进行计算即可； （3）根据平均数和方差的意义求解即可． 【解答】解：（1）八（2）班成绩重新排列为：79，85，85，89，92， ∴， 85出现次数最多， ∴c＝85， 八（1）班成绩重新排列为：77，85，85，86，92， ∴b＝85， 故答案为：86，85，85； （2）八（1）班的方差为：， （3）八（2）班的方差为：， ∵八（1）班的平均数小于八（2）班的平均数，且八（2）班的方差小于八（1）班的方差， ∴从数据的平均数和方差来分析八（2）班前5名的整体成绩较好． 【点评】本题考查了求平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的求法及意义是解此题的关键． 20．（8分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD． （1）试判断四边形OBEC的形状，并说明理由； （2）已知矩形ABCD的面积为20，求四边形OBEC的面积． 【分析】（1）先根据BE∥AC，CE∥BD得四边形OBEC为平行四边形，再根据矩形性质得OB＝OC，由此可得出四边形OBEC的形状； （2）由（1）可知四边形OBEC为菱形，则S四边形OBEC＝2S△OBC，根据四边形ABCD为矩形得S△ABCS矩形ABCD＝10，然后由OA＝OC得S△OAB＝S△OBCS△ABC＝5，据此可得四边形OBEC的面积． 【解答】解：（1）四边形OBEC是菱形，理由如下： ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OBEC为平行四边形， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴OB＝OC， ∴平行四边形OBEC为菱形； （2）∵四边形OBEC为菱形， ∴S△OBC＝S△EBC， ∴S四边形OBEC＝2S△OBC， ∵四边形ABCD为矩形，面积为20， ∴S△ABCS矩形ABCD20＝10， ∵OA＝OC， ∴S△OAB＝S△OBCS△ABC＝5， ∴S四边形OBEC＝2S△OBC＝10． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定和性质是解决问题的关键． 21．（8分）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为　　 ． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 【分析】（1）直接利用概率公式即可求解； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹，则小明选择的是“竹”的结果有1种， ∴小明选择的是“竹”的概率为； （2）将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有6种， ∴小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22．（8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD＝22°，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD＝30°，真空管AB的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.2米．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， （1）求水平横管BC到水平线AD的距离； （2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）． 【分析】（1）过点B作BF⊥AD于F，根据含30°角的直角三角形的性质求出BF； （2）根据余弦的定义求出AF，根据正切的定义求出AD，进而求出BC． 【解答】解：（1）过点B作BF⊥AD于F， 在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝2米， 则BFAB＝1（米）， 答：水平横管BC到水平线AD的距离为1米； （2）在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝2米， ∵cos∠BAD， 由题意得：CD＝BF＝1米， 则DE＝CD﹣CE＝0.8米， ∴AF＝AB•cos∠BAD＝2（米）， 在Rt△EAD中，∠ADE＝90°，∠EAD＝22°，DE＝0.8米， 则AD2（米）， ∴BC＝DF＝AD﹣AF＝20.3（米）， 答：水平横管BC的长度约为0.3米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，以OB为半径的⊙O分别与BC、AB相交于点D、F，与AC相切于点E，过点D作DG⊥AC，垂足为G． （1）求证：DG是⊙O的切线． （2）若CG＝2，CD＝8，求BD的长． 【分析】（1）连接OD，由∠ODB＝∠C＝∠B，得OD∥AC，则∠ODG＝∠DGC＝90°，即可证明DG是⊙O的切线； （2）连接OE，可证明四边形ODGE是正方形，则OD＝DG2，作OI⊥BD于点I，可证明∠ODI＝∠C＝90°﹣∠CDG，则cos∠ODI＝cosC，则IDOD，所以BD＝2ID． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DG⊥AC于点G， ∴∠ODG＝∠DGC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DG⊥OD， ∴DG是⊙O的切线． （2）解：连接OE， ∵⊙O与AC相切于点E， ∴AC⊥OE， ∵∠ODG＝∠DGE＝∠OEG＝90°， ∴四边形ODGE是矩形， ∵OD＝OE， ∴四边形ODGE是正方形， ∵∠DGC＝90°，CG＝2，CD＝8， ∴DG2， ∴OD＝DG＝2， 作OI⊥BD于点I，则∠OID＝90°，ID＝IBBD， ∵∠ODI＝∠C＝90°﹣∠CDG， ∴cos∠ODI＝cosC， ∴IDOD2， ∴BD＝2ID＝2， ∴BD的长是． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 24．（10分）某工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 【分析】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要（x+6）天，由题意：若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．列出分式方程，解方程即可； （2）设乙工程队施工a天，由题意：要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要（x+6）天， 依题意得：， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意， 则x+6＝6+6＝12， 答：甲工程队单独完成这项工程需要6天，乙工程队单独完成此项工程需要12天； （2）设乙工程队施工a天， 则甲工程队需施工的天数为：（1）（6）天， 由题意得：， 解得：a≥4， 答：乙工程队至少施工4天． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，顶点A（0，2）、B（1，0）分别在y轴、x轴上，反比例函数y （k＞0，x＞0）的图象经过C（4，n），D两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段BC的垂直平分线； （要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）线段BC与（2）中所作的垂直平分线分别与BC、AD交于点M、N两点．求点M的坐标． 【分析】（1）过点D作DT⊥OA于点T．构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解； （2）根据要求作出图形； （3）求出点C的坐标，再利用中点坐标公式求解． 【解答】解：（1）过点D作DT⊥OA于点T． ∵A（0，2）、B（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， ∵AB⊥AD，DT⊥OT， ∴∠DTA＝∠DAB＝∠AOB＝90°， ∵∠DAT+∠OAB＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠DAT＝∠ABO， ∵AD＝AB， ∴△DTA≌△AOB（AAS）， ∴AT＝OB＝1，DT＝AO＝2， ∴OT＝OA+AT＝3， ∴D（2，3）， ∵反比例函数y （k＞0，x＞0）的图象经过D点， ∴3， ∴k＝6， ∴反比例函数解析式为y； （2）如图，直线MN即为所求； （3）∵C（4，n）在y的图象上， ∴n， ∴C（4，）， ∵BM＝CM，B（1，0）， ∴M（，）即M（，）． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F，利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），且﹣3＜t＜0，则F（t，t+3），由BE∥PF，得△BDE∽△PDF，可得（t）2，即取得最大值，结合S△APD＝kS△ABD，即可求得答案； （3）过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，可证得△OMK≌△OQT（AAS），得出OK＝OT，MK＝QT，设点M（x，x+3），则OK＝﹣x，MK＝﹣x﹣3，可得Q（x+3，﹣x），当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q（﹣x﹣3，x），代入抛物线解析式即可求得答案． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+3）（x﹣1）， 将点C的坐标代入上式得：3＝a（0+3）（0﹣1），解得a＝﹣1， 故抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 设P（t，﹣t2﹣2t+3），且﹣3＜t＜0，则F（t，t+3）， ∵B（1，0）， ∴E（1，4）， ∴BE＝4，PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵BE∥y轴，PF∥y轴， ∴BE∥PF， ∴△BDE∽△PDF， ∴（t）2， ∵﹣3＜t＜0， ∴当t时，取得最大值， ∵S△APD＝kS△ABD， ∴k， ∴k的最大值为， ∴0＜k； （3）如图，过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，则∠MKO＝∠QTO＝90°， 当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时， ∴OM＝OQ，∠MOQ＝90°， ∴∠MOK+∠QOK＝90°， ∵∠QOT+∠QOK＝90°， ∴∠MOK＝∠QOT， ∴△OMK≌△OQT（AAS）， ∴OK＝OT，MK＝QT， 设点M（x，x+3），则OK＝﹣x，MK＝﹣x﹣3， ∴OT＝﹣x，QT＝﹣x﹣3， ∴Q（x+3，﹣x）， ∵点Q在抛物线上， ∴﹣x＝﹣（x+3）2﹣2（x+3）+3， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4， ∴M（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）； 当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q（﹣x﹣3，x）， ∵点Q在抛物线上， ∴x＝﹣（﹣x﹣3）2﹣2（﹣x﹣3）+3， 解得：x1＝﹣5，x2＝0（舍去）， ∴M（﹣5，﹣2）； 当点M（0，3）绕O逆时针旋转90°时，对应点Q（﹣3，0）刚好落在抛物线上； 综上所述，点M的坐标为（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）或（0，3）或（﹣5，﹣2）． 【点评】本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式、直角三角形的性质，解题的关键是分类作出对应的图形利用相似三角形的性质求出点M． 27．（12分）【问题情境】：已知在四边形ABCD中，∠D＝90°，AC是对角线．且AB＝AC． 【数学思考】：（1）如图1，当AD＝CD＝2，∠ACB＝45°时，AB＝　2　 ；∠DAB＝　135　 °； 【探究实践】：（2）如图2，当AD＜CD时，将△ADC绕点A顺时针旋转至AC与AB重合，得到△AEB，D的对应点为E，连接DE并延长交BC于点F． ①试说明△ABC∽△ADE； ②求证：BF＝CF； 【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若，求DF的长． 【分析】（1）根据勾股定理可得利用等边对等角和三角形内角和定理求出∠DAC，∠ABC的度数，进而求出∠BAC的度数即可得到答案； （2）①根据旋转的性质可得到AD＝AE，AC＝AB，∠DAE＝∠CAB，据此可证明结论； ②在DF上截取DG＝EF，连接CG．证明△DCG≌△EBF（SAS），得到∠DGC＝∠BFE，CG＝BF．证明∠CGF＝∠CFG，得到CF＝CG，则可证明BF＝CF； （3）连接AF，过点A作AH⊥DF于点H．由勾股定理得，由相似三角形的性质可求出，由三线合一定理和勾股定理求出AH、AF的长，再求出HF的长即可得到答案． 【解答】（1）解：∵∠D＝90°，AD＝CD＝2， ∴，∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴AB＝AC； ∵∠ACB＝45°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°， ∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°； 故答案为：2，135°； （2）证明：①由旋转得AD＝AE，AC＝AB，∠DAE＝∠CAB， ∴， ∴△ABC∽△ADE； ②如图，在DF上截取DG＝EF，连接CG． 由旋转得∠ADC＝∠AEB＝90°，AE＝AD，DC＝BE． ∴∠ADE＝∠AED． ∵∠ADE+∠CDF＝90°，∠AED+∠BEF＝90°， ∴∠CDF＝∠BEF， ∴△DCG≌△EBF（SAS）， ∴∠DGC＝∠BFE，CG＝BF． ∵∠CGF＝180°﹣∠DGC，∠CFG＝180°﹣∠BFE， ∴∠CGF＝∠CFG， ∴CF＝CG， ∴BF＝CF． （3）解：如图所示，连接AF，过点A作AH⊥DF于点H． ∵，， ∴． 由（2）可知，△ABC∽△ADE， ∴，即， ∴， ∵AD＝AE，AH⊥DF， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴AF⊥BC， ∴AF， 在Rt△AFH中，由勾股定理得FH， ∴DF＝DH+HF． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．不等式2x﹣4≤0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠D＝（　　） A．60° B．30° C．40° D．50° 5．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝100°，∠A＝3∠B，则∠B的度数为（　　） A．20° B．25° C．50° D．75° 6．斜坡长为100m，它的垂直高度为60m，则坡度i等于（　　） A． B． C． D． 7．我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣2，3），点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．如果，那么　 　 ． 10．比较大小　 　 3（填“＞”、“＜”或“＝”）； 11．如图，将一个圆心角为120°，半径为18的扇形围成圆锥，则该圆锥的底面直径为　 　 ． 12．在平面直角坐标系中，点A（a，﹣5）与点B（2，b）关于原点成中心对称，则ab的值为　 　 ． 13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果S△ABO：S△CBO＝5：7，那么S△ADO：S△CBO的值是　 　 ． 14．二次函数y＝x2+x+b的图象总是在x轴的上方，则b的取值范围为 　 　 ． 15．如图，直线y＝2x+6与直线l：y＝kx+b交于点P（﹣1，m），则方程组的解为 　 　 ． 16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E在边CD上（DE＞CE），连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF，连接BE并延长交DF于点G．若BE：EG＝49：15，CF＝6，则线段DN的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1）计算：2sin45°﹣（π﹣3）0+|2|． （2）解不等式组：． 18．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1． 19．（8分）某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 s2 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）求该校八（1）班前5名学生成绩的方差s2． （3）两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 20．（8分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD． （1）试判断四边形OBEC的形状，并说明理由； （2）已知矩形ABCD的面积为20，求四边形OBEC的面积． 21．（8分）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为　 　 ． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 22．（8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD＝22°，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD＝30°，真空管AB的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.2米．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， （1）求水平横管BC到水平线AD的距离； （2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，以OB为半径的⊙O分别与BC、AB相交于点D、F，与AC相切于点E，过点D作DG⊥AC，垂足为G． （1）求证：DG是⊙O的切线． （2）若CG＝2，CD＝8，求BD的长． 24．（10分）某工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，顶点A（0，2）、B（1，0）分别在y轴、x轴上，反比例函数y （k＞0，x＞0）的图象经过C（4，n），D两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段BC的垂直平分线； （要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）线段BC与（2）中所作的垂直平分线分别与BC、AD交于点M、N两点．求点M的坐标． 26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 27．（12分）【问题情境】：已知在四边形ABCD中，∠D＝90°，AC是对角线．且AB＝AC． 【数学思考】：（1）如图1，当AD＝CD＝2，∠ACB＝45°时，AB＝　 　 ；∠DAB＝　 　 °； 【探究实践】：（2）如图2，当AD＜CD时，将△ADC绕点A顺时针旋转至AC与AB重合，得到△AEB，D的对应点为E，连接DE并延长交BC于点F． ①试说明△ABC∽△ADE； ②求证：BF＝CF； 【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若，求DF的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[AJ[B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A]IB][C][D] 6.[A][B][C][D] 7AJIBJIC]ID] 8[A]IB]IC][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 10 11. 1) 13 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共11个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) (1)a= ，b=,c= 20.(8分) A D 0 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) (1) 22.(8分) B C E 122 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 0 0 G 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) D y B 26.(12分) D B 夕 0 图1 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) (1) D D D E A B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ------------------------------------- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶J[W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[AJ[B][C][D] 4.A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 10. 11 1) 13 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(10分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) (1)a=,b=,c= 20.(8分) A δ B E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) (1) 22.(8分) B 图1 δ 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) A B D C 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) y外 D A 0 x 26.(12分) B A5 图1 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) (1) D D E C B B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D B D D A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10．＜ 11．12 12．﹣10 13． 14．b 15． 16． 三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1） 解：（1）原式＝2+21+2 ＝21+2 ＝3；···············································································5分 （2）， 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x＞﹣4， 所以原不等式组的解集为﹣4＜x≤1．·················································10分 18．（8分） 解： • • • ，·············································································6分 当a＝1时，原式．························································8分 19．（8分） 解：（1）八（2）班成绩重新排列为：79，85，85，89，92， ∴，························································1分 85出现次数最多， ∴c＝85，············································································2分 八（1）班成绩重新排列为：77，85，85，86，92， ∴b＝85，············································································3分 故答案为：86，85，85； （2）八（1）班的方差为：， ·····················································································5分 （3）八（2）班的方差为：， ·····················································································7分 ∵八（1）班的平均数小于八（2）班的平均数，且八（2）班的方差小于八（1）班的方差， ∴从数据的平均数和方差来分析八（2）班前5名的整体成绩较好．···························8分 20．（8分） 解：（1）四边形OBEC是菱形，理由如下： ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OBEC为平行四边形， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴OB＝OC， ∴平行四边形OBEC为菱形；··························································4分 （2）∵四边形OBEC为菱形， ∴S△OBC＝S△EBC， ∴S四边形OBEC＝2S△OBC， ∵四边形ABCD为矩形，面积为20， ∴S△ABCS矩形ABCD20＝10， ∵OA＝OC， ∴S△OAB＝S△OBCS△ABC＝5， ∴S四边形OBEC＝2S△OBC＝10．·····························································8分 21．（8分） 解：（1）共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹，则小明选择的是“竹”的结果有1种， ∴小明选择的是“竹”的概率为；·······················································3分 （2）将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有6种， ∴小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为．······································8分 22．（8分） 解：（1）过点B作BF⊥AD于F， 在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝2米， 则BFAB＝1（米）， 答：水平横管BC到水平线AD的距离为1米；············································3分 （2）在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝2米， ∵cos∠BAD， 由题意得：CD＝BF＝1米， 则DE＝CD﹣CE＝0.8米， ∴AF＝AB•cos∠BAD＝2（米）， 在Rt△EAD中，∠ADE＝90°，∠EAD＝22°，DE＝0.8米， 则AD2（米）， ∴BC＝DF＝AD﹣AF＝20.3（米）， 答：水平横管BC的长度约为0.3米．······················································8分 23．（8分） （1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DG⊥AC于点G， ∴∠ODG＝∠DGC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DG⊥OD， ∴DG是⊙O的切线．···································································4分 （2）解：连接OE， ∵⊙O与AC相切于点E， ∴AC⊥OE， ∵∠ODG＝∠DGE＝∠OEG＝90°， ∴四边形ODGE是矩形， ∵OD＝OE， ∴四边形ODGE是正方形， ∵∠DGC＝90°，CG＝2，CD＝8， ∴DG2， ∴OD＝DG＝2， 作OI⊥BD于点I，则∠OID＝90°，ID＝IBBD， ∵∠ODI＝∠C＝90°﹣∠CDG， ∴cos∠ODI＝cosC， ∴IDOD2， ∴BD＝2ID＝2， ∴BD的长是．······································································8分 24．（10分） 解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要（x+6）天， 依题意得：， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意， 则x+6＝6+6＝12， 答：甲工程队单独完成这项工程需要6天，乙工程队单独完成此项工程需要12天；·············5分 （2）设乙工程队施工a天， 则甲工程队需施工的天数为：（1）（6）天， 由题意得：， 解得：a≥4， 答：乙工程队至少施工4天．··························································10分 25．（10分） 解：（1）过点D作DT⊥OA于点T． ∵A（0，2）、B（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， ∵AB⊥AD，DT⊥OT， ∴∠DTA＝∠DAB＝∠AOB＝90°， ∵∠DAT+∠OAB＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠DAT＝∠ABO， ∵AD＝AB， ∴△DTA≌△AOB（AAS）， ∴AT＝OB＝1，DT＝AO＝2， ∴OT＝OA+AT＝3， ∴D（2，3）， ∵反比例函数y （k＞0，x＞0）的图象经过D点， ∴3， ∴k＝6， ∴反比例函数解析式为y；···························································3分 （2）如图，直线MN即为所求；························································5分 （3）∵C（4，n）在y的图象上， ∴n， ∴C（4，）， ∵BM＝CM，B（1，0）， ∴M（，）即M（，）．························································10分 26．（12分） 解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+3）（x﹣1）， 将点C的坐标代入上式得：3＝a（0+3）（0﹣1），解得a＝﹣1， 故抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；·······························2分 （2）如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 设P（t，﹣t2﹣2t+3），且﹣3＜t＜0，则F（t，t+3）， ∵B（1，0）， ∴E（1，4）， ∴BE＝4，PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵BE∥y轴，PF∥y轴， ∴BE∥PF， ∴△BDE∽△PDF， ∴（t）2， ∵﹣3＜t＜0， ∴当t时，取得最大值， ∵S△APD＝kS△ABD， ∴k， ∴k的最大值为， ∴0＜k；··········································································6分 （3）如图，过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，则∠MKO＝∠QTO＝90°， 当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时， ∴OM＝OQ，∠MOQ＝90°， ∴∠MOK+∠QOK＝90°， ∵∠QOT+∠QOK＝90°， ∴∠MOK＝∠QOT， ∴△OMK≌△OQT（AAS）， ∴OK＝OT，MK＝QT， 设点M（x，x+3），则OK＝﹣x，MK＝﹣x﹣3， ∴OT＝﹣x，QT＝﹣x﹣3， ∴Q（x+3，﹣x）， ∵点Q在抛物线上， ∴﹣x＝﹣（x+3）2﹣2（x+3）+3， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4， ∴M（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）； 当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q（﹣x﹣3，x）， ∵点Q在抛物线上， ∴x＝﹣（﹣x﹣3）2﹣2（﹣x﹣3）+3， 解得：x1＝﹣5，x2＝0（舍去）， ∴M（﹣5，﹣2）； 当点M（0，3）绕O逆时针旋转90°时，对应点Q（﹣3，0）刚好落在抛物线上； 综上所述，点M的坐标为（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）或（0，3）或（﹣5，﹣2）．·············12分 27．（12分） （1）解：∵∠D＝90°，AD＝CD＝2， ∴，∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴AB＝AC； ∵∠ACB＝45°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°， ∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°； 故答案为：2，135°；·······························································4分 （2）证明：①由旋转得AD＝AE，AC＝AB，∠DAE＝∠CAB， ∴， ∴△ABC∽△ADE；····································································6分 ②如图，在DF上截取DG＝EF，连接CG． 由旋转得∠ADC＝∠AEB＝90°，AE＝AD，DC＝BE． ∴∠ADE＝∠AED． ∵∠ADE+∠CDF＝90°，∠AED+∠BEF＝90°， ∴∠CDF＝∠BEF， ∴△DCG≌△EBF（SAS）， ∴∠DGC＝∠BFE，CG＝BF． ∵∠CGF＝180°﹣∠DGC，∠CFG＝180°﹣∠BFE， ∴∠CGF＝∠CFG， ∴CF＝CG， ∴BF＝CF．··········································································9分 （3）解：如图所示，连接AF，过点A作AH⊥DF于点H． ∵，， ∴． 由（2）可知，△ABC∽△ADE， ∴，即， ∴， ∵AD＝AE，AH⊥DF， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴AF⊥BC， ∴AF， 在Rt△AFH中，由勾股定理得FH， ∴DF＝DH+HF．····························································12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．不等式2x﹣4≤0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠D＝（　　） A．60° B．30° C．40° D．50° 5．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝100°，∠A＝3∠B，则∠B的度数为（　　） A．20° B．25° C．50° D．75° 6．斜坡长为100m，它的垂直高度为60m，则坡度i等于（　　） A． B． C． D． 7．我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣2，3），点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．如果，那么　 　 ． 10．比较大小　 　 3（填“＞”、“＜”或“＝”）； 11．如图，将一个圆心角为120°，半径为18的扇形围成圆锥，则该圆锥的底面直径为　 　 ． 12．在平面直角坐标系中，点A（a，﹣5）与点B（2，b）关于原点成中心对称，则ab的值为　 　 ． 13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果S△ABO：S△CBO＝5：7，那么S△ADO：S△CBO的值是　 　 ． 14．二次函数y＝x2+x+b的图象总是在x轴的上方，则b的取值范围为 　 　 ． 15．如图，直线y＝2x+6与直线l：y＝kx+b交于点P（﹣1，m），则方程组的解为 　 　 ． 16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E在边CD上（DE＞CE），连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF，连接BE并延长交DF于点G．若BE：EG＝49：15，CF＝6，则线段DN的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1）计算：2sin45°﹣（π﹣3）0+|2|． （2）解不等式组：． 18．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1． 19．（8分）某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 s2 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）求该校八（1）班前5名学生成绩的方差s2． （3）两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 20．（8分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD． （1）试判断四边形OBEC的形状，并说明理由； （2）已知矩形ABCD的面积为20，求四边形OBEC的面积． 21．（8分）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡．它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． （1）小明选择的是“竹”的概率为　 　 ． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 22．（8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD＝22°，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD＝30°，真空管AB的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.2米．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， （1）求水平横管BC到水平线AD的距离； （2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，以OB为半径的⊙O分别与BC、AB相交于点D、F，与AC相切于点E，过点D作DG⊥AC，垂足为G． （1）求证：DG是⊙O的切线． （2）若CG＝2，CD＝8，求BD的长． 24．（10分）某工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． （1）求甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2）若不考虑工期，由乙工程队先施工若干天，再由甲工程队施工完成，要使两个工程队施工总费用不超过6.8万元，乙工程队至少施工多少天？ 25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，顶点A（0，2）、B（1，0）分别在y轴、x轴上，反比例函数y （k＞0，x＞0）的图象经过C（4，n），D两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段BC的垂直平分线； （要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）线段BC与（2）中所作的垂直平分线分别与BC、AD交于点M、N两点．求点M的坐标． 26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 27．（12分）【问题情境】：已知在四边形ABCD中，∠D＝90°，AC是对角线．且AB＝AC． 【数学思考】：（1）如图1，当AD＝CD＝2，∠ACB＝45°时，AB＝　 　 ；∠DAB＝　 　 °； 【探究实践】：（2）如图2，当AD＜CD时，将△ADC绕点A顺时针旋转至AC与AB重合，得到△AEB，D的对应点为E，连接DE并延长交BC于点F． ①试说明△ABC∽△ADE； ②求证：BF＝CF； 【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若，求DF的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $