两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件-2026届高三数学一轮复习

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 B D D D 4 AC A C D D B 题型1　辅助角公式的应用 【例1】(1)(泰州调研)已知sin ＋cos α＝，则cos ＝( ). A．－　　　 B． C．－　　　 D． 【解析】因为sin ＋cos α＝sin α－cos α＋cos α＝sin α＋cos α＝sin ＝，所以cos ＝cos ＝1－2sin2＝1－2×＝. (2)(2024·杭州二中月考)若3sinx－4cos x＝5sin (x＋θ)，则tan θ＝ ． － 【解析】3sin x－4cos x＝5＝5(sin x cos θ＋cos x sin θ)，所以cos θ＝，sin θ＝－，所以tan θ＝－. 辅助角公式的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，再研究性质，解题时要注意观察角、函数名、结构等特征． 【变式】(1)(2024·河北张家口月考)已知3sin x－cos x＝sin (x＋φ)，则3sin2φ－2sinφcos φ－2＝( ). A．　　　 B． C．－　　　 D．－ 【解析】3sin x－cos x＝sin (x＋φ)＝(sin x cos φ＋cos x sin φ)，由待定系数法可得cos φ＝，sin φ＝－，所以3sin2φ－2sinφcos φ－2＝3×－2×－2＝－. (2)(广州期初)已知sin ＝，则sin ＋cos 2α＝( ). A．－　　　 B． C．－　　　 D． 【解析】sin ＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＝sin ＝cos ＝cos＝cos ＝1－2sin2＝. (3)＝ ． 2 【解析】原式＝＝＝＝＝＝＝＝2. 题型2　三角函数式的求值 角度1　给角求值 【例2】(1)(2025·兰州调研)计算：＋＝( ). A．2　　　 B．－ C．－1　　　 D．－2 【解析】＋＝＋＝＝＝＝－ ＝－＝－＝－＝－2. (2)(1＋tan 13°)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)·(1＋tan 32°)＝ ． 【解析】因为1＝tan 45°＝tan (13°＋32°)＝，所以tan 13°＋tan 32°＝1－tan 13°·tan 32°，即tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝1，所以(1＋tan 13°)(1＋tan 32°)＝1＋tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝2.同理，(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝2，所以(1＋tan 13°)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)(1＋tan 32°)＝4. 角度2　给值求值 【例3】(多选)(2025·济南质检)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则以下结论正确的有( ). A．sin 2α＝　　　 B．cos (α－β)＝ C．cos αcos β＝　　　 D．tan αtan β＝ 【解析】由题意得α＋β∈，2α∈，所以sin 2α＝＝，故A正确；sin(α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2α·sin (α＋β)＝×＋×＝，故B错误；cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]＝×＝，故C正确；sin αsin β＝[cos (α－β)－cos (α＋β)]＝×＝，所以tan αtan β＝＝，故D错误． 角度3　给值求角 【例4】(1)(2025·九江模拟)已知α，β∈，cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】因为cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，所以解得所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. (2)(2025·天津模拟)锐角α，β满足α＋2β＝，tan tan β＝2－，则α和β中的较小角等于 ． 【解析】由α＋2β＝，可得＋β＝，所以tan ＝＝，又tan tan β＝2－，所以tan ＋tan β＝3－.由解得或(舍去，此时α不为锐角)，所以tan β＝1.又β为锐角，所以β＝，又α＋2β＝，所以α＝，所以α和β中的较小角为. 【变式】(1)(2025·泰安高三质检)若cos －4sin2α＝－2，则tan2α＝( ). A．－2　　　 B．－ C．2　　　 D． (2)(2025·成都高三联考)已知cos (α＋2β)＝，tan (α＋β)tan β＝－4，写出符合条件的一个角α的值为 ． (答案不唯一) 积化和差与和差化积 在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算． 【例题】(1)(2024·山东淄博高三联考)已知sin x·cos y＋cos x sin y＝，cos 2x－cos 2y＝，则sin (x－y)＝( ). A．　　　 B． C．－　　　 D．－ 【解析】sin x cos y＋cos x sin y＝sin (x＋y)＝，cos 2x－cos 2y＝cos [(x＋y)＋(x－y)]－cos [(x＋y)－(x－y)]＝－2sin (x＋y)sin (x－y)＝－sin (x－y)＝，所以sin (x－y)＝－. (2)(2024·北师大实验中学高三期中)若sin (α＋β)sin (α－β)＝，则cos 2α－cos 2β＝( ). A．　　　 B．－ C．　　　 D．－ 【解析】cos 2α－cos 2β＝－2sin (α＋β)·sin (α－β)＝－2×＝－. (1)积化和差 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]； cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]； sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]. (2)和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin cos ； sin α－sin β＝2cos sin ； cos α＋cos β＝2cos cos ； cos α－cos β＝－2sin sin . 【变式】(2024·江西鹰潭高三期末)已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝－，则tan (α－β)的值为( ). A．－　　　 B．－ C．　　　 D． 【解析】由题意得cos α＋cos β＝2cos cos ＝，sin α－sin β＝2cos sin ＝－，两式相除，得tan ＝－，所以tan (α－β)＝tan ＝＝－. $